高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價五十一　事件的相互獨(dú)立性(2)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價五十一事件的相互獨(dú)立性(2)含答案五十一事件的相互獨(dú)立性(2)(時間:45分鐘分值:80分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·合肥高二期中)甲、乙兩人獨(dú)立解答同一道題,甲、乙解答正確的概率分別是p1=12,p2=13,那么只有一人解答對的概率是(A.16 B.12 C.13 【解析】選B.只有1人答對的概率P=p1(1-p2)+(1-p1)p2=12×23+12×12.(5分)(2024·無錫高二期中)已知在8個電子元件中,有2個次品,6個合格品,每次任取一個測試,測試完后不再放回,直到2個次品都找到為止,則經(jīng)過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率為()A.114 B.356 C.142 【解析】選A.若經(jīng)過3次測試恰好將2個次品全部找出,則第一次抽一個合格品、第二次抽一個次品、第三次抽一個次品,或第一次抽一個次品、第二次抽一個合格品、第三次抽一個次品,則經(jīng)過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率P=68×27×16+28×673.(5分)甲、乙、丙三人射擊,甲命中目標(biāo)的概率是34,乙命中目標(biāo)的概率是23,丙命中目標(biāo)的概率是12A.34 B.23 C.78 【解析】選D.設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A,“乙命中目標(biāo)”為事件B,“丙命中目標(biāo)”為事件C,則P(A)=34,P(B)=23,P(C)=因?yàn)锳,B,C相互獨(dú)立,所以A,B,C也相互獨(dú)立,則三人都沒命中目標(biāo)的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=(1-34)×(1-23)×(1-12所以目標(biāo)被擊中的概率是1-124=234.(5分)某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練,在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別為14,13,p,該同學(xué)站在這三個不同的位置各投籃一次,至少投中一次的概率為56,則pA.56 B.23 C.35 【解析】選B.該同學(xué)站在三個不同的位置各投籃一次,至少投中一次的概率為1-(1-14)(1-13)(1-p)=56,解得p5.(5分)(2024·龍巖高一檢測)甲、乙、丙三人參加縣里的英文演講比賽,若甲、乙、丙三人能榮獲一等獎的概率分別為12,23,34A.14 B.724 C.1124 【解析】選D.設(shè)甲、乙、丙獲得一等獎的概率分別是P(A)=12,P(B)=23,P(C)=則不獲一等獎的概率分別是P(A)=1-12=1P(B)=1-23=13,P(C)=1-34則這三人中恰有兩人獲得一等獎的概率為:P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=12×23×34+12×13×34+12這三人都獲得一等獎的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=12×23×34所以這三人中至少有兩人獲得一等獎的概率P=1124+14=6.(5分)(多選)(2024·無錫高二期中)下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是()A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是13,那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B.甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯一份密碼,他們能單獨(dú)譯出的概率分別為15,13,1C.設(shè)兩個獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率是D.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是1【解析】選ABD.對于A:該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口都不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為(1-13)2×13=對于B:用A,B,C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則P(A)=15,P(B)=13,P(C)=“三個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為45×23×34=25,所以此密碼被破譯的概率為1-對于C:由題意可得P(AB)=P(BA),即P(A)·P(B)=P(B)P(A),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],即P(A)=P(B).又因?yàn)镻(AB)=19,故P(A)=P(B)=1所以P(A)=23對于D:從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種結(jié)果,其中取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的包含(1,3)和(2,4)兩個樣本點(diǎn),則概率P=26=137.(5分)有甲、乙兩批種子,發(fā)芽率分別為0.8和0.9,在兩批種子中各取一粒,則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________.

【解析】概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.答案:0.268.(5分)某機(jī)構(gòu)對國產(chǎn)殺毒軟件進(jìn)行考核,每個軟件進(jìn)行四輪考核,每輪考核中能夠準(zhǔn)確對病毒進(jìn)行查殺的進(jìn)入下一輪考核,否則被淘汰,已知某個軟件在四輪考核中能夠準(zhǔn)確對病毒進(jìn)行查殺的概率依次是56,35,34,1【解析】設(shè)事件Ai(i=1,2,3,4)表示“該軟件在第i輪能夠準(zhǔn)確對病毒進(jìn)行查殺”,由已知得P(A1)=56,P(A2)=35,P(A3)=34,P(A4)=13,設(shè)事件C表示“該軟件至多進(jìn)入第三輪考核”,則P(C)=P(A1+A1A2+A1A2A3)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=16+5答案:59.(10分)(2024·北京高一期中)甲、乙兩個籃球運(yùn)動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為12與p,且乙投球2次均未命中的概率為1(1)求乙投球1次的命中率;(2)若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中3次的概率.【解析】(1)設(shè)“甲投球1次命中”為事件A,“乙投球1次命中”為事件B,由已知P(A)=12,P(B)=p則乙投球2次均未命中的概率P=(1-p)2,由題意得(1-p)2=116,解得p=34或乙投球1次的命中率為34(2)事件甲、乙兩人各投球2次,兩人共命中3次,可表示為事件甲只有1次命中、乙2次全部命中,與事件乙只有1次命中、甲2次全部命中的和事件.而甲只有1次命中、乙2次全部命中的概率為2×12×(1-12)×(34)2乙只有1次命中、甲2次全部命中的概率為2×34×14×(12)2故兩人共命中3次的概率為932+332=所以甲、乙兩人各投球2次,兩人共命中3次的概率為38【綜合應(yīng)用練】10.(5分)某大學(xué)的“書法”“籃球”“輪滑”三個社團(tuán)考核挑選新社員,已知某大一新生對這三個社團(tuán)都很感興趣,決定三個考核都參加,假設(shè)他通過“書法”“籃球”“輪滑”三個社團(tuán)考核的概率依次為m,13,n,且他是否通過每個考核相互獨(dú)立,若三個社團(tuán)考核他都能通過的概率為124,至少通過一個社團(tuán)考核的概率為34,則m+nA.23 B.34 C.45 【解析】選B.因?yàn)橹辽偻ㄟ^一個社團(tuán)考核的概率為34,則三個社團(tuán)都沒有通過的概率為1依題意得1即mn=18,1-m所以m+n=3411.(5分)在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時,均從一片跳到另一片),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍,如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A片荷葉上,則跳三次之后停在A片上的概率是()A.13 B.29 C.49 【解析】選A.由題意知逆時針方向跳的概率為23,順時針方向跳的概率為13,青蛙跳三次要回到第一條:A→B→C→A,P1=23×23×23第二條:A→C→B→A,P2=13×13×13所以跳三次之后停在A片上的概率P=P1+P2=827+127=12.(5分)如圖,已知電路中4個開關(guān),每個閉合的概率都是12,且是相互獨(dú)立的,則燈亮的概率為(A.316 B.34 C.1316 【解析】選C.燈不亮包括4個開關(guān)都斷開,或開關(guān)C和D都斷開且開關(guān)A和B中有一個斷開,這兩種情況是互斥的,每一種情況中的事件是相互獨(dú)立的,所以燈不亮的概率為12×12×12×12+12×12×12×12+12因?yàn)闊袅僚c燈不亮是對立事件,所以燈亮的概率是1-316=1313.(5分)某校組織《最強(qiáng)大腦》PK賽,最終A,B兩隊(duì)進(jìn)入決賽,兩隊(duì)各由3名選手組成,每局兩隊(duì)各派一名選手PK,除第三局勝者得2分外,其余各局勝者均得1分,負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽A隊(duì)選手獲勝的概率均為23,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,比賽結(jié)束時A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為(A.827 B.49 C.1627 【解析】選C.比賽結(jié)束時A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分包含三種情況:①A全勝;②第一局A勝,第二局B勝,第三局A勝;③第一局B勝,第二局A勝,第三局A勝.所以比賽結(jié)束時,A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率P=(23)3+23×13×23+13×214.(10分)為刺激消費(fèi),逐漸形成以國內(nèi)大循環(huán)為主體,國內(nèi)、國際雙循環(huán)相互促進(jìn)的新發(fā)展格局.某市給市民發(fā)放面額為100元的旅游消費(fèi)券,由抽樣調(diào)查預(yù)計(jì)老、中、青三類市民持有這種消費(fèi)券到某旅游景點(diǎn)的消費(fèi)額及其概率如表:項(xiàng)目200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有這種消費(fèi)券的老年人、中年人、青年人各一人到該旅游景點(diǎn).(1)求這三人恰有兩人的消費(fèi)額不少于300元的概率;(2)求這三人的消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率.【解析】(1)設(shè)三人中恰有兩人的消費(fèi)額不少于300元的概率為P1,則P1=(0.7)2×0.4+2×0.3×0.7×0.6=0.448.(2)消費(fèi)總額為1500元的概率是0.1×0.1×0.2=0.002,消費(fèi)總額為1400元的概率是(0.1)2×0.2+2×(0.2)2×0.1=0.01,消費(fèi)總額為1300元的概率是(0.1)2×0.3+0.3×0.1×0.2+0.1×0.4×0.2+(0.2)3+2×(0.2)2×0.1=0.033,0.002+0.01+0.033=0.045,所以消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率是0.045.五十二頻率與概率(時間:45分鐘分值:75分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)氣象臺預(yù)測“本市明天降雨的概率是90%”,對預(yù)測的正確理解是()A.本市明天將有90%的地區(qū)降雨B.本市明天將有90%的時間降雨C.明天出行不帶雨具肯定會淋雨D.明天出行不帶雨具可能會淋雨【解析】選D.明天降雨概率是90%指明天降雨這個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性為90%,明天也可能不下雨.2.(5分)從一批準(zhǔn)備出廠的電視機(jī)中隨機(jī)抽取10臺進(jìn)行質(zhì)量檢查,其中有1臺是次品.若用C表示抽到次品這一事件,則對C這一事件發(fā)生的說法正確的是()A.概率為1B.頻率為1C.概率接近1D.每抽10臺電視機(jī),必有1臺次品【解析】選B.10臺電視機(jī)中有1臺次品,用C表示抽到次品這一事件,則C發(fā)生的頻率為1103.(5分)一個盒子中有若干白色圍棋棋子,為了估計(jì)其中圍棋棋子的數(shù)目,小明將100顆黑色圍棋棋子放入其中搖勻后隨機(jī)抽出了20顆,數(shù)得其中有5顆黑色圍棋棋子,根據(jù)這些信息可以估計(jì)白色圍棋棋子的數(shù)目為()A.200顆 B.300顆 C.400顆 D.500顆【解析】選B.設(shè)白色圍棋棋子的數(shù)目為n,則由已知可得520=100n+100,解得4.(5分)(2024·荊州高一期末)天氣預(yù)報(bào)說,在今后的三天中,每一天下雨的概率均為0.6.我們通過設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法求概率,利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5內(nèi)的隨機(jī)數(shù):425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1,3,5表示下雨,用2,4表示不下雨,則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為()A.920 B.12 C.1120 【解析】選D.設(shè)事件A=“三天中至少有兩天下雨”,20個隨機(jī)數(shù)中,至少有兩天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354,即事件A發(fā)生了13次,用頻率估計(jì)事件A的概率為13205.(5分)(多選)某籃球運(yùn)動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如表:投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運(yùn)動員在一次投籃中,投中兩分球?yàn)槭录嗀,投中三分球?yàn)槭录﨎,沒投中為事件C,用頻率估計(jì)概率的方法,得到的下述結(jié)論中,正確的是()A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55【解析】選ABC.依題意,P(A)=55100=0.55,P(B)=18100=0.18,顯然事件A,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,則P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故選項(xiàng)A,B,C都正確,選項(xiàng)D不正確.6.(5分)在用隨機(jī)數(shù)(整數(shù))模擬“有4個男生和5個女生,從中抽選4人,被抽選的4人中有2個男生、2個女生”的概率時,可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~9的隨機(jī)整數(shù),并且1~4代表男生,用5~9代表女生.因?yàn)槭沁x出4人,所以每4個隨機(jī)數(shù)作為一組.若得到的一組隨機(jī)數(shù)為“4678”,則它代表的含義是__________________________.

【解析】用1~4代表男生,用5~9代表女生,“4678”表示選出的4人中有1個男生、3個女生.答案:選出的4人中有1個男生、3個女生7.(5分)在一個不透明的布袋中,紅色、黑色、白色的玻璃球共有50個,除顏色外其他完全相同,小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在30%和40%,則口袋中白色球的個數(shù)可能是________.

【解析】因?yàn)槊郊t色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在30%和40%,所以摸到白色球的頻率為1-30%-40%=30%,故口袋中白色球的個數(shù)可能是50×30%=15.答案:158.(10分)有一個轉(zhuǎn)盤游戲,轉(zhuǎn)盤被平均分成10份(如圖所示),轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后,指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.游戲規(guī)則如下:兩個人參加,先確定猜數(shù)方案,甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,乙猜,若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符,則乙獲勝,否則甲獲勝.猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種:A.猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”;B.猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”;C.猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”.請回答下列問題:(1)如果你是乙,為了盡可能獲勝,你將選擇哪種猜數(shù)方案,并且怎樣猜?為什么?(2)為了保證游戲的公平性,你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種猜數(shù)方案?為什么?(3)請你設(shè)計(jì)一種其他的猜數(shù)方案,并保證游戲的公平性.【解析】(1)如題圖,方案A中“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為510=0.5;方案B中“是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為210=0.2,“不是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為810=0.8;方案C中“是大于4的數(shù)”的概率為610=0.6,“不是大于4的數(shù)”的概率為410=0.4(2)為了保證游戲的公平性,應(yīng)當(dāng)選擇方案A.因?yàn)榉桨窤猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為0.5,從而保證了該游戲是公平的.(3)可以設(shè)計(jì)為猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”,此方案也可以保證游戲的公平性.【綜合應(yīng)用練】9.(5分)某市交警部門在調(diào)查一起車禍的過程中,所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車,但由于天黑,均未看清該車的車牌號碼及顏色,而該市有兩家出租車公司,其中甲公司有100輛桑塔納出租車,3000輛帕薩特出租車,乙公司有3000輛桑塔納出租車,100輛帕薩特出租車,交警部門應(yīng)先調(diào)查哪個公司的車輛較合理()A.甲公司 B.乙公司C.甲或乙公司均可 D.以上都對【解析】選B.由于甲公司桑塔納的比例為100100+3000=131,乙公司桑塔納的比例為310.(5分)(多選)(2024·綿陽高二期末)某電商平臺對去年春節(jié)期間消費(fèi)的前1000名網(wǎng)購者,按性別等比例分層抽樣100名,并對其性別(M(男)、F(女))及消費(fèi)金額(A(消費(fèi)金額>400),B(200<消費(fèi)金額≤400),C(0<消費(fèi)金額≤200))進(jìn)行調(diào)查分析,得到了人數(shù)統(tǒng)計(jì)表,則下列選項(xiàng)正確的是()項(xiàng)目ABCM182014F17247A.這1000名網(wǎng)購者中女性有490人B.P(A)=0.35C.P(FA)=0.17D.P(M∪C)=0.52【解析】選BC.對于A,由題中表格可知,在樣本中女性占比是48%,所以估計(jì)這1000名網(wǎng)購者中有480名女性,故A錯誤;對于B,由題中表格可知A共有35名,所以P(A)=35100=0.對于C,FA包含的樣本有17個,所以P(FA)=17100=0.對于D,M∪C包含18+20+14+7=59(個),故P(M∪C)=59100=0.59,故D錯誤11.(5分)(多選)(2024·南陽高一期末)甲、乙兩人約定玩一種游戲,把一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次,游戲規(guī)則有如下四種,其中對甲有利的規(guī)則是()A.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2,3,4,5,6,10,12其中之一,則甲獲勝,否則乙獲勝B.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4,則甲獲勝,否則乙獲勝C.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù),則甲獲勝;若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù),則乙獲勝D.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶,則甲獲勝;若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù),則乙獲勝【解析】選AB.對于A,把一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次,共有36個基本事件,兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2,3,4,5,6,10,12的基本事件有:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共19種,則甲獲勝的概率為1936>12,乙獲勝的概率小于對于B,兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4,最大的點(diǎn)數(shù)為5或6,最大的點(diǎn)數(shù)為5時,基本事件共有9個,最大的點(diǎn)數(shù)為6時,基本事件共有11個,此時共有20個基本事件,則甲獲勝的概率為2036>1對于C,兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù),有(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共18個基本事件,則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇