《電磁場與電磁波》課件-第3.3節(jié)

3.3鏡像法

本節(jié)要點鏡像法點電荷與平面邊界點電荷與球面邊界

線電荷的鏡像1.鏡像法(imagemethod)鏡像----暫時忽略邊界的存在，在所求的區(qū)域之外放置虛擬電荷來代替實際導(dǎo)體表面上復(fù)雜的電荷分布來進(jìn)行計算，這個虛擬的電荷被稱為實際電荷的鏡像。原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊界條件。鏡像法---唯一性定理的應(yīng)用電荷產(chǎn)生的電位在源點外一定滿足拉普拉斯方程。原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊界條件，以決定鏡像電荷的大小及位置。注意！鏡像電荷是虛擬電荷鏡像電荷置于所求區(qū)域之外導(dǎo)電體的表面是等位面

2.點電荷與平面邊界無限大導(dǎo)電平面上方d處有一點電荷q，則導(dǎo)電平面對點電荷的影響可以用置于導(dǎo)電平面下方的鏡像電荷-q來代替，空間任一點P處的電位為顯然，電位函數(shù)在上半平面（除點電荷所在的點外）均滿足拉普拉斯方程；在邊界分界平面上，電位函數(shù)滿足邊界條件。根據(jù)唯一性定理，上式必是我們所求問題的解。r2d-qdr1zxqP(1)鏡像電荷的確定若兩平面的夾角為

，而360

/

=n（偶數(shù)），則可以用鏡像法求解，且鏡像電荷數(shù)為n-1。若360

/

不是偶數(shù)，則鏡像電荷就會出現(xiàn)在所求區(qū)域之內(nèi)，這將改變該區(qū)域內(nèi)電位所滿足的方程，因而不能用鏡像法求解。鏡像電荷的數(shù)目對于平面邊界，鏡像電荷位于與實際電荷關(guān)于邊界對稱的位置上，且其兩者大小相等、符號相反。[例3-1]

兩平面夾角為，解：

所求點P(x,y,z)的電位：在（3，5，0）點的電位和電場強(qiáng)度分別為

：自由空間垂直放置的兩無限大導(dǎo)電平面，電量為100nC的點電荷置于（3，4，0），求（3，5，0）點的電位和電場強(qiáng)度。其中3.點電荷與球面邊界由電位函數(shù)在球表面處滿足電位為零的邊界條件，求出

自由空間中一接地導(dǎo)體球半徑為a，一點電荷q置于距球心距離d處。計算導(dǎo)體球的表面電荷密度。解：由于導(dǎo)電球面彎曲，因此鏡像電荷在數(shù)量上一般不等于真實電荷q，假設(shè)為-mq；其位置應(yīng)在球內(nèi)，且位于球心與實際電荷的連線上。任意點的電位為點電荷與球面邊界(續(xù))導(dǎo)體球的表面電荷密度

顯然，只有當(dāng)真實電荷在球面上時，鏡像電荷在數(shù)量上才等于真實電荷。當(dāng)電荷遠(yuǎn)離球體移動時，鏡像電荷則趨向于球心。

如果導(dǎo)體球不接地,結(jié)果又如何?q-mqmq點電荷與球面邊界4.線電荷的鏡像自由空間中無限長接地導(dǎo)體圓柱半徑為a，一個線電荷密度為

l的無限長帶電直線置于離圓柱軸線距離d處，求圓柱外空間任一點處的電位。

分析：導(dǎo)體圓柱在帶電線的作用下，在柱面上出現(xiàn)感應(yīng)電荷。假設(shè)感應(yīng)電荷為-

l

；其位置在距原點b處，則柱外任意點P處的電位為

電位函數(shù)在圓柱表面處滿足電位為零的邊界條件，即在

=a處對任意角度有在導(dǎo)體圓柱表面電場強(qiáng)度的切向分量等于零，即

（1）邊界條件（2）結(jié)果此時圓柱外空間任一點處的電位為

圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為

單位長度圓柱上的感應(yīng)電荷為

感應(yīng)電荷的總量與鏡像電荷的大小相等。鏡像法的本質(zhì)就是用集中鏡像電荷代替分布感應(yīng)電荷的作用。

線電荷的鏡像[例3-2]

兩半徑均為a的無限長平行雙導(dǎo)線，導(dǎo)線間距為D，若導(dǎo)線間電壓為U，求空間任一點的電位和單位長度的電容。利用接地導(dǎo)體圓柱的鏡像（上面的分析）得以原點為參考點，線電荷在任意點處的電位分別為

右、左邊圓柱上任一點的電位為

任意點P處的