《數(shù)字通信原理》課件-第5章

5.1信道編碼與差錯(cuò)控制

5.2幾種簡(jiǎn)單的差錯(cuò)控制編碼

5.3線性分組碼

5.4循環(huán)碼

本章小結(jié)

思考與練習(xí)

第5章信道編碼技術(shù)5.1信道編碼與差錯(cuò)控制在實(shí)際信道中傳輸數(shù)字信號(hào)時(shí)，由于信道傳輸特性不理想及加性噪聲的影響，接收端收到的數(shù)字信號(hào)不可避免地會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。為了在已知信噪比的情況下達(dá)到一定的比特誤碼率指標(biāo)，首先應(yīng)該合理設(shè)計(jì)基帶信號(hào)，選擇調(diào)制解調(diào)方式，采用時(shí)域、頻域均衡，使比特誤碼率盡可能降低。但實(shí)際上，許多通信系統(tǒng)中的比特誤碼率并不能滿足實(shí)際需要，此時(shí)則必須采用信道編碼，才能將比特誤碼率進(jìn)一步降低，以滿足系統(tǒng)指標(biāo)要求。5.1.1信道編碼的基本概念為提高整個(gè)系統(tǒng)的抗干擾能力，一般需要在載波調(diào)制之前對(duì)數(shù)字基帶信號(hào)進(jìn)行信道編碼。信道編碼也稱為差錯(cuò)控制編碼或糾錯(cuò)編碼，指用編碼和譯碼的方法去控制數(shù)字通信系統(tǒng)的信息比特差錯(cuò)概率的大小，以便達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)。它是提高數(shù)字信息傳輸可靠性的有效方法之一。5.1.2差錯(cuò)控制編碼的基本思想差錯(cuò)控制編碼的基本實(shí)現(xiàn)方法是在發(fā)送端給被傳輸?shù)男畔⒏缴弦恍┍O(jiān)督碼元，這些多余的碼元與信息碼元之間以某種確定的規(guī)則相互關(guān)聯(lián)。在接收端按照既定的規(guī)則校驗(yàn)信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系，一旦傳輸發(fā)生錯(cuò)誤，則信息碼元與監(jiān)督碼元的關(guān)系就受到破壞，從而使接收端可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，進(jìn)而糾正錯(cuò)誤。因此，各種編碼和譯碼方法是差錯(cuò)控制編碼所要研究的問(wèn)題。5.1.3差錯(cuò)控制方式對(duì)于不同類型的信道，應(yīng)采用不同的差錯(cuò)控制技術(shù)。常用的差錯(cuò)控制方式主要有以下3種，如圖5-1所示。圖5-13種差錯(cuò)控制方式比較

1.前向糾錯(cuò)(FEC)前向糾錯(cuò)即自動(dòng)糾錯(cuò)，發(fā)送端發(fā)送能糾正錯(cuò)誤的編碼，在接收端根據(jù)接收到的碼和編碼規(guī)則，能自動(dòng)糾正傳輸中的錯(cuò)誤。前向糾錯(cuò)方式不需要反饋通道，特別適合只能提供單向信道的場(chǎng)合，特點(diǎn)是時(shí)延小，實(shí)時(shí)性好，但傳輸效率低，譯碼設(shè)備復(fù)雜。

2.檢錯(cuò)重發(fā)(ARQ)檢錯(cuò)重發(fā)又稱為自動(dòng)反饋重發(fā)(AutomaticRepeatreQequest)。發(fā)送端采用某種能夠檢查出錯(cuò)誤的碼，在接收端根據(jù)編碼規(guī)律校驗(yàn)有無(wú)錯(cuò)碼，如果發(fā)生了錯(cuò)誤，則要求發(fā)送端重發(fā)。發(fā)送端根據(jù)接收端的要求，將包含錯(cuò)誤的部分信號(hào)重發(fā)，從而達(dá)到糾正錯(cuò)誤的目的。如重發(fā)后仍有錯(cuò)碼，則再次重發(fā)，直至檢不出錯(cuò)碼為止。檢錯(cuò)重發(fā)的優(yōu)點(diǎn)主要表現(xiàn)在:

(1)只需要少量的冗余碼,就可以得到極低的輸出誤碼率;

(2)有一定的自適應(yīng)能力。檢錯(cuò)重發(fā)的不足之處主要表現(xiàn)在：

(1)需要反向信道，故不能用于單向傳輸系統(tǒng)，并且實(shí)現(xiàn)重發(fā)控制比較復(fù)雜；

(2)通信效率低，不適合嚴(yán)格的實(shí)時(shí)傳輸系統(tǒng)。目前，這種方法在實(shí)際通信中應(yīng)用最為普遍。定比碼是指每個(gè)碼字中均含有相同數(shù)目的“1”(碼字長(zhǎng)一定，“1”的數(shù)目一定后，所含“0”的數(shù)目也就必然相同)，它是一種檢錯(cuò)碼。國(guó)際無(wú)線電通信中采用的是7中取3定比碼，碼字長(zhǎng)為7位，規(guī)定總有3個(gè)“1”。在計(jì)算機(jī)通信網(wǎng)中也常采用ARQ技術(shù)。

3.混合糾錯(cuò)(HEC)混合糾錯(cuò)就是前向糾錯(cuò)和檢錯(cuò)重發(fā)技術(shù)的結(jié)合，發(fā)送端發(fā)送糾錯(cuò)碼，在接收端經(jīng)校驗(yàn)，如果錯(cuò)碼較少且在糾錯(cuò)能力之內(nèi)，則譯碼器自動(dòng)糾錯(cuò)。如果錯(cuò)碼較多，已超過(guò)糾錯(cuò)能力，此時(shí)自動(dòng)發(fā)出信號(hào)，通過(guò)反向信道控制發(fā)送端重發(fā)?；旌霞m錯(cuò)具有前向糾錯(cuò)和自動(dòng)反饋重發(fā)的特點(diǎn)，需要反向信道和復(fù)雜的設(shè)備，但它能更好地發(fā)揮檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力，在較差的信道中也能獲得較低的誤碼率。5.1.4差錯(cuò)控制編碼的分類差錯(cuò)控制編碼的分類很多，通常按以下方式對(duì)其進(jìn)行分類。

(1)按照差錯(cuò)控制編碼功能的不同，可將差錯(cuò)控制編碼分為檢錯(cuò)碼、糾錯(cuò)碼和糾刪碼。檢錯(cuò)碼僅能檢測(cè)誤碼；糾錯(cuò)碼僅可糾正誤碼；糾刪碼則兼有糾錯(cuò)和檢錯(cuò)能力，當(dāng)發(fā)現(xiàn)不可糾正的錯(cuò)誤時(shí)，可以發(fā)出錯(cuò)誤信息指示或者簡(jiǎn)單地刪除出現(xiàn)的、不可糾正的錯(cuò)誤信息段落。

(2)按照信息碼元與附加的監(jiān)督碼元之間的檢驗(yàn)關(guān)系，可將差錯(cuò)控制編碼分為線性碼與非線性碼。若監(jiān)督碼元與信息碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼；否則，稱為非線性碼。

(3)按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間約束方式的不同，可將差錯(cuò)控制編碼分為分組碼與卷積碼兩類。在分組碼中，編碼后的碼元序列每n位分為一組，其中包括k個(gè)信息碼元和r個(gè)附加的監(jiān)督碼元，即n=k+r。每組的監(jiān)督碼元僅與本組的信息碼元有關(guān)，而與其它碼組的信息碼元無(wú)關(guān)。卷積碼則不同，雖然編碼后也劃分為碼組，但監(jiān)督碼元不僅與本組信息碼元有關(guān)，而且還和其它碼組的信息碼元有關(guān)。

(4)按照信息碼元在編碼后是否保持原來(lái)的形式，可將差錯(cuò)控制編碼分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。

(5)按照糾正錯(cuò)誤類型的不同，可將差錯(cuò)控制編碼分為糾正隨機(jī)錯(cuò)誤碼和糾正突發(fā)錯(cuò)誤碼。隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器統(tǒng)一起來(lái)綜合設(shè)計(jì)，這就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。5.2幾種簡(jiǎn)單的差錯(cuò)控制編碼下面介紹幾種簡(jiǎn)單的差錯(cuò)控制編碼，這些碼編碼簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，檢錯(cuò)能力又較強(qiáng)，在實(shí)際中應(yīng)用比較廣泛。我們首先來(lái)了解幾個(gè)重要的概念。5.2.1碼長(zhǎng)、碼重與碼距

(1)碼長(zhǎng):碼字中碼元的數(shù)目。

(2)碼重:碼字中非0數(shù)字的數(shù)目，一般用W表示。

(3)碼距:兩個(gè)等長(zhǎng)碼字之間對(duì)應(yīng)位不同的數(shù)目，有時(shí)也稱為這兩個(gè)碼字的漢明(Hamming)距離，簡(jiǎn)稱碼距，用d表示。例如:碼字10010101和碼字10111101，其碼距為d=2。

(4)最小碼距:在碼字集合中全體碼字之間距離的最小數(shù)值。糾錯(cuò)碼的抗干擾能力完全取決于許用碼字之間的距離，碼的最小距離越大，說(shuō)明碼字間的最小差別越大，抗干擾能力就越強(qiáng)。5.2.2糾/檢錯(cuò)能力與最小碼距的關(guān)系在編碼的碼組集合中，任何兩個(gè)可用碼組之間距離的最小值稱為最小碼距dmin。dmin越大，說(shuō)明兩個(gè)碼字之間的差別越大，檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力也就越強(qiáng)。最小碼距是信道編碼的一個(gè)重要參數(shù)，它直接與編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力相關(guān)。一般情況下，對(duì)于分組碼有以下結(jié)論。

(1)要檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，最小距離應(yīng)滿足dmin≥e+1

(5-1)由圖5-2可知，若c1中發(fā)生了e個(gè)錯(cuò)誤變?yōu)?/p>

,則d(c1，)=e，設(shè)e=d－1，則d(，c2)=1，故≠c2，因此譯碼器不會(huì)錯(cuò)判為c2，檢測(cè)到e=d－1個(gè)錯(cuò)誤。

(2)為糾正t個(gè)錯(cuò)誤，最小距離應(yīng)滿足dmin≥2t+1

(5-2)由圖5-3可知，若c1與c2是(n，k)碼中任兩個(gè)碼字距離的最小者，且為2t+1，則發(fā)生t個(gè)錯(cuò)誤以后變成，它們之間的距離d(c1，)=t，但d(，c2)=t+1。d(，c2)>d(c1，),所以譯碼器可根據(jù)它們之間距離的大小來(lái)正確譯碼，從而能糾正t個(gè)錯(cuò)誤。

(3)為糾正t個(gè)錯(cuò)誤，同時(shí)又能夠檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)誤，最小碼距應(yīng)滿足dmin≥t+e+1(e>t)

(5-3)圖5-2糾錯(cuò)碼糾錯(cuò)能力圖示一圖5-3糾錯(cuò)碼糾錯(cuò)能力圖示二5.2.3奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼(又稱為奇偶校驗(yàn)碼)是一種最簡(jiǎn)單的檢錯(cuò)碼，它的基本思想是在n－1位信息碼元后面附加一位監(jiān)督碼元，構(gòu)成(n，n－1)的分組碼，監(jiān)督碼元的作用是使碼長(zhǎng)為n的碼組中“1”的個(gè)數(shù)保持為奇數(shù)或偶數(shù)。碼組中“1”的個(gè)數(shù)保持為奇數(shù)的編碼稱為奇數(shù)監(jiān)督碼，保持為偶數(shù)的編碼稱為偶數(shù)監(jiān)督碼。

一般情況下，奇偶監(jiān)督碼的編碼規(guī)則是首先將要發(fā)送的二進(jìn)制信息分組，然后對(duì)所有信息碼元和監(jiān)督碼元進(jìn)行模2加，選擇正確的監(jiān)督碼元，以保證模2加的結(jié)果為0(偶校驗(yàn))或1(奇校驗(yàn))。假設(shè)要傳送的信息碼元為n－1位，即an－1，an－2，…，a2，a1。在偶數(shù)監(jiān)督碼中，就是要使碼組中“1”的數(shù)目為偶數(shù)，即滿足下式:an－1⊕an－2⊕…⊕a0=0

(5-4)式中，⊕表示模2加，a0為監(jiān)督位，其它為信息位。這種碼能夠檢測(cè)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼。在接收端將碼組中各碼元模2加，若結(jié)果為“1”，就說(shuō)明存在錯(cuò)碼，若為“0”，就認(rèn)為無(wú)錯(cuò)。奇數(shù)監(jiān)督碼與其相似，只不過(guò)其碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù)，即滿足an－1⊕an－2⊕…⊕a0=1

(5-5)

奇偶監(jiān)督碼最小碼距為2，無(wú)論是奇校驗(yàn)還是偶校驗(yàn)，都只能檢測(cè)出單個(gè)或奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，而不能檢測(cè)出偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，因此檢錯(cuò)能力低，但編碼效率隨著n的增加而提高。5.2.4水平奇偶監(jiān)督碼水平奇偶監(jiān)督碼是奇偶監(jiān)督碼的一種改進(jìn)形式，該編碼方式是將信息按奇(偶)監(jiān)督規(guī)則進(jìn)行編碼，然后將信息以每個(gè)碼組一行排成一個(gè)陣列，在發(fā)送端按列的順序發(fā)送，在接收端也以列的順序排成方陣，然后進(jìn)行奇(偶)校驗(yàn)，所以稱之為水平奇偶校驗(yàn)。如表5-1所示的例子采用的是偶校驗(yàn)。發(fā)送時(shí)，該碼以列的形式，即1100110、0010011、0001111、1100000、0111101、0010011、0110100的形式發(fā)送，而在接收端將所接收的信號(hào)以列的形式排列，可得表5-1所示的陣列。5.2.5水平垂直奇偶監(jiān)督碼水平垂直奇偶監(jiān)督碼是在水平奇偶監(jiān)督碼的基礎(chǔ)上提出的一種改進(jìn)形式，它不僅對(duì)每一行進(jìn)行奇偶校驗(yàn)，同時(shí)對(duì)每一列也進(jìn)行奇偶校驗(yàn)。如表5-2所示的例子采用的是偶校驗(yàn)。發(fā)送時(shí)，該碼是按11001100、00100111、00011110、11000000、01111011、00100111、01101001的順序發(fā)送，而在接收端將所接收的信號(hào)以列的形式排列，可得表5-2所示的陣列。水平垂直奇偶監(jiān)督碼不僅能檢測(cè)每一行以及每一列的奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，還能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度不大于行數(shù)或列數(shù)的突發(fā)錯(cuò)誤。5.2.6群計(jì)數(shù)碼群計(jì)數(shù)碼是將信息碼元分組之后，計(jì)算出每個(gè)信息碼組中“1”的數(shù)目，然后將這個(gè)數(shù)目用二進(jìn)制表示，并作為監(jiān)督碼元附加在信息碼元后面一起傳輸。例如:01100100共有3個(gè)“1”，用二進(jìn)制011表示十進(jìn)制的3，故傳輸碼組變?yōu)?1100100011。群計(jì)數(shù)碼的檢錯(cuò)能力很強(qiáng)，除了“1”變“0”和“0”變“1”的錯(cuò)誤成對(duì)出現(xiàn)之外，能檢測(cè)出所有形式的錯(cuò)誤。5.3線性分組碼5.3.1線性分組碼的定義與性質(zhì)前面介紹的奇偶監(jiān)督碼，其編碼原理利用了代數(shù)關(guān)系式。這種建立在代數(shù)基礎(chǔ)上的編碼稱為代數(shù)碼。線性分組碼是最常見的代數(shù)碼，這種碼每組碼元共有n位，包括k個(gè)信息碼元和r=n－k個(gè)監(jiān)督碼元，其中，(n－k)個(gè)監(jiān)督碼元是由信息碼元的線性運(yùn)算產(chǎn)生的。就是說(shuō)，通過(guò)預(yù)定的線性運(yùn)算將長(zhǎng)為k位的信息碼組變換成n(n>k)重的碼字，這樣形成的碼為分組碼。如直接將(n－k)位附加碼元附加在信息位后面所構(gòu)成的分組碼稱為系統(tǒng)分組碼，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)碼。設(shè)待傳信息位數(shù)為k，即M=(m1，m2，…，mk)，編碼后的碼字C=(c1，c2，…，cn)，n>k。如果這種變換所依據(jù)的規(guī)則為下列一組函數(shù)關(guān)系式:(5-6)且函數(shù)f1，f2，…，fn都是線性函數(shù)，則由此所編出的碼為線性分組碼，否則為非線性碼。一般情況下，我們用符號(hào)(n，k)來(lái)表示線性分組碼，其中，n表示編碼后碼組的總長(zhǎng)度，k表示該線性分組碼的信息碼元的個(gè)數(shù)，監(jiān)督碼元個(gè)數(shù)為n－k個(gè)，所以線性分組碼的編碼效率為(5-7)

編碼效率或編碼速率也簡(jiǎn)稱為碼率，它表明了信道利用效率，所以也叫做傳信率。η是衡量碼性能的一個(gè)重要參數(shù)。η越大，碼的效率或傳信率越高。由線性分組碼的定義可知，不同的線性分組碼對(duì)應(yīng)著不同的線性方程組，也就是說(shuō)，對(duì)于每一線性分組碼，將有唯一的生成矩陣和監(jiān)督矩陣。為了解釋生成矩陣和監(jiān)督矩陣，下面我們以一具體例子來(lái)說(shuō)明。例5-1設(shè)n=7，k=4，碼字按下面的線性關(guān)系進(jìn)行編碼：c1=m1c2=m2c3=m3c4=m4c5=m1+m3+m4c6=m1+m2+m3c7=m2+m3+m4

解將其寫成矩陣形式為令則C=MG

編碼后的碼字如表5-3所示。同時(shí)由上述線性關(guān)系，還可得：即

將上式寫成矩陣形式為令則HCT=0

通過(guò)本例我們可以看出，由式C=MG或者HCT=0就可以確定碼字，于是稱矩陣G為生成矩陣，稱矩陣H為監(jiān)督矩陣。線性分組碼還具有以下一些性質(zhì):

(1)碼字集中碼元之間的任意線性組合仍是合法碼字，即碼字集對(duì)線性組合運(yùn)算具有封閉性。

(2)碼的最小距離等于非零碼的最小碼重。5.3.2幾種典型的線性分組碼

1.漢明碼漢明碼是美國(guó)科學(xué)家Hamming于1950年提出來(lái)的，是一種高效的能糾單個(gè)錯(cuò)誤的線性分組碼。其高效性體現(xiàn)在其糾單個(gè)錯(cuò)誤時(shí)，所用的監(jiān)督碼元最少，與其它碼長(zhǎng)相同的能糾單個(gè)錯(cuò)誤的碼相比，編碼效率最高，被廣泛用于數(shù)字通信和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)系統(tǒng)中。漢明碼(n，k)的參數(shù)如下：

(1)監(jiān)督碼元數(shù)目：r=n－k，r是不小于3的任意正整數(shù)(因?yàn)橐mt位錯(cuò)誤，所以dmin>2t+1)；

(2)碼長(zhǎng):n=2r－1；

(3)信息碼元數(shù)目：k=2r－1－r；

(4)最小距離：dmin=3；

(5)糾錯(cuò)能力：t=1。

2.BCH碼

BCH碼是一種非常重要的循環(huán)碼，它解決了生成多項(xiàng)式與最小碼距之間的關(guān)系，是線性分組碼中應(yīng)用最為普遍的一類碼。在定義BCH碼之前，首先要了解本原多項(xiàng)式。如果一個(gè)m次多項(xiàng)式f(x)滿足以下3個(gè)條件:

(1)f(x)是既約的；

(2)f(x)可以整除xn+1，其中n=2m－1；

(3)

q<n，f(x)不能整除xq+1。則稱f(x)是一個(gè)最高次數(shù)為m的本原多項(xiàng)式。

BCH碼可分為本原BCH碼和非本原BCH碼兩類。它們的主要區(qū)別在于本原BCH碼的生成多項(xiàng)式g(x)中含有最高次數(shù)為m的本原多項(xiàng)式，而且碼長(zhǎng)n=2m－1；非本原BCH碼的生成多項(xiàng)式g(x)中不含有這種本原多項(xiàng)式，而且碼長(zhǎng)n是2m－1的一個(gè)因子，即n一定能整除2m－1。

BCH碼長(zhǎng)n、監(jiān)督碼元數(shù)目r和糾錯(cuò)能力t之間的關(guān)系如下:對(duì)于任意整數(shù)m和t≤m/2，必定存在一個(gè)碼長(zhǎng)為n=2m－1、監(jiān)督位數(shù)r=n－k≤mt，并能糾正所有不大于t個(gè)錯(cuò)誤的BCH碼。

3.最大長(zhǎng)度碼最大長(zhǎng)度碼也稱為m序列，是漢明碼的對(duì)偶碼，即以漢明碼的校驗(yàn)矩陣作為生成矩陣的碼。其碼長(zhǎng)為n=2m－1，信息碼元數(shù)目為m，最小距離dmin=2m－1。最大長(zhǎng)度碼也稱為偽隨機(jī)或偽噪聲碼，在擴(kuò)頻通信和衛(wèi)星通信中都有廣泛的應(yīng)用。5.4循環(huán)碼5.4.1循環(huán)碼的定義與性質(zhì)從上一節(jié)的例5-1的編碼中可以看出，由生成矩陣得到的碼字為1000110、0100011、1010001、1101000、0110100、0011010、0001101、1001011、1100101、1110010、0111001、1011100、0101110、0010111、1111111、0000000，這些碼字不論經(jīng)過(guò)怎樣的循環(huán)移位，移位后碼字仍然是這些碼字中的內(nèi)容，我們把具有這種特性的線性分組碼叫做循環(huán)碼。循環(huán)碼是線性分組碼的一個(gè)重要子集，是線性分組碼中最主要、最有用的一類，也是目前研究得最成熟的一類碼。循環(huán)碼具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)結(jié)構(gòu)和許多特殊的代數(shù)性質(zhì)，這些性質(zhì)有助于按所要求的糾錯(cuò)能力系統(tǒng)地構(gòu)造循環(huán)碼，且易于實(shí)現(xiàn)；同時(shí)循環(huán)碼的性能也較好，具有較強(qiáng)的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力；編譯電路簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。循環(huán)碼最引人注目的兩個(gè)特點(diǎn)是:

(1)循環(huán)封閉性，即循環(huán)碼經(jīng)過(guò)循環(huán)移位后仍為循環(huán)碼組中的許用碼字。

(2)用反饋線性移位寄存器可很容易地實(shí)現(xiàn)其編碼和伴隨式計(jì)算。5.4.2循環(huán)碼的編碼原理循環(huán)碼的主要優(yōu)點(diǎn)之一是其編碼過(guò)程很容易用移位寄存器來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于生成多項(xiàng)式g(x)可以惟一地確定循環(huán)碼，因此編碼方法可基于生成多項(xiàng)式g(x)。下面將給出一種基于g(x)的編碼方案。首先根據(jù)給定循環(huán)碼的參數(shù)確定生成多項(xiàng)式g(x)，也就是從xn+1的因子中選一個(gè)(n－k)次多項(xiàng)式作為g(x)；然后利用循環(huán)碼的編碼特點(diǎn)，即所有循環(huán)碼多項(xiàng)式C(x)都可以被g(x)整除的特點(diǎn)，來(lái)定義生成多項(xiàng)式g(x)。設(shè)要產(chǎn)生(n，k)系統(tǒng)循環(huán)碼，m(x)表示信息多項(xiàng)式，則其次數(shù)必小于k。其編碼主要按照以下三步進(jìn)行:

(1)用xn－k乘m(x)，實(shí)際上是給信息碼后附加上(n－k)個(gè)“0”。例如，信息碼為110，信息多項(xiàng)式m(x)=x2+x。當(dāng)n－k＝7－3＝4時(shí)，xn－km(x)=x6+x5，相當(dāng)于1100000。

(2)除以g(x)，可得余數(shù)r(x)。

(3)r(x)加到信息位后作為監(jiān)督位，就得到了系統(tǒng)循環(huán)碼多項(xiàng)式C(x)=xn－km(x)+r(x)。例5-2(7，4)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)=x3+x+1，信息碼m=［1010］，系統(tǒng)碼碼字多項(xiàng)式C(x)為多少?解：由于m=［1010］，因此m(x)=x3+x(5-8)xn－km(x)=x6+x4

(5-9)所以C(x)=xn－km(x)+r(x)=x6+x4+x+1

(5-10)編碼后的碼字為c=［1010011］。在實(shí)際中，對(duì)于以上三步的實(shí)現(xiàn)通常采用一個(gè)除法電路來(lái)完成，該電路是根據(jù)生成多項(xiàng)式做出的一個(gè)(n－k)級(jí)帶反饋的線性移位寄存器。在此我們以例5-1的(7，4)循環(huán)碼為例，其編碼電路如圖5-4所示。圖5-4(7，4)循環(huán)碼的編碼電路循環(huán)碼的工作過(guò)程如下:

(1)首先將3級(jí)寄存器清零，門1開，門2關(guān)，將信息碼元m=［1010］依次輸入電路，一方面由異或門輸出，另一方面送至生成多項(xiàng)式的除法電路，完成監(jiān)督位的生成，同時(shí)m(x)從高端輸出，實(shí)現(xiàn)了xn－km(x)，即信息碼元的移位。

(2)經(jīng)過(guò)4次移位后，m(x)已經(jīng)輸出，同時(shí)寄存器生成了監(jiān)督位r(x)。

(3)此時(shí)門1關(guān)，門2開。經(jīng)過(guò)n－k＝7－4＝3次移位后輸出監(jiān)督元。此時(shí)加上前面4位信息元就組成了一個(gè)7位的碼字。

(4)將3級(jí)寄存器清零，門1開，門2關(guān)，對(duì)第二個(gè)碼字進(jìn)行編碼。5.4.3循環(huán)碼的譯碼對(duì)(n，k)循環(huán)碼，設(shè)發(fā)送碼字C(x)=cn－1xn－1+cn－2xn－2+…+c1x+c0，通過(guò)譯碼后接收碼字為R(x)=rn－1xn－1+rn－2xn－2+…+r1x+r0?？紤]到信道干擾，接收碼字存在一定的錯(cuò)誤，設(shè)錯(cuò)誤圖樣為E(x)=en－1xn－1+en－2xn－2+…+e1x+e0，則R(x)=C(x)+E(x)。于是譯碼的主要任務(wù)就是如何從R(x)中正確地估計(jì)出C(x)，以此得到信息碼元m(x)。由于循環(huán)碼是線性碼的一種特殊情況，因此其譯碼同線性分組碼一樣，可分為以下三步進(jìn)行:

(1)由接收碼字R(x)計(jì)算伴隨式S(x)；

(2)根據(jù)伴隨式S(x)確定錯(cuò)誤圖樣E(x)；

(3)R(x)－E(x)=，得到譯碼器輸出的估計(jì)碼字，并送出譯碼器給用戶，檢測(cè)是否正確。上述第(1)步運(yùn)算和檢錯(cuò)譯碼類似，也就是求解R(x)整除g(x)的余式，即s(x)=R(x)/g(x)≡E(x)modg(x)。當(dāng)s(x)=0時(shí)，譯碼正確；反之，則譯碼有錯(cuò)。同時(shí)由于生成多項(xiàng)式g(x)的次數(shù)為n－k，則必定不大于n－k，即伴隨式矢量［sn－k－1

sn－k－2…s1

s0］的2n－k個(gè)狀態(tài)與錯(cuò)位相對(duì)應(yīng)。下面我們以(7，4)循環(huán)碼為例，來(lái)說(shuō)明循環(huán)碼的譯碼。對(duì)于(7，4)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)=x3+x+1，當(dāng)不存在錯(cuò)位，即譯碼正確時(shí)，E(x)=0,則s(x)=E(x)modg(x)=0，［s2

s1

s0］=［000］，接收碼字R(x)=C(x)。若E(x)中e0=1，則s(x)=E(x)modg(x)=1，［s2

s1

s0］=［001］，接收碼字中r0位有錯(cuò)。若E(x)中e1=1，則s(x)=E(x)modg(x)=x，［s2

s1

s0］=［010］，接收碼字中r1位有錯(cuò)。若E(x)中e2=1，則s(x)=E(x)modg(x)=x2，［s2

s1

s0］=［100］，接收碼字中r2位有錯(cuò)。若E(x)中e3=1，則s(x)=E(x)modg(x)=x+1，［s2

s1

s0］=［011］，接收碼字中r3位有錯(cuò)。若E(x)中e4=1，則s(x)=E(x)modg(x)=x2+x，［s2

s1

s0］=［110］，接收碼字中r4位有錯(cuò)。若E(x)中e5=1，則s(x)=E(x)modg(x)=x2+x+1，［s2

s1

s0］=［111］，接收碼字中r5位有錯(cuò)。若E(x)中e6=1，則s(x)=E(x)modg(x)=x2+1，［s2

s1

s0］=［101］，接收碼字中r6位有錯(cuò)。用表格表示見表5-4。從上面的譯碼可以看出，錯(cuò)誤圖樣、伴隨式s(x)與錯(cuò)位是一一對(duì)應(yīng)的。在循環(huán)碼的譯碼方法中，基于錯(cuò)誤圖樣識(shí)別的譯碼器稱為梅吉特譯碼器，其錯(cuò)誤圖樣識(shí)別器是一個(gè)具有(n－k)個(gè)輸入端的邏輯電路，原則上可