浙江省金華十校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

金華十校2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卷上．2．選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈．3．非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷上無(wú)效．選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，即得直線的傾斜角.【詳解】由，可得直線的斜率為，故直線的傾斜角為.故選：B.2.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求得，再應(yīng)用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算求模長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)，可得，即，所以.故選：C3.方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓方程及焦點(diǎn)所在的位置列不等式求參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意，，可得.故選：B4.在等比數(shù)列中，，則公比（）A. B. C.3 D.13【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系得到關(guān)于公比的等式，求出.【詳解】，∴，故選：C.5.點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】可知圓的圓心為原點(diǎn)，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圓的圓心坐標(biāo)為，有，由圓的幾何性質(zhì)可得，又由，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C.6.已知，則（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，求得得解.【詳解】由，可得，即，又，則，所以.故選：D.7.已知雙曲線，若直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，則雙曲線的離心率范圍為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得雙曲線的漸近線與右頂點(diǎn)，再利用由漸近線的性質(zhì)得到，從而利用齊次式法求得雙曲線的離心率范圍，由此得解.【詳解】因?yàn)榈臐u近線為，右頂點(diǎn)為，顯然直線過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，且斜率為，所以由漸近線的性質(zhì)可得，所以雙曲線的離心率為，又，所以，故選：A8.在四棱錐中，底面是平行四邊形，E是棱的中點(diǎn)，，D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形，表示出相關(guān)向量，再利用四點(diǎn)共面時(shí)空間向量的基本定理列方程組求解即可.【詳解】由題意可得，因?yàn)樗?，且，，所以，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，根據(jù)空間向量四點(diǎn)共面的性質(zhì)，有，，所以，所以，解得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能利用空間向量的基本定理得到下列方程.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，N為的中點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C.平面 D.【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解判斷；對(duì)B，求出的坐標(biāo)，利用向量模長(zhǎng)公式求解判斷；對(duì)C，求出向量的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算判斷和不垂直，得解；對(duì)D，求出向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積坐標(biāo)公式求解判斷.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，由，則和不垂直，所以不垂直平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，故D正確.故選：AD.10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，以下結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C.若為遞增數(shù)列，則存在最小值 D.存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義設(shè)出，由定義判斷A選項(xiàng)；取特殊數(shù)列，計(jì)算出再由等比數(shù)列定義判斷B選項(xiàng)，由等差數(shù)列的前和的性質(zhì)判斷C選項(xiàng)；由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，取特殊數(shù)列，由等差數(shù)列的定義判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，∴，，設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，∴，A選項(xiàng)：數(shù)列，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是常數(shù)，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若為遞增數(shù)列，即，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在最小值；當(dāng)時(shí)，則數(shù)列一定存在，使得，此時(shí)存在最小值.故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，則，∴存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離乘積相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，以下結(jié)論正確的是（）A.曲線C成中心對(duì)稱 B.曲線C有且只有兩條對(duì)稱軸C.曲線C圍成的區(qū)域面積不超過(guò) D.點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于【答案】ACD【解析】【分析】由已知得到曲線方程，將代入可得A正確；將代入并結(jié)合關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得B錯(cuò)誤；引入極坐標(biāo)系，考慮第一象限曲線方程變，可得C正確；引入極坐標(biāo)系，換元求導(dǎo)分析單調(diào)性最值，可得D正確.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，對(duì)于A，將代入上式，可得，即，所以曲線C成中心對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，將代入，可得，即，所以軸為其對(duì)稱軸，又曲線C成中心對(duì)稱，所以與也為其對(duì)稱軸，所以曲線最少有三個(gè)對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，引入極坐標(biāo)系，，考慮第一象限曲線方程變?yōu)?，即，所以曲線C圍成的區(qū)域面積在半徑不超過(guò)的圓內(nèi)，面積為，故C正確；，所以曲線C圍成的區(qū)域面積不超過(guò)，故C正確；對(duì)于D，引入極坐標(biāo)系，，考慮第一象限曲線方程變?yōu)椋?，所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，令，所以，所以，令，所以當(dāng)時(shí)，，為遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為遞減函數(shù)；所以，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是能引入極坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)求出面積；D選項(xiàng)關(guān)鍵引入極坐標(biāo)系利用導(dǎo)數(shù)分析.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則_________【答案】2【解析】【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程可直接求解.【詳解】由拋物線，得準(zhǔn)線方程為，由題意，，得．故答案為：2．13.已知數(shù)列滿足，且，該數(shù)列前20項(xiàng)和________．【答案】1078【解析】【分析】由遞推公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此計(jì)算出數(shù)列的.【詳解】∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，∴，∴.故答案為：1078.14.已知A，B，C，P是空間中不共面的四點(diǎn)，滿足，若，且點(diǎn)P到平面ABC的距離等于1，則a的值為________．【答案】【解析】【分析】求得平面的一個(gè)法向量為，再根據(jù)和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，即，點(diǎn)P到平面ABC的距離等于，所以，即得，且，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．15.已知點(diǎn)和圓．（1）過(guò)點(diǎn)作直線AC的平行線l，求直線l的方程；（2）過(guò)點(diǎn)A的直線與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，若，求直線PQ的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及斜率兩點(diǎn)式可得，結(jié)合及點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）由題設(shè)圓心C到直線PQ的距離為1，討論斜率的存在性求出對(duì)應(yīng)直線PQ的方程.【小問(wèn)1詳解】圓，圓心，故，又，則，即直線方程為；【小問(wèn)2詳解】∵，所以圓心C到直線PQ的距離為，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為，則，∴，直線方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，圓心到直線的距離為1顯然成立，綜上，符合條件的直線PQ方程為或.16.已知函數(shù)（1）若，求；（2）若，函數(shù)在處的切線方程為，求的值；（3）若，求曲線與曲線的共同的切線方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入自變量求值即可；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，并寫出切線方程，結(jié)合已知得，即可得結(jié)果；（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再由直線與圓相切及點(diǎn)線距離公式求公切點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得切線方程.小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，則，所以；【小問(wèn)2詳解】由，則，故，所以切線方程為，結(jié)合已知得，∴；【小問(wèn)3詳解】若，則，則在處的切線方程為，又與圓相切，則，則，所以公切線方程為.17.如圖，把矩形紙片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M為AD的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，求證：∥平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）借助平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定即可解題；（2）方法一，借助輔助線找出線面角，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)解題；方法二，建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和平面法向量，結(jié)合向量夾角余弦值公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)記為點(diǎn)E，由于矩形ABCD中，，且點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，則，則四邊形EMDQ為平行四邊形，則，∵平面平面，∴平面【小問(wèn)2詳解】方法一：取BC中點(diǎn)N，連AN交BM于點(diǎn)O，連CM，則四邊形ABNM為正方形，且，∴，則二面角的平面角為，∴平面ABCD，又平面ABCD，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴平面，則為直線與平面所成線面角，又，∴．則直線與平面所成線面角的正弦值為，方法二：取BC中點(diǎn)N，連AN交BM于點(diǎn)O，則四邊形ABNM為正方形，且，∴，則二面角的平面角為，∴平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，ON，所在直線為x軸，y軸，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系則，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，且，則，則直線與平面所成線面角的正弦值為.18.已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，下上頂點(diǎn)分別為．（1）若為直角三角形，的面積為，求橢圓方程．（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（P，Q分別在第一、四象限），連接并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)N；①若，求橢圓的離心率e．②在（1）條件下，求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程求解；（2）①設(shè)，根據(jù)橢圓定義結(jié)合可得，又由，運(yùn)算求得答案；②設(shè)直線為與橢圓方程聯(lián)立，可得，由點(diǎn)P，Q分別在第一、四象限可得，求得，四邊形面積為，可得，換元令，利用函數(shù)單調(diào)性求得答案.【小問(wèn)1詳解】由于為直角三角形，且的面積為，則，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】①如圖，設(shè)，則，由于，則，則，所以，則，又，得到，解得.②設(shè)直線為或（舍去），設(shè)點(diǎn)，將直線與橢圓方程聯(lián)立，，可得，則，記四邊形面積為，又因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別在第一、四象限，則，即，解得，則，令，則，由于，則當(dāng)，S單調(diào)遞減，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的②解題的關(guān)鍵是將四邊形面積表示為，可得，并根據(jù)條件求得，利用函數(shù)單調(diào)性求解.19.有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，若滿足對(duì)任意都有，稱為數(shù)列的過(guò)渡值．（1）若求數(shù)列的所有過(guò)渡值；（2）已知，若數(shù)列存在過(guò)渡值，求的取值范圍；（3）若對(duì)任意，都有，且數(shù)列的過(guò)渡值有t個(gè)，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由通項(xiàng)公式寫出所有項(xiàng)，根據(jù)過(guò)渡值的定義求出所有過(guò)渡值；（2）根據(jù)題設(shè)，使且，有，在，且