高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價五十　事件的相互獨立性(1)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價五十事件的相互獨立性(1)含答案五十事件的相互獨立性(1)(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)設(shè)A,B,C為三個隨機事件,其中A與B互斥,B與C相互獨立,則下列命題一定成立的是()A.A與B相互獨立B.A與C互斥C.B與C互斥D.B與C相互獨立【解析】選D.注意“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別,前者指的是不可能同時發(fā)生的事件,后者指的是在兩個事件中,一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.因為B與C相互獨立,由兩事件相互獨立的性質(zhì)易知D正確.2.(5分)一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立,則兩根保險絲都熔斷的概率為()A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85【解析】選B.設(shè)“甲保險絲熔斷”為事件A,“乙保險絲熔斷”為事件B,則P(A)=0.85,P(B)=0.74,由事件A與B相互獨立,得“兩根保險絲都熔斷”為事件AB,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.85×0.74=0.629.3.(5分)(2024·南昌高一檢測)2023年10月26日神舟十七號載人飛船成功發(fā)射,某校舉辦航天知識競賽,競賽設(shè)置了A,B,C三道必答題目.已知某同學(xué)能正確回答A,B,C題目的概率分別為0.8,0.7,0.5,且回答各題是否正確相互獨立,則該同學(xué)最多有兩道題目回答正確的概率為()A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92【解析】選B.A,B,C三道必答題目,該同學(xué)都回答正確的概率P1=0.8×0.7×0.5=0.28,該同學(xué)最多有兩道題目回答正確的概率P=1-P1=1-0.28=0.72.4.(5分)(多選)下列各對事件中,M,N是相互獨立事件的有()A.擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次,事件M=“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”,事件N=“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B.袋中有5個白球,5個黃球,除顏色外完全相同,依次不放回地摸兩次,事件M=“第1次摸到白球”,事件N=“第2次摸到白球”C.分別拋擲2枚相同的硬幣,事件M=“第1枚為正面”,事件N=“兩枚結(jié)果相同”D.一枚硬幣擲兩次,事件M=“第一次為正面”,事件N=“第二次為反面”【解析】選CD.在A中,M,N是互斥事件,不相互獨立;在B中,事件M的發(fā)生對事件N有影響,故M,N不是相互獨立事件;在C中,P(M)=12,P(N)=12,P(MN)=14,P(MN)=P(M)P(N),因此M在D中,第一次為正面對第二次的結(jié)果不影響,因此M,N是相互獨立事件.5.(5分)(多選)(2024·荊州高二期末)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,記Ai=“點數(shù)為i”,其中,i=1,2,3,4,5,6,B=“點數(shù)為奇數(shù)”,C=“點數(shù)為偶數(shù)”,則()A.P(A5)=16 B.A2,BC.A1∩B=? D.B,C為對立事件【解析】選ABD.選項A:拋擲一枚骰子,所有基本事件為A1,A2,A3,A4,A5,A6,故P(Ai)=16選項B:A2∩B=?,A2,B為互斥事件,選項B正確;選項C:A1∩B={1}≠?,選項C錯誤;選項D:B∪C=Ω,B∩C=?,所以B,C為對立事件,選項D正確.6.(5分)假設(shè)P(A)=0.5,P(B)=0.6,且事件A與B相互獨立,則P(A+B)=________.

【解析】P(AB)=P(A)P(B)=0.3,則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.3=0.8.答案:0.87.(5分)兩人打靶,甲中靶的概率為0.8,乙中靶的概率為0.7,若兩人同時射擊一目標(biāo),則他們都中靶的概率是________,他們都不中靶的概率為________.

【解析】設(shè)A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A與B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56,P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.7)=0.06.答案:0.560.068.(5分)(2024·延慶高一期末)甲同學(xué)進行投籃練習(xí),每次投中的概率都是13,連續(xù)投3次.每次投籃互不影響.則該同學(xué)恰好只有第3次投中的概率為________【解析】因為甲同學(xué)每次投中的概率都是13,連續(xù)投3次,則投不中的概率為2所以甲同學(xué)恰好只有第3次投中的概率為23×23×13答案:49.(10分)甲、乙兩名籃球運動員進行投籃比賽,甲投籃命中的概率為23,乙投籃命中的概率為34(1)求甲、乙各投籃一次,恰好有1人命中的概率;(2)求甲、乙各投籃一次,至少有1人命中的概率.【解析】(1)記“甲投籃命中”為A事件,“乙投籃命中”為B事件,則P(A)=23,P(B)=3因為甲和乙投籃是否命中相互沒有影響,所以A與B相互獨立,那么恰好有1人命中的概率為P(AB)+P(AB)=23×14+13×3(2)由(1)知,兩人都沒有命中的概率P(AB)=13×14=所以至少有1人命中的概率為1-P(AB)=1112【綜合應(yīng)用練】10.(5分)如圖,用K,A1,A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1,A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576【解析】選B.根據(jù)題意,記K,A1,A2正常工作分別為事件A,B,C,則P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.8,A1,A2至少有一個正常工作的概率為1-P(B)P(C)=1-(1-0.8)×(1-0.8)=0.96,則系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96=0.864.11.(5分)小明和小杰在乒乓球比賽中,小明必須再勝2盤才最后獲勝,小杰必須再勝3盤才最后獲勝.若兩人每盤獲勝的概率都是12,且每盤比賽之間相互獨立,互不影響,則小明連勝2盤并最后獲勝的概率是(A.14 B.38 C.716 【解析】選C.如果再打2盤,小明連勝2盤并最后獲勝的概率為12×12=如果再打3盤,小明連勝2盤并最后獲勝的概率為(1-12)×12×12如果再打4盤,小明連勝2盤并最后獲勝的概率為(1-12)×(1-12)×12×1所以小明連勝2盤并最后獲勝的概率為14+18+11612.(5分)(2024·南昌高一檢測)投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲,晉代在廣泛開展投壺活動中,對投壺的壺也有所改進,即在壺口兩旁增添兩耳,因此在投壺的花式上就多了許多名目,如“貫耳(投入壺耳)”.每一局投壺,每一位參賽者各有四支箭,投入壺口一次得1分,投入壺耳一次得2分.現(xiàn)有甲、乙兩人進行投壺比賽(兩人是否投中壺口、壺耳是相互獨立的),甲四支箭已投完,共得3分,乙投完2支箭,目前只得1分,乙投入壺口的概率為13,投入壺耳的概率為15,四支箭投完,以得分多者贏,則乙贏得這局比賽的概率為【解析】由題意得若乙要贏得這局比賽,則乙在投剩下的兩支箭后至少要再得3分,按照乙第三支箭的情況可分為兩類:(1)第三支箭投入壺口,則第四支箭必須投入壺耳,其概率P1=13×15=(2)第三支箭投入壺耳,則第四支箭投入壺口、壺耳均可,其概率P2=15×(13+15所以乙贏得這局比賽的概率P=P1+P2=115+875=答案:1313.(10分)設(shè)某人有5發(fā)子彈,他向某一目標(biāo)射擊時,每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為23.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊,否則將子彈打完(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率;(2)求他所耗用的子彈數(shù)X=4的概率.【解析】設(shè)“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak,則A1,A2,A3,A4,A5相互獨立,且P(Ak)=23,P(Ak)=13,(1)他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=23×13+(2)P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2=(23)3×13+(13)3×214.(10分)本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足一小時的部分按一小時計算).有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游(各租一車一次),設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為14,12;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為12,(1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率;(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率.【解析】甲、乙兩人租車時間超過三小時不超過四小時的概率分別為1-14-12=14,1-12-(1)租車費用相同可分為租車費用都為0元、2元、4元三種情況.都付0元的概率為p1=14×12=都付2元的概率為p2=12×14=都付4元的概率為p3=14×14=所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為p=p1+p2+p3=516(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為ξ元,則ξ=4表示兩人的租車費用之和為4元,其可能的情況是甲、乙的租車費用分別為①0元,4元;②2元,2元;③4元,0元.所以可得P(ξ=4)=14×14+12×14+14即甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率為516五向量的數(shù)量積(1)(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,且a與b的夾角為30°,那么a·b等于()A.1 B.3 C.3 D.33【解析】選C.a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos30°=3.2.(5分)(2024·邯鄲高一檢測)若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.一方面:由a·b=|a||b|,可得a與b的夾角為0,此時a與b共線;另一方面:由a與b共線,可得a與b的夾角為0或π,此時有a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,即此時a·b=|a||b|不一定成立.綜上可得,a·b=|a||b|是a與b共線的充分不必要條件.【補償訓(xùn)練】已知m,n是非零向量,則m⊥n是m·n=0的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.因為m,n是非零向量且m⊥n,所以m·n=0,滿足充分性;又因為m·n=0,且m,n是非零向量,所以|m||n|cosθ=0,故a與b的夾角θ為90°,即m⊥n,滿足必要性.3.(5分)(2024·烏魯木齊高一檢測)已知|a|=1,|b|=2,a·b=1,則向量a與b的夾角大小為()A.π4 B.π3 C.2π3 【解析】選B.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=12,而4.(5分)(2024·貴陽高一檢測)已知向量a與b的夾角為π3,且滿足|a|=2,|b|=1,則a在b上的投影向量為(A.1 B.12 C.a D.【解析】選D.向量a在b上的投影向量為|a|·cosπ3·b|b|=2×15.(5分)(2024·北京高一檢測)已知e是單位向量,向量a滿足12≤a·e≤1,則|a|的取值范圍是(A.(0,+∞) B.(0,1]C.12,+∞ D.12,1【分析】利用向量數(shù)量積公式,結(jié)合夾角的范圍建立不等式,求出|a|的取值范圍.【解析】選C.設(shè)a與e的夾角為θ,由12≤a·e≤1及e是單位向量,得12≤|a|cos顯然|a|≠0,且θ∈0,π2,于是12cosθ≤|a|≤1cosθ,而cosθ∈(0,1],12cosθ≥12,所以|a|6.(5分)(多選)(2024·青島高一檢測)下列說法正確的是()A.向量a在向量b上的投影向量可表示為a·bB.若a·b<0,則a與b的夾角θ的范圍是π2,πC.若△ABC是以C為直角頂點的等腰直角三角形,則,的夾角為45°D.若a·b=0,則a⊥b【解析】選AB.A.由向量a在向量b上的投影向量的定義知,向量a在向量b上的投影向量可表示為a·b|b|B.因為a·b=|a|·|b|·cosθ<0,所以cosθ<0,又θ∈[0,π],所以a與b的夾角θ的范圍是π2,π,故正確;C.若△ABC是以C為直角頂點的等腰直角三角形,則,的夾角為135°,故錯誤;D.若a·b=0,且a,b都為非零向量時,a⊥b,故錯誤.7.(5分)已知向量e是與向量b方向相同的單位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量為2e,則a·b=()A.23 B.-23 C.4 D.-4【解析】選C.設(shè)a與b的夾角為θ,由題意得cosθ>0,所以|a|cosθ=|2e|=2,所以a·b=|b|·|a|cosθ=2×2=4.8.(5分)(2024·漢中高一檢測)在△ABC中,AB=AC=1,∠A=90°,則·=_______.

答案:-1【解析】根據(jù)題意易得△ABC為等腰直角三角形,BC=2,設(shè)與的夾角為θ,則·=||||cosθ=1×2×cos3π4=-1.【補償訓(xùn)練】已知向量a與b的夾角為π3,且|a|=2|b|,若c為b在a方向上的投影向量,并滿足c=λa,則λ=(A.3 B.4 C.14 D.-【解析】選C.因為向量a與b的夾角為π3,且|a|=2|b|,若c為b在a方向上的投影向量,則c=|b|cosπ3·a|a|=|b||a|cosπ3·a=9.(5分)(2024·貴州高一檢測)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為13,且|a|=1,a·b=1,則|b|=答案:3【解析】設(shè)向量a,b的夾角為θ,由題意得cosθ=13,因為a·b所以a·b=|a||b|cosθ=13|b|=1,解得|b|=310.(10分)已知|a|=2|b|=2,e是與b方向相同的單位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量為-e.(1)求a與b的夾角θ;(2)求a·b.【解析】(1)由題意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量為|a|cosθe=-e,所以cosθ=-12,又θ∈[0,π],所以θ=2π(2)由(1)知θ=2π3所以a·b=|a|·|b|cosθ=-1.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·銀川高一檢測)如果向量a,b的夾角為θ,我們就稱a×b為向量a與b的“向量積”,a×b還是一個向量,它的長度為|a×b|=|a|·|b|sinθ,如果|a|=10,|b|=2,a·b=-12,則|a×b|=()A.-16 B.16 C.-20 D.20【解析】選B.由于|a×b|=|a|·|b|sinθ,|a|=10,|b|=2,a·b=-12,則a·b=|a||b|cosθ=10×2cosθ=-12,則cosθ=-35,所以sinθ=45,則|a×b|=|a||b|sinθ=10×2×412.(5分)(多選)下列說法錯誤的是()A.在等腰直角三角形ABC中,若A為直角,則與的夾角為45°B.由a·b=0可得a=0或b=0C.向量a在向量b上的投影向量是一個向量,而向量a在向量b上的投影是一種變換D.對于非零向量a,b,“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的充分不必要條件【解析】選ABD.A選項,B為45°,與的夾角為B的補角,為135°,故A錯誤,符合題意;B選項,當(dāng)a⊥b時,a·b=0,故B錯誤,符合題意;C選項,“投影向量”是向量,“投影”是一種變換,故C正確,不符合題意;D選項,當(dāng)向量a,b同向時,a·b>0,a與b的夾角為銳角不成立;當(dāng)a與b的夾角θ為銳角時,a·b=|a||b|cosθ>0.所以“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件,故D錯誤,符合題意.13.(5分)(2024·濮陽高一檢測)如圖,已知網(wǎng)格小正方形的邊長為