高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價四十　函數(shù)模型的應(yīng)用含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價四十函數(shù)模型的應(yīng)用含答案四十函數(shù)模型的應(yīng)用(時間:45分鐘分值:70分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)2022年6月5日上午10時44分,我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號F運(yùn)載火箭,將神舟十四號載人飛船和3名中國航天員送入太空這標(biāo)志著中國空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音,已知聲音的聲強(qiáng)級d(x)(單位:dB)與聲強(qiáng)x(單位:W/m2)滿足d(x)=10lgx10-12.若人交談時的聲強(qiáng)級約為50dB,且火箭發(fā)射時的聲強(qiáng)與人交談時的聲強(qiáng)的比值約為109A.130dB B.140dBC.150dB D.160dB【解析】選B.設(shè)人交談時的聲強(qiáng)為x1,則火箭發(fā)射時的聲強(qiáng)為109x1,則50=10lgx110-12,解得:x1=10-7,則火箭發(fā)射時的聲強(qiáng)為109×10-7=102,將其代入10lgx10-12中,得:d(102)=10lg2.(5分)(2024·渭南高一檢測)對于一個聲強(qiáng)為I(單位:W/m2)的聲波,其聲強(qiáng)級L(單位:dB)可由如下公式計算:L=10lgII0(其中I0是能引起聽覺的最弱聲強(qiáng)),設(shè)聲強(qiáng)為I1時的聲強(qiáng)級為70dB,聲強(qiáng)為I2時的聲強(qiáng)級為60dB,則I1是I2的(A.10倍 B.100倍C.1000倍 D.10000倍【解析】選A.令L=70,則10lgI1I0=70,解得:I1=107I0,令L解得:I2=106I0,故I1I2=3.(5分)(2024·定西高一檢測)2023年2月27日,學(xué)堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發(fā)現(xiàn)終評項(xiàng)目.該遺址先后發(fā)現(xiàn)石制品300多件,已知石制品化石樣本中碳14質(zhì)量N隨時間t(單位:年)的衰變規(guī)律滿足N=N0(12)

t5730(N0表示碳14原有的質(zhì)量).(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.69,ln5≈1.61)A.8370年 B.8330年C.3850年 D.3820年【解析】選D.依題意得:NN0=58=(1等式兩邊取以e為底的對數(shù)并整理得:ln5-3ln2=-t5730ln2,解得t代入ln2≈0.69,ln5≈1.61,即得t≈57304.(5分)(2024·太原高一檢測)單利和復(fù)利是銀行常用的兩種計息方式:如果按單利計算,則本金不會發(fā)生任何變化;如果按復(fù)利計算,則前一期的利息和本金可以加在一起算作下一期的本金.已知銀行甲與銀行乙定期儲蓄的年利率分別是1.75%和2.05%.某同學(xué)有壓歲錢1000元,現(xiàn)計劃按某種計息方式存入銀行甲或銀行乙,則存滿5年后,利息的最大值與最小值的差約是()(參考數(shù)據(jù):1.01754≈1.072,1.01755≈1.091,1.02054≈1.085,1.02055≈1.107)A.11.5元 B.15元C.16元 D.19.5元【解析】選D.不同的選擇方案共4種:(1)選擇單利,存入銀行甲,則利息為1000×0.0175×5=87.5(元),(2)選擇復(fù)利,存入銀行甲,則利息為1000×1.01755-1000≈91(元),(3)選擇單利,存入銀行乙,則利息為1000×0.0205×5=102.5(元),(4)選擇復(fù)利,存入銀行乙,則利息為1000×1.02055-1000≈107(元),其中方案(4)的利息最大,方案(1)的利息最小,差值為107-87.5=19.5(元).5.(5分)某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進(jìn)行過濾,已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少13,若使這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場要求,則過濾次數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.lg3≈0.477)()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選B.設(shè)經(jīng)過n次過濾,這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場要求,則2100×(23)n≤即(23)n≤120,兩邊取對數(shù),得nlg即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈76.(5分)(多選)當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”,設(shè)生物死亡年數(shù)為x,死亡生物體內(nèi)碳14的含量為y(把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個單位),則下列敘述正確的是()A.函數(shù)解析式為y=(12)

15B.碳14的年衰減率為(12)C.經(jīng)過九個“半衰期”后,碳14的含量不足死亡前的千分之一D.在2010年,某遺址檢測出碳14的殘留量為55.2%(log120.552≈【解析】選AD.依題意,對于A:因?yàn)闄C(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,所以x年后體內(nèi)的碳14含量應(yīng)為原來的(12)

所以函數(shù)解析式為y=1×(12)

x5730=(12對于B:設(shè)每年的衰減率為k,原來的碳14含量為A,則有A-A(1-k)5730=A2,(1-k)5730=12,解得k=1-(12對于C:經(jīng)過九個“半衰期”后,y=(12)

9×57305730對于D:因?yàn)樘?4的殘留量為55.2%(log120.552≈所以55.2%=(12)

x5730,即log12解得x≈4912,由4912-2010=2902,可知該遺址大概是公元前2903年建成的,所以D選項(xiàng)正確.7.(5分)有關(guān)數(shù)據(jù)顯示中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2020年約為400萬噸,2021年的年增長率為50%.有專家預(yù)測,如果不采取措施,未來包裝垃圾還將以此增長率增長,從年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過4000萬噸.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771).

【解析】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸,n表示從2020年開始增加的年份的數(shù)量,由題意可得y=400×(1+50%)n=400×(32)n由于第n年快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過4000萬噸,所以400×(32)n>4000,所以(32)兩邊取對數(shù)可得n(lg3-lg2)>1,所以n(0.4771-0.3010)>1,即0.1761n>1,解得n>5.68,又n∈N,故n的最小值為6,所以從2020+6=2026年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過4000萬噸.答案:20268.(5分)(2024·北京高一檢測)假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如圖所示:橫軸為投資時間(單位:天),縱軸為回報,根據(jù)以上信息,若使回報最多,下列說法正確的是;

①投資3天以內(nèi)(含3天),采用方案一;②投資4天,不采用方案三;③投資6天,采用方案二;④投資10天,采用方案二.【解析】觀察圖象,從每天回報看,在第一天到第三天,方案一最多,①正確;在第四天,方案一、方案二一樣多,方案三最少,②正確;在第五到第八天,方案二最多,③正確;從第九天開始,方案三比其他兩個方案所得回報都多,④不正確.答案:①②③9.(5分)燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬,研究燕子的專家發(fā)現(xiàn),兩歲燕子的飛行速度可以表示為v=5log2q10(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,則燕子靜止時的耗氧量為.當(dāng)一只兩歲燕子的耗氧量為80個單位時,其飛行速度是【解析】由題意,燕子靜止時v=0,即5log2q10解得q=10;當(dāng)q=80時,v=5log28010=15(m/s)答案:10個單位15m/s10.(10分)(2024·成都高一檢測)某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當(dāng)銷售利潤不超過20萬元時,按銷售利潤的10%進(jìn)行獎勵;當(dāng)銷售利潤超過20萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log2(A+5)進(jìn)行獎勵,記獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元).(1)寫出獎金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式;【解析】(1)根據(jù)題意可知,當(dāng)銷售利潤0≤x≤20時,y=0.1x;當(dāng)x>20時,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15);所以可得獎金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式為y=0.(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得10萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元?【解析】(2)易知當(dāng)0≤x≤20時,獎金不可能為10萬元,所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31;即業(yè)務(wù)員老江的銷售利潤是31萬元.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)為了給地球減負(fù),提高資源利用率,全國掀起了垃圾分類的熱潮,垃圾分類已經(jīng)成為新時尚,假設(shè)某市2023年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的資金比上一年增長20%,則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.2≈0.079,lg2.56≈0.408)()A.2027年 B.2028年C.2029年 D.2030年【解析】選C.設(shè)2023年后第x年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元,則5000(1+20%)x>12800,即1.2x>2.56,解得x>log1.22.56=lg2.56lg1則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是2029.12.(10分)(2024·巴中高一檢測)科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,實(shí)驗(yàn)員將某種染料倒入裝有水的透明水桶,想測試染料的擴(kuò)散效果,染料在水桶中擴(kuò)散的速度是先快后慢,1秒后染料擴(kuò)散的體積是1cm3,2秒后染料擴(kuò)散的體積是3cm3,染料擴(kuò)散的體積y與時間x(單位:秒)的關(guān)系有兩種函數(shù)模型可供選擇:①y=m3x,②y=mlog3x+b,其中m,b均為常數(shù).(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適,并求出該模型的解析式;【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=m3x中,y隨x的增長而增長,且增長的速度越來越快;函數(shù)y=mlog3x+b中,y隨x的增長而增長,且增長的速度越來越慢,根據(jù)染料擴(kuò)散的速度是先快后慢,所以選第二個模型更合適,即y=mlog3x+b,由題意可得:mlog3所以該模型的解析式為y=2log23log3x+1=2log2x+1.(2)若染料擴(kuò)散的體積達(dá)到5cm3,至少需要多少秒.【解析】(2)由(1)知:y=2log2x+1,由題意知:y≥5,即2log2x+1≥5,則有2log2x≥4,解得x≥4,所以至少需要4秒.四十八誘導(dǎo)公式(二)(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·莆田高一檢測)已知點(diǎn)P(-12,1)是角α終邊上一點(diǎn),則sin(5π2+A.55 B.-55 C.255 【解析】選B.設(shè)平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為O,則|OP|=(-12所以sin(5π2+α)=cosα=-12【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sin(π2+θ)<0,tan(π-θ)>0,則角θA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由sin(π2+θ)<0得cosθ<0,tan(π-θ)>0得tanθ<0,所以θ為第二象限的角2.(5分)(2024·北京高一檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于直線y=x對稱,若sinα=45,則cosβA.-45 B.45 C.-35 【解析】選B.因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于直線y=x對稱,所以α+β2=π4+kπ,k∈Z,即α+β=π2+2kπ,k∈Z,所以β=π2-α+2kπ,k所以cosβ=cos(π2-α+2kπ)=sinα=45(k∈3.(5分)已知sin(3π8+α)=13,則cos(π8A.-13 B.13 C.-33 【解析】選B.cos(π8-α)=sin[π2-(π8-α)]=sin(3π8+4.(5分)(2024·菏澤高一檢測)化簡cos(A.1tan2α B.-1tan2α C.tanα【解析】選C.cos(α-3π)cos【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=atan(π-x)+bcos(x+π2)+2023,若f(m)=2021,則f(-mA.-2024 B.-2025C.2024 D.2025【解析】選D.因?yàn)閒(x)=atan(π-x)+bcos(x+π2)+2023=-atanx-bsinx設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-2023=-atanx-bsinx,則g(-x)=atanx+bsinx=-g(x),即g(x)是奇函數(shù),又f(x)=g(x)+2023,所以f(m)+f(-m)=g(m)+2023+g(-m)+2023=4046,又f(m)=2021,所以f(-m)=2025.5.(5分)(2024·長春高一檢測)已知角α,β,γ滿足α+β+γ=π,則下列結(jié)論錯誤的是()A.sin(α+β)=sinγ B.cos(α+β)=cosγC.sinα+β2=cosγ2 D.【解析】選B.因?yàn)棣?β+γ=π,所以sin(α+β)=sin(π-γ)=sinγ,選項(xiàng)A正確;cos(α+β)=cos(π-γ)=-cosγ,選項(xiàng)B錯誤;α+β+γ2=π2,sinα+cosα+β2=cos(π2-γ【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·揚(yáng)州高一檢測)已知A,B,C是△ABC的內(nèi)角,下列等式中錯誤的是()A.sin2(A+B)+cos2C=1B.sinπ-AC.cos(A+B)=cosCD.tanA+B2【解析】選C.在△ABC中,A+B+C=π.對于A,sin2(A+B)+cos2C=sin2C+cos2C=1,A正確;對于B,因?yàn)棣?A4+π+A4=π對于C,cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,C錯誤;對于D,tanA+B2·tanC2=tan(π2-C2=cosC2sin6.(5分)(多選)下列結(jié)論正確的是()A.sin(α-π2)=-cosB.cos(α-π)=-cosαC.tan(-α-π)=-tanαD.cos(5π2+α)=sin【解析】選ABC.對于A,sin(α-π2)=-sin(π2-α)=-cos對于B,cos(α-π)=cos(π-α)=-cosα,故B正確;對于C,tan(-α-π)=-tan(α+π)=-tanα,故C正確;對于D,cos(5π2+α)=cos(2π+π2+α)=cos(π2+α)=-sin7.(5分)化簡:sin(α【解析】因?yàn)閟in(α-π2)=-sin(π2-α)=-coscos(3π2+α)=sinα,tan(π+α)=tanαtan(-π+α)=tanα,sin(π-α)=sinα,所以sin(α-答案:-cosα8.(5分)(2024·榆林高一檢測)已知tanθ=2,則sinθsin(3π2+θ)=【解析】因?yàn)閠anθ=2,所以原式=-sinθcosθ=-sinθcosθsin2答案:-29.(5分)(2024·佳木斯高一檢測)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°等于.

【解析】設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,因?yàn)閟in21°=cos289°,sin22°=cos288°,sin23°=cos287°,…,sin289°=cos21°,所以S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°,兩式相加得:2S=1×89,所以S=44.5.答案:44.510.(10分)(2024·天津高一檢測)已知sin(53°-α)=15,且-270°<α<-90°(1)求sin(127°+α)的值;【解析】(1)因?yàn)閟in(53°-α)=15所以sin(127°+α)=sin[180°-(53°-α)]=sin(53°-α)=15(2)求sin(37°+α)的值.【解析】(2)因?yàn)閟in(53°-α)=15,且-270°<α所以143°<53°-α<323°,又sin(53°-α)=15所以143°<53°-α<180°,所以cos(53°-α)=-1-sin2(53所以sin(37°+α)=cos(53°-α)=-26【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知α∈(-π,π),且sinα=-cosπ7,則αA.19π14或23π14 B.πC.-5π14或5π14 D.-5π【解析】選D.已知α∈(-π,π),且sinα=-cosπ7sinα=-cosπ7=-sin(π2-π7)=-sin5π因?yàn)棣痢?-π,π),所以α=-5π14sin(-9π14)=sin(-π+5π14)=sin(-所以α=-514π或α=-914【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·三明高一檢測)已知cos(α+π3)=-513,則sin(7π6-α)-2cos(2πA.-513 B.513 C.-1513 【解析】選A.sin(7π6-α)=sin[π+(π6-=-sin(π6-α)=-cos(π3+α)=cos(2π3-α)=-cos[π-(2π3-α)]=-cos(π3+α所以sin(7π6-α)-2cos(2π3-α)=513-2×512.(5分)(多選)(2024·佛山高一檢測)在△ABC中,下列等式恒成立的是()A.sin(A+B)-sinC=0B.cos(B+C)-cosA=0C.sinD.cos【解析】選AC.對于A,sin(A+B)-sinC=sinC-sinC=0,A正確;對于B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B錯誤;對于C,sinA+B2對于D,cosB+C2cosA13.(5分)若α是第四象限角,且tan(π3+α)=-512,cos(π6-α【解析】因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?所以-π2+2kπ<α<2kπ,k∈所以2kπ-π6<π3+α<π3+2kπ,又tan(π3+α)=-512,故π3tan(π3+α)=sin(sin2(π3+α)+cos2(π3+所以sin(π3+α)=-5所以cos(π6-α)=cos[π2-(π3+α)]=sin(π3+答案:-514.(10分)已知α是第四象限角,f(α)=sin((1)化簡f(α);【解析】(1)f(α)=sin=-=-cosα.(2)若cos(α-3π2)=35,求f(α【解析】(2)因?yàn)閏os(α-3π2)=-sinα=35,即sinα=-35,又α是第四象限角,所以cosα=1-sin2α=45,所以【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(α)=sin(1)化簡f(α);【解析】(1)由題意得f(α)=cosα(-(2)若f(α)·f(α-3π2)=-38,且-3π4<α<-π2,求f(α)+f(α【解析】(2)由(1)知f(α-3π2)=-cos(α-3π2)=-cos(α+π因?yàn)閒(α)·f(α-3π