第七章 復(fù)數(shù)（思維導(dǎo)圖+知識清單） 高一數(shù)學(xué) （人教A版2019必修第二冊）

第七章復(fù)數(shù)（思維導(dǎo)圖+知識清單）【人教A版（2019）】7.1復(fù)數(shù)的概念【知識點1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念】1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的引入

為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們引入一個新數(shù)i，規(guī)定：

①，即i是方程的根；

②實數(shù)可以和數(shù)i進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，且加法和乘法的運(yùn)算律仍然成立.

在此規(guī)定下，實數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.注意到所有實數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中.(2)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.(4)復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復(fù)數(shù)，

復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.【知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義】1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.2．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復(fù)數(shù)(1)定義

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則.特別地，實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①.

②實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù).4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標(biāo)原點的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【知識點1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】1．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)，(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運(yùn)算律

對任意∈C，有

①交換律：；

②結(jié)合律：.(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)，(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)，(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復(fù)數(shù)的差對應(yīng)的向量是，即向量.如果作，那么點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)，(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對于任意∈C，有

①交換律：；

②結(jié)合律：；

③分配律：.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然成立.即對于任意復(fù)數(shù)z，z1，z2和正整數(shù)m,n，有，，.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(2)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)，(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是Z1(a,b)，Z2(c,d)，則，又復(fù)數(shù)=(a-c)+(b-d)i，則.

故，即表示復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.6．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【知識點2復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】1．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)?>0時，方程有兩個不相等的實根，；

當(dāng)?=0時，方程有兩個相等的實根；

當(dāng)?<0時，方程有兩個虛根，，且兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).2．復(fù)數(shù)的方程的解題策略(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.7.3復(fù)數(shù)的三角表示【知識點1復(fù)數(shù)的三角表示式】1．復(fù)數(shù)的三角表示式(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角θ來表示復(fù)數(shù)z.

一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.概念名稱概念的說明模rr是復(fù)數(shù)z的模，)輻角θθ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，且三角形式r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式，該式的結(jié)構(gòu)特征是：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連(2)輔角的主值

顯然，任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.例如，復(fù)數(shù)i的輻角是，其中k可以取任何整數(shù).對于復(fù)數(shù)0，因為它對應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.我們規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值.通常記作argz，即0≤argz<2π.(3)三角形式下的復(fù)數(shù)相等每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.【知識點2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義】1．復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到，

即.

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(2)幾何意義兩個復(fù)數(shù)z1，z2相乘時，可以像圖那樣，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.2．復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)