高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時(shí)過程性評價(jià)三十七　平面與平面垂直(2)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時(shí)過程性評價(jià)三十七平面與平面垂直(2)含答案三十七平面與平面垂直(2)(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)設(shè)平面α與平面β的交線為l,則“α內(nèi)存在直線m⊥l”是“α⊥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由題意可得α∩β=l,m?α,①若m⊥l,則α⊥β或α與β相交不垂直,所以充分性不成立;②若α⊥β,由面面垂直的性質(zhì)定理可得,α內(nèi)存在直線m⊥l,所以必要性成立,故“α內(nèi)存在直線m⊥l”是“α⊥β”的必要不充分條件.2.(5分)(多選)若α⊥β,α∩β=l,點(diǎn)P∈α,P?l,則下列命題中正確的為()A.過點(diǎn)P垂直于l的平面垂直于βB.過點(diǎn)P垂直于l的直線垂直于βC.過點(diǎn)P垂直于α的直線平行于βD.過點(diǎn)P垂直于β的直線在α內(nèi)【解析】選ACD.當(dāng)過點(diǎn)P垂直于l的直線不在α內(nèi)時(shí),直線與β不垂直,故B不正確;其他選項(xiàng)均正確.3.(5分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E,作EF⊥A1B1于F,則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A.平行B.EF?平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.垂直【解析】選D.由于正方體中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,所以根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知,EF與平面A1B1C1D1相交且垂直.4.(5分)已知直線a和平面α,β有如下關(guān)系:①α⊥β,②α∥β,③a⊥β,④a∥α,則下列命題為真的是()A.①③?④ B.①④?③C.③④?① D.②③?④【解析】選C.對于A,由α⊥β,a⊥β,可得a∥α或a?α,故A錯誤;對于B,由α⊥β,a∥α,可得a?β或a∥β或a與β相交,故B錯誤;對于C,由a∥α,過a作平面γ與α相交,交線為b,則a∥b,因?yàn)閍⊥β,所以b⊥β,而b?α,可得α⊥β,故C正確;對于D,由α∥β,a⊥β,可得a⊥α,故D錯誤.5.(5分)(2024·上海高一檢測)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)P為線段B1D1上的點(diǎn),則滿足C1P⊥平面BDD1B1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【解析】選B.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面A1B1C1D1,所以平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1,且平面BDD1B1∩平面A1B1C1D1=B1D1,連接A1C1,交B1D1于P,則有A1C1⊥B1D1,即C1P⊥B1D1,由面面垂直的性質(zhì)定理有C1P⊥平面BDD1B1,又在平面A1B1C1D1內(nèi)過點(diǎn)C1作直線B1D1的垂線有且僅有一條,故垂足點(diǎn)P有且僅有一個(gè).6.(5分)(多選)如圖,點(diǎn)P為四邊形ABCD外一點(diǎn),平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E為AD的中點(diǎn),則下列結(jié)論一定成立的是()A.PE⊥ACB.PE⊥BCC.平面PBE⊥平面ABCDD.平面PBE⊥平面PAD【解析】選ABC.因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以A,B結(jié)論一定成立.又PE?平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以C結(jié)論一定成立.若平面PBE⊥平面PAD,則AD⊥平面PBE,必有AD⊥BE,此關(guān)系不一定成立.7.(5分)平面α⊥平面β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直線m⊥α,則直線m與n的位置關(guān)系是__________.

【解析】因?yàn)棣痢挺?α∩β=l,n?β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n.答案:平行8.(5分)如圖,在三棱錐P-ABC內(nèi),側(cè)面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,則PB=__________.

【解析】因?yàn)閭?cè)面PAC⊥底面ABC,交線為AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB=PA2+AB答案:59.(5分)如圖所示,等邊△ABS所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直,則直線SC與平面ABS所成的角為__________.

【解析】因?yàn)槠矫鍭BS⊥平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB,CB?平面ABCD,CB⊥AB.所以CB⊥平面ABS.所以∠BSC是直線SC與平面ABS所成的角.因?yàn)镾B=AB=BC,CB⊥SB,所以∠BSC=45°,所以直線SC與平面ABS所成的角為45°.答案:45°10.(10分)如圖,在六面體ABCDEF中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=12CD=1,四邊形ADEF是正方形,平面ADEF⊥平面證明:平面BCE⊥平面BDE.【證明】因?yàn)锳B∥CD,AB⊥AD且AB=AD=12CD=1,所以BD=BC=2,CD=2,所以BC⊥BD因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,又因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形,ED⊥AD,ED?平面ADEF,所以ED⊥平面ABCD,因?yàn)锽C?平面ABCD,所以BC⊥ED,因?yàn)锽D,ED?平面BDE,BD∩ED=D,所以BC⊥平面BDE,因?yàn)锽C?平面BCE,所以平面BCE⊥平面BDE.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(多選)已知平面α⊥平面β,且平面α與平面β相交于直線l,直線a?α,直線b?β,a,b與l不重合,則下列結(jié)論正確的是()A.若a∥b,則a∥l,b∥lB.若a⊥b,則a⊥l,且b⊥lC.若直線a,b都不平行于直線l,則直線a必不平行于直線bD.若直線a,b都不垂直于直線l,則直線a必不垂直于直線b【解析】選ACD.對于A,因?yàn)槠矫姒痢推矫姒?且平面α與平面β相交于直線l,a?α,a與l不重合,所以a?β,又a∥b,b?β,所以a∥β,又平面α與平面β相交于直線l,a?α,所以a∥l,同理b∥l,故A正確.對于B,若a⊥b,而平面α⊥平面β,平面α∩平面β=l,a?α,若a⊥l,則a⊥平面β,則b與l可能平行,也可能相交,故B錯誤.對于C,假設(shè)a∥b,由A可知a∥l,b∥l,與已知矛盾,故假設(shè)不成立,故C正確.對于D,假設(shè)a⊥b,因?yàn)橹本€a,b都不垂直于直線l,所以在平面α內(nèi),存在直線c⊥l,且c與a相交,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,可知c⊥β,而b?β,所以c⊥b,而a⊥b,a與c相交,所以b⊥α,又l?α,所以b⊥l,這與已知矛盾,故假設(shè)不成立,故D正確.12.(5分)已知三棱錐P-ABC的高為PH,若三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則H為△ABC的()A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心【解析】選C.如圖,由題意易知AP⊥平面PBC.因?yàn)锽C?平面PBC,所以AP⊥BC.因?yàn)镻H⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PH⊥BC.又AP∩PH=P,所以BC⊥平面APH.又AH?平面APH,所以AH⊥BC.同理可得CH⊥AB.故H為△ABC的垂心.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影點(diǎn)H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC內(nèi)部(不包括邊界)【解析】選A.連接AC1(圖略).因?yàn)锳C⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1?平面ABC1,所以AC⊥平面ABC1.又因?yàn)锳C?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以點(diǎn)C1在平面ABC上的射影點(diǎn)H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上.13.(5分)在三棱柱ABC-A'B'C'中,側(cè)面A'ACC'是垂直于底面的菱形,BC⊥A'C',則A'B與AC'所成角的大小為__________.

【解析】因?yàn)锽C⊥A'C',A'C'∥AC,所以BC⊥AC.因?yàn)槠矫鍭'ACC'⊥平面ABC,平面A'ACC'∩平面ABC=AC,所以BC⊥平面A'ACC',所以BC⊥AC'.因?yàn)樗倪呅蜛'ACC'為菱形,所以AC'⊥A'C.因?yàn)锽C∩A'C=C,所以AC'⊥平面A'CB,所以AC'⊥A'B.所以A'B與AC'所成的角為90°.答案:90°【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點(diǎn).若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,則線段MN的長等于__________.

【解析】如圖,取CD的中點(diǎn)G,連接MG,NG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD,四邊形DCEF為正方形,且邊長為2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=2.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG,所以MN=MG2+答案:614.(10分)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上,且CF=1.求證:EF⊥A1C.【證明】過點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N,連接NF,AC1,如圖,由正三棱柱的性質(zhì)可知,平面ABC⊥平面A1ACC1,所以EN⊥平面A1ACC1,又因?yàn)锳1C?平面A1ACC1,所以EN⊥A1C,因?yàn)镋為等邊△ABC的邊BC的中點(diǎn),所以CE=2,在Rt△CNE中,CN=CE·cos60°=2×12則CNCA=CFCC1=14,所以又在正方形ACC1A1中,AC1⊥A1C,故NF⊥A1C,因?yàn)镹F∩EN=N,NF,EN?平面EFN,所以A1C⊥平面EFN,所以EF⊥A1C.15.(10分)(2024·成都高一檢測)如圖,四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,BC=2CD=2AD=22,平面ABCD⊥平面PAC.(1)證明:PC⊥AB;(2)若PA=PC=52AC,M是PA的中點(diǎn),求三棱錐C-PBM的體積【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,BC=2CD=2AD=22,四邊形ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AC=CD2+AD于是AC2+AB2=8=BC2,即AB⊥AC,而平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,AB?平面ABCD,則AB⊥平面PAC,又因?yàn)镻C?平面PAC,所以PC⊥AB.(2)取AC的中點(diǎn)E,連接PE,由PA=PC=52AC=5,得PE⊥AC,PE=P由平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,PE?平面PAC,得PE⊥平面ABCD,由M是PA的中點(diǎn),得點(diǎn)M到平面ABCD的距離d=12PE=1,又S△ABC=12AB·顯然S△PBM=S△ABM,所以三棱錐C-PBM的體積VC-PBM=VC-ABM=VM-ABC=13S△ABC·d=2三十三直線與直線垂直(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,和AC垂直且異面的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【解析】選B.和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1,共2條.2.(5分)在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD的中點(diǎn)分別是P,Q,R,且PQ=2,QR=5,PR=3,那么異面直線AC和BD所成的角是()A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】選A.∠PQR(或其補(bǔ)角)即為所求,由勾股定理可知∠PQR=90°.3.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1與B1D所成角的余弦值是()A.33 B.22 C.12 【解析】選A.如圖所示,直線AA1與B1D所成的角為∠BB1D(或其補(bǔ)角),其余弦值為BB1B1D4.(5分)將邊長為1的正方形AA1O1O繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,AC長為2π3,A1B1長為π3,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).則異面直線B1C與A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選B.如圖,過B1作B1B⊥底面圓O,垂足為點(diǎn)B,連接OB,BC,則根據(jù)題意易知AA1∥B1B,且∠COB=2π3-π3=π3,所以異面直線B1C與AA1所成的角為∠BB1C,在Rt△BB易知B1B=OB=BC,所以∠BB1C=π45.(5分)(多選)在下列四個(gè)正方體中,直線AB與CD不垂直的是()【解析】選BCD.對于B,作出過AB的等邊三角形截面ABE,如圖,將CD平移至內(nèi)側(cè)面,可得CD與AB所成角等于60°,故CD與AB不垂直;對于C,D,將CD平移至經(jīng)過B點(diǎn)的側(cè)棱處,可得AB與CD所成角都是銳角,不垂直.6.(5分)(多選)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖,在原正方體中,下列結(jié)論正確的是()A.AB與CD所在直線垂直B.CD與EF所在直線平行C.AB與MN所在直線成60°角D.MN與EF所在直線異面【解析】選CD.畫出原正方體如圖所示,連接DN,DM,由圖可知選項(xiàng)A,B錯誤;在選項(xiàng)C中,AB∥DN,MN=DN=DM,所以△DMN為等邊三角形,所以AB與MN所在的直線成60°角是正確的;在選項(xiàng)D中,顯然MN與EF所在直線異面是正確的.7.(5分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥AB,底面ABCD是平行四邊形,則PA與CD所成的角是________.

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AB∥CD,所以∠PAB是PA與CD所成的角.又因?yàn)镻A⊥AB,所以∠PAB=90°.答案:90°8.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若AE與A1B1所成的角的大小為25°,則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為________.

【解析】因?yàn)锳1B1∥AB,所以∠BAE=25°,因?yàn)锽1C1∥BC,所以異面直線AE與B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°.答案:65°9.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1,則AB1與BC1的位置關(guān)系為__________.

【解析】設(shè)BB1=1,如圖,延長CC1至C2,使C1C2=CC1=1,連接B1C2,則B1C2∥BC1,所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角).連接AC2,因?yàn)锳B1=3,B1C2=3,AC2=6,所以AC22=AB12+B1C22,則∠AB1C2=90°.所以AB1與BC1所成的角為90°,即答案:AB1⊥BC110.(10分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大小;(2)若E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),求證:EF⊥A1C1.【解析】(1)如圖所示,連接AC,AB1.由六面體ABCD-A1B1C1D1是正方體知,四邊形AA1C1C為平行四邊形,所以AC∥A1C1,從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)連接BD.由(1)知AC∥A1C1,所以AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.因?yàn)镋F是△ABD的中位線,所以EF∥BD.又因?yàn)锳C⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·六安高一期中)如圖,已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為2,E為棱PA的中點(diǎn),則異面直線BE與PC所成角的余弦值為()A.63 B.33 C.13 【解析】選B.連接AC,取AC的中點(diǎn)O,連接OE,OB,由題意知,EO∥PC,則異面直線BE與PC所成角為∠BEO(或其補(bǔ)角),在△BEO中,EO=1,BO=2,BE=3,則cos∠BEO=BE2+則異面直線BE與PC所成角的余弦值為3312.(5分)如圖,空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),并且異面直線AC與BD所成的角為90°,則MN=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.取AD的中點(diǎn)P,連接PM,PN,則BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角,所以∠MPN=90°,PN=12AC=4,PM=12BD=3,所以MN13.(5分)如圖所示,在正三角形ABC中,D,E,F分別為AB,BC,AC的中點(diǎn),G,H,J,I分別為AF,AD,DE,BE的中點(diǎn),將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后,GH與IJ所成的角為________.

【解析】將三角形折成三棱錐后,其直觀圖如圖所示,GH與IJ是異面直線.因?yàn)镚,H分別為AF,AD的中點(diǎn),所以GH∥DF.又I,J分別為AE,DE的中點(diǎn),所以IJ∥AD.所以DF與AD所成的角即為異面直線GH與IJ所成的角.由題意知△ADF是正三角形,所以DF與AD所成的角為60°.即GH與IJ所成的角為60°.答案:60°14.(10分)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求證:DB1⊥EF.【證明】方法一:如圖所示,連接A1C1,B1D