立體幾何中必考七類截面、交線問題（人教A版2019必修第二冊）

專題8.12立體幾何中必考七類截面、交線問題【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【類型1截面作圖】 2【類型2判斷截面圖形的形狀】 4【類型3球的截面問題】 7【類型4截面圖形的周長或面積問題】 8【類型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】 10【類型6交線及其長度、軌跡問題】 13【類型7截面的最值與范圍問題】 14【知識點1立體幾何中的截面問題】1．作截面的幾種方法(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程.(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線.2．球的截面(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.【知識點2立體幾何中的截面、交線問題的解題策略】1．立體幾何截面問題的求解方法幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)線、面的交點位置、依次連接這些點，從而得到過三點的完整截面，再進行求解.2．截面、交線問題的解題策略(1)作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.【類型1截面作圖】1．（24-25高二上·北京·期中）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（1）（5）2．（24-25高一·全國·隨堂練習）在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸上，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是（

）A．

B．

C．

D．

3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示的空間圖形是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的復雜空間圖形，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個復雜空間圖形，則截面圖形可能是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐而得到的.現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是.（填序號）

5．（2024高三·全國·專題練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D6．（24-25高二上·浙江紹興·期末）已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1C

(1)求證：MP//平面ABB(2)過M,N,P三點作正方體的截面，畫出截面（保留作圖痕跡），并計算截面的周長.【類型2判斷截面圖形的形狀】7．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，作截面EFGH(如圖)交C1D1，A1B1，AB，A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．梯形8．（24-25高二上·上海·期中）如圖，在三棱錐A?BCD中，棱AB的中點為E，棱AC的中點為F，棱BD的中點為G，經(jīng)過E、F、G的截面一定是（

）A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形9．（24-25高三下·云南昭通·開學考試）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是A．存在點P，使得FP∥平面ABB．過B,E,F三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形C．三棱錐C1D．三棱錐F?ACD的外接球表面積為910．（2024·北京密云·三模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1，

①BD⊥CP②三棱錐C-BPD的體積為定值③過P，C，D1④DP與平面A1B上述說法正確的序號是.11．（23-24高二下·貴州銅仁·期末）如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5,BC=3,BB(1)直接在圖中作出平面α截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；(2)設平面α∩平面A1B112．（2024高三·全國·專題練習）如圖所示，一塊正方體木料A1B1C1D1?ABCD的棱長為3米，點M在棱

【類型3球的截面問題】13．（24-25高二·上?！ふn堂例題）球的半徑為10cm，若它的截面面積是36πcm2，則球心到截面的距離是（A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm．14．（2024·四川資陽·二模）已知球O的體積為500π3，點A到球心O的距離為3，則過點A的平面α被球O所截的截面面積的最小值是（A．9π B．12π C．16π15．（24-25高三上·河南·開學考試）如圖，球O被一個距離球心d(d>0)的平面截成了兩個部分，這兩個部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為S=2πRH，球缺的體積公式為V=13π3R?HH2，其中R為球的半徑，A．若d=12B．若S1SC．若d≥R3D．若d≤R316．（2025高一·全國·專題練習）兩平行平面截半徑為13的球，若截面面積分別為25π和144π，則這兩個平面間的距離是.17．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）一個球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和18．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3cm，O1為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑．求球

【類型4截面圖形的周長或面積問題】19．（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，用過點

A．32+25 B．9 C．220．（2024·天津和平·三模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為6，點E，F(xiàn)分別在棱D1A1，D1C1上，且滿足D1ED1AA．822 B．622 C．42221．（23-24高二上·四川成都·期末）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AC=22，AA1=2，點B,D在以線段A．存在點B，使得平面ABC1與平面B．當直四棱柱ABCD?A1B1CC．當AB=2時，過點A1,B,ND．當AB=2時，過MN的平面截該四棱柱的外接球，所得截面面積的最小值為522．（24-25高二上·湖北恩施·期中）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=6,E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱A123．（23-24高一下·山東臨沂·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1，中，H是B1D1的中點，E(1)證明；F，G，H，B四點共面；(2)平面EFG//平面BD(3)若正方體棱長為1，過A，E，C124．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)作出平面C1EF截長方體(2)求（1）中所作截面的周長；(3)長方體ABCD?A1B【類型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】25．（24-25高一下·河北邢臺·階段練習）過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（

）A．122π B．16π C．8π 26．（23-24高一下·陜西寶雞·期末）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4，過PO的中點O1作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的表面積為（

A．4+45π C．8+45π 27．（23-24高一下·江蘇南京·期末）用一個平行于正三棱錐底面的平面去截正三棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做正三棱臺．如圖，在正三棱臺ABC?A1B1CA．正三棱臺ABC?A1B．直線BC與平面ABC1C．點A1到平面ABCD．正三棱臺ABC?A128．（24-25高二上·上海·期中）某同學在參加魔方實踐課時，制作了一個工藝品，如圖，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為6的正方體的六個面所截后剩余的部分，球心與正方體的中心重合，若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的表面積是29．（24-25高一上·寧夏銀川·期末）如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過PO的中點O′（1）求該圓錐的表面積；（2）求剩余幾何體的體積.30．（24-25高二·全國·課后作業(yè)）如圖，AEFB—DHGC是一個長方體被一個平面斜截的幾何體，截面是EFGH，已知AB=4(1)求異面直線EF與DC所成角的大??；(2)求該幾何體的體積.【類型6交線及其長度、軌跡問題】31．（24-25高三上·河北保定·期末）已知三棱錐D?ABC的所有棱長均為2，以BD為直徑的球面與△ABC的交線為L，則交線L的長度為（

）A．23π9 B．43π932．（24-25高二上·重慶·期末）已知正方體ABCD?A1B1C1D1，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，CC1，C1D1的中點，若平面EFGA．π B．2π C．2π 33．（24-25高三上·遼寧·階段練習）已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，點P，Q，T分別在棱BB1，CC1和AB上，且B1P=3，C1A．m的長度為553 B．mC．n的長度為233 D．n34．（23-24高一下·江蘇南京·期末）已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長均為2，以點A為球心，2為半徑的球與該四棱錐的所有表面的交線總長為.35．（24-25高一下·河南洛陽·階段練習）如下圖，在正方體ABCD?A1B1C(1)畫出過M,N,P三點的平面與平面ABCD、平面BB(2)設過M,N,P三點的平面與BC交于點Q，求PQ的長．36．（23-24高一下·云南昆明·期末）如圖，已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)證明：BD1//(2)設平面α//平面EDC1，且B∈α【類型7截面的最值與范圍問題】37．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習）已知正三棱錐P?ABC的外接球O的表面積為36π，側(cè)棱PA=32，點D為AB的中點，過點D作球O的截面，則所得截面圖形面積的取值范圍為（A．214π,9π B．274π38．（2024·遼寧·模擬預測）在三棱錐A?BCD中，AB=BC=CD=DA=22,∠ADC=∠ABC=90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱錐A?BCD的所有頂點都在球O的球面上，E,F分別在線段OB,CD上運動（端點除外），BE=2CF.當三棱錐E?ACF的體積最大時，過點A．π B．3π C．32π39．（23-24高三下·山東威海·階段練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分別是AA1，

A．存在點Q，使B，N，P，Q四點共面B．存在點Q，使PQ//平面C．過Q，M，N三點的平面截正方體ABCD?A1D．經(jīng)過C，M，B，N四點的球的表面積為940．（23-24高一下·安徽宿州·期中）現(xiàn)有一塊如圖所示的三棱錐木料，其中∠AVB=∠AVC=∠BVC=40°，VA=VB=VC=6，木工師傅打算過點A將木料切成兩部分，則截面△AEF周長的最小值為41．（23-24高一下·山東臨沂·期中