電路分析基礎(chǔ)課件-第4章

第4章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.1正弦交流電的基本概念4.2正弦交流電的相量表示法4.3基爾霍夫定律的相量形式和基本元件伏安關(guān)系的相量形式4.4阻抗和導(dǎo)納4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率傳輸4.8三相電路習(xí)題4

線性時(shí)不變動態(tài)電路在角頻率為ω的正弦電壓源或電流源激勵(lì)下，隨著時(shí)間的增長，當(dāng)暫態(tài)響應(yīng)消失，只剩下正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，電路中的全部電壓和電流都是角頻率為ω的正弦波時(shí)，稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。滿足這類條件的動態(tài)電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。不論是在理論分析中還是在實(shí)際應(yīng)用中，正弦穩(wěn)態(tài)分析都是極其重要的。許多電氣設(shè)備的設(shè)計(jì)、性能指標(biāo)就是按正弦穩(wěn)態(tài)來考慮的。例如，在設(shè)計(jì)高保真音頻放大器時(shí)，就要求它對輸入的正弦信號能夠“忠實(shí)”地再現(xiàn)并加以放大。

又如，在電力系統(tǒng)中，全部電源均為同一頻率的交流電源，大多數(shù)問題都可以用正弦穩(wěn)態(tài)分析來解決。以后還會知道，如果掌握了線性時(shí)不變電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，那么，從理論上來說便掌握了它對任何信號的響應(yīng)。

本章首先介紹正弦量及其相量表示、兩類約束的相量形式，然后介紹RLC電路的分析、正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率，最后介紹交流電路中的功率傳輸及最大功率問題。

4.1正弦交流電的基本概念

4.1.1正弦量的三要素在前幾個(gè)章節(jié)，我們討論的電壓和電流都是直流的形式，即電壓和電流的大小、方向均恒定不變，如圖4.1.1(a)所示，而本章要討論的是交流電路。所謂交流，是指電壓和電流的大小、方向均隨時(shí)間作周期性的變化，如圖4.1.1(b)、(c)、(d)所示為三種常見的交流信號。交流在人們的生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，生活、生產(chǎn)中的用電大部分是交流電，因?yàn)榻涣麟娫诋a(chǎn)生、輸送、使用等方面都具有明顯優(yōu)勢。

大小和方向隨時(shí)間作正弦(或余弦)規(guī)律變化的電壓、電流等電學(xué)量統(tǒng)稱正弦交流電或正弦量，如圖4.1.1(b)所示。正弦規(guī)律可以用正弦函數(shù)表示，也可以用余弦函數(shù)表示。本

書統(tǒng)一用余弦函數(shù)表示，仍稱為正弦量。

正弦量在某時(shí)刻的值稱為正弦量的瞬時(shí)值，用小寫字母表示。如正弦電流i，其瞬時(shí)值表達(dá)式為

其對應(yīng)的波形如圖4.1.2所示。式中，

Im

稱為電流最大值或幅值，表示交流信號的大小;ω稱為角頻率，表示交流信號變化的快慢;θi稱為初相位或初相角，表示交流信號的初始位置。對任何一個(gè)正弦交流電來說，只要最大值、角頻率和初相位確定后，這個(gè)交流電也隨之確定。因此將這三個(gè)物理量稱為正弦交流電的三要素。分析正弦交流電時(shí)也應(yīng)從這三個(gè)方面進(jìn)行。圖4.1.1常用電信號圖4.1.2正弦電流的波形圖

4.1.2正弦量的周期、頻率和角頻率

周期T:正弦量交變一次所需要的時(shí)間，單位為秒(

s)。

頻率f:每秒內(nèi)完成的周期數(shù)，單位為赫茲(Hz)。

可見，

T

與

f互為倒數(shù)，即

角頻率ω:每秒內(nèi)完成的弧度數(shù)，單位為弧度每秒(rad/s)。

因?yàn)橐粋€(gè)周期內(nèi)經(jīng)歷的弧度是2π

，所以角頻率與周期、頻率的關(guān)系為

在我國和大多數(shù)國家都采用50Hz作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率，有些國家(如美國、日本等)采用60Hz。這種頻率在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，習(xí)慣上也稱為工頻。除工頻外，某些領(lǐng)域還需要

采用其它的頻率，如無線電通信的頻率為30kHz~3×10

4MHz，有線通信的頻率為300~5000Hz等。

4.1.3正弦量的瞬時(shí)值、最大值和有效值

瞬時(shí)值:正弦量在任一瞬間的值，用小寫字母表示。如i、u分別表示瞬時(shí)電流、瞬時(shí)電壓。最大值(幅值):最大的瞬時(shí)值，用帶下標(biāo)m的大寫字母來表示。如Im

、Um

分別表示電流、電壓的幅值。

正弦電流、電壓的大小往往不是用它們的幅值來計(jì)量，而是用有效值來計(jì)量其大小。

有效值是從電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的，它的定義為:如果一個(gè)交流電流i和一個(gè)直流電流I在相等的時(shí)間T內(nèi)通過同一個(gè)電阻，而兩者產(chǎn)生的熱量相等，那么這個(gè)交流電流i的有效值在數(shù)值上就等于這個(gè)直流電流I

設(shè)有一電阻R

，通以交變電流i，在一周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量為

同是該電阻R，通以直流電流I

，在時(shí)間T內(nèi)產(chǎn)生的熱量為

根據(jù)上述定義，熱效應(yīng)相等的條件為Qac

=Qdc，即

由此可得出交流電流的有效值為

即交流電流的有效值等于電流瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值的開方，故有效值又稱為均方根值。

有效值的定義適用于任何周期性變化的量，但不能用于非周期量。

假設(shè)交流電流為正弦量i=Imcosωt，則

即

式(4.1.7)就是交流電流的有效值與最大值的關(guān)系。同理，正弦交流電壓的有效值與它們的最大值的關(guān)系為

有效值都用大寫字母表示，和表示直流的字母一樣。如上式中的I、U分別表示交流電流、交流電壓的有效值。

一般所講的正弦電壓或正弦電流的大小，如交流電壓380V或220V，電器設(shè)備的額定值等都是指它的有效值。一般交流電表的刻度數(shù)值也是指有效值。

引入有效值后，正弦電流和電壓的表達(dá)式可寫為

圖4.1.3初相的位置與正負(fù)

因?yàn)閡和i的初相位不同，所以它們的變化步調(diào)不一致，即不是同時(shí)到達(dá)正的最大值或零值。那么它們在相位上的關(guān)系有常見的以下四種，如圖4.1.4所示。

(1)0°<φ<180°:如圖4.1.4(a)所示，說明θu>θi

，也就是電壓比電流先到達(dá)最大值，這種情況稱電壓在相位上超前電流一個(gè)角度φ

。

(2)-180°<φ<0°:如圖4.1.4(b)所示，說明θu

<θ

i

，也就是電壓比電流晚到達(dá)最大值，這種情況稱電壓在相位上滯后電流一個(gè)角度φ，也可說成電流在相位上超前電壓。

(3)φ=0°:如圖4.1.4(c)所示，說明θu＝

θi

，也就是電壓和電流同時(shí)到達(dá)最大過零點(diǎn)，同正同負(fù)，這種情況稱電壓和電流同相。

(4)φ=180°:如圖4.1.4(d)所示，說明明θu-θi

=180°，也就是電壓與電流相位差180°，符號正好相反，這種情況稱電壓與電流反相。

超前、滯后、同相、反相常用來描述兩個(gè)同頻率正弦量的相位關(guān)系。值，同時(shí)圖4.1.4兩個(gè)同頻率正弦量的相位關(guān)系

(5)因?yàn)閮蓚€(gè)正弦量的角頻率不相同，相位關(guān)系沒有可比性，所以不存在相位差?？梢?，計(jì)算兩個(gè)正弦量的相位差時(shí)，必須滿足這兩個(gè)正弦量為同頻率、同函數(shù)，且相位差在取值范圍內(nèi)才能進(jìn)行比較計(jì)算。

4.2正弦交流電的相量表示法上

在單頻正弦穩(wěn)態(tài)電路中，分析電路時(shí)常遇到正弦量的加、減、求導(dǎo)及積分問題，而由于同頻率的正弦量之和或差仍為同一頻率的正弦量，正弦量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)或積分也仍為同一頻率的正弦量。故分析單頻正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)只需確定正弦量的幅值和初相，就能完整地表示它。如果將正弦量的幅值和初相與復(fù)數(shù)中的模和輻角相對應(yīng)，那么在頻率已知的條件下，就可以用復(fù)數(shù)來表示正弦量。

用來表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。借用復(fù)數(shù)表示正弦量

后，可以避開利用三角函數(shù)進(jìn)行正弦量的加、減、求導(dǎo)及積分等運(yùn)算的麻煩，從而使正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計(jì)算得到簡化。這種方法是由美國電機(jī)工程師斯泰因梅茨(C.P.Steinmetz，

1865~1923)于1893年在國際電工會議上提出的。

圖4.2.1復(fù)平面及復(fù)數(shù)表示

由復(fù)數(shù)知識可知A可表示為

式(4.2.1)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。

由數(shù)學(xué)知識可知它們之間的關(guān)系為

代入式(4.2.1)得

式(4.2.2)稱為復(fù)數(shù)的三角形式。

式(4.2.3)為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。

從圖4.2.1可看出，一個(gè)復(fù)數(shù)有兩個(gè)重要的參數(shù)，即模和輻角，所以也可直接用這兩個(gè)參數(shù)直接簡寫為

式(4.2.4)為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式。

復(fù)數(shù)的這四種表示形式可以相互轉(zhuǎn)換。

【例4.2.1】將復(fù)數(shù)A=3+j4轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的極坐標(biāo)形式。

解極坐標(biāo)形式只需要求出該復(fù)數(shù)的模和輻角即可。

所以

2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為

則

可見，復(fù)數(shù)在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)采用代數(shù)形式，實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減。在進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)采用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式比較方便，結(jié)果為模與模相乘除，輻角與輻角相加減，復(fù)數(shù)乘除法即模的放大或縮小，輻角的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。此外，復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算還可以在復(fù)平面上用平行四邊形法則的圖形來表示，如圖4.2.2所示。圖4.2.2復(fù)數(shù)加減運(yùn)算圖解法示意

圖4.2.3旋轉(zhuǎn)因子與復(fù)數(shù)A相乘示意圖

根據(jù)歐拉公式，不難得出ej90°=j，e-j90°=-j，ej0°=1，

ej180°=-1。因此“±j”和“-1”都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。例如一個(gè)復(fù)數(shù)與j相乘等于該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°;一個(gè)復(fù)數(shù)除以j，等于該復(fù)數(shù)乘以-j，意味著該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°。

4.2.2正弦量的相量表示

1.旋轉(zhuǎn)矢量與正弦量的關(guān)系設(shè)一正弦電流i

(t)=Imcos(ωt+θi

)，其波形圖如圖4.2.4右圖所示，左圖是一旋轉(zhuǎn)有向線段OA，在復(fù)平面中，有向線段OA的模|A|等于正弦量的幅值Im，它的初始位置與實(shí)軸正方向的夾角θ

等于正弦電流的初相位

θi，起始位置時(shí)矢量在實(shí)軸上的投影為a

=|A|cosθ。若這個(gè)矢量以|A|為半徑，以正弦量的角頻率ω

作為角速度在復(fù)平面內(nèi)作逆時(shí)針方向的勻速旋轉(zhuǎn)，則任意時(shí)刻這個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量在實(shí)軸上的投影a=|A|cos(ωt+θ)。

可見，任意時(shí)刻投影a為時(shí)間函數(shù)，且具有和正弦量一樣的三個(gè)要素，與正弦量的表達(dá)式有著相同的形式，故可用一旋轉(zhuǎn)矢量在實(shí)軸上的投影隨時(shí)間變化的函數(shù)來表示正弦量。正弦量在任意時(shí)刻的瞬時(shí)值就可以用這個(gè)旋轉(zhuǎn)有向線段任意瞬間在實(shí)軸上的投影表示出來。例如:在t

=0時(shí)，

I0=Imcosθi=Acosθ=a;在t=t1

時(shí)，

i1(t)=Imcos(ωt1+θi)=Acos(ωt1+θ)。圖4.2.4旋轉(zhuǎn)矢量與正弦量的關(guān)系

2.相量及相量圖

以上分析說明，正弦量可以用旋轉(zhuǎn)有向線段在實(shí)軸上的投影隨時(shí)間變化的函數(shù)來表示，而有向線段可用復(fù)數(shù)來表示，所以正弦量也可用復(fù)數(shù)來表示。用以表示正弦量的復(fù)數(shù)

稱為相量。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值或有效值，復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。模長等于最大值的相量稱為最大值相量，模長等于有效值的相量稱為有效值相量。既然相量就

是復(fù)數(shù)，那么相量與復(fù)數(shù)一樣具有四種表示形式。

由于相量是用來表示正弦量的復(fù)數(shù)，只能表示電壓、電流和電動勢，所以為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，在相量的字母頂部標(biāo)上“·”。例如表示正弦電壓u

(t

)=Um

cos(ωt+θu

)的相量為

或

最后要提醒注意以下幾點(diǎn):

(1)相量與正弦量之間僅僅是對應(yīng)關(guān)系，而不能說相量就等于正弦量，相量中只包含了正弦量的兩個(gè)因素:有效值(或幅值)和初相。

對應(yīng)關(guān)系為

可見，這種對應(yīng)關(guān)系實(shí)質(zhì)上是一種“變換”，正弦量的瞬時(shí)形式可以變換為與時(shí)間無關(guān)的相量;相量(再加上已知電源的頻率)可變換為正弦量的瞬時(shí)值形式。通常將正弦量的瞬時(shí)形式稱為正弦量的時(shí)域表示，將相量形式稱為正弦量的頻域表示。這種“變換”只是為了方便分析和計(jì)算電路的一種工具。

(2)只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。

(3)只有同頻率的正弦量才能進(jìn)行相量運(yùn)算，才能畫在同一個(gè)相量圖上進(jìn)行比較，否則無意義。

【例4.2.4】寫出下列正弦量的有效值相量形式，要求用代數(shù)形式表示，并畫相量圖。

解因?yàn)檎伊啃问娇梢灾苯涌闯鲇行е岛统跸辔?，所以寫對?yīng)的相量形式時(shí)直接寫出極坐標(biāo)形式或指數(shù)形式最方便，然后再轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式。例4.2.4相量圖例4.2.5相量圖圖4.2.5例4.2.6的電路圖

(3)很顯然，

i的最大值不等于i1

和i2

的最大值之和，

i的有效值也不等于i1

和i2

的有效值之和。因?yàn)樗鼈兊某跸辔徊煌?，即起始位置不同，到達(dá)最大值的時(shí)刻也不相同，所以不能簡單地將它們的最大值或有效值相加來計(jì)算。

4.3基爾霍夫定律的相量形式和

基本元件伏安關(guān)系的相量形式

基爾霍夫定律和電路元件的伏安關(guān)系是電路分析的基本依據(jù)，引入相量后，正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以對建立的電路微分方程進(jìn)行簡化計(jì)算。

4.3.1基爾霍夫定律的相量形式

因?yàn)樵诰€性時(shí)不變的單一頻率ω的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各處的電壓、電流都為同一頻率的正弦量。1.KCL的相量形式由KCL可知，在任一時(shí)刻，連接在電路任一節(jié)點(diǎn)(或閉合曲面)的各支路電流的代數(shù)和為零，即∑i=0。若電流全部都是同頻率的正弦量，則可變換為相量形式:

即任一節(jié)點(diǎn)上同頻率的正弦電流對應(yīng)相量的代數(shù)和為零。

2.KVL的相量形式

由KVL可知，在任一時(shí)刻，對任一回路各支路電壓的代數(shù)和為零，即∑u=0。若電壓全部都是同頻率的正弦量，則可變換為相量形式:

即任一回路上同頻率的正弦電壓的對應(yīng)相量的代數(shù)和為零。

注意:基爾霍夫定律表達(dá)式中是相量的代數(shù)和恒等于零，并不是有效值或幅值的代數(shù)和恒等于零。

圖4.3.1純電阻電路

不難看出電阻上的電壓、電流有如下關(guān)系:

(1)u

和i

是同頻率的正弦量;

(2)u

和i

相位相同，即θu=θi

;

(3)u

和i的最大值和有效值之間的關(guān)系分別為

(4)u和i的最大值相量和有效值相量之間的關(guān)系分別為

可見，在純電阻電路中，各種形式均符合歐姆定律。

波形圖和相量圖分別如圖4.3.1(b)、(c)所示。

2)功率

(1)瞬時(shí)功率p。

在任意瞬間，電壓瞬時(shí)值u與電流瞬時(shí)值i的乘積，稱為瞬時(shí)功率，用小寫字母p表示。

由上式可見，

p是由兩部分組成的，第一部分是常數(shù)UI、第二部分是幅值為UI、角頻率為2ω的正弦量。p

隨時(shí)間變化的波形如圖4.3.1(d)所示。

由

p的波形圖我們可以看出來，

p≥0，這也正是因?yàn)榻涣麟娐分须娮柙膗和i同相位，即同正同負(fù)，所以p總為正值。p

為正，表示外電路從電源取用能量。在這里就是電阻元件從電源取用電能轉(zhuǎn)換為熱能，說明電阻是一個(gè)耗能元件。

(2)平均功率P

。

一個(gè)周期內(nèi)電路消耗電能的平均速度，即瞬時(shí)功率一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱為平均功率，也叫有功功率，用大寫字母P

表示。平均功率的單位為瓦(W)。

平均功率的波形圖如圖4.3.1(d)所示。

【例4.3.1】已知通過R=10Ω的電阻的電流為i=2cos(t+30°)A，求電阻兩端的電壓u，并畫相量圖。

解

由電壓和電流關(guān)系得

相量圖見圖4.3.2。圖4.3.2例4.3.1的相量圖

不難看出電感上的電壓、電流有如下關(guān)系:

(1)u

和i是同頻率的正弦量;

(2)u

在相位上超前i90°，即θu

=θi

+90°;

(3)u

和i的最大值和有效值之間的關(guān)系分別為

(4)u

和

i的最大值相量和有效值相量之間的關(guān)系分別為

波形圖和相量圖如圖4.3.3(b)、(c)所示。圖4.3.3純電感電路

2)功率

(1)瞬時(shí)功率p。

電感的瞬時(shí)功率為

(2)平均功率P。

電感的平均功率為

從平均功率(有功功率)為零這一特點(diǎn)也可以看出電感是一儲能元件而不是耗能元件。

(3)無功功率Q。

由前述可知，電感和電源之間有能量的互換，這個(gè)互換功率的大小通常用瞬時(shí)功率的最大值來衡量。由于這部分功率并沒有被消耗掉，所以稱為無功功率，用Q表示。為與有功功率區(qū)別，

Q的單位用乏(var)表示。根據(jù)定義電感的無功功率為

【例4.3.2】已知電感元件兩端的電壓u=6cos(10t+30°)V，

L=0.2H，求通過電感的電流i，并畫相量圖。

解

相量圖如圖4.3.4所示。圖4.3.4例4.3.2的相量圖

不難看出電容上的電壓、電流有如下關(guān)系:

(1)u和i是同頻率的正弦量;

(2)u在相位上滯后i90°，即θu=θi-90°;

(3)u和i的最大值和有效值之間的關(guān)系分別為

(4)u

和i

的最大值相量和有效值相量之間的關(guān)系分別為

波形圖和相量圖如圖4.3.5(b)、(c)所示。圖4.3.5純電容電路

2)功率

(1)瞬時(shí)功率p。

電容的瞬時(shí)功率為

(2)平均功率P。

電容的平均功率為

從平均功率(有功功率)為零這一特點(diǎn)也可以得出電容是一儲能元件而非耗能元件的結(jié)論。

(3)無功功率Q。

為了和電感元件無功功率相區(qū)別，一般定義電容的無功功率為瞬時(shí)功率的負(fù)的最大值，所以電容的無功功率為

【例4.3.3】把一個(gè)25μF的電容元件接到頻率為50Hz、電壓有效值為10V的正弦電源上，問電流是多少?如果保持電壓值不變，而電源頻率改為5000Hz，這時(shí)電流將為多少?

說明電容對高頻率電流的阻力很小，即容易使電流的高頻分量通過，利用這一特性可實(shí)現(xiàn)濾波功能。

小結(jié):(1)XC

、XL

與R

的性質(zhì)一樣，有阻礙電流的作用。

(2)適用歐姆定律，

XC

、XL

等于相應(yīng)電壓、電流有效值之比。

(3)XL與f

成正比，

XC與f

成反比，

R

與f

無關(guān)。

(4)對直流電(f=0)XL

=0，

L

可視為短路;XC

=∞，

C可視為開路。

(5)對交流電f

愈高，

XL

愈大，

XC

愈小。所以通常有“電容通交隔直，電感通直阻交”的說法。

4.4阻抗和導(dǎo)納

在電阻電路中，任意一個(gè)無源線性二端網(wǎng)絡(luò)端口上的電壓與電流成正比關(guān)系，該網(wǎng)絡(luò)通?？傻刃橐粋€(gè)電阻。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對任意一個(gè)無源線性二端網(wǎng)絡(luò)的相量模型，其端口上的電壓相量與電流相量間也成正比關(guān)系，因此通過引入阻抗與導(dǎo)納的概念，也可以對其進(jìn)行等效化簡。

圖4.4.1無源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗

圖4.4.2阻抗三角形

根據(jù)式(4.4.5)，阻抗可以用一個(gè)電阻和一個(gè)電抗元件的串聯(lián)電路來等效，如圖4.4.3(a)所示。根據(jù)串聯(lián)的電抗元件性質(zhì)的不同，電路呈現(xiàn)出不同的性質(zhì)。當(dāng)X>0時(shí)，

φZ

>0，端口電壓超前電流，電路可等效為電阻元件與電感元件的串聯(lián)，稱電路呈電感性，見圖4.4.3(b);當(dāng)X<0時(shí)，

φZ

<0，端口電壓滯后電流，電路可等效為電阻元件與電容元件的串聯(lián)，稱電路呈電容性，見圖4.4.3(c);當(dāng)X=0時(shí)，

φZ

=0，端口電壓與電流同相位，電路可等效為一個(gè)電阻元件，稱電路呈電阻性，見圖4.4.3(d)。圖4.4.3阻抗的等效電路

如果無源二端網(wǎng)絡(luò)N0

分別為單個(gè)元件R、L、C，設(shè)它們相應(yīng)的阻抗分別為ZR

、ZL

、ZC

，由這些元件的相量關(guān)系式，即式(4.3.2)、式(4.3.4)和式(4.3.9)，對照阻抗定義式，容易求得

4.4.2導(dǎo)納Y

對于圖4.4.1所示的無源二端網(wǎng)絡(luò)相量模型，導(dǎo)納的定義為

或

由定義式不難看出，阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)關(guān)系，即

式中:

式(4.4.14)是導(dǎo)納的極坐標(biāo)形式。將式(4.4.14)化為代數(shù)形式，有

式中:

G稱為導(dǎo)納的電導(dǎo)部分，B稱為導(dǎo)納的電納部分。

由式(4.4.17)可得

式(4.4.15)和式(4.4.20)都是導(dǎo)納模的公式，前者為定義式，后者為參數(shù)公式，分別應(yīng)用于不同的場合。同理，導(dǎo)納角的公式也有兩個(gè):式(4.4.16)和式(4.4.21)。

導(dǎo)納與阻抗一樣，雖然是復(fù)數(shù)，但不是相量，因此不加“·”

導(dǎo)納也可以借助一個(gè)直角三角形來描述它們之間的關(guān)系，該三角形稱為導(dǎo)納三角形，如圖4.4.4所示。圖4.4.4導(dǎo)納三角形

根據(jù)式(4.4.16)，導(dǎo)納可以用一個(gè)電導(dǎo)和一個(gè)電納元件的并聯(lián)電路來等效，如圖4.4.5(a)所示。根據(jù)并聯(lián)的電納元件性質(zhì)的不同，電路呈現(xiàn)出不同的性質(zhì)。當(dāng)B>0時(shí)，φY

>0，端口電壓滯后電流，電路可等效為電導(dǎo)元件與電容元件的并聯(lián)，稱電路呈電容性，見圖4.4.5(b);當(dāng)B<0時(shí)，φY<0，端口電壓超前電流，電路可等效為電導(dǎo)元件與電感元件的并聯(lián)，稱電路呈電感性，見圖4.4.5(c);當(dāng)B=0時(shí)，φY

=0，端口電壓與電流同相位，電路可等效為一個(gè)電導(dǎo)元件，稱電路呈電阻性，見圖4.4.5(d)。圖4.4.5導(dǎo)納的等效電路

如果無源二端網(wǎng)絡(luò)分別為單個(gè)元件R、L、C，設(shè)它們相應(yīng)的導(dǎo)納分別為YR、YL、YC

，由阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)的關(guān)系并考慮式(4.4.10)、式(4.4.11)和式(4.4.12)，容易求得

式中，BL=1/ωL

稱為感納，BL=1/XL;BC=ωC稱為容納，BC=1/XC

。感納和容納的單位均為西門子(S)。

4.4.3阻抗串聯(lián)模型與導(dǎo)納并聯(lián)模型的等效互換

由阻抗和導(dǎo)納的定義可知，對同一電路，阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)，阻抗模與導(dǎo)納模也互為倒數(shù)，阻抗角與導(dǎo)納角互為相反數(shù)，即

而電阻、電抗分量與電導(dǎo)、電納分量之間的關(guān)系如下:

可見:

同樣地，有

可見:

由此可見，一般情況下:

由式(4.4.25)可從已知阻抗中的電阻和電抗分別求得電導(dǎo)和電納，得到與串聯(lián)模型電路等效的并聯(lián)模型電路的最簡形式，如圖4.4.6所示。反之，由式(4.4.26)可從已知導(dǎo)納中的電導(dǎo)和電納分別求得電阻和電抗，得到與并聯(lián)模型電路等效的串聯(lián)模型電路的最簡形式。圖4.4.6阻抗串聯(lián)模型等效互換為導(dǎo)納并聯(lián)模型

【例4.4.1】RL串聯(lián)電路如圖4.4.7(a)所示。已知R=80Ω，L=0.06mH，ω=106rad/s，將其等效為圖4.4.7(c)所示的并聯(lián)電路，并求出R'和L'的大小。

解原電路的等效并聯(lián)電路如圖4.4.7(b)所示，依原電路，有

故有

對于圖4.4.7(b)所示的電路，有Y'=G-jBL，等效時(shí)應(yīng)有Y=Y'的關(guān)系，故

則圖4.4.7例4.4.1圖

4.4.4正弦穩(wěn)態(tài)電路仿真

通過電路仿真，進(jìn)一步了解電路特性，掌握電路各種參數(shù)的測試方法，特別注意相位之間的相互關(guān)系。

1.仿真目的

仿真的目的是掌握電阻、電感、電容3種元件在正弦交流電路中所體現(xiàn)的電流與電壓之間的關(guān)系。

2.仿真步驟

1)電阻元件阻抗頻率特性的仿真

按電路的原理圖4.4.8(a)繪制的仿真電路如圖4.4.9(a)所示，交流電壓源有效值調(diào)至為10V的正弦波(偏移為0)，電阻為10Ω，頻率調(diào)至50Hz，電阻和電源兩端分別并聯(lián)萬用表1(電壓表)和萬用表2(電壓表)測得其上的電壓有效值，并在電路中串聯(lián)萬用表3(電流表)測量電阻電流值。示波器A口接電流探針以測得電阻電流波形，示波器B口并聯(lián)在電阻兩端，測得電阻電壓波形。打開仿真運(yùn)行開關(guān)，雙擊三個(gè)萬用表，分別可得萬用表1、2、3的讀數(shù)為10V、10V、1A。雙擊示波器可觀察電壓、電流波形。圖4.4.8電阻元件頻率特性的仿真圖4.4.9電阻元件交流電壓電流測量的仿真圖

理論計(jì)算值:UR=Us

=10V

故，實(shí)際測量值與理論計(jì)算值相同。

打開波形分析儀觀看波形，如圖4.4.9(b)所示，綠色為A通道，即電阻的電流波形;紅色為B通道，即電阻的電壓波形?？梢钥闯?，電壓與電流的波形同相位，無相位差，這與理論分析結(jié)果一致。

2)電感元件阻抗頻率特性的仿真

按圖4.4.8(b)繪制仿真電路如圖4.4.10(a)所示，交流電壓源有效值仍為10V的正弦波(偏移為0)，電感為15mH，頻率為50Hz。萬用表及示波器連接與電阻電路相同，不再贅述。打開仿真運(yùn)行開關(guān)，雙擊三個(gè)萬用表，萬用表1、2、3的讀數(shù)分別為10V、10V、2.122A。雙擊示波器可觀察電壓和電流的波形。圖4.4.10電感元件交流電壓電流測量的仿真

理論值計(jì)算:

故，實(shí)際測量值與理論計(jì)算值相同。

從波形分析儀觀看，如圖4.4.10(b)所示，綠色為A通道，即電感的電流波形;紅色為B通道，即電感的電壓波形?？梢钥闯?，電感電壓超前電流90°，與理論分析結(jié)果一致。

3)電容元件阻抗頻率特性的仿真

按圖4.4.8(c)繪制的仿真電路如圖4.4.11(a)所示，交流電壓源有效值仍為10V的正弦波(偏移為0)，電容為33μF，頻率為50Hz。萬用表及示波器連接與電阻電路相同，不再贅述。打開仿真運(yùn)行開關(guān)，雙擊三個(gè)萬用表，萬用表1、2、3的讀數(shù)分別為10V、10V、103.673mA。雙擊示波器可觀察電壓和電流的波形。圖4.4.11電容元件交流電流電壓測量的仿真

理論值計(jì)算:

故，實(shí)際測量值與理論計(jì)算值相同。

從波形分析儀觀看，如圖4.4.11(b)所示，綠色為A通道，即電容電流波形;紅色為B通道，即電容電壓波形?？梢钥闯?，電容電壓滯后電流90°，與理論分析結(jié)果一致。

4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析

4.5.1串、并、混聯(lián)電路的分析在討論直流電阻電路中我們介紹過等效分析法，如串并聯(lián)等效、電源模型的等效、戴維寧定理和諾頓定理等，這些等效定理在正弦穩(wěn)態(tài)電路問題中仍可使用。

1.阻抗串聯(lián)

圖4.5.1是兩個(gè)阻抗串聯(lián)的電路。根據(jù)圖中的參考方向，可列

出電壓方程:

等效阻抗為圖4.5.1兩個(gè)阻抗串聯(lián)

2.阻抗并聯(lián)

圖4.5.2為兩個(gè)阻抗并聯(lián)的電路。根據(jù)圖中的參考方向，可列圖4.5.2兩個(gè)阻抗并聯(lián)出電流方程:

等效阻抗為圖4.5.2兩個(gè)阻抗并聯(lián)

可見，阻抗的串并聯(lián)等效公式與電阻的串并聯(lián)等效公式相同，串聯(lián)分壓公式與并聯(lián)分流公式都與電阻電路相同，這里不再贅述。

在介紹了單個(gè)元件的相量模型后，就可以運(yùn)用相量和相量模型分析正弦穩(wěn)態(tài)電路了，這種分析方法稱為相量法。先以RLC串聯(lián)電路為例分析相量法的求解過程。

3.電壓和電流的關(guān)系

圖4.5.3(a)為RLC串聯(lián)的交流時(shí)域電路。圖4.5.3(b)為RLC串聯(lián)的交流電路的相量模型。電路中各元件通過同一電流，電流與各個(gè)電壓的參考方向如圖中所示。圖4.5.3串聯(lián)交流電路

根據(jù)KVL可列出電壓方程及其相量形式為

在上一節(jié)分別討論了純電阻、純電感和純電容交流電路的電壓和電流的關(guān)系，那么我們可以在同一個(gè)相量圖上畫出各元件的電壓和總電壓之間的關(guān)系。因?yàn)槭谴?lián)電路，各元

圖4.5.4串聯(lián)交流電路的相量圖件上的電流一樣，因此選擇電流為參考相量比較方便，即假設(shè)電流的初相位為0。圖4.

5.4為電壓相量圖，可見，構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，稱為“電壓三角形”，利用這個(gè)電壓三角形，可求得總電壓的有效值，即圖4.5.4串聯(lián)交流電路的相量圖

由相量圖不難看出，總電壓是各部分電壓的相量之和而不是有效值之和，因此交流電路中總電壓的有效值可能會小于電容或電感電壓的有效值，總電壓小于某部分電壓，這種現(xiàn)象在直流電路中是不可能出現(xiàn)的。

從圖4.5.4和阻抗三角形可看出，φ

Z角的大小是由電路(負(fù)載)的參數(shù)決定的，即φZ角的大小由R、L、C的值決定。隨著電路參數(shù)的不同，電壓u與電流i之間的相位差φZ也不同，即阻抗角也隨之變化。

上面討論的串聯(lián)電路中包含了三種性質(zhì)不同的參數(shù)，是具有一般意義的典型電路。單一參數(shù)交流電路或者只含有某兩種參數(shù)的串聯(lián)電路都可以視為R、L、C串聯(lián)電路的特例。

【例4.5.1】已知ω=104rad/s，求圖4.5.5(a)所示電路的總阻抗Z

ab，并畫出電路的最簡模型。圖4.5.5例4.5.1圖

解因?yàn)樵娐穲D為時(shí)域圖，元件的單位沒有統(tǒng)一，無法計(jì)算，所以要先將時(shí)域圖等效為相量模型。

原電路圖的相量模型如圖4.5.5(b)所示。

可見，電路為感性電路，最簡電路模型如圖4.5.5(c)所示。

【例4.5.2】已知:R1=3Ω，R2=8Ω，XL=4Ω，XC=6Ω，電路模型如圖4.5.6(a)所示，電源電壓u=2202cos314tV。(1)求總電流i、i1和i2;(2)畫相量圖。圖4.5.6例4.5.2圖

解(1)求各電流。

方法一:

方法二:

分流公式為

(2)相量圖如圖4.5.6(b)所示。

4.5.2網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn)分析法用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

一些較為復(fù)雜的電路，求解響應(yīng)特別是一組變量時(shí)同樣可以使用網(wǎng)孔法、回路法、節(jié)點(diǎn)法等方程法。

【例4.5.3】求圖4.5.7所示電路在正弦穩(wěn)態(tài)下電壓源、電流源所發(fā)出的有功功率。已知U·s=10∠0°V，I·s5∠0°A，XL1=2Ω，RC=1Ω，XC=1Ω，RL=2Ω，XL=3Ω。圖4.5.7例4.5.3圖

解此題求電壓源、電流源發(fā)出的有功功率，關(guān)鍵是求電壓源中的電流和電流源兩端的電壓?？闪袑懝?jié)點(diǎn)電壓方程:

代入數(shù)據(jù)，有

電流源發(fā)出的功率為

電壓源中的電流為

電壓源發(fā)出的功率為

R=5Ω，XC=2Ω，XL=5Ω，求各支路電流。圖4.5.8例4.5.4圖

解網(wǎng)孔電流參考方向如圖所示，網(wǎng)孔電流方程為

解得

4.5.3戴維寧定理用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

【例4.5.5】電路如圖4.5.9(a)所示，求Uab

。

解將ab間的支路斷開后，求含源一端口網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。

等效電阻為

由圖4.5.9(b)可得圖4.5.9例4.5.5圖

可見，直流電路中的分析方法在交流電路中仍然適用，解題步驟、思路與直流電路完全一樣，只是計(jì)算過程中都是復(fù)數(shù)的運(yùn)算。該題還可用電源兩種模型的等效變換法求得，

過程如下

將圖4.5.9(a)經(jīng)過等效變換為圖4.5.9(c)，再進(jìn)一步變換為最簡模型，見圖4.5.9(d)，在圖4.5.9(d)中可求出電流:

4.5.4相量圖法

分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)還有一種輔助方法稱為相量圖法。該方法通過作電流、電壓的相量圖求得未知相量。它特別適用于簡單的RLC串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析。

相量圖法的分析步驟如下:

(1)畫出電路的相量模型。

(2)選擇參考相量，令該相量的初相為零。通常，對于串聯(lián)電路，選擇其電流相量作為參考相量;對于并聯(lián)電路，選擇其電壓相量作為參考相量。

(3)從參考相量出發(fā)，利用元件及確定有關(guān)電流和電壓間的相量關(guān)系，定性畫出相量圖。

(4)利用相量圖表示的幾何關(guān)系，求得所需的電壓、電流相量。

【例4.5.6】正弦電路如圖4.5.10(a)所示，電壓表的讀數(shù)為U1=30V，U2=40V，試求電壓源的有效值Us

。

解(1)畫電路的相量模型，如圖4.5.10(b)所示。

(2)因?yàn)槭谴?lián)電路，選擇電流相量為參考相量，可畫出圖4.5.10(c)所示的相量圖。

(3)由圖4.5.10(c)可得出圖4.5.10例4.5.6圖

4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

4.6.1一端口網(wǎng)絡(luò)的功率前面分析過單一元件R、L、C交流電路中的功率，那么當(dāng)電路中同時(shí)含有電阻元件和儲能元件時(shí)，電路的功率既包含電阻元件消耗的功率，又包含儲能元件與電源交換的無功功率。那么對于一般的交流電路來說，它的有功功率和無功功率與電壓電流之間有什么關(guān)系呢?

1.瞬時(shí)功率

對于一般交流電路，寫出它的瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)電流的一般通式，即設(shè)

因?yàn)橄辔徊瞀?θu-θi

，所以瞬時(shí)電流可寫為

則瞬時(shí)功率為

2.有功功率和無功功率

式(4.6.2)就是一般的交流電路中有功功率的通式，是根據(jù)定義從公式推出來的。我們還可以從相量圖上推導(dǎo)出式(4.6.2)，如圖4.6.1所示。在單一參數(shù)交流電路的分析中，當(dāng)電流與電壓同相時(shí)，電路為純電阻電路，只消耗有功功率，沒有無功功率，這時(shí)電路中的電流是用來傳遞有功功率的;當(dāng)電流與電壓的相位差φ為90°時(shí)，電路為純電感電路或純電容電路，只有無功功率，沒有有功功率，這時(shí)電路中的電流是用來傳遞無功功率的。在一般的交流電路中，電流與電壓的相位差φ既不為0°，也不為90°。

這時(shí)可將分解成兩個(gè)分量，其中與同相的分量

是用來傳遞有功功率的，稱為電流的有功分量;與

相位相差90°的分量是用來傳遞無功功率的，稱為電流的無功分量。它們與電流I之間的關(guān)系為

有功分量:

無功分量:

因此可以得出有功功率和無功功率的一般通式:

圖4.6.1電流的有功分量和無功分量

3.視在功率

電壓與電流的有效值的乘積定義為視在功率，用S表示，單位為伏安(V·A)，即

在直流電路里，UI就等于負(fù)載消耗的功率;而在交流電路中，負(fù)載消耗的功率為UIcosφ，所以UI一般不代表實(shí)際消耗的功率，除非cosφ=1。視在功率是用來說明一個(gè)電

氣設(shè)備的容量的物理量。

由式(4.6.2)~式(4.6.4)可以得出三種功率間的關(guān)系為

P、Q、S三者之間符合直角三角形的關(guān)系，如圖4.6.2所示，這個(gè)三角形稱為功率三角形。不難看出，電壓三角形、阻抗三角形和功率三角形是三個(gè)相似直角三角形。圖4.6.2功率三角形

在接有負(fù)載的電路中，不論電路的結(jié)構(gòu)如何，電路總功率與局部功率的關(guān)系如下:

(1)總的有功功率等于各部分有功功率的算術(shù)和。因?yàn)橛泄β适菍?shí)際消耗的功率，所以電路中的有功功率總為正值，并且總有功功率就等于電阻元件的有功功率的算術(shù)和，即

(2)在同一電路中，電感的無功功率為正，電容的無功功率為負(fù)。因此，電路總的無功功率等于各部分的無功功率的代數(shù)和，即

(3)視在功率是功率三角形的斜邊，所以一般情況下總的視在功率不等于各部分視在功率的代數(shù)和，即S≠∑Si，只能用公式進(jìn)行計(jì)算。

【例4.6.1】例4.5.2中，求電路的P、Q、S。

解用三種方法求有功功率。

4.復(fù)功率

工程上為了計(jì)算方便，常把有功功率作為實(shí)部，無功功率作為虛部，組成復(fù)功率，用S~表示，即

因?yàn)棣?θu-θi，所以

由式(4.6.7)和式(4.6.8)不難得到

解各支路的阻抗為

依據(jù)分流公式求各支路電流為

支路復(fù)功率為

總復(fù)功率為圖4.6.3例4.6.2圖

4.6.2功率因數(shù)的提高

在交流電路中，有功功率與視在功率的比值稱為電路的功率因數(shù)，用λ表示，即

因而電壓與電流的相位差φ，也就是阻抗角也被稱為功率因數(shù)角。同樣它是由電路的參數(shù)決定的。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，廣泛使用的異步電動機(jī)、感應(yīng)加熱設(shè)備等都是感性負(fù)載，有的感性負(fù)載功率因數(shù)很低。由平均功率表達(dá)式P=UIcos

φ可知，cosφ越小，由電網(wǎng)輸送給此負(fù)載的電流就越大。這樣一方面占用較多的電網(wǎng)容量，使電網(wǎng)不能充分發(fā)揮其供電能力，又會在發(fā)電機(jī)和輸電線上引起較大的功率損耗和電壓降，因此有必要提高此類感性負(fù)載的功率因數(shù)。

在純電阻電路中，P=S，Q=0，λ=1，功率因數(shù)最高。在純電感和純電容電路中，P=0，Q=S，λ=0，功率因數(shù)最低?？梢娭挥性诩冸娮璧那闆r下，電壓和電流才同相，功率因數(shù)為1;對其它負(fù)載來說，功率因數(shù)都是介于0和1之間。只要功率因數(shù)不等于1，就說明電路中發(fā)生了能量的互換，出現(xiàn)了無功功率Q。因此功率因數(shù)是一項(xiàng)重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，它反映了用電質(zhì)量，從充分利用電器設(shè)備的觀點(diǎn)來看，應(yīng)盡量使λ提高。

1.功率因數(shù)低帶來的影響

(1)發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用。容量SN一定的供電設(shè)備能夠輸出的有功功率為

若cosφ太小，則P值也會很小，設(shè)備的利用率就太低了。

(2)增加線路和供電設(shè)備的功率損耗。負(fù)載從電源取用的電流為

因?yàn)榫€路的功率損耗為P=rI2

，與I2成正比，所以在P和U一定的情況下，cosφ越低，I就越大，供電設(shè)備和輸電線路的功率損耗都會增多。

2.功率因數(shù)低的原因

目前的各種用電設(shè)備中，電感性負(fù)載居多，并且很多負(fù)載如日光燈、工頻爐等本身的功率因數(shù)也很低。電感性負(fù)載的功率因數(shù)之所以小于1，是由于負(fù)載本身需要一定的無功功率，從技術(shù)經(jīng)濟(jì)的觀點(diǎn)出發(fā)，要解決這個(gè)矛盾，實(shí)際上就是要解決如何減少電源與負(fù)載之間能量互換的問題。

3.提高功率因數(shù)的方法

提高功率因數(shù)的常用方法就是在電感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容。以日光燈為例來說明并聯(lián)電容前后整個(gè)電路的工作情況，電路圖和相量圖如圖4.6.4所示。圖4.6.4功率因數(shù)提高

1)并聯(lián)電容前

(1)電路的總電流的有效值為

(2)電路的功率因數(shù)就是負(fù)載的功率因數(shù)，即

(3)電路的有功功率為

2)并聯(lián)電容后

(1)電路的總電流為

(2)電路中總的功率因數(shù)為cosφ。

(3)有功功率為

從相量圖上不難看出，φ<φ1，所以cosφ>cosφ1，功率因數(shù)得到了提高，只要C值選得恰當(dāng)，便可將電路的功率因數(shù)提高到希望的數(shù)值。從公式可以看出，并聯(lián)電容后，負(fù)載的電流I1沒有變，負(fù)載本身的功率因數(shù)cosφ1

沒有變，因?yàn)樨?fù)載的參數(shù)都沒有變，提高功率因數(shù)不是提高負(fù)載的功率因數(shù)，而是提高了整個(gè)電路的功率因數(shù)，這樣對電網(wǎng)而言提高了利用率。這一點(diǎn)是必須要清楚的。因?yàn)橛泄β示褪秦?fù)載消耗的功率，即電阻消耗的功率，因?yàn)殡姼泻碗娙莸挠泄β识紴?，電阻上的電流不變，所以并聯(lián)電容前后的有功功率沒有發(fā)生變化。

如果要將功率因數(shù)提高到希望的數(shù)值，應(yīng)該并聯(lián)多大的電容呢?由相量圖可以求得，如圖4.6.4(b)所示，在相量圖上可以求出IC，即

又因?yàn)?/p>

所以

【例4.6.3】如圖4.6.4(a)所示，R、L串聯(lián)電路為一日光燈模型，已知U=220V，f=50Hz，日光燈功率為40W，額定電流為0.4A。(1)求R、L的值;(2)要使cos

φ提高到0.8，需在日光燈兩端并聯(lián)多大的電容?

還可用無功功率去計(jì)算電容值，即

式中，Q1為并聯(lián)電容器之前的電路的無功功率，Q為并聯(lián)電容器之后的電路的無功功率，QC為電容器提供的無功功率。

又

故

4.7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率傳輸

電源的能量(功率)經(jīng)傳輸?shù)竭_(dá)負(fù)載，在傳輸過程中希望能量損耗越小越好。傳輸線上損耗的功率主要是傳輸線路自身的電阻損耗。當(dāng)傳輸導(dǎo)線選定和傳輸距離一定時(shí)，它的電阻RL

就是一定的。因此，根據(jù)PL=I2RL

關(guān)系可知，要想使傳輸線上的損耗功率PL小，就必須設(shè)法減小傳輸線上的電流。電力系統(tǒng)中高壓遠(yuǎn)距離電能傳輸，上節(jié)討論的功率因數(shù)的提高都是基于這樣的考慮。當(dāng)然，提高功率因數(shù)還為了充分發(fā)揮電源設(shè)備潛在的輸出功率能力。

因?yàn)橐话愕膶?shí)際電源都存在內(nèi)電阻R0，所以功率傳輸過程中還有內(nèi)阻的功率損耗(暫不考慮傳輸線電阻的功率損耗)，負(fù)載獲得的功率PL

將小于電源輸出的功率。定義負(fù)載獲得的功率與電源輸出的功率之比為電源傳輸功率的傳輸效率η，即

可見，為了提高傳輸效率，要盡量減小內(nèi)阻R0。如何提高傳輸效率，是電力工業(yè)中一個(gè)極其重要的問題。

在一些弱電系統(tǒng)中，常常要求負(fù)載能從給定的信號電源中獲得盡可能大的功率，而不過分追求盡可能高的效率。如何使負(fù)載從給定的電源中獲得最大的功率，稱為最大功率傳

輸問題。

圖4.7.1左圖中N為任意線性含源二端網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)戴維寧定理可以將網(wǎng)絡(luò)N等效變換為電壓源U0串聯(lián)內(nèi)阻抗Z0的模型，如圖4.7.1右圖，可調(diào)負(fù)載ZL是實(shí)際用電設(shè)備或器具的等效阻抗，接于二端網(wǎng)絡(luò)N兩端。電源的電能輸送給負(fù)載ZL，再轉(zhuǎn)換為熱能、機(jī)械能等供人們生產(chǎn)、生活中使用。圖4.7.1正弦穩(wěn)態(tài)功率傳輸電路

L獲得功率的大小將隨負(fù)載阻抗而變化。設(shè)電源內(nèi)阻抗(已知)為

負(fù)載阻抗為

由圖4.7.1右圖電路可求得電流相量為

電流的有效值為

負(fù)載吸收的功率

負(fù)載獲得最大功率的條件與其調(diào)節(jié)參數(shù)的方式有關(guān)，下面分兩種情況進(jìn)行討論。

1.負(fù)載的電阻和電抗均可獨(dú)立調(diào)節(jié)

從式(4.7.3)可見，若先將RL保持不變，只改變XL，顯然當(dāng)X0+XL=0時(shí)，PL可以獲得最大值，這時(shí)有

再改變RL，使

PL

獲得最大值的條件是

得R0=RL。因此，負(fù)載獲得最大功率的條件為

或

式(4.7.4)或式(4.7.5)稱為負(fù)載獲得最大功率的共軛匹配條件。將該條件代入式(4.7.3)，得負(fù)載獲得的最大功率為

2.負(fù)載為純電阻

此時(shí)，ZL=RL，RL可變化。因?yàn)榇藭r(shí)式(4.7.3)中的XL

=0，即

式中，Z0

為內(nèi)阻抗的模。式(4.7.8)表明，當(dāng)負(fù)載為純電阻時(shí)，獲得最大功率的條件是負(fù)載電阻與電源的內(nèi)阻抗的模相等，稱此為模匹配。很顯然，與共軛匹配相比較，這時(shí)負(fù)載獲得的功率要小一些。圖4.7.2例4.7.1圖

4.8三相電路

目前，世界各國的電力系統(tǒng)中電能的生產(chǎn)、傳輸和供電方式絕大多數(shù)都采用三相制，它主要是由三相電源、三相負(fù)載和三相輸電線路三部分組成的。三相電源是由三個(gè)同頻、等幅、初相互差120°的正弦交流電源組成的供電系統(tǒng)。與單項(xiàng)交流電路相比，三相交流電路在發(fā)電、輸電和配電等方面具有很多優(yōu)點(diǎn)。

例如，在尺寸相同的情況下，三相發(fā)電機(jī)輸出的功率比單相發(fā)電機(jī)要大;傳輸電能時(shí)，在電氣指標(biāo)相同的情況下，三相交流電路比單相交流電路可節(jié)省導(dǎo)線材料。本節(jié)主要討論三相電源的基本概念、三相電源的連接、三相負(fù)載的連接、對稱三相電路的計(jì)算。

4.8.1三相電路的基本概念

1.三相交流電的概念

三相電源是由三相發(fā)電機(jī)獲得的。圖4.8.1(a)為三相發(fā)電機(jī)的示意圖。由圖可以看出，一臺三相發(fā)電機(jī)主要由轉(zhuǎn)子與定子組成。中間的轉(zhuǎn)子可以轉(zhuǎn)動，它一般由鍛鋼制成，

其上繞有線圈，通直流電產(chǎn)生磁場。四周的定子是固定不動的，它一般由硅鋼片疊成，定子內(nèi)圓凹槽中嵌入三相繞組(線圈)，即AX、BY、CZ，每組線圈稱為一相，分別稱為A相、B相、C相。

每組線圈的匝數(shù)、形狀、尺寸、繞向都是相同的，其中，A、B、C稱為始端，X、Y、Z稱為末端，三相線圈在空間的幾何位置互差120°。同時(shí)，在設(shè)計(jì)、工藝上保證定、

轉(zhuǎn)子間氣隙中的磁通密度沿定子內(nèi)表面的分布是正弦的，最大值在轉(zhuǎn)子磁極的N和S處。

圖4.8.1三相發(fā)電機(jī)示意圖與三相電源模型圖

當(dāng)裝配在轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)子在汽輪機(jī)或水輪機(jī)驅(qū)動下以角速度ω順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在各相繞組的始末端間產(chǎn)生隨時(shí)間按正弦變化的感應(yīng)電壓，這些電壓頻率相同，幅值相同，相位彼此相差120°，相當(dāng)于三個(gè)獨(dú)立的正弦電壓源，其模型如圖4.8.1(b)所示，它們的電壓瞬時(shí)表達(dá)式為

式中，Um為每相電壓的振幅;U為每相電壓的有效值。

由式(4.8.1)寫出的各正弦電壓的向量為圖4.8.2對稱三相電壓的波形圖與向量圖

2.三相電源的連接

三相電源的基本連接方式有兩種:一種是星形接法(或Y形接法)，另一種是三角形接法(或△形接法)。三相電源的星形接法如圖4.8.3所示。它是將三個(gè)電源的末端X、Y、Z連接在一起，從三個(gè)始端A、B、C引出三根導(dǎo)線至負(fù)載。A、B、C三根線俗稱火線，公共端點(diǎn)N稱為三相電源的中性點(diǎn)，簡稱中點(diǎn)或零點(diǎn)。從中性點(diǎn)引出的導(dǎo)線稱為中性線或中線，俗稱零線。這種供電方式稱為三相四線制。

火線到中線間的電壓稱為相電壓，如

就是A相、B相、C相的相電壓?；鹁€與火線之間的電壓稱為線電壓，如

三相電源的三角形接法如圖4.8.4所示。它是將三個(gè)電源的始、末端依次連接在一起，形成一個(gè)三角形回路。由于電壓是對稱的，所以回路電壓為零，即電流為零。從三個(gè)始端A、B、C引出三根導(dǎo)線至負(fù)載。A、B、C三根線俗稱火線，這種供電方式稱為三相三線制，無中性線。圖4.8.3三相電源的星形接法圖4.8.4三相電源的三角形接法

對于如圖4.8.3所示三相電源的星形接法，由KVL由可知，線電壓與相電壓的關(guān)系為

同理，其它兩個(gè)線電壓也有

以上結(jié)果表明:三相電源為星形接法時(shí)，若相電壓對稱，則線電壓也對稱，而且線電壓的有效值是相電壓有效值的倍，即，線電壓超前相電壓30°。

線電壓與相電壓的相量圖如圖4.8.5(a)所示。將三個(gè)線電壓平移后，可知如圖4.8.5(b)所示的另一種形式的相量圖。圖4.8.5對稱三相電壓相量圖

對于如圖4.8.4所示三相電源的三角形接法，相電壓與線電壓是相同的。即

在常見的對稱三相四線制中，它可以提供線電壓和相電壓兩種等級的電壓，我國低壓配電系統(tǒng)規(guī)定三相電路的線電壓為380V，相電壓為220V。所以日常生活中的單相電器

均為220V。

3.三相負(fù)載的連接方式

1)三相負(fù)載的星形接法

生產(chǎn)三相電源的目的是為了給各種負(fù)載供電。設(shè)有三個(gè)負(fù)載ZA、ZB、ZC

，如果它們與三相電源進(jìn)行如圖4.8.6的連接，就稱為負(fù)載的星形連接。若各相負(fù)載相同，即ZA=ZB=ZC=Z，稱為對稱三相負(fù)載。圖4.8.6三相負(fù)載的星形連接

2)三相負(fù)載的三角形接法

如圖4.8.7所示電路，負(fù)載為三角形接法。三相負(fù)載完全相同，稱為對稱三相負(fù)載。圖4.8.7三相負(fù)載的三角形接法

由圖4.8.7所示的電路可知，每相負(fù)載都直接連接在兩端線之間，線電壓就等于相電壓，即有

由于三相電源對稱，三相負(fù)載對稱，因而三相負(fù)載的相電流也對稱，即

根據(jù)KCL，由圖4.8.7可知線電流與相電流的關(guān)系為

同理，其它兩個(gè)線電流也有

以上結(jié)果表明:在三相對稱負(fù)載為三角形接法時(shí)，相電流對稱，線電流也對稱，而且線電流的有效值是相電流有效值的3倍，即，線電流滯后相電流30°。

對稱線電流與相電流的相量圖如圖4.8.8(a)所示。將三個(gè)線電流平移后，可得如圖4.8.8(b