2025屆四川省成都市郫都區(qū)高三三模數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

成都市郫都區(qū)高2022級(jí)階段性檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)說明：1．本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答.第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的．）1.如圖所示，集合是全集的三個(gè)真子集，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由韋恩圖寫出陰影部分的對(duì)應(yīng)集合即可.【詳解】由韋恩圖知：陰影部分表示對(duì)應(yīng)元素不屬于集合，但屬于集合，所以陰影部分所表示的集合是.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)、向量的知識(shí)確定正確答案.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A3.已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得直線的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)來求得.【詳解】圓，即，圓心為，半徑；圓，即，圓心為，半徑.兩個(gè)圓的方程相減并化簡(jiǎn)得，將代入得，此時(shí)圓，，，滿足兩圓相交，符合題意.故選：B4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，由，可得與，結(jié)合兩角差的正切公式可得解.【詳解】由，可得，又，所以，故，，又，解得，故選：B.5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是正六邊形的中心，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】據(jù)題意求出正六邊形半徑，設(shè)出的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積和半徑列出方程組，求解即可.【詳解】由題，設(shè)，解得故選C.【點(diǎn)睛】本題目考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積，熟悉向量的公式是解題的關(guān)鍵，難度系數(shù)一般.6.數(shù)列是等差數(shù)列，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使不等式成立的的最小值為（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而得到，再利用裂項(xiàng)相消法求，解對(duì)應(yīng)的不等式即可得解.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，則，所以其公差為，，所以，則，所以，則，又，解得，即n的最小值為.故選：C7.函數(shù)，若方程有四個(gè)不等的實(shí)根，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.取值范圍為【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的性質(zhì)作出的圖象，結(jié)合圖象對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，易得上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，則，易得在上單調(diào)遞增，且，即，當(dāng)時(shí)，，則由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，，，從而利用對(duì)數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的性質(zhì)，畫出的圖象，如圖所示，因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不等的實(shí)根，所以與的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A中分析可得，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖像可知與關(guān)于對(duì)稱，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，令，得，所以，，又由圖像可知同增同減，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷有以下方法，（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．8.在空間直角坐標(biāo)系中，平面、平面、平面把空間分成了八個(gè)部分.在空間直角坐標(biāo)系中，確定若干個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均取自集合，這樣的點(diǎn)共有個(gè)，從這個(gè)點(diǎn)中任選2個(gè)，則這2個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列組合及古典概型的概率的知識(shí)計(jì)算即可.【詳解】由題意得，從這個(gè)點(diǎn)中任選2個(gè)，共有種選法，在坐標(biāo)系同一部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)的正負(fù)均相同，所以八個(gè)部分中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為，從這27個(gè)點(diǎn)中任選2個(gè)，若這2個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)部分，概率為所以這2個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)部分的概率為．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分．）9.把一邊不光滑的一條紙（A，B）卷成小筒，得到的是（1～4）中的小筒，其中配對(duì)正確的是（）A.A—4 B.A—2C.B—3 D.B—1【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合實(shí)際操作可以得到對(duì)應(yīng)結(jié)果【詳解】解：將紙和紙卷成小筒時(shí)，需要注意紙的不光滑邊在卷成筒后的位置.對(duì)于紙，其光滑邊在紙的一側(cè)，當(dāng)卷成筒時(shí)，光滑邊會(huì)形成筒的一條螺旋線，與圖相符.對(duì)于紙，其不光滑邊在紙的一端，當(dāng)卷成筒時(shí)，不光滑邊會(huì)形成筒的一端的鋸齒狀邊緣，與圖相符.故選：AD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的值域?yàn)锽.是的極小值點(diǎn)C.若，則D.若過點(diǎn)的曲線的切線有且僅有兩條，則a的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，判斷A，B；由題意得，是函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可判定C；設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，將點(diǎn)P代入，化簡(jiǎn)后方程有兩根，即可得到的取值范圍，判斷D.【詳解】根據(jù)題意，，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，且，所以的值域?yàn)椋珹錯(cuò)誤，B正確；由，可得，，令，是函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，因此，即，C正確；設(shè)切點(diǎn)為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即方程有兩個(gè)解，則，解得或，D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)C中把，看成函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱是解題關(guān)鍵點(diǎn).11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如圖，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在上B.面積的最大值為1C.曲線恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）D.【答案】BCD【解析】【分析】將點(diǎn)代入曲線的方程即可判斷；取求，求直線與曲線的交點(diǎn)，即可判斷；求直線與曲線的交點(diǎn)，即可判斷；求出坐標(biāo)平面內(nèi)到定點(diǎn)，的距離和為的點(diǎn)的軌跡方程，求該軌跡方程與曲線的交點(diǎn)，即可判斷.【詳解】將點(diǎn)代入曲線的方程左側(cè)可得，所以點(diǎn)不在上，故錯(cuò)誤；取可得，所以，，所以，由曲線可得，因?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，代入曲線的方程成立，所以直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值為，所以面積的最大值為，故正確；取可得，所以，，取可得，所以直線與曲線交于點(diǎn)，直線與曲線交于點(diǎn)，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，，，，故正確；坐標(biāo)平面內(nèi)到定點(diǎn)，的距離和為的點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，由已知可得，又，，所以，所以橢圓方程為，聯(lián)立，所以，所以，所以，所以，故橢圓與曲線的交點(diǎn)為，，如圖，故曲線上所有點(diǎn)都滿足，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合曲線方程，確定曲線的范圍及曲線上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).第II卷（非選擇題共92分）注意事項(xiàng)：必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12____________.【答案】【解析】【詳解】.故答案為.13.已知，則_____．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】令，從而得到，寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.【詳解】令，則，所以，即為，又展開式的通項(xiàng)為，（其中且），所以.故答案為：14.設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，為內(nèi)一點(diǎn)，若上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓離心率的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】令橢圓的左焦點(diǎn)為，利用橢圓的定義可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍，即可求得橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】令橢圓的左焦點(diǎn)為，則，由橢圓的定義知，則，設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)（如圖），而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)取等號(hào).當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在內(nèi)，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題（本大題共5小題共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.現(xiàn)將近幾日某地區(qū)門鎖銷售的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：第x天1234567數(shù)量y200260280350420440500（1）若y與x線性相關(guān)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)第10天該地區(qū)門鎖的銷售數(shù)量；（參考公式和數(shù)據(jù):）（2）某人手里有三把鑰匙，其中只有一把可以打開門鎖，他現(xiàn)在無法分清哪一把能夠打．記X為他有放回的進(jìn)行開鎖時(shí)的開鎖次數(shù)，Y為他無放回的進(jìn)行開鎖時(shí)的開鎖次數(shù)．求的概率．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)先求出平均數(shù)，再代入公式計(jì)算可求得，得出回歸方程后進(jìn)而可預(yù)測(cè)結(jié)果；（2）分別判斷出有放回和無放回的分布模型，再分情況討論即可計(jì)算出概率.【小問1詳解】依題意可得；又，所以，可知，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，將代入該方程可得預(yù)測(cè)第10天該地區(qū)門鎖的銷售數(shù)量為；【小問2詳解】有放回時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率為；無放回時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率為；若，則有以下情況：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)概率；當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)概率為;因此可得的概率為.16.已知雙曲線的離心率為2，的頂點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）已知直線過原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，若直線過點(diǎn)，且四邊形的面積為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）直線的方程為或.【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率得雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)頂點(diǎn)到漸近線的距離求得的值，從而得的值，即可得雙曲線的方程；（2）由題可設(shè)直線，，則，聯(lián)立直線與雙曲線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)四邊形的面積求得的值，即可得直線的方程.【小問1詳解】雙曲線的離心率為，則，所以，故雙曲線的漸近線方程為，即，雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為，則，故，所以雙曲線的方程為；【小問2詳解】已知直線過原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由題可設(shè)直線，，則，聯(lián)立，則且，得或，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以四邊形的面積，則，整理得，解得或，所以或，所以直線的方程為或.17.在四棱錐中，平面．（1）證明：平面．（2）若底面，底面為矩形，，E為棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線與底面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由線面平行性質(zhì)定理證明，再由線面平行的判定定理證得結(jié)論；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出數(shù)量積的表達(dá)式，由此可得數(shù)量積取最小值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)，再由空間向量法求線面角．【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面．【小?詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，依題意可設(shè)，則，所以，當(dāng)且時(shí)，取得最小值，此時(shí)．易知平面的一個(gè)法向量為，故當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與底面所成角的正弦值為．18.設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，．（1）求角；（2）點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，求的面積；（3）如圖所示，點(diǎn)是外一點(diǎn)，若，且，記的周長(zhǎng)為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正余弦定理以及誘導(dǎo)公式求解即可；（2）根據(jù)為邊的中點(diǎn)得到，兩邊平方后結(jié)合余弦定理求解即可；（3）利用正弦定理得到和，再利用余弦定理結(jié)合誘導(dǎo)公式以及二倍角公式得到，寫出的表達(dá)式，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】由可得，由正弦定理得，，所以，即．由余弦定理，又因?yàn)?，因此；或者：由?nèi)角和定理得，由正弦定理可知，所以，即．由余弦定理，又因?yàn)?，因此；【小?詳解】因?yàn)橹芯€，所以；兩邊同時(shí)平方得，即，在中，，由余弦定理可得，可得，所以；【小問3詳解】在中，由正弦定理可得，即，在中，由正弦定理可得，即．因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為，且，所以，在中，所以，則，，因?yàn)樵谥?，所以，則，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）問的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用正弦定理將邊化角，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.19.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)與，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則稱為“周期函數(shù)”.（1）求，的值，使得為“周期函數(shù)”；（2）若為“周期函數(shù)”，證明：為周期函數(shù)；（3）已知為“周期函數(shù)”，記函數(shù).若在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）4046【解析】【分析】（1）根據(jù)為“周期函數(shù)”的定義，列出方程組即可求解；（2）由為周期函數(shù)可得，設(shè)，由周期函數(shù)的定義即可證明；（3）若在區(qū)間上單調(diào)遞減可知在上恒成立，即，fn>xex?2024，則.設(shè)，則，結(jié)合數(shù)列相關(guān)知識(shí)即可求解.【小問1詳解】令為周期函數(shù)，則，.化簡(jiǎn)得：，則，解得，故為