中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)9.2 空間中的平行關(guān)系（講）（解析版）

9.2空間中的平行關(guān)系【考點(diǎn)梳理】1．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)，則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與平面相交，則它們有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與平面平行，則它們沒(méi)有公共點(diǎn)．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．2．直線與平面平行的判定和性質(zhì)(1)直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．即線線平行?線面平行．用符號(hào)表示：a?α，b?α，且a∥b?a∥α．(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．即線面平行?線線平行．用符號(hào)表示：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b．3．平面與平面之間的位置關(guān)系(1)兩個(gè)平面平行，則它們沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)兩個(gè)平面相交，則它們有一條公共直線，兩個(gè)平面垂直是相交的一種特殊情況．4．平面與平面平行的判定和性質(zhì)(1)平面與平面平行的判定定理①一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．用符號(hào)表示：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α．②推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行．③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．即l⊥α，l⊥β?α∥β.④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．即α∥γ，β∥γ?α∥β.(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理①如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．即面面平行?線線平行．用符號(hào)表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b．②如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面．用符號(hào)表示：α∥β，a?α?a∥β．③如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．用符號(hào)表示：α∥β，l⊥α?l⊥β．考點(diǎn)一線面平行【例題】（1）下列條件中，能得出直線與平面平行的是（

）A．直線與平面內(nèi)的所有直線平行B．直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行C．直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)D．直線與平面內(nèi)的一條直線平行【答案】C【解析】對(duì)A，直線與平面內(nèi)的所有直線平行不可能，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)直線在平面內(nèi)時(shí)，滿足直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但與不平行；對(duì)C，能推出與平行；對(duì)D，當(dāng)直線在平面內(nèi)時(shí)，與不平行，故選：C.（2）若，是平面外的兩條不同直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵，是平面外的兩條不同的直線，，∴若，則推出“”；若，則或與相交；∴若，是平面外的兩條不同直線，且，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A.（3）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線與平面DAA1D1的位置關(guān)系是（

）A．直線與平面平行B．直線與平面垂直C．直線與平面相交但不垂直D．直線在平面【答案】A【解析】連接，由正方體的性質(zhì)可得且，所以為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故選：A.（4）在三棱錐中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上．若，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．平面 D．不能確定【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又平面平面，所以平面，故選：A.（5）一條直線上的3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為1，這條直線和平面的關(guān)系是.【答案】平行【解析】假設(shè)直線與平面相交，則三點(diǎn)中必有兩個(gè)點(diǎn)在平面的同一側(cè)，不妨設(shè)為，過(guò)分別作平面的垂線，垂直為，則，四邊形是平行四邊形，，又，，這與假設(shè)直線與平面相交矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，于是直線.故答案為：平行.（6）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為.【答案】平行【解析】連接BD，設(shè)BD∩AC=O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而B(niǎo)D1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE，故答案為：平行.【變式】（1）若平面平面，直線，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．在內(nèi) D．無(wú)法判定【答案】B【解析】由面面平行的性質(zhì)可知：當(dāng)平面平面，直線時(shí)，，故選：B.（2）在空間中，直線∥面，直線平面，則（

）A．m與n平行 B．m與n平行或相交 C．m與n異面或相交 D．m與n平行或異面【答案】D【解析】直線∥面，直線平面，可知，m與n平行或異面，故選：D.（3）如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則（

）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能【答案】B【解析】∵M(jìn)N∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA，故選：B.（4）如圖，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的大小是．【答案】【解析】如圖所示：連接該圖形為立方體，故//，，，為所在棱的中點(diǎn)，//（中位線定理）由因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，在平面內(nèi)，所以//平面直線與平面夾角的取值范圍，直線與平面所成角的大小，故答案為：.（5）若直線平面，，且直線與點(diǎn)位于的兩側(cè)，，，，分別交平面于點(diǎn)，，若，，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】∵，平面，平面，∴，∴，即，∴，故選：B.（6）在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，過(guò)BC中點(diǎn)E的截面與AB，CD都平行，則截面的周長(zhǎng)為．【答案】4【解析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，根據(jù)三角形中位線定理，可得：，，所以有，因此四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理平面，因此平行四邊形的周長(zhǎng)為，故答案為：.考點(diǎn)二面面平行【例題】（1）已知為不同的平面，a，b為不同的直線，那么下列條件中能推出與平行的是（

）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．C．直線，且 D．內(nèi)任何直線都與平行【答案】D【解析】對(duì)于A，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線，且，則與相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若內(nèi)任何直線都與平行，則與平行，故D正確，故選：D.（2）在下列條件中，可判斷平面與平行的是（

）A．，B．m，n是兩條異面直線，且，，，C．m，n是內(nèi)的兩條直線，且，D．內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：若，，則平面與平行或相交，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)：在直線n.上取一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線m的平行線m'，所以m'與n是兩條相交直線，所以，，且，根據(jù)面面平行的判定定理可得，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：若m，n是內(nèi)的兩條直線，且，，則根據(jù)面面平行的判定定理可得，平面與平行或相交，所以C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)：若內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等，則根據(jù)面面的位置關(guān)系可得：平面與平行或相交，故D不正確.，故選：B.（3）在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′【答案】D【解析】長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD與下底面A′B′C′D′平行，故選D．（4）已知S是等邊△ABC所在平面外一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是．【答案】平行【解析】∵分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，又∵平面，平面，所以平面，同理平面，∵，所以平面平面.故答案為：平行.（5）如圖，空間四邊形中，點(diǎn)P是VA的中點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)P作截面PFED，使截面PFED平行于VB和AC，則截面PFED的形狀為

.【答案】菱形【解析】因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，同理，所以，所以是平行四邊形，又是中點(diǎn)，所以可得是所在棱中點(diǎn)，所以，，而，所以，所以是菱形，故答案為：菱形．【變式】（1）設(shè)為兩個(gè)平面，則下列條件可以推出的是（

）A．平行于同一條直線 B．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行C．內(nèi)有兩條相交直線與平行 D．內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等【答案】C【解析】利用正方體模型（其中用一個(gè)平行上下底面的截面平分正方體體積）構(gòu)建反例，如圖，直線和正方體的左側(cè)面和下底面平行，顯然左側(cè)面和下底面不平行（這里直線是上底面和右側(cè)面的交線），故A不對(duì)；不難找到無(wú)數(shù)條左側(cè)面里的線，讓其平行下底面，故B不對(duì)；很容易在左側(cè)面上棱找到兩個(gè)點(diǎn)，下棱找到一個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)到截面的距離相等，但截面和左側(cè)面不平行，故D不對(duì)；C選項(xiàng)根據(jù)面面平行判定定理可知其正確，故選：C.（2）已知直線a與平面，能使的充分條件是（

）①

②

③

④A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】D【解析】對(duì)①，若，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，若，則，平面的平行具有傳遞性，故②正確；對(duì)③，若，平行于同一直線的兩平面可以相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，，垂直于同一直線的兩平面平行，故④正確，綜上：②④正確，故選：D.（3）正方體中，平面和平面的位置關(guān)系為.【答案】平行【解析】∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，AB1∩AD1=A，C1D?平面BC1D，BC1?平面BC1D，C1D∩BC1=C1，由面面平行的判定理我們易得，平面AB1D1∥平面BC1D，故答案為：平行.（4）如圖，在三棱柱中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)作一平面分別交底面三角形的邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則（

）A．B．四邊形為梯形C．四邊形為平行四邊形D．【答案】B【解析】∵在中，，，，.又平面，平面，平面.又平面，平面平面，，.顯然在中，，，∴四邊形為梯形，故選：B.（5）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，，分別在棱，，上，且平面平面，若，則與的面積之比為_(kāi)_____.【答案】【解析】由平面平面，可得，所以，同理，所以∽的面積之比為，故答案為：.【方法總結(jié)】1．證明線線平行的方法(1)利用平面幾何知識(shí)；(2)平行公理：a∥b，b∥c?a∥c；(3)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b；(5)線面垂直的性質(zhì)定理：m⊥α，n⊥α?m∥n.2．證明直線和平面平行的方法(1)利用定義(常用反證法)；(2)判定定理：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β，l?α?l∥β；(4)向量法．m?α，n⊥α，m⊥n?m∥α；(5)空間平行關(guān)系的傳遞性：m∥n，m，n?α，m∥α?n∥α；(6)α⊥β，l⊥β，l?α?l∥α.3．證明面面平行的方法(1)利用定義(常用反證法)；(2)利用判定定理：a，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β；推論：a，b?β，m，n?α，a∩b＝P，m∩n＝Q，a∥m，b∥n(或a∥n，b∥m)?α∥β；(3)利用面面平行的傳遞性：eq\b\lc\{(\a