高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第八章　8.4　8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第八章8.48.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系含答案8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系,理解異面直線的定義.2.了解直線與平面間的位置關(guān)系,能判斷它們之間的位置關(guān)系.3.了解平面與平面間的位置關(guān)系,能判斷它們之間的位置關(guān)系.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象直觀想象、邏輯推理直觀想象、邏輯推理一、空間中兩條直線的位置關(guān)系共面直線相交直線在同一個平面內(nèi),有且只有一個公共點平行直線在同一個平面內(nèi),沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線,沒有公共點【教材挖掘】(P129)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎?提示:不一定.可能平行、相交或異面.【版本交融】(人BP99嘗試與發(fā)現(xiàn))在立體幾何中怎樣作異面直線的直觀圖?提示:通常用一個平面或兩個平面襯托,如圖:二、空間中直線與平面的位置關(guān)系在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點在平面外相交有且只有一個公共點平行沒有公共點【教材挖掘】(P129)“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎?提示:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.三、空間中平面與平面的位置關(guān)系平行沒有公共點,記作:α∥β相交有一條公共直線【教材挖掘】(P130)兩本書所在的平面可以相交嗎?公共點的個數(shù)是多少?提示:可以,有無數(shù)個公共點.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩條異面直線一定在兩個不同的平面內(nèi).(√)(2)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線,則b與c是異面直線.(×)提示:b與c可能是相交、平行或異面直線.(3)若直線l上有無數(shù)個點都在平面α外,則直線l與平面α平行.(×)提示:直線l與平面α相交或平行.(4)若兩個平面都平行于同一條直線,則這兩個平面平行.(×)提示:兩個平面平行或相交.類型一空間中直線與直線的位置關(guān)系(直觀想象)【典例1】(1)若直線a∥b,b∩c=A,則a與c的位置關(guān)系是()A.異面 B.相交 C.平行 D.異面或相交【解析】選D.若a∥c,因為a∥b,所以b∥c,這與b∩c=A矛盾,所以a與c不可能平行,但a與c異面、相交都有可能.(2)(多選)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點,以下結(jié)論正確的是()A.直線DM與CC1是相交直線B.直線AM與NB是平行直線C.直線MN與CD1是平行直線D.直線AM與DD1是異面直線【解析】選ACD.A中直線DM與直線CC1在同一平面內(nèi),它們不平行,必相交,故結(jié)論正確.C中MN是△CD1C1的中位線,故結(jié)論正確.D中的兩條直線既不相交也不平行,即為異面直線,故結(jié)論正確.B中AM與BN是異面直線,故結(jié)論不正確.【總結(jié)升華】空間兩直線位置關(guān)系的判斷(1)判定兩條直線是平行或相交直線,可用平面幾何的方法.(2)判定兩條直線是異面直線的方法:①定義法:即利用異面直線的定義來判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi);②排除法:判斷兩直線既不平行也不相交.【即學(xué)即練】1.三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有()A.3對 B.4對 C.5對 D.6對【解析】選A.三棱錐A-BCD的六條棱所在直線中,成異面直線的有AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對.2.(多選)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列結(jié)論正確的為()A.直線A1B與直線D1C平行B.直線A1B與直線B1C相交C.直線D1D與直線D1C異面D.直線AB與直線B1C異面【解析】選AD.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,所以A1B∥D1C.直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi),A1B與B1C異面.直線D1D與直線D1C相交于點D1.直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi),AB與B1C異面.類型二空間中直線與平面的位置關(guān)系(直觀想象、邏輯推理)【典例2】(教材P131T3改編)下列說法正確的是()A.若直線a在平面α外,則a∥αB.若直線a∥b,b?平面α,則a∥αC.若直線a∥平面α,則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線D.若直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則a∥α【解析】選C.直線a在平面α外包括兩種情況,即a∥α或a與α相交,所以a和α不一定平行,故A不正確.因為直線a∥b,b?平面α,只能說明a和b無公共點,但a可能在平面α內(nèi),所以a不一定平行于α,故B不正確.對于C,比如在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥平面ABCD,A1D1∥AD,所以平面ABCD內(nèi)任一條平行于AD的直線都與A1D1平行,故C正確.對于D,當(dāng)a?α?xí)r,α內(nèi)也存在無數(shù)條直線與直線a平行,故D不正確.【總結(jié)升華】直線與平面位置關(guān)系的判斷的關(guān)注點(1)通法:要判斷直線在平面內(nèi),只要判斷直線上兩點在平面內(nèi);要判斷直線與平面相交,只需說明直線與平面只有一個公共點;要判斷直線與平面平行,則必須說明直線與平面沒有公共點.(2)巧法:借助模型(正方體、長方體等).(3)提醒:判斷直線與平面的位置關(guān)系時不要遺漏直線在平面內(nèi)的情況.【即學(xué)即練】下列說法中,正確的個數(shù)是()①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條直線也和這個平面相交;②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線,有一個平面與另一條直線平行;③兩條相交直線,其中一條與一個平面平行,則另一條一定與這個平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.易知①正確,②正確.③中兩條相交直線中一條與平面平行,另一條可能平行于平面,也可能與平面相交,故③錯誤.類型三空間中平面與平面的位置關(guān)系(直觀想象、邏輯推理)【典例3】(易錯·對對碰)(1)已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,且這兩條直線平行,則這兩個平面的位置關(guān)系是____________;

(2)已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,且這兩條直線相交,則這兩個平面的位置關(guān)系是__________;

(3)已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,且這兩條直線異面,則這兩個平面的位置關(guān)系是____________.

【解析】(1)如圖,兩平面有平行或相交兩種情況.(2)因為分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線相交,所以兩平面是相交的.(3)如圖,a?α,b?β,a,b異面.由圖知這兩個平面可能平行,也可能相交.答案:(1)平行或相交(2)相交(3)平行或相交【總結(jié)升華】1.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷,主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點;(2)平面與平面平行的判斷,主要是說明兩個平面沒有公共點.2.常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行;(2)長方體(正方體)的六個面中,三組相對面平行.【即學(xué)即練】1.若兩個平面互相平行,則分別在這兩個平行平面內(nèi)的直線()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面【解析】選D.兩個平面內(nèi)的直線必?zé)o交點,所以是異面或平行.2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,BB1的中點,則平面AA1D1D與平面BNC的位置關(guān)系是__________,平面AMD1與平面BNC的位置關(guān)系是__________.

【解析】因為平面BNC即平面BB1C1C,所以平面AA1D1D與平面BNC平行,平面AMD1與平面BNC相交.答案:平行相交【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1,在圖甲中,E,F分別是D1C1,B1B的中點,請畫出圖甲、圖乙中有陰影的平面與平面ABCD的交線.【解析】在圖甲中,過點E作EN平行于BB1交CD于點N,連接NB,并延長交EF的延長線于點M,連接AM,則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.在圖乙中,延長DC,過點C1作C1M∥A1B交DC的延長線于點M,連接BM,則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.教材深一度異面直線的判定定理(源于教材例題2)【判定定理】過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線(如圖).【典例4】如圖,若P是△ABC所在平面外一點,PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M為AB的中點,求證:PN與MC為異面直線.【證明】方法一(用異面直線的判定定理):因為PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M是AB的中點,所以點N與點M不重合.因為N∈平面ABC,P?平面ABC,CM?平面ABC,N?CM,所以PN與MC為異面直線.方法二(用反證法):假設(shè)PN與MC不是異面直線,則存在一個平面α,使得PN?α,MC?α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.因為PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M是AB的中點,所以點M與點N不重合.因為M∈α,N∈α,所以直線MN?α.因為A∈MN,B∈MN,所以A∈α,B∈α,即A,B,C,P四點均在平面α內(nèi),這與點P在平面ABC外相矛盾.所以假設(shè)不成立.故PN與MC為異面直線.

8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握基本事實4,會用其解決相關(guān)直線與直線平行問題.2.理解等角定理,會用其解決角相等或互補(bǔ)問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象直觀想象、邏輯推理一、基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.【教材挖掘】(P134)在平面幾何中,證明兩直線平行的常用結(jié)論有哪些?提示:三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對邊平行等.【版本交融】(人BP97嘗試與發(fā)現(xiàn))初中所學(xué)的結(jié)論“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”,在空間中是否仍成立?初中所學(xué)的結(jié)論“在同一平面內(nèi),如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行”,如果去掉條件“在同一平面內(nèi)”,結(jié)論是否仍成立?提示:這兩個結(jié)論在空間中仍成立.【教材深化】該事實也稱平行定理,它給出了空間兩條直線平行的依據(jù),說明直線的平行關(guān)系具有傳遞性,也稱空間直線可以平移.二、等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).【教材挖掘】(P134)若兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,且兩個角的開口方向相同,那么這兩個角的關(guān)系是什么?提示:相等.【版本交融】(蘇教P170思考)如果∠BAC和∠B1A1C1的邊AB∥A1B1,AC∥A1C1,且邊AB與A1B1方向相同,而邊AC與A1C1方向相反,那么,∠BAC和∠B1A1C1之間有何關(guān)系?提示:互補(bǔ).【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)分別與異面直線平行的兩條直線也是異面直線.(×)提示:也可能是相交直線.(2)相等或互補(bǔ)的角的兩邊分別平行.(×)提示:無法判斷兩條邊的位置關(guān)系.(3)對于空間直線a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d.(√)(4)如果兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.(√)類型一空間中直線平行的判定(直觀想象)【典例1】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱C1D1,A1D1的中點.求證:四邊形MNAC為梯形.【證明】如圖,連接A1C1,在△A1C1D1中,因為M,N分別是C1D1,A1D1的中點,所以MN是△A1C1D1的中位線,所以MN∥A1C1,MN=12A1C1因為AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥AC,且MN=12AC,即MN≠AC所以四邊形MNAC為梯形.【總結(jié)升華】證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法:三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等.(2)定義法:用定義證明兩條直線平行,一是兩條直線在同一平面內(nèi);二是兩條直線沒有公共點.(3)基本事實4:用基本事實4證明a,c兩條直線平行,只需找到直線b,使得a∥b,同時b∥c,由基本事實4即可得到a∥c.【即學(xué)即練】(教材P134例1改編)如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,AC⊥BD,求證:四邊形EFGH為矩形.【證明】因為E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,所以EH∥BD,FG∥BD,且EH=FG=BD2所以四邊形EFGH為平行四邊形.又因為AC⊥BD,HG∥AC,EH∥BD,所以EH⊥HG,所以四邊形EFGH為矩形.類型二等角定理的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例2】(教材P135T4改編)如圖,已知線段AA1,BB1,CC1交于點O,且OAOA1=OBOB1=OCOC1,求證:△【證明】因為AA1與BB1交于點O.且OAOA1=OBOB1,所以同理A1C1∥AC,B1C1∥BC.又因為A1B1和AB,A1C1和AC方向相反,所以∠BAC=∠B1A1C1,同理∠ABC=∠A1B1C1.所以△ABC∽△A1B1C1.【總結(jié)升華】關(guān)于等角定理的應(yīng)用(1)根據(jù)空間中