電路分析基礎 課件-第4章直流激勵下的一階動態(tài)電路

第4章直流激勵下的一階動態(tài)電路電容元件電感元件換路定理一階電路的響應4.1電容元件在我們周圍的物質世界中，大家能看到很多容器，如糧倉、油筒、杯子等等。在無線電裝備中，卻有一種與眾不同的容器，在它內部可儲存電荷，我們稱它為電容器。

電容是電子制作中主要的元器件之一，和電阻器一樣幾乎每種電子電路中都離不開它。

電容器是一種儲存電能的元件。認識電容元件電力電容金屬化紙介質電容器（CJ）滌綸電容器（CL）云母電容器（CY）獨石電容器瓷介電容器高頻（CC）低頻（CT）鋁電解電容器（CD）4.1.1電容元件的定義1.電容元件的模型由兩塊金屬極板中間用絕緣介質隔開的平板電容器。當在兩極板上加上電壓后，兩極板就分別積累了等量的正、負電荷，即對電容器進行了充電，每個極板所帶電量的絕對值，叫做電容器所帶的電荷量。

+－

US+q-qE同時，在兩個極板間建立了電場，儲存電場能量。聚積的電荷愈多，所形成的電場就愈強，電容元件所儲存的電場能也就愈大。當電容器兩極板聚積的電荷量改變時，就形成電流。（a）線性電容元件（b）非線性電容元件2.電容元件的q~u特性曲線3.電容元件的符號(a)無極性電容(b)有極性電容4.電容值

單位換算：1F=106μF=1012pF伏特（V）庫侖（C）法拉（F）上式反映了電容元件容納電荷的本領。我們把電荷量q與電壓u的比值稱為電容元件的電容量，簡稱電容。4.1.2電容元件的伏安關系C＋－ui

電容元件兩端的電壓發(fā)生變化時，兩極板積累的電荷也要發(fā)生變化，電路中出現(xiàn)了電荷的移動，便形成電流。表明某一時刻電容電流i的大小取決于電容電壓

u

的變化率，而與該時刻電壓

u

的大小無關。電容是動態(tài)元件。

電容具有隔直流、通交流、通高頻、阻低頻的特性。【練一練】P122習題4-1已知電容C=0.5μF，加在其兩端的電壓求電容的電流i，并畫出其波形圖。解：【練一練】P123習題4-2一個C=10μF的電容，求在下列電壓作用下的電流。（1）

（2）（3）

（4）4.1.3電容元件的儲能電容器兩極板有電壓，介質中就有電場，并儲存電場能量。電容元件的瞬時功率為:若p＞0時，說明電容吸收能量，處于充電狀態(tài)；

若p＜0，則電容處于放電狀態(tài)，向外釋放能量。

這說明電容能儲存能量，它本身并不消耗能量，所以電容是一個儲能元件。4.1.3電容元件的儲能電容儲存的電場能量為：1、電容的串聯(lián)等效uC+-i4.1.4電容元件的串、并聯(lián)等效u1uC2C1u2+++--i-C3+-u3串聯(lián)電容的等效電容的倒數(shù)，等于各個電容的倒數(shù)之和。1、電容的串聯(lián)等效uC+-iu1uC2C1u2+++--i-C3+-u3如果有n個電容串聯(lián)，可推廣為：當n個電容的電容相等，均為C0時，等效電容C為：1、電容的串聯(lián)等效uC+-iu1uC2C1u2+++--i-

如果只有兩個電容器串聯(lián)，其等效電容為:注意：串聯(lián)等效電容

C

比每個電容器的電容都小，這相當于加大了電容器的兩極板間的距離

d，因而電容減小。串聯(lián)每個電容的電壓都小于端口電壓，故當電容器的耐壓不夠時，可將電容器串聯(lián)使用，需注意的是電容小的分得的電壓反而大。iu+-C等效2.電容的并聯(lián)i2i1u+-C1C2ii3C3說明：幾個電容元件并聯(lián)時，其等效電容等于各并聯(lián)電容之和。電容器并聯(lián)時，工作電壓不得超過它們中的最低耐壓。如果有n個電容并聯(lián)，可推廣為：【例4-1】兩個電容器C1和C2，其中C1=200μF，耐壓U1=100V；C2=50μF，耐壓U2=500V。（1）計算兩電容器并聯(lián)使用時的等效電容和耐壓；

（2）計算兩電容器串聯(lián)使用時的等效電容和耐壓。解（1）將兩電容器并聯(lián)使用時耐壓為：U＝U1=100V（2）兩電容器串聯(lián)時【例4-1】兩個電容器C1和C2，其中C1=200μF，耐壓U1=100V；C2=50μF，耐壓U2=500V。（1）計算兩電容器并聯(lián)使用時的等效電容和耐壓；

（2）計算兩電容器串聯(lián)使用時的等效電容和耐壓。解

（2）顯然，q1﹤q2，故串聯(lián)后的電荷量耐壓為:C＝（）并（）【練一練】P123習題4-3分別求S打開和閉合時a、b間的等效電容。已知C1＝C4＝2μF，C2＝C3＝4μF。提示（1）S打開時：C1串C2C3串C4C＝（）串（）（2）S閉合時：C1并C3C2并C4【練一練】P123習題4-5已知U＝18V；C1＝C2＝6μF，C3＝3μF，求等效電容C及U1、U2、U3。4.2電感元件電感元件也是一種儲能元件，其模型為導線繞制的線圈。如發(fā)電機、電動機、變壓器等電氣設備中都有線圈。認識電感元件(a)固定電感(c)磁環(huán)電感(b)色環(huán)電感

(d)貼片電感(e)電抗器4.2.1自感現(xiàn)象i(t)－+e(t)電感線圈

把金屬導線繞在一骨架上構成一實際電感線圈。當電感中通過直流電流時，其周圍只呈現(xiàn)固定的磁感應線，不隨時間而變化；但當線圈中通過交流電流時，即電感元件的電流發(fā)生變化時，磁鏈就隨之變化，變化的磁鏈使線圈中產生感應電動勢，這一現(xiàn)象稱為自感現(xiàn)象。自感現(xiàn)象。這種由于線圈本身電流發(fā)生變化而產生的感應電動勢，稱為自感電動勢。電感線圈是一種抵抗電流變化、儲存磁能的部件。i(t)－+e(t)

(t)＝N(t)磁通量線圈扎數(shù)磁鏈+－u(t)單位：韋伯(Wb)單位：韋伯(Wb)磁鏈L=iN

L稱為自感系數(shù)或電感。線圈匝數(shù)越多，電感越大；線圈單位電流中產生的磁通越大，電感也越大。自感系數(shù)+–uiΦΦ安(A)韋伯(Wb)亨利(H)單位：亨（H）1H=103

mH，1mH

=103

H實際電感線圈的模型L＋－uG+－u(t)iL

繞制線圈的導線總存在一定的電阻，但是實際電感線圈的電阻消耗的能量很小，可以忽略不計，因此可用一個只代表儲存磁場能量的理想化的二端元件——電感元件表示。

在圖示u、i、e假定參考方向的前提下，當通過線圈的磁通或i發(fā)生變化時，線圈中產生感應電動勢為:4.2.2電感元件的伏安關系L+–ui–eL++–uiΦΦ

由法拉第電磁感應定律可知：電路中感應電動勢的大小，跟穿過這一電路磁通量的變化率成正比。電感電壓u

的大小取決于i

的變化率,與i

的大小無關，電感是動態(tài)元件；當i為常數(shù)(直流)時，u=0。電感相當于短路；+-u(t)iL表明4.2.3電感元件的儲能

當選取電感電壓與電流的參考方向一致時，電感元件吸收的瞬時功率為：

電感元件從0到t時間內儲存的磁場能量為:電感元件某一時刻所儲存的磁場能，只與該時刻電流的瞬時值有關，與電感的電壓無關。只要電感中有電流，就儲存有能量?！揪氁痪殹克伎寂c練習4.2-3一個2H的電感，求下列電路作用下的電壓。（1）

（2）（3）

（4）4.3換路定理4.3.1電路的動態(tài)過程及換路定律在含有儲能元件電容、電感的電路中，當電路的結構或元件的參數(shù)發(fā)生改變時，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，需要有一個動態(tài)變化的中間過程，稱為電路的過渡過程（也稱動態(tài)過程）。

在這個狀態(tài)變化的過程中，無論是直流電路還是交流電路，在電路連接方式和元件參數(shù)不變的條件下，只要電源輸出信號的幅值、波形和頻率恒定，各支路電流和各部分電壓也必將穩(wěn)定在一定數(shù)值上，這種狀態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。

圖4-10過渡過程演示電路4.3.1電路的動態(tài)過程及換路定律在含有儲能元件電容、電感的電路中，當電路的結構或元件的參數(shù)發(fā)生改變時，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，需要有一個動態(tài)變化的中間過程，稱為電路的過渡過程（也稱動態(tài)過程）。

在這個狀態(tài)變化的過程中，無論是直流電路還是交流電路，在電路連接方式和元件參數(shù)不變的條件下，只要電源輸出信號的幅值、波形和頻率恒定，各支路電流和各部分電壓也必將穩(wěn)定在一定數(shù)值上，這種狀態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。

圖4-10過渡過程演示電路4.3.1電路的動態(tài)過程及換路定律在含有儲能元件電容、電感的電路中，當電路的結構或元件的參數(shù)發(fā)生改變時，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，需要有一個動態(tài)變化的中間過程，稱為電路的過渡過程（也稱動態(tài)過程）。

在這個狀態(tài)變化的過程中，無論是直流電路還是交流電路，在電路連接方式和元件參數(shù)不變的條件下，只要電源輸出信號的幅值、波形和頻率恒定，各支路電流和各部分電壓也必將穩(wěn)定在一定數(shù)值上，這種狀態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。

圖4-10過渡過程演示電路4.3.1電路的動態(tài)過程及換路定律在含有儲能元件電容、電感的電路中，當電路的結構或元件的參數(shù)發(fā)生改變時，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，需要有一個動態(tài)變化的中間過程，稱為電路的過渡過程（也稱動態(tài)過程）。

在這個狀態(tài)變化的過程中，無論是直流電路還是交流電路，在電路連接方式和元件參數(shù)不變的條件下，只要電源輸出信號的幅值、波形和頻率恒定，各支路電流和各部分電壓也必將穩(wěn)定在一定數(shù)值上，這種狀態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。

圖4-10過渡過程演示電路電路產生過渡過程（動態(tài)過程）的兩個原因：1、內因是電路中存在儲能元件L或C；2、外因是電路的結構或參數(shù)發(fā)生改變，如電路的接通或斷開、電路參數(shù)或電源的突然變化等，一般稱為換路。

通常規(guī)定換路是瞬間完成的。圖4-10過渡過程演示電路即電容器上的電壓uC不能突變；電感線圈中的電流iL不能突變。電感、電容是儲能元件，但能量變化是個漸變過程，不能突變（躍變），也就是說儲能元件在換路瞬間的能量應保持不變。+uC－→iL換路定律設t＝0為換路瞬間，用t＝0_表示換路前一瞬間，t＝0+

表示換路后的一瞬間，換路的時間間隔為零。

從t＝0_到t＝0+

瞬間，電容元件上的電壓和電感元件中的電流不能躍變，用公式可表示為4.3.2電路初始值的計算

換路后最初瞬間的電流i(0+)和電壓u(0+)的數(shù)值稱為初始值。初始值的確定是根據(jù)換路定律進行的，其步驟如下：(1)先求出換路前一瞬間的uC(0－)或iL(0－)。(2)根據(jù)換路定律確定uC(0+）和iL(0+）(3)畫出t＝0+時的等效電路圖，若uC(0+)＝0，電容器相當于短路，用短路線替代；若iL(0+)=0，電感相當于開路，則用開路替代。而若uC(0+)＝U0，電容元件等效為電壓源；iL(0+)＝I0，則電感元件等效為電流源。(4)利用歐姆定律和基爾霍夫定律，確定電路中其他電壓、電流在t＝0+時的初始值。【例4-4】圖示電路中，已知US＝10V，R1＝2kΩ，R2＝5kΩ，開關S閉合前，電容兩端電壓為零，求開關S閉合后各元件電壓和各支路電流的初始值。

解

選定有關電流和電壓的參考方向，如圖所示，S閉合前：uC(0－)＝0開關閉合后，根據(jù)換路定律

uC(0+)=

uC(0－)＝0在t＝0+時刻，根據(jù)基爾霍夫定律，有由于uC（0+）＝0解

根據(jù)以上電壓值求得電流如下：【例4-4】圖示電路中，已知US＝10V，R1＝2kΩ，R2＝5kΩ，開關S閉合前，電容兩端電壓為零，求開關S閉合后各元件電壓和各支路電流的初始值。

4.4一階電路的響應在電路分析中，通常電源（包括信號源）提供給電路的輸入信號統(tǒng)稱為激勵，簡單地說，施加于電路的信號就是激勵。

對激勵作出的反應稱為響應，即電路在激勵作用下所產生的電壓和電流。在動態(tài)電路中，只含有一個獨立動態(tài)元件（儲能元件）的電路稱為一階電路。通常有RC和RL一階電路兩大類。所謂一階電路響應，就是只含有一種儲能元件的電路在激勵后所產生的反應。

一階電路的響應可歸納為零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應三種情況。4.4.1一階電路的零輸入響應若輸入激勵信號為零，僅由儲能元件的初始儲能所激發(fā)的響應，稱為零輸入響應。1．RC電路的零輸入響應RC零輸入電路RC電路的零輸入響應，實質上就是指具有一定原始能量的電容元件在放電過程中，電路中電壓和電流的變化規(guī)律。根據(jù)換路定律，當電容元件原來已經(jīng)充有一定能量，電路發(fā)生換路時，由于電容兩端的電壓不能突變，而是由原來的電壓值開始連續(xù)的增加或減少，但電容元件中的充放電電流是可以躍變的。1．RC電路的零輸入響應RC零輸入響應波形圖

τ＝RC稱為電路的時間常數(shù)。它是影響一階電路電壓、電流衰減或增加速度的參數(shù)。

不論R、C及US的值如何，RC一階電路中的響應都是按指數(shù)規(guī)律變化的，如圖所示。由此可推論：RC一階電路的零輸入響應規(guī)律是指數(shù)規(guī)律。電容元件上的放電電流在橫軸下方，說明電流是負值，因為它與電壓為非關聯(lián)方向。1．RC電路的零輸入響應不同τ值情況下的uC變化曲線RC一階電路放電速度的快慢則取決于時間常數(shù)τ。

實驗證明：τ越大，放電過程進行得越慢；τ越小，放電過程進行得越。顯然，時間常數(shù)τ=RC是反映過渡過程進行快慢程度的物理量。電容電壓隨時間衰減表時間t1τ2τ3τ4τ5τe-t/τ值e-1e-2e-3e-4e-5uC(t)值0.368US0.135US0.050US0.018US0.007US

時間常數(shù)τ是過渡過程經(jīng)歷了總變化量的63.2%所需要的時間，其單位為秒(s)。2．RL電路的零輸入響應RL零輸入電路t<0時，通過電感中的電流為I0。

設在t＝0時開關S閉合，根據(jù)換路定律電感中仍有初始電流I0，即iL(0+)=I0，此電流將在RL回路中逐漸衰減，最后變?yōu)榱?。RL串聯(lián)電路的零輸入響應是指輸入信號或激勵為零時電路中電壓和電流的變化規(guī)律。2．RL電路的零輸入響應RL零輸入電路

根據(jù)圖示電路中電壓和電流的參考方向及元件的伏安關系，可列寫出KVL方程：2．RL電路的零輸入響應RL零輸入響應波形圖

當t≥0時，電阻元件兩端的電壓為電感元件兩端的電壓為電路中響應的波形如圖所示，顯然它們也是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的曲線。小結(1)一階電路的零輸入響應都是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減到零的，這實際上反映了在沒有電源作用的條件下，儲能元件的原始能量逐漸被電阻消耗掉的物理過程。(2)零輸入響應取決于電路的原始能量和電路的特性，RC電路中電容放電時的電容電壓uC和RL電路中電感與電源斷開后的電感電流iL的響應可用式統(tǒng)一表達。(3)原始能量增大A倍，則零輸入響應將相應增大A倍，這種原始能量與零輸入響應的線性關系稱為零輸入線性。4.4.2一階電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應，是指儲能元件的初始能量等于零，僅在外激勵作用下引起的電路響應（電壓和電流）。1．RC電路的零狀態(tài)響應RC零狀態(tài)電路

電容的初始能量為零時稱為零狀態(tài)。實際上，零狀態(tài)響應研究的是RC電路充電過程中響應的變化規(guī)律。

開關S未閉合時，電容的初始儲能為零，即uC(0－)=0。開關S閉合后，電源通過電阻對電容器進行充電。1．RC電路的零狀態(tài)響應式中的uC(∞)是充電過程結束時電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，數(shù)值上等于電源電壓值。RC零狀態(tài)響應規(guī)律

根據(jù)KVL，可列出方程：

求解方程可得到：1．RC電路的零狀態(tài)響應顯然，一階電路的零狀態(tài)響應規(guī)律也符合指數(shù)規(guī)律。如圖所示。RC零狀態(tài)響應規(guī)律充電開始前，uc（0-）=0，由于電容電壓不能躍變，故充電開始時，uc（0+）=uc（0-）=0；隨著充電過程的進行，電容電壓按指數(shù)規(guī)律增長，經(jīng)過（3~5）τ時間后，過渡過程基本結束，電容電壓uc（∞）=US，電路達到穩(wěn)態(tài)。充電電流也衰減到零。由于電容的基本工作方式是充、放電，因此電容支路的電流不是放電電流就是充電電流，即電容電流只存在于過渡過程中，只要電路達到穩(wěn)態(tài)，iC必定等于零，故在電容充電過程中，iC仍按指數(shù)規(guī)律衰減。由于充電過程中電壓、電流為關聯(lián)方向，故iC曲線在橫軸上方。2．RL電路的零狀態(tài)響應RL零狀態(tài)電路

在t＝0時開關閉合。換路前電感中的電流為零，根據(jù)換路定律，換路后t＝0+瞬間iL(0+)=iL(0－)=0。由于此時電流為零，因此電阻上的電壓uR=0，由KVL可知，此時電感元件兩端的電壓uL(0+)=US。當達到穩(wěn)態(tài)后，自感電壓uL一定為零，電路中電流將由零增至US/R后保持恒定。2．RL電路的零狀態(tài)響應RL零狀態(tài)響應規(guī)律電阻電壓為電感電壓為

或

在過渡過程中，自感電壓uL是按指數(shù)規(guī)律衰減的，而電流iL則是按指數(shù)規(guī)律上升的，電阻兩端電壓uR始終與電流成正比，從零增至US。小結RC電路中電容充電時的電容電壓uC，以及RL電路中電感接通電源后電感電流iL的響應規(guī)律為上式是零狀態(tài)響應規(guī)律表達式，即零狀態(tài)響應的uC和iL是按指數(shù)規(guī)律增加的。4.4.3一階電路的完全響應

若電路中動態(tài)元件為非零初始狀態(tài)，且又有外輸入激勵，在二者的共同作用下所引起的電路響應稱為一階電路的全響應。

對于線性電路，從電路換路后的能量來源推知：電路的全響應必然是其零輸入響應與零狀態(tài)響應的疊加。RC全響應電路(a)(b)(c)RC全響應電路在圖

(b)中，零輸入響應為在圖

(c)中，零狀態(tài)響應為將上述二者疊加即得全響應為一階電路的全響應f(t)均為零輸入響應加零狀態(tài)響應

其中，f(0+)為所求響應的初始值，f(∞)為響應的穩(wěn)態(tài)值，它表示在直流電源作用下，t→∞時的響應值?！纠?-7】如圖4-21所示電路，在t＝0時S閉合。已知US=9V，uC(0－)=12V，C＝1mF，R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，試求t≥0時的uC和iC。圖4-21例4-7圖解

(1)首先求零輸入響應uC1。當輸入為零時，uC將從其初始值12V開始按指數(shù)規(guī)律衰減，可求得零輸入響應為：其中，【例4-7】如圖4-21所示電路，在t＝0時S閉合。已知US=9V，uC(0－)=12V，C＝1mF，R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，試求t≥0時的uC和iC。圖4-21例4-7圖解(2)再求零狀態(tài)響應uC2。電容初始狀態(tài)為零時，在9V電源的作用下引起的電路響應【例4-7】如圖4-21所示電路，在t＝0時S閉合。已知US=9V，uC(0－)=12V，C＝1mF，R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，試求t≥0時的uC和iC。圖4-21例4-7圖解

因此全響應為

其