2024-2025學年高二數(shù)學湘教版選擇性必修第二冊教學課件 第2章-2.3空間向量基本定理及坐標表示-2.3.1 空間向量的分解與坐標表示

2.3空間向量基本定理及坐標表示第2章2.3.1空間向量的分解與坐標表示學習目標1.掌握空間向量基本定理.2.會用空間向量基本定理對向量進行分解.3.

會用基底法表示空間向量.4.掌握空間向量的正交分解及坐標表示..核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、直觀想象思考空間中的任意三個向量是不是共面的？問題空間中的任意三個向量，在什么情況下才共面？新知學習思考

空間中的任意兩個向量是不是共面的？是，空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.空間中的任意三個向量可能共面，也可能不共面.提示：首先我們要知道共面向量的概念一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.一共面向量共面向量定理如果兩個向量e1，e2不共線，那么向量p與向量e1，e2共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得p＝xe1+ye2.這就是說，向量p可以用兩個不共線的向量e1，e2線性表示.

提示（1）共面向量定理中，e1與e2是不共線的，若e1與e2共線，則不成立.（2）向量共面不具有傳遞性.（3）定理中的有序?qū)崝?shù)組（x，y）是唯一的.

點評共面向量定理是判定三個向量共面的依據(jù)，四點共面問題可以轉(zhuǎn)化為三個向量共面問題去解決.

問題引入二空間向量基本定理

新知講解思考

零向量能否作為基向量？不能.零向量與任意兩個向量a，b都共面.1?空間向量基本定理設e1，e2，e3是空間中三個不共面向量，則空間中任意一個向量p可以分解成這三個向量的實數(shù)倍之和：p＝xe1+ye2+ze3，上述表達式中的系數(shù)x，y，z由p唯一確定，即若p＝xe1+ye2+ze3＝x′e1+y′e2+z′e3，則x＝x′，y＝y(tǒng)′，z＝z′.2?基與基向量如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，那么所有的空間向量組成的集合就是{p|p＝xe1+ye2+ze3，x，y，z∈R}.這個集合可以看成是由向量e1，e2，e3生成的，這時{e1，e2，e3}叫作空間的一組基，e1，e2，e3叫作基向量，（x，y，z）稱為向量p＝xe1+ye2+ze3在基{e1，e2，e3}下的坐標.判斷正誤：1.只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間的一個基底.(

)2.若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量.(

)3.如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有a與b共線.(

)4.對于三個不共面向量a1，a2，a3，不存在實數(shù)組(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(

)即時鞏固×√×√三空間向量的直角坐標表示

(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi).而它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi).一、向量共面問題典例剖析反思感悟解決向量共面的策略(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示.

二、用基表示向量∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，反思感悟基的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基.(2)判斷基時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基，并在此基礎上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷.跟蹤訓練

(1)設x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一組基，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間一組基的向量組有（）A.1個

B.2個 C.3個

D.0個B解析因為x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.如圖，可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故選B.(2)已知空間的一組基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＋y＝_____.0解析因為m與n共線，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).所以x＋y＝0.三、空間向量基本定理解連接A′N(圖略).反思感悟反思感悟用基底表示向量的步驟(1)定基：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一組基.(2)找目標：用確定的基(或已知基)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論：利用空間的一組基{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.跟蹤訓練解連接BO，1.已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一組基的一組向量是（）A.3a，a－b，a＋2b

B.2b，b－2a，b＋2aC.a，2b，b－c

D.c，a＋c，a－cC隨堂小測解析對于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，則3a，a－b，a＋2b共面，不能作為基；同理可判斷B，D中的向量共面.故選C.BD解析取PC的中點E，連接NE，BD4.(多選)已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外的任一點，則“點M與點A，B，C共面”的充分條件是（）因為2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,由上可知，BD滿足要求.5.如圖，已知?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC的長為________.∴PC＝7.7

1.知識清單：(1)空間的基.(2)空間向量基本定理