“等效重力場”模型與方法歸納-2025年高考物理（解析版）

”等效重力場”模型

目錄

一.”等效重力場”模型解法綜述................................................................1

二.“等效重力場”中的直線運(yùn)動模型..........................................................1

三.“等效重力場”中的拋體類運(yùn)動模型........................................................8

四.“等效重力場”中的單擺類模型............................................................18

五.“等效重力場”中的圓周運(yùn)動類模型.......................................................30

一.“等效重力場”模型解法綜述

將一個過程或事物變換成另一個規(guī)律相同的過程和或事物進(jìn)行分析和研究就是等效法.中學(xué)物理中常

見的等效變換有組合等效法（如幾個串、并聯(lián)電阻器的總電阻）；疊加等效法（如矢量的合成與分解）；

整體等效法（如將平拋運(yùn)動等效為一個勻速直線運(yùn)動和一個自由落體運(yùn)動）；過程等效法（如將熱傳遞改

變物體的內(nèi)能等效為做功改變物體的內(nèi)能）

“等效重力場”建立方法一概念的全面類比

為了方便后續(xù)處理方法的遷移，必須首先搞清“等效重力場”中的部分概念與復(fù)合之前的相關(guān)概念之間

關(guān)系.具體對應(yīng)如下：

等效重力場=重力場、電場疊加而成的復(fù)合場

等效重力=重力、電場力的合力

等效重力加速度■二等效重力與物體質(zhì)量的比值

等效“最低點(diǎn)”U物體自由時(shí)能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的位置

等效“最高點(diǎn)”=物體圓周運(yùn)動時(shí)與等效“最低點(diǎn)”關(guān)于圓心對稱的位置

等效重力勢能二等效重力大小與物體沿等效重力場方向“高度”的乘積

二.”等效重力場”中的直線運(yùn)動模型

【運(yùn)動模型】如圖所示，在離坡底為工的山坡上的C點(diǎn)樹直固定一根直桿，桿高也是1桿上端4到坡底

3之間有一光滑細(xì)繩，一個帶電量為外質(zhì)量為加的物體穿心于繩上，整個系統(tǒng)處在水平向右的勻強(qiáng)電場中，

已知細(xì)線與豎直方向的夾角0=30。.若物體從/點(diǎn)由靜止開始沿繩無摩擦的滑下，設(shè)細(xì)繩始終沒有發(fā)生形變,

求物體在細(xì)繩上滑行的時(shí)間.（g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

因細(xì)繩始終沒有發(fā)生形變，故知在垂直繩的方向上沒有壓力存在，即帶電小球受到的重力和電場力的合力

方向沿繩的方向.建立“等效重力場”如圖所示

“等效重力場”的“等效重力加速度”，方向：與豎直方向的夾角30。，大小：g=——帶電小球沿繩做初

cos30°

速度為零，加速度為g'的勻加速運(yùn)動

=2Zcos30°①

②

由①②兩式解得/=

“等效重力場”的直線運(yùn)動的幾種常見情況

勻速直線運(yùn)動勻加速直線運(yùn)動勻減速直線運(yùn)動

qE紀(jì)-----"”

-------------

JmgmgJmg

1.如圖所示，相距為d的平行板4和2之間有電場強(qiáng)度為￡、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場.電場中C點(diǎn)距2

板的距離為0.3d,。點(diǎn)距/板的距離為0.2力有一個質(zhì)量為加的帶電微粒沿圖中虛線所示的直線從C點(diǎn)運(yùn)

動至。點(diǎn)，若重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

14板

:B板

A.該微粒在。點(diǎn)時(shí)的電勢能比在C點(diǎn)時(shí)的大

B.該微粒做勻變速直線運(yùn)動

C.在此過程中電場力對微粒做的功為05”gd

D.該微粒帶正電，所帶電荷量大小為《=唯

E

【答案】C

【解析】由題知，微粒沿直線運(yùn)動，可知重力和電場力二力平衡，微粒做勻速直線運(yùn)動，微粒帶負(fù)電，

B、D錯誤；微粒從C點(diǎn)運(yùn)動至。點(diǎn)，電場力做正功，電勢能減小，A錯誤；此過程中電場力對微粒做的

功為W=Fx=mg（d-03d-0.2d）=0.5mgd,C正確.

2.AB,CD兩塊正對的平行金屬板與水平面成30。角固定，豎直截面如圖所示。兩板間距10cm,電荷量為

1.0x10-8（2、質(zhì)量為3.0xicr4kg的小球用長為5cm的絕緣細(xì)線懸掛于/點(diǎn)。閉合開關(guān)S,小球靜止時(shí)，細(xì)

線與48板夾角為30。；剪斷細(xì)線，小球運(yùn)動到CD板上的〃?點(diǎn)（未標(biāo)出），則（）

D

B.電勢能增加了96x1。%

A.距離為5>/^crn

C.電場強(qiáng)度大小為gxlC/N/CD.減小R的阻值，的距離將變大

【答案】B

【詳解】A.根據(jù)平衡條件和幾何關(guān)系,對小球受力分析如圖所示

qE

根據(jù)幾何關(guān)系可得

T=qE

Tsin60°+qEsin60°=mg

聯(lián)立解得

T=qE=ex\『N

根據(jù)幾何關(guān)系可得

LMC=dtan60°=10V3cm

故A錯誤；

B.根據(jù)幾何關(guān)系可得小球沿著電場力方向的位移

x=(10-5sin30。)=7.5cm

與電場力方向相反，電場力做功為

町=_郎=_：氐10打

則小球的電勢能增加［GXIOYJ,故B正確；

4

C.電場強(qiáng)度的大小

￡1=^=73x10^/0

q

故c錯誤；

D.減小尺的阻值，極板間的電勢差不變，極板間的電場強(qiáng)度不變，所以小球的運(yùn)動不會發(fā)生改變，的

距離不變，故D錯誤。

故選B。

3.如圖所示，在豎直面(紙面)內(nèi)有勻強(qiáng)電場，帶電量為q(q>0)、質(zhì)量為力的小球受水平向右大小為尸的

恒力，從M勻速運(yùn)動到N。已知兒W長為d,與力尸的夾角為60。，重力加速度為g,則。

A.場強(qiáng)大小為正+”/g2

q

B.M、N間的電勢差為色尸+m2g2

........q

A1

C.從M到N,電場力做功為三機(jī)

D.若僅將力廠方向順時(shí)針轉(zhuǎn)60。，小球?qū)腗向N做勻變速曲線運(yùn)動

【答案】AC

【詳解】A.對小球受力分析，如圖所示

(qE)2=(mg￥+F2

解得場強(qiáng)大小為

^F2+m2g2

LL-

q

故A正確；

B.設(shè)MN與場強(qiáng)方向的夾角為。，則M、N間的電勢差為

=Edcosa=—YJF2+m2g2cosa

q'

故B錯誤；

C.從M到N,根據(jù)動能定理可得

Fdcos60°-mgdsin60°+相=0-0

可得電場力做功為

%=-^-mgd-^Fd

故C正確；

D.因電場力4石和重力mg的合力與產(chǎn)等大反向，則若僅將力尸方向順時(shí)針轉(zhuǎn)60。，小球受的合力方向沿

2W的方向向下，大小為尸，則小球?qū)摹ā鱿騈做勻變速直線運(yùn)動，故D錯誤。

故選ACo

4.如圖所示，勻強(qiáng)電場的方向與水平方向間夾角為30。，電場強(qiáng)度大小為￡。質(zhì)量為的帶負(fù)電小球以初速

度%開始運(yùn)動，初速度方向與電場線平行，重力加速度為g。求:

（1）若小球所帶電荷量《=等，為使小球做勻速直線運(yùn)動，則對小球施加的恒力片的大小和方向；

（2）若小球所帶電荷量4=等，為使小球做直線運(yùn)動，現(xiàn)對小球施加一最小恒力乙，則小球的加速度為

E

【答案】（1）mg,與水平方向夾角30。向左上方；（2）1.5g

【詳解】（1）欲使小球做勻速直線運(yùn)動，必須使其合外力為0,如圖所示

設(shè)對小球施加的力耳和水平方向夾角為a,則

FxCOS6Z=qEcGS?

qEsin0+Fx-sina=mg

解得

a=30°

片=mg

方向與水平成60。斜向右上方；

（2）為使小球做直線運(yùn)動，則小球的合力必須與運(yùn)動方向在同一直線上，故要求力月和的合力和電場

力在一條直線上，當(dāng)電場力與此直線垂直時(shí)，施加的恒力最小，如圖所示:

LL13

穌=^--mg=-mg

小球的加速度為

m

5.如圖所示，傾斜放置的平行板電容器兩極板與水平面夾角為極板間距為乩帶負(fù)電的微粒質(zhì)量為加、

帶電荷量大小為4,從極板M的左邊緣/處以初速度%水平射入，沿直線運(yùn)動并從極板N的右邊緣8處射

出，重力加速度為g,求：

（1）微粒到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小；

（2）兩極板的電勢差4M。

【詳解】（1）對微粒受力分析，受重力和電場力，微粒在兩個力作用下在電場中沿直線運(yùn)動，則有合力方

向沿水平方向，由此可知，電場力方向垂直極板斜向左上方，可知合力方向水平向左，如圖所示，微粒做

勻減速運(yùn)動，由解析圖可得

qE

3

ma^

mg

mgtan0—ma

〃=gtan6

由幾何關(guān)系可得

d

XJD=

題sin。

由勻變速直線運(yùn)動的速度位移關(guān)系公式y(tǒng)-說=2ax,可得微粒到達(dá)2點(diǎn)時(shí)的速度大小

12ccdL.22gd

v=V-2gtan6?x——

osm”°cos6^

（2）在豎直方向由平衡條件可得

qEcos0=mg

解得

E=1-

qcosO

因微粒帶負(fù)電，電容器兩極板間電場方向由M指向N,由勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度與電勢差的關(guān)系公式，可得

兩極板的電勢差

%=Ed=%

qcGsb

則有

TT-mgd

0NM一刀

qcosB

三.“等效重力場”中的拋體類運(yùn)動模型

【運(yùn)動模型】如圖所示，在電場強(qiáng)度為E的水平勻強(qiáng)電場中，以初速度為外豎直向上發(fā)射一個質(zhì)量為加、

帶電量為+4的帶電小球，求小球在運(yùn)動過程中具有的最小速度.

Vo

E

建立等效重力場如圖所示，等效重力加速度g'

qE

m

設(shè)g'與豎直方向的夾角為0,則g'=W-

cos?

其丹中士arcsm?八0-/qE

[(qE)?+(加g)2

則小球在“等效重力場”中做斜拋運(yùn)動

v

匕-osin3vy=v0cos0

當(dāng)小球在y軸方向的速度減小到零，即j=0時(shí)，兩者的

合速度即為運(yùn)動過程中的最小速度

Vmin=匕=%sin0=vo[E

+(qE)2

1.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xQy處于豎直平面內(nèi)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸水平且上方處于勻強(qiáng)電場中。質(zhì)量

為加、帶電量為4的微粒在豎直平面內(nèi)以初速度V。從x軸上的/點(diǎn)進(jìn)入電場，初速度方向與x軸負(fù)方向成

45。角，0/兩點(diǎn)間的距離為"若x軸上方的勻強(qiáng)電場豎直向上，微粒恰能沿初速度方向做勻速直線運(yùn)動。

重力加速度為g,求：

(1)微粒帶正電還是負(fù)電？

(2)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大?。?/p>

(3)若保持電場強(qiáng)度大小不變，只將方向改為水平向左后，讓微粒再以原初速度從N點(diǎn)進(jìn)入，微粒在勻強(qiáng)電

場運(yùn)動的過程中，經(jīng)過多長時(shí)間離x軸最遠(yuǎn)；

(4)在(3)的條件下，微粒再次經(jīng)過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)。

【答案】(1)正電

IgJ

【詳解】(1)微粒恰能沿初速度方向做勻速直線運(yùn)動，則微粒受力平衡，電場力方向應(yīng)向上，x軸上方的勻

強(qiáng)電場豎直向上，故微粒帶正電。

(2)電場豎直向上時(shí)，因微粒在電場中能做勻速直線運(yùn)動，故由平衡條件可得

E4

q

(3)對豎直方向的運(yùn)動，微粒上升的時(shí)間

故禺X軸最遠(yuǎn)的時(shí)間為----0

2g

(4)再次到達(dá)x軸的時(shí)間為上升時(shí)間的2倍，故微粒到達(dá)x軸時(shí)

沿x軸負(fù)方向運(yùn)動的距離為

vx=v0cos45°

qE

a=--

m

解得

故微粒再次經(jīng)過X軸時(shí)的位置坐標(biāo)為o]

2.人類為了開發(fā)外太空，需要模擬各種等效重力場下的逃生方式。如圖所示，水平面xQy和豎直面yOz內(nèi)

分別固定著兩個半徑均為R的半圓形光滑絕緣軌道和OPQ,整個空間存在著方向沿y軸正方向的勻

強(qiáng)電場，質(zhì)量分別為0.5加、加的逃生球A、B套在軌道上，其中絕緣的A球不帶電，B球的電荷量為+4。

已知勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小為￡=整(g為重力加速度),B球從軌道進(jìn)入軌道時(shí)無能量損失,

q

初始時(shí)B球靜止在OMN軌道的中點(diǎn)處，A球以大小為%=g質(zhì)的初速度從N點(diǎn)滑上軌道，A、B兩球之

間的碰撞為彈性碰撞，且碰撞過程中B球的電荷量不變，A、B兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)，碰后A球被鎖定。求：

(1)B球到達(dá)。點(diǎn)的速度大小；

(2)B球在OPQ軌道上的最小動能；

(3)B球從0點(diǎn)脫離軌道后，經(jīng)過y軸時(shí)的坐標(biāo)。

【答案】

(3)(0,Q+e)R,0)

【詳解】(1)A、B球碰撞過程，設(shè)碰撞后A、B球的速度分別為“、VB，根據(jù)動量守恒和機(jī)械能守恒可

得

O.5mvo=0.5mvA+mvB

；x0.5加片=；X0.5MV：+；加v；

解得

VB=3^^

從朋■點(diǎn)到。點(diǎn)，設(shè)B球到。點(diǎn)的速度為％,對B球，根據(jù)動能定理可得

12I2

-qER=—mv1--mvB

解得

Vl=y/TgR

(2)對B球，當(dāng)動能最小時(shí)在圖中K點(diǎn)

Q

一

Eq

0

從。點(diǎn)到K點(diǎn)，根據(jù)動能定理可得

-亞mgp+9]R=瓦皿必一（機(jī)V；

解得

二5-2也口

&nin=2mgR

(3)設(shè)B球經(jīng)過0點(diǎn)時(shí)的速度為%,從。點(diǎn)到。點(diǎn)，有

1212

—mvx--mvQ=mg-2R

解得

vQ=yf3gR

B球離開0點(diǎn)后，設(shè)到達(dá)了軸所需要的時(shí)間為3則有

2R夕

y=vt+

Q2m

解得

y=(2+2君)R

即經(jīng)過y軸上時(shí)的坐標(biāo)為(0,(2+G)&,0)□

3.如圖，一質(zhì)量為加、帶電量為+4的小球從距地面高度為〃處以一定的初速度水平拋出，在距離拋出點(diǎn)水

平距離為工處，有一根管口比小球直徑略大的豎直細(xì)管，管的上端距離地面高度為與，為使小球能無碰撞

地通過管子，在管子上方的整個區(qū)域內(nèi)加一個方向水平向左的勻強(qiáng)電場，求：

(1)小球運(yùn)動至管上口的時(shí)間;

(2)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小;

(3)小球落地時(shí)的動能。

【答案】(1)5

2mgL

⑵

qh

(3)mgh

【詳解】(1)將小球的運(yùn)動分解為水平方向和豎直方向，在豎直方向做自由落體運(yùn)動，在水平方向上做勻

減速直線運(yùn)動到零，小球運(yùn)動至管上口的時(shí)間由豎直方向的運(yùn)動決定，由

—」靖

22

解得

(2)在水平方向，小球做勻減速運(yùn)動，至管上口，水平方向速度為零，由運(yùn)動學(xué)公式

L=^t

2

解得

%=-n7-

水平方向上有

V—0

qhr=ma,a=—o——

解得

E=^^

qh

(3)由題意可知，小球最終在水平方向的速度為零，在豎直方向始終做自由落體運(yùn)動，設(shè)落地時(shí)的速度大

小為v,則

v2=2gh

解得

v=y12gh

所以，落地時(shí)的動能為

7712

A.=—mv=

K2°

4.如圖，a6c是豎直面內(nèi)的光滑絕緣固定軌道，水平，6c是與ab相切于b點(diǎn)且半徑為:R圓弧.所在空間

4

有方向平行于仍向右的勻強(qiáng)電場。面軌道上P點(diǎn)由靜止釋放個質(zhì)量為加、電荷量為4(4>0)的小球，小球

飛出軌道后達(dá)到的最高點(diǎn)為。(圖中未畫出)。若小球可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g,電場的場強(qiáng)大小

E=磐,0與c點(diǎn)的高度差為。，求：

q2

(1)P6之間距離；

(2)0點(diǎn)與c點(diǎn)之間距離;

(3)小球?qū)壍赖淖畲髩毫Α?/p>

【答案】(嗚D

吟

⑶(3行-l>zg

【詳解】(1)從c到。的過程中，豎直方向上有

2R

匕=29g.§

從尸到c的過程，根據(jù)動能定理可得

qE(Xpb+R)-mgR-mv1

2°

聯(lián)立解得尸6之間距離為

R

~2

(2)從c到0的過程中，豎直方向上有

匕=爾

水平方向有

12qE

x=—axt%=—=g

m

聯(lián)立解得cQ的水平距離為

R

x二一

2

則。點(diǎn)與c點(diǎn)之間距離為

41R

s=yjx2+y2

2

(3)根據(jù)題意可知重力與電場力大小相等，則軌道上等效物理最低點(diǎn)位于加圓弧的中點(diǎn)，該點(diǎn)軌道所受

壓力最大，根據(jù)動能定理可得

R1

qE(5+Rsin45°)-mg(R-Rcos45°)=—mv29

根據(jù)牛頓第二定律可得

N-y12mg=m~^

聯(lián)立解得

^=(3>/2-l)mg

根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)壍赖淖畲髩毫?/p>

N'=N=*叵-》mg

5.如圖所示，豎直平面（即紙面）內(nèi)存在范圍足夠大的勻強(qiáng)電場，其大小和方向未知。一質(zhì)量為加、帶電量

為+q（q>0）的小球從。點(diǎn)以初速度%水平向左拋出，小球運(yùn)動到拋出點(diǎn)正下方N點(diǎn)時(shí)的速度大小為

已知。4兩點(diǎn)間距離為出，重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力，在小球從。點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的過程中，求：

g

（1）電場力對小球做的功;

（2）電場強(qiáng)度E的大小和方向;

（3）小球的最小速度。

【答案】（1）2%片；（2）E=上,方向?yàn)榕c。/成60。角斜向下；（3）

【詳解】（1）小球由。運(yùn)動到/過程，由動能定理有

代入數(shù)據(jù)得電場力對小球做功為

W=

（2）設(shè)電場力方向與。/的夾角為仇則小球由。運(yùn)動到/過程，電場力做功

W=qE-OA-cos0

2qEcos0=mg

小球在水平方向做勻變速直線運(yùn)動，加速度大小為

m

在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小為

_mg+qEcos6

rm

則

1212

0=V0{OA_~axtOA。4=3aytOA

聯(lián)立得

V33

%=不，%=六

電場強(qiáng)度大小為

E=^

q

且

e=60°

即電場強(qiáng)度的方向?yàn)榕cOA成60。角斜向下。

(3)經(jīng)過時(shí)間t,小球的速度大小為

22

v=^(v0-axt)+(ayt)

整理可得

可見當(dāng)卬=@%,即@時(shí)，小球的速度最小，為

66g

匹V3

Vmin=匕"。=3%

6.如圖所示，其空中有一足夠大的水平向右的勻強(qiáng)電場，質(zhì)量均為加、帶電量分別為+4和-34的兩小球同

時(shí)從。點(diǎn)以速度%斜向右上方射入勻強(qiáng)電場中，％方向與水平方向成60。，/、B(圖中末畫出)兩點(diǎn)分別

為兩小球運(yùn)動軌跡的最高點(diǎn)，帶正電的小球經(jīng)過/點(diǎn)的速度大小仍然為％,不考慮兩球間的庫侖力。下列

說法錯誤的是()

A.兩小球同時(shí)到/、2兩點(diǎn)

B.帶負(fù)電的小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度大小也為%

C.兩小球到達(dá)/、8兩點(diǎn)過程中電勢能變化量之比為1:3

D.0/與03水平距離之比為3:1

【答案】C

【詳解】A.由題可知，將帶電小球的運(yùn)動分解成水平方向和豎直方向的運(yùn)動，由受力可知，兩小球在豎直

方向只受重力，故在豎直方向做豎直上拋運(yùn)動，豎直方向的初速度大小均為

V=vosin6O°

上升到最高點(diǎn)時(shí)，豎直方向速度為零，由此可知，兩球到達(dá)/、8兩點(diǎn)的時(shí)間相同，A正確，不符合題意；

B.水平方向只受電場力，故水平方向做勻變速直線運(yùn)動，水平方向的初速度為

%,=%cos60。=g%

由題可知，帶正電的小球有

1

%=”+必

帶負(fù)電的小球有

v'———v0+3at

解得

v=%

帶負(fù)電的小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度大小也為%,B正確，不符合題意；

C.由B解析可知，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)兩小球的速度大小相等，水平方向只有電場力做功，由動能定理可知，兩

球到達(dá)/、8兩點(diǎn)過程中電勢能變化量之比為1:1,C錯誤，符合題意；

D.由上分析可知

%,=vosin6O0=g?

1

%=~vo+at

聯(lián)立解得

g=

故

vo-（yvo）2

X

OA=--2-a；-----

V；

—=2x3“

代入數(shù)據(jù)解得

"=3

XOB

即。區(qū)與08水平距離之比為3:1,D正確，不符合題意。

故選C。

7.如圖所示的坐標(biāo)系，在第一象限內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場，一帶電小球由y軸上的P點(diǎn)以水平速度％拋

出，經(jīng)過一段時(shí)間小球剛好落在坐標(biāo)原點(diǎn)。已知小球的質(zhì)量為加、帶電荷量為q,電場強(qiáng)度石=整，重力

加速度為g。

（2）求小球動能的最小值。

【答案】⑴負(fù)電，（?，變

12g2g）

⑵1*2

【詳解】（1）由題意可知，小球在水平方向只受電場力，且開始時(shí)向右運(yùn)動，但最終落在坐標(biāo)原點(diǎn)，故小

球應(yīng)受向左的電場力，小球應(yīng)帶負(fù)電。

小球在豎直方向上做自由落體運(yùn)動，水平方向上做勻變速直線運(yùn)動。

水平方向上受力有

F=點(diǎn)和。點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，由勻變速直線運(yùn)動規(guī)律可知，小球在從尸到。的過程中中間時(shí)刻

在水平方向的速度為零，該過程運(yùn)動時(shí)間為

%

又

￡=整

q

解得

一

g

則從尸到。的過程中中間時(shí)刻小球的橫坐標(biāo)為

縱坐標(biāo)為

”3所一權(quán)心工

則中間時(shí)刻小球的坐標(biāo)值為

(2)將小球的水平速度％沿合力方向和垂直于合力方向分解，如圖所示。當(dāng)沿合力方向的速度為零時(shí)，小

設(shè)合力與水平方向的夾角為此時(shí)

%加=%sin<9

根據(jù)力的幾何關(guān)系知

sin",'咽=叵

&Eq￥+(mg￥2

聯(lián)立解得

Vmin=^"V0

所以小球動能的最小值為

紇M=|WVm,n=）說

四.”等效重力場”中的單擺類模型

【模型構(gòu)建】如圖所示，在沿水平方向的勻強(qiáng)電場中有一固定點(diǎn)O,用一根長度￡=0.4m的絕緣細(xì)繩把質(zhì)量

為加=0.10kg、帶有正電荷的金屬小球懸掛在。點(diǎn)，小球靜止在3點(diǎn)時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為0=37。.現(xiàn)

將小球拉至位置/使細(xì)線水平后由靜止釋放：

建立“等效重力場”如圖所示，“等效重力加速度"g',

方向：與豎直方向的夾角30°,大?。篻'=8=L25g

cos37

由A、C點(diǎn)分別做繩OB的垂線，交點(diǎn)分別為A，、C,由動能

定理得帶電小球從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)等效重力做功

1

mmv

mg\LOA,-Loc‘）-SZ（cosO-smO）=~^c

代入數(shù)值得V。-1.4m/s

當(dāng)帶電小球擺到B點(diǎn)時(shí)，繩上的拉力最大，設(shè)該時(shí)小球的速度為力,繩上的拉力為尸，則

mg，（L一Lsin6）=；mvj①

2

F-mgr=m-②

L

聯(lián)立①②兩式子得尸=2.25N

1.如圖甲所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球用長為￡、不可伸長的輕繩懸掛于。點(diǎn)?，F(xiàn)對小球施加水平恒力使其從靜

止開始運(yùn)動，輕繩拉力斗大小隨繩轉(zhuǎn)過的角度。變化的曲線如圖乙所示，圖中與為已知量，重力加速度為

g,下列說法正確的是（)

A.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能最大

B.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的加速度大小為百g

C.小球運(yùn)動過程中輕繩拉力的最大值為4片

D.小球從開始運(yùn)動到最高點(diǎn)，增加的機(jī)械能為追耳力

【答案】BC

【解析】水平恒力少與重力合成出一個新力場（因?yàn)閮蓚€力的方向和大小都不變），得到肝力場，尸力場

為等效重力場模型，受力分析如圖所示

mg

A.除重力之外只有少在做功，當(dāng)小球到達(dá)水平位置時(shí)，咒做功最多，所以當(dāng)小球到達(dá)水平位置時(shí)機(jī)械能

最大（繩子拉力與小球速度垂直，不做功），故A選項(xiàng)錯誤；

B.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，速度為h=0,設(shè)其加速度為。，據(jù)牛二定律得

口、c機(jī)V：

%+5—九P—-----me1

Ltl

G2+F2=Gsin600+Fsin300=mat

解得

4=0,a,=V3g

據(jù)加速度的合成與分解得

a=小%+%=

故B選項(xiàng)正確；

JT

C.由圖可知，當(dāng)。=§=60°時(shí)，輕繩拉力耳達(dá)到最大值Kmax，輕繩的拉力瑞max與尸的合力為小球運(yùn)

動提供向心力，則有

,mv2

耳max-尸=二區(qū)

由動能定理得

1

-mg(L-Lcos60°)+FLsin60°=—mv^?

其中

F-mgtan60°=G加g

F口'=---m--g--=20mg

cos60°

聯(lián)立上式，解得

號amx=4mg

因?yàn)閯傞_始時(shí)小球是靜止的，則有

F。=mg

故

4=4或

故C選項(xiàng)正確；

D.小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，增加的機(jī)械能為水平恒力所做的功，即

W=Ficos30。=V3mgx^-L=^mgL

33

W=-mgL=-F0L

故D選項(xiàng)錯誤。

故選BC?

2.如圖所示，水平向右的勻強(qiáng)電場中，一根長4=0.5m的不可伸長的絕緣細(xì)線，一端連著一質(zhì)量加=lkg的

帶電小球，另一端固定于。點(diǎn)。把小球拉起至/點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線水平，把小球從4點(diǎn)由靜止釋放，小球經(jīng)最

低點(diǎn)8后到達(dá)8的另一側(cè)C點(diǎn)時(shí)速度為零，CO與80夾角為30。，g^l0m/s2=則（）

------------04

----------------3-------------------

A.小球一定帶負(fù)電

B.小球從/點(diǎn)經(jīng)過5點(diǎn)再到C點(diǎn)的過程中，機(jī)械能先增加后減小

C.細(xì)線所受的最大拉力為30N

D.小球到達(dá)2點(diǎn)時(shí)的動能為"二^叵」

3

【答案】D

【詳解】A.對全過程，重力做正功，可知電場力做負(fù)功，可知電場力方向向右，則小球帶正電，A錯誤;

B.小球從/點(diǎn)經(jīng)過3點(diǎn)再到C點(diǎn)的過程中，電場力一直做負(fù)功，可知小球的機(jī)械能一直減小，B錯誤：

C.對全過程根據(jù)動能定理可得

mgLcos30°-qEL（l+sin300）=0

解得

y/img

死=丁

重力和電場力的合力

F=?qE￥+（加g）2=2?g

與水平方向夾角的正切值

tan04=C

qE

可得

8=60°

如圖所示

此時(shí)合力方向與圓弧的焦點(diǎn)為等效最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的拉力最大，根據(jù)動能定理

在等效最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律

聯(lián)立解得細(xì)線所受的最大拉力

c錯誤:

D.從/到2根據(jù)動能定理可得

Ek=mgL-qEL=

D正確。故選D。

3.如圖所示，在豎直平面內(nèi)有水平向左的勻強(qiáng)電場，在勻強(qiáng)電場中有一根長為乙的絕緣細(xì)線，細(xì)線一端固定

在。點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為力的帶電小球。小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向成。角，此時(shí)讓小球獲得初速度且

恰能繞。點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動，重力加速度為g,不考慮空氣阻力。下列說法正確的

是（）

A.勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E=mgtan'

q

B.小球做圓周運(yùn)動過程中動能的最小值為5kmi°是

2sin”

C.小球運(yùn)動至圓周軌跡的最高點(diǎn)時(shí)機(jī)械能最小

D.小球從初始位置開始，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動一周的過程中，其電勢能先減小后增大

【答案】A

【詳解】A.小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向成6角，對小球進(jìn)行受力分析，如圖所示

EO、L

、、、—黑I

<---------------------------------?^-l

V—女J-l

mg尸

由平衡關(guān)系可知

tan0=-

mg

解得

mgtang

口—

q

故A正確；

B.小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向成6角，則/點(diǎn)為小球繞。點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動的等效

最高點(diǎn)

/點(diǎn)時(shí)小球的速度最小，動能最小，由牛頓第二定律可知

mg_mv；m

cosdL

動能

F_12

Ekmin-^WVtnin

聯(lián)立解得

k_mgL

故B錯誤;

C.由機(jī)械能守恒定律可知，機(jī)械能的變化量等于除重力和彈簧彈力之外的其他力做的功，此處即電場力做

的功。由題意可知，當(dāng)小球運(yùn)動到最左邊與。點(diǎn)等高時(shí)，電場力做負(fù)功最多，機(jī)械能最小，故c錯誤；

D.小球從初始位置開始，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動一周的過程中，電場力先做負(fù)功后做正功，所以電勢能先增大

后減小，故D錯誤。

故選Ao

4.如圖水平向右的勻強(qiáng)電場中，用長為A的不可伸長的輕質(zhì)絕緣細(xì)線系住一質(zhì)量為如帶電量為4(q>0)

的小球。小球從豎直位置/點(diǎn)靜止釋放，可繞著懸點(diǎn)。在豎直平面內(nèi)擺過最大角度為120。。在小球右側(cè)還

有一足夠長的斜面，斜面傾角為60。，。點(diǎn)距斜面垂直距離為〃，忽略空氣阻力的影響，重力加速度為g。

(1)求電場強(qiáng)度E;

(2)換用另一根長度也為工的絕緣細(xì)線，當(dāng)繩中拉力達(dá)到4機(jī)g時(shí)，繩會斷開。求從/點(diǎn)靜止釋放小球，細(xì)

線斷后小球還能上升的最大高度(此時(shí)未落到斜面上)；

(3)使用相同材質(zhì)的細(xì)線，改變(2)問中的細(xì)線長度，仍從N點(diǎn)靜止釋放小球，求當(dāng)細(xì)線長度為多少時(shí)，小

球在斜面上的落點(diǎn)最高。

【答案】⑴等

3

⑵片

⑶旦

-2

【詳解】(1)對帶電小球受力分析，如圖所示

B

—TTT

%、、、、Eq

力6

60°

由題分析，可知小球從N點(diǎn)靜止開始最多擺到8點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系可得

6=30。

根據(jù)動能定理有

mgL(l+sinff)=Eqlcos0

解得

V3mg

￡J---------------------

q

(2)利用等效重力場原理，則等效重力為

mg'=y](.mg)2+(硝)2=2mg

方向?yàn)榕c豎直方向夾角a=600向下。

當(dāng)小球經(jīng)過等效最低點(diǎn)時(shí)，小球速度最大，細(xì)線張力最大，根據(jù)牛頓第二定律有

T-mg'=m^j-

根據(jù)動能定理有

1,

mg'Z(l-cosa)=-mvm

解得

T=4mg,vm=72gE

即恰好