湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期高考模擬（一）數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題（一）數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把對(duì)應(yīng)題目所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合函數(shù)的最小正周期不小于，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦函數(shù)周期公式求出集合，求出函數(shù)的定義域化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】依題意，，解之得，則集合；，解之得，則集合，所以.故選：A2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則的值為（）A.42 B.62 C.63 D.126【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算求得其通項(xiàng)公式，再求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用求和公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，，故；由，得，，故；故，故選：D3.已知兩個(gè)不同的平面，和兩條不同的直線m，n滿足，，則“，平行”是“m，n不相交”的（）A.充要條件 B.充分非必要條件 C.必要非充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】直接分析，由當(dāng)，平行時(shí)，直線m，n無公共點(diǎn)，則m，n不相交，可得充分性，當(dāng)m，n不相交時(shí)，若，，則滿足題設(shè)條件，但不能推出，平行，說明直線m，n不相交不能推出，平行.【詳解】當(dāng)，平行時(shí)，由，可知直線m，n無公共點(diǎn)，則m，n不相交，故為充分條件；當(dāng)m，n不相交時(shí)，滿足，，，，則滿足題設(shè)條件，但不能推出，平行，說明直線m，n不相交不能推出，平行；故選：B.4.已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)雙曲線的知識(shí)求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】由得，所以拋物線焦點(diǎn)為；故在雙曲線中，，，，故，所以雙曲線離心率.故選：D5.復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方，乘除運(yùn)算法則得到，從而得到，得到答案.【詳解】，，由得，，，故.故選：A6.若非零向量，滿足，且向量與向量的夾角，則的值為（）A.-24 B.24 C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件可判斷為直角三角形，從而求得的值.【詳解】令，，則，則由及,在中，，，，由正弦定理：,解得,故得為直角三角形，且，所以.故選：D7.已知數(shù)列滿足：①任意相鄰兩項(xiàng)的積不等于1；②任意相鄰的連續(xù)三項(xiàng)相乘之積等于這三項(xiàng)相加之和；③，.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A.27 B.26 C.25 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意有且，根據(jù)遞推公式有，兩式相減有得，即數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，根據(jù)條件③即可求解.【詳解】依題意且，則，相減得，故，因?yàn)?，所以，故故?shù)列是周期為3的數(shù)列，由，及可得，所以，故選：C.8.羅爾中值定理是微分學(xué)中的一個(gè)重要定理，與拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并稱微分學(xué)三大中值定理.羅爾中值定理：若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，且函數(shù)滿足條件①在閉區(qū)間上連續(xù)；②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；③.那么至少存在一個(gè)使得.已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由和，根據(jù)羅爾中值定理可知，存在，，使，，故在上至少有兩個(gè)不等實(shí)根，令，分類討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得解.【詳解】依題意設(shè)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，則有,由羅爾中值定理可知，存在，使，同理，由及羅爾中值定理可知，存在，使，故在上至少有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則，顯然在上單調(diào)遞增,當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故在上至多只有一個(gè)實(shí)根；同理可知，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故在上至多只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，令，可得，易知，且在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)且時(shí)，；又，故，則由零點(diǎn)存在性定理知，故.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；C.函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)；D.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為；【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷A，B，特殊值法計(jì)算判斷單調(diào)性判斷C，求導(dǎo)函數(shù)再代入求值即可得出斜率判斷D.【詳解】由得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故正確，錯(cuò)誤；，故不是減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；又，所以，故D正確.故選：AD.10.天道酬勤，主動(dòng)學(xué)習(xí)方能追求卓越.高三年級(jí)的小艾同學(xué)決定對(duì)函數(shù)、三角、數(shù)列、立幾這四個(gè)內(nèi)容的復(fù)習(xí)效果進(jìn)行一次自我檢測(cè)，每個(gè)內(nèi)容各準(zhǔn)備了10道典型題目.做完后對(duì)照答案記錄每道題的失分（均為非負(fù)整數(shù)）情況，若某內(nèi)容每道題失分都不超過7分，則認(rèn)定該內(nèi)容為“復(fù)習(xí)效果達(dá)標(biāo)內(nèi)容”，已知四個(gè)內(nèi)容失分情況的相關(guān)數(shù)據(jù)信息如下，則一定為“復(fù)習(xí)效果達(dá)標(biāo)內(nèi)容”的是（）A.函數(shù)內(nèi)容的10道題失分記錄的中位數(shù)為3，極差為4B.三角內(nèi)容的10道題失分記錄的平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C.數(shù)列內(nèi)容的10道題失分記錄的平均數(shù)為3，方差為2.4D.立幾內(nèi)容的10道題失分記錄的平均數(shù)為3，第65百分位數(shù)為6【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)、極差、平均數(shù)、眾數(shù)、方差、百分位數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，假設(shè)函數(shù)內(nèi)容有一道題失分大于等于8分，則由極差為4可知，函數(shù)內(nèi)容失分最少的題的失分?jǐn)?shù)據(jù)大于等于4，則失分記錄的中位數(shù)不可能為3，與題設(shè)中位數(shù)為3矛盾，故假設(shè)不成立，所以函數(shù)內(nèi)容每一道題失分都不超過7分，故函數(shù)內(nèi)容為“復(fù)習(xí)效果達(dá)標(biāo)內(nèi)容”，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)三角內(nèi)容這10道題失分記錄為0，0，1，1，2，2，2，2，8，滿足題設(shè)失分記錄的平均數(shù)為2，眾數(shù)為2的條件，由定義知三角內(nèi)容不是“復(fù)習(xí)效果達(dá)標(biāo)內(nèi)容”，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)數(shù)列內(nèi)容這10道題失分記錄從小到大依次為，則由平均數(shù)為3，方差為2.4可知，，從而，若，則，所以，故數(shù)列內(nèi)容為“復(fù)習(xí)效果達(dá)標(biāo)內(nèi)容”，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)立幾內(nèi)容這10道題失分記錄為0，0，0，0，0，0，6，6，6，12，滿足題設(shè)平均數(shù)為3，第65百分位數(shù)為6的條件，由定義知立幾內(nèi)容不是“復(fù)習(xí)效果達(dá)標(biāo)內(nèi)容”，所以D錯(cuò)誤；故選：AC11.有形狀、質(zhì)量完全相同的個(gè)不同白色小球，另有一個(gè)紅色小球與每一個(gè)白色小球僅有顏色差異，將這個(gè)紅色小球命名為“2025幸運(yùn)星球”，將這個(gè)小球裝在一個(gè)盒子里，并隨機(jī)搖動(dòng)放勻，則下列說法正確的是（）A.從盒子里任取3個(gè)小球，“2025幸運(yùn)星球”被選中概率為；B.從盒子里任取3個(gè)小球，記事件“2025幸運(yùn)星球’被選中”；事件“取得的3個(gè)小球都是白色球”，則事件為對(duì)立事件；C.當(dāng)時(shí)，把這20個(gè)小球分別裝進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少裝1個(gè)小球，甲、乙、丙三個(gè)盒子里裝有小球的個(gè)數(shù)分別記為x，y，z，則有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為171；D.當(dāng)時(shí)，把這20個(gè)小球分別裝進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少裝1個(gè)小球，甲、乙、丙三個(gè)盒子里裝有小球的個(gè)數(shù)分別記為x，y，z，則有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為231；【答案】ABC【解析】【分析】應(yīng)用組合數(shù)結(jié)合古典概型計(jì)算判斷A，結(jié)合對(duì)立事件定義判斷B，應(yīng)用隔板法結(jié)合組合數(shù)計(jì)算判斷C，D.【詳解】依題意知：盒子中共有個(gè)小球，從中任取3球的取法總數(shù)為，“2025幸運(yùn)星球”被選中取法總數(shù)為，所以“2025幸運(yùn)星球”被選中的概率為，故A正確；事件“取得的3個(gè)小球都是白色球”，即取得的球中沒有“2025幸運(yùn)星球”，所以事件A，B為對(duì)立事件，故B正確；依題意，把這20個(gè)小球分別裝進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少裝1個(gè)小球，所以有序數(shù)組的個(gè)數(shù)等于不定方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)，相當(dāng)于在17個(gè)小球擺成一排所形成的18個(gè)空位中放入兩塊隔板，兩塊隔板可以占一個(gè)空位，也可以占兩個(gè)空位，故隔板方法總數(shù)為，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知在，的展開式中，有且只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出的值，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】依題意可知，的展開式通項(xiàng)為，令，則，故的系數(shù)為.故答案為：.13.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，，則_____【答案】【解析】【分析】由得，利用正弦定理得，再由余弦定理即可求解，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解，最后由正弦定理即可求解.【詳解】解析：由得，由正弦定理可變?yōu)?，則，故，又由余弦定理有，由正弦定理有，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)定義域?yàn)?，值域，且滿足：，恒有，則_____【答案】1或2025##2025或1【解析】【分析】根據(jù)已知條件中函數(shù)滿足的等式關(guān)系，通過合理賦值來逐步推導(dǎo)求解.【詳解】顯然，函數(shù)滿足題設(shè)要求，此時(shí)；當(dāng)函數(shù)不是函數(shù)，則存在使得，其中，，從而有，又，故，所以①故所以②由①式得，又，故③由②③式得，故綜上可知或2025.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是通過合理賦值來逐步推導(dǎo)求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，（1）若，求的值；（2）若，求值域和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）值域?yàn)?，?【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，又，故；【小?詳解】因?yàn)椋?，所以的值域?yàn)?，令，解之得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.16.在如圖所示的七面體中，平面，.（1）若四邊形是菱形，求證：；（2）若四邊形是正方形，，求平面和平面所成銳二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明面來證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得正確答案.【小問1詳解】證明：連接，則由四邊形為菱形可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因平面，所以平面，由于平面，所?小問2詳解】因?yàn)樗倪呅问钦叫危矫妫砸渣c(diǎn)為原點(diǎn)，以直線為軸，以直線為軸，以直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋瑒t，，，，所以，，，設(shè)向量是面的一個(gè)法向量，則，即，變形得，令，則，顯然，是面的一個(gè)法向量，故平面和平面所成銳二面角滿足：，則，故.17.已知橢圓的長軸長為4，焦點(diǎn)為，，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于橢圓長軸時(shí)，線段的長度為1.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)，求出，；（2）將直線和橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找出中點(diǎn)和弦長，用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.【小問1詳解】證明：依題意，故，則橢圓方程為，設(shè)，則直線的方程為，代入得，則，，則，，則，又線段的長度為1則，故橢圓方程為.【小問2詳解】由（1）知，又直線傾斜角為故直線的方程為，代入并整理得，設(shè)，，則，，故，故以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)滿足：，，函數(shù)，（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；（2）求解析式；（3）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最大值；（4）求證：，.【答案】（1）極小值點(diǎn)0，極小值1，無極大值點(diǎn)和極大值；（2）（3）；（4）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求得函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.（2）根據(jù)求得的解析式.（3）由的單調(diào)性列不等式，由此求得的最大值.（4）先證得，利用賦值法來求得正確答案.【小問1詳解】因?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在遞減，在遞增，所以函數(shù)有一個(gè)極小值點(diǎn)0，極小值，無極大值點(diǎn)和極大值；【小問2詳解】由得，又，故所以【小問3詳解】由得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即對(duì)恒成立故，所以實(shí)數(shù)的最大值為；【小問4詳解】由（3）知：當(dāng)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，所以，即所以，即，①在①式中分別令，相加得【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求函數(shù)極值的一般方法是先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不同）即為極值點(diǎn)，將極值點(diǎn)代入函數(shù)可求出極值.（2）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，可通過積分運(yùn)算（對(duì)于基本函數(shù)形式）得到含有常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，再利用已知條件確定常數(shù)項(xiàng)的值.（3）對(duì)于函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)的問題，可通過求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增則導(dǎo)數(shù)大于等于0（單調(diào)遞減則導(dǎo)數(shù)小于等于0）建立關(guān)于參數(shù)的不等式，通過求函數(shù)的最值來確定參數(shù)的取值范圍.（4）證明數(shù)列和的不等式時(shí)，可先根據(jù)已知條件得到函數(shù)的不等式關(guān)系，然后通過賦值相加，再利用放縮法（如將平方項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)形式）和裂項(xiàng)相消法等方法進(jìn)行化簡和證明.19.隨著中國式現(xiàn)代化高速發(fā)展，中華民族偉大復(fù)興事業(yè)蒸蒸日上，人民生活的幸福指數(shù)節(jié)節(jié)攀高，事關(guān)身體健康的各項(xiàng)指標(biāo)越來越被國民重視.已知身體某項(xiàng)健康指標(biāo)的取值，其中為正整數(shù)，且可以由關(guān)于該健康指標(biāo)的專門體檢數(shù)據(jù)推算，具體方法為：某人先進(jìn)行若干次體檢，由其體檢所有數(shù)據(jù)構(gòu)造得到集合，重復(fù)的數(shù)據(jù)只能用一次，且，設(shè)集合中最小的元素為，最大的元素為，然后由隨機(jī)變量u，v的值計(jì)算有關(guān)的概率或期望等數(shù)據(jù)，以此推算集合中對(duì)應(yīng)的值，從而對(duì)該項(xiàng)健