費馬點最值模型

-1-費馬點最值模型名師點睛撥開云霧開門見山費馬爾問題思考：如何找一點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最?。?當B、P、Q、E四點共線時取得最小值費馬點的定義：數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣確定的：1.如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是費馬點；2.如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。費馬點的性質：費馬點有如下主要性質：1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。費馬點最小值快速求解：費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換．秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值典題探究啟迪思維探究重點例題1.已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內一點?！螦GC=∠AGB=∠BGC=120°.求證：GA+GB+GC的值最小.注：（數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。）變式練習>>>數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣確定的：1.如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是費馬點；2.如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。第一種情況在例題1已經(jīng)證明，現(xiàn)在請畫圖并證明第二種情況。變式練習>>>1．如圖，是邊長為1的等邊內的任意一點，求的取值范圍.例題2.已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求正方形的邊長．變式練習>>>2．若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,求PB的值.例題3.如圖，矩形ABCD是一個長為1000米，寬為600米的貨場，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場內建一個收費站P，在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站臺H，設鋪設公路AP、DP以及PH之長度和為l，求l的最小值．變式練習>>>3．如圖，某貨運場為一個矩形場地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點A，D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運廣場內建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B，C兩點）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA，PD，PM．若修建每米專用車道的費用為10000元，當M，P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？（結果保留整數(shù)）例題4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延長AC到點D，使CD＝AC，過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E．（1）求D點的坐標；（2）作C點關于直線DE的對稱點F，分別連接DF、EF，若過B點的直線y＝kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）在第二問的條件下，設G為y軸上一點，點P從直線y＝kx+b與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短．（要求：簡述確定G點位置的方法，不要求證明）例題5.如圖1，已知一次函數(shù)y＝x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C．（1）求b、c的值；（2）如圖1，點D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE＝2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標；（3）將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉15°后交y軸于點G，連接CG，如圖2，P為△ACG內一點，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR①求證：PG＝RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出當PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標．達標檢測領悟提升強化落實1.如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．2.如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為（）+ B．+ C．4 D．33．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM，則AM+BM+CM的最小值為．4．將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點B、C落在格點上，點A在BC的垂直平分線上，∠ABC＝30°，點P為平面內一點．（1）∠ACB＝度；（2）如圖，將△APC繞點C順時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（3）AP+BP+CP的最小值為．5．如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設立兩個車站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．6．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如圖1，當AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如圖2，當AB＝AC，點P是△ABC內一點，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，當AC＝4，AB＝（CB＞CA），點P是△ABC內一動點，則PA+PB+PC的最小值為．7．如圖l，在△ABC中，∠ACB＝90°，點P為△ABC內一點．（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應點分別為點D、A、E，連接CE．①依題意，請在圖2中補全圖形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的長（2）如圖3，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當AC＝3，AB＝6時，根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值．8．（1）閱讀證明①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．②如圖2，已知點P為等邊△ABC外接圓的上任意一點．求證：PB+PC＝PA．（2）知識遷移根據(jù)（1）的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第二步：在上取一點P0，連接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）