2022-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類匯編：函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（八大考點(diǎn)）

三年真題工

4<02函版的林念S基本初等函數(shù)I

菖每包港。絹施闔

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

2023年全國(guó)n卷

2023年全國(guó)乙卷（理）

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)2024年上海卷

2022年全國(guó)乙卷（文）

2023年全國(guó)甲卷（理）

2022年天津卷

2023年天津卷

2024年全國(guó)甲卷（理）

考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別

2024年全國(guó)I卷

2022年全國(guó)乙卷（文）從近三年高考命題來(lái)看，本節(jié)

2022年全國(guó)甲卷（理）是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單

2022年北京卷

調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期

考點(diǎn)3:函數(shù)模型及應(yīng)用2024年北京卷

性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)

2023年全國(guó)I卷

注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)

2023年全國(guó)乙卷（理）

合在一起，.與函數(shù)圖像、函數(shù)

2022年北京卷

考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性2023年北京卷零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考

質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性2024年全國(guó)I卷查.

2024年天津卷

2023年全國(guó)I卷

2022年浙江卷

考點(diǎn)5:分段函數(shù)問(wèn)題

2024年上海夏季

考點(diǎn)6:函數(shù)的定義域、值2022年北京卷

域、最值問(wèn)題2022年北京卷

考點(diǎn)7:函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱性、2023年全國(guó)I卷

周期性、奇偶性）的綜合運(yùn)2022年全國(guó)I卷

用2024年全國(guó)I卷

2022年全國(guó)II卷

2022年天津卷

2022年浙江卷

考點(diǎn)8：指對(duì)幕運(yùn)算

2024年全國(guó)甲卷（理）

2023年北京卷

竊窟翁綴。闔滔送溫

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)

2r-1

1.(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)若/(x)=(x+a)lnQ^為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【解析】因?yàn)椤癤)為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I))(1+?)In1=(-1+a)In3,解得a=0,

當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=xln|^1,(2x-l)(2x+l)>0,解得或x<一,

4人"IL乙乙

則其定義域?yàn)閉無(wú)|外；或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

/(T)=(T)ln|^^=(T)ln||^=(-x)ln|||^)=xln||^=/(x),

故此時(shí)/(尤)為偶函數(shù).

故選：B.

2.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知/(幻二/三是偶函數(shù)，則〃=()

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因?yàn)?為偶函數(shù)，則/⑴=器_(二)e；="e：e(；)[=0.

又因?yàn)閤不恒為0,可得e，-e"=0,即e'=e"%,

則x=(a-l)x,即1=“-1,解得a=2.

故選：D.

3.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知/(幻=/+°,xeR,且〃x)是奇函數(shù)，貝h=

【答案】0

【解析】因?yàn)椤▁)是奇函數(shù)，故/(-x)+〃x)=0即x3+a+(-x)F=0,

故。=0,

故答案為：0.

4.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)若/(x)=lna+；+6是奇函數(shù)，貝［］。=,b=

1—X

【答案】-^；ln2.

【解析】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性

若。=0,則/⑴的定義域?yàn)閧x|xwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

〃w0

若奇函數(shù)的/(%)="1。+：什6有意義，貝!Jxwl且。+J-W0

l-x1-x

且XW1+L

a

???函數(shù)〃幻為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

解得。=-)

a2

由"0)=0得，4+6=0,

/.b=ln2t

故答案為：一；；＞2.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

f(x)=InQ+^—|+b=/"a-ax+\I,,Iax-a-

+b=M--------+Z

1-x1「1-x

ax+a+\

f(-x)=ln+b

1+x

??函數(shù)為奇函數(shù)

//、//、7ax-a-\I.?ax+a+\「

/./(%)+f{-x)=ln-----------+/?------------+2n7b=C

1-x111+x

ax-(?+l)2

/.In-----9-----+2/)=0

x2-l

22

a(tz+1)c1八I

/.——=------n2a+l=0=>a=——

II2

—2b=ln—=—2ln2=>b=ln2

4

l77C

a=——,b=ln2

2

[方法=]:

因?yàn)楹瘮?shù)7'(x)=ln。+丁匚為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

I—X

由。+/匚*0可得，(l-x)g+l-辦)片0,所以x=￡±l=_i,解得：a=-l即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

l-xa2

(-co,-l)u(-l,l)u(l,+co)(再由"0)=0可得，6=ln2.即/(x)=ln+ln2=ln”^,在定義域

內(nèi)滿足=符合題意.

故答案為：-；；ln2.

5.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)若/⑺=(尤-1)2+如+5出卜+1為偶函數(shù)，貝[|。=.

【答案】2

【解析】因?yàn)閥~f(%)=(%—1『+QX+sin[+^]=6一1j+ox+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

止匕時(shí)/(X)=(%—l『+2x+cosx=x2+1+COSX,

所以/(—%)-(—x)2+1+COS(-X)=X2+1+COSX=f(x),

又定義域?yàn)镽,故f(x)為偶函數(shù)，

所以。=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別

6.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)/'(x)=EH的圖像為()

【答案】D

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?無(wú)為｝,

2

且=卜-1=-/?)'

-XX

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=fcp<0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)x>l時(shí)，〃耳=忙刁=Hzl=x一工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

XXX

故選：D.

7.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)7'（x）的部分圖象如下圖所示，則/（X）的解析式可能為（）

5sinx

B.

x2+l

5/+5-5cosx

D.

,X2+2x2+l

【答案】D

【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且為-2）=〃2）<0,

由一哭f且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當(dāng)x>0時(shí)建mp>0、5（t「>0,即A、C中（0,+◎上函數(shù)值為正，排除;

必+2X2+2

故選：D

8.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)〃尤）=*+（1-「卜加在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

【答案】B

［解析］/(-無(wú))=-*+(b-e')sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=/(x),

又函數(shù)定義域?yàn)椴?.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

故可排除D.

故選：B.

9.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)x1［0,2萬(wàn)］時(shí)，曲線、sinx與昨2sin,x-f的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)P=sinx的的最小正周期為T=2K,

函數(shù)了=2sin13x-胃的最小正周期為T，

所以在xe［0,2兀］上函數(shù)y=2sin）有三個(gè)周期的圖象,

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).

故選：C

10.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像,

則該函數(shù)是（）

.—x3+3xx3-x-2xcosx2sin%

A.y=--B--.---C.y=D.

x2+lX2+11

【答案】A

【解析】設(shè)?。?言，則〃2。，故排除B;

設(shè)人（力=三普，當(dāng)

xe0，,J時(shí)，0<cosx<l,

所以皿二壬故排除C;

設(shè)g（x）=B*,貝!|g（3）=聿@>0,故排除D.

故選：A.

11.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)y=（3*-3r）cosx在區(qū)間的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】令/("=(3工-3一工)cosx,xe|_--J,

則/(-X)=(3-x-3X)cos(-X)=一伙一3Tbosx=-/6),

所以/(x)為奇函數(shù)，排除BD;

又當(dāng)時(shí)，3'-3->0,cosx>0,所以f(x)>0,排除C.

故選：A.

考點(diǎn)3：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

12.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和坨尸的

關(guān)系，其中7表示溫度，單位是K;尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,尸=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,C=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，映尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)T=270,P=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)7=300,尸=9987時(shí)，1g尸與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)

誤.

當(dāng)7=360,P=729時(shí),因2<1g尸<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

C_1

13.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)1=丁二是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S,N分別表

InN

示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)“越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)s沒(méi)有變化，生物個(gè)體總數(shù)由M變?yōu)镹0生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3N[=2N、B.2N°=3N\

C.N；=N：D,N；=N；

【答案】D

S_]S—1

【解析】由題意得"=2.1，方^=3.15,則2.11nM=3.151nN2,即21nM=31n/,所以V=N；.

1J.X7ViAll7Vn

故選：D.

14.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)

弱，定義聲壓級(jí)4=20xlgf,其中常數(shù)A（p°>0）是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，P是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的

聲壓級(jí):

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050?60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為“,0,幺，則（）.

A.Pi^P2B.

C./?3=100/70D.Pi<1007?2

【答案】ACD

【解析】由題意可知：4?60,90]4目50,60]，4=40,

對(duì)于選項(xiàng)A:可得乙14=20x1g及-20xlg&=20x1g且

PoPoPl

因?yàn)閯t4-4=20xlg?20,gplg^>0,

PlPl

所以包21且R，2>0,可得PiNPz,故A正確；

Pl

對(duì)于選項(xiàng)B：可得工a-￡人=20xlg邃-20xlgW=20xlg2,

PoPoP3

因?yàn)?,一4=42一4°21°,貝1]20xlg§210,即

夕3夕3乙

所以與2而且。2，幺＞0,可得°2之而03，

當(dāng)且僅當(dāng)4z=5°時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)槿?2°xlg§=40,即lg§=2,

PoPo

可得§=100,即2=100%,故c正確;

Po

對(duì)于選項(xiàng)D:由選項(xiàng)A可知：Lpi-Lp2=20xlgA

Pl

且4一4,490-50=40,貝[]20xlg且V40,

P1

即他且42,可得a4100,且外外＞0,所以口故D正確;

PlP1

故選：ACD.

考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性

15.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)若函數(shù)"x)=。'+(1+。)工在(。,+。)上單調(diào)遞增,

則?的取值范圍是.

石-1'

【答案】kJ

【解析】由函數(shù)的解析式可得/'(尤)=優(yōu)1114+(1+"ln(l+”)20在區(qū)間(0,+")上恒成立,

1+a“也在區(qū)間上恒成立,

則(1+Q)*ln(l+a)2-屋Ina,即(0,+8)

a

1+a

故而a+l?l，2),故ln(l+a)>0,

a

a(a+l)21,故宮一＜1,

故

0<〃<l0<tz<1

卮11'

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)。的取值范圍是丁j

、

也-1、

故答案為:

，

27,

16.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)/⑶二力，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有（）

A./(-x)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

D.-=g

C./(-x)+/(x)=l

【答案】C

【解析】/（一尤）+〃同=合+￡2X1

合+。=1，故A錯(cuò)誤，C正確;

?。?/（加夫-￡=臺(tái)12T]2

不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤;

1+2-'-2、+1-~2X+1

故選：C.

17.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間。+?）上單調(diào)遞增的是（）

A.f（x）=-lnxB./（無(wú)）=4

2

C./?=--D./（x）=31'-11

X

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?yàn)榱?InX在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=-x在（0,+8）上單調(diào)遞減,

所以/（x）=-lnx在（0,+向上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2、在（0,+8）上單調(diào)遞增，＞=：在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以〃x）=*在（0,+。）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椋?：在（0,+s）上單調(diào)遞減，了=-尤在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以〃x）=-：在（0,+8）上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?（\=3加=3；=百，/（1）=3M=3°=1,/（2）=3|2-11=3,

顯然/3=少T在（0,+向上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

⑻（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)仆）=1—x+—皿2a+x—1）c心ix＜。0在R上單調(diào)遞增,則“的取值范

圍是()

A.(-℃,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，且x20時(shí)，/(x)=e，+ln(x+l)單調(diào)遞增,

——>0

則需滿足2x(-1)，解得

-a<e°+In1

即。的范圍是[TO].

故選：B.

19.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

Aex-x2-cosx+x2sinx+4x

A.尸丁7B.y=一廠r-C.D-y=產(chǎn)

x+1x-+17x+1

【答案】B

p,x_丫2

【解析】對(duì)A,設(shè)/(x)=q引，函數(shù)定義域?yàn)镽,但”1)=7,貝(1/(一1)W/■⑴，故

Z.乙

A錯(cuò)誤；

對(duì)B,設(shè)g(尤)=co7+/，函數(shù)定義域?yàn)镽，

且g(-X)=cos)?：(")=cosj+x=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確；

(-X)+1%+1

對(duì)c,設(shè)〃(力=三1,函數(shù)定義域?yàn)閧x|xwT},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則Mx)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,設(shè)夕(>=$也*4\函數(shù)定義域?yàn)镽,因?yàn)?。?包*±1,^(-1)=~sinl-4,

e11ee

則0(1)”(-1),則W(x)不是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.

故選：B.

20.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(叼=2不切在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+向

【答案】D

【解析】函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃X)=2代")在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)昨年-〃)=口-少2_—在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此經(jīng)1,解得此2,

242

所以。的取值范圍是2。).

故選：D

考點(diǎn)5：分段函數(shù)問(wèn)題

+2,尤W1,//,\\

21.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知函數(shù)/(x)=1則/'/彳=_________；若當(dāng)

x+——1,x>l,I12〃

IX

々時(shí)，l〈/(x)W3,貝出—。的最大值是________.

【答案】—3+V3/V3+3

2o

【解析】由已知+2=：,〃：)=?=］，

所以//嶗,

當(dāng)x41時(shí)，由l4/(x)V3可得14-X2+243,所以一14x41,

當(dāng)x>l時(shí)，由lV/(x)W3可得lWx+，TV3,所以1<XV2+VJ,

X

14/(x)43等價(jià)于TMX42+。,所以也可=［7,2+百］,

所以的最大值為3+6.

故答案為：—,3+6.

2o

22.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知〃x)=［產(chǎn)則〃3)=.

【答案】6

【解析】因?yàn)楣省?)=6,

l,x<0

故答案為：V3.

考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值域、最值問(wèn)題

23.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)/(0=1+”二3的定義域是_________.

X

【答案】(-8,0)3(0,1]

/\1I-----11—x20

【解析】因?yàn)椤▁)=-+心，所以,解得XVI且XW0,

XIXWU

故函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)口(0』；

故答案為：(ro,0)u(0』

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=若/⑴存在最小值，則。的一個(gè)取

2,x>a.

值為；4的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

1,x<0

【解析】若"0時(shí)，fM={':.f(x)=0-,

(x-2),x>0mm

若。<0時(shí)，當(dāng)時(shí)，/①)=-。龍+1單調(diào)遞增，當(dāng)Xf-co時(shí)，-00,故"X)沒(méi)有最小值，不符合題

目要求；

若a>0時(shí)，

當(dāng)x<a時(shí)，/(x)=—ax+1單調(diào)遞減，f(x)>f(a)=—a"+1,

0(0<a<2)

當(dāng)時(shí)，/(x)={2(

1nto(a-2)(a>2)

-a2+l>0eJ6-a2+l>(a-2)2,

解得Ova41,

綜上可得04。41；

故答案為：0(答案不唯一)，1

考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)(對(duì)稱性、周期性、奇偶性)的綜合運(yùn)用

25.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,=//(x)+x2/(y),

則().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(X)是偶函數(shù)D.苫=0為/("的極小值點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】方法一：

因?yàn)橐蛏?=y2f(x)+x2f(y),

對(duì)于A,令無(wú)=了=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)^/(-1)+/(-1)-2/(-1),貝曠(-1)=0,

令，-=TJ(-x)=令x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以/⑴為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令〃x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)AM無(wú)極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+x2/(j),

又寸于A,令無(wú)=了=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=i,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),貝”(一1)=0,

令尸TJ(r)=/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)“x)的定義域?yàn)镽,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確,

對(duì)于D,當(dāng)x2y2w0時(shí)，對(duì)/(xy)=//(%)+x2f(y)兩邊同時(shí)除以x2y2,得到:紫)=,

故可以設(shè)/學(xué)=如國(guó)(XHO),則=In'xwO

x[0,x=0

當(dāng)x>0肘，f(x)=x21nx,則=2xlnx+%2，=x(21nx+l),

令/'(x)<°，得0<x<e!令〃(、)>°，得x〉e?

故〃x)在上單調(diào)遞減，在卜4,上單調(diào)遞增，

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以A1)在一屋萬(wàn),0上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

7

顯然，此時(shí)x=0是/⑶的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

26.(多選題)(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)"X)及其導(dǎo)函數(shù)/(X)的定義域均為R,記

g(x)=F(x),若/1|-2x］,g(2+x)均為偶函數(shù)，貝U()

A./(0)=0B.g，J=0C./(-D=/(4)D.g(-D=g(2)

【答案】BC

【解析】［方法一1：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/(X),因?yàn)?'［一2x)為偶函數(shù)，所以了|^-2x］=/1|+2x］即/+①，所以

/(3-x)=/(x),所以/*)關(guān)于x=j對(duì)稱，則/(-1)=〃4),故C正確；

對(duì)于g(x),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，由①求

導(dǎo)，和g(x)=/(x),得=1/1+工)<=>-/g+x)o-gg-x)=gg+x,所

以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)關(guān)于go)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g］￡|=0,結(jié)合g(x)關(guān)于X=2對(duì)

稱，從而周期T=4x，-j=2,所以==g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/*)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)〃x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定"X)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于x=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cos(亦)，則/(x)=2sing)+c,顯然A,D錯(cuò)

兀

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］：

因?yàn)間(2+x)均為偶函數(shù)，

所以+2d即g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確；

3

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線X=5，x=2對(duì)稱，

又g(x)=f\x)，且函數(shù)/(x)可導(dǎo)，

所以=°，g(3-x)=Y(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以gH=g(，=O,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)〃x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定Ax)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

27.(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,/(%)>/(%-1)+/(%-2),且當(dāng)x<3時(shí)

fM=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.”10)>100B.”20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)〃x)=x,所以/⑴=1J(2)=2,

又因?yàn)?(x)>/(x-l)+/(x-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(U)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知〃20)>1000,則B正確；

且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

28.(2022年新高考全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镽,且

22

〃x+y)+〃X7)=/W(y),〃l)=l,則()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】[方法一]:賦值加性質(zhì)

因?yàn)?(x+，+)(X7)=/(x)/(y),令x=l,y=o可得，2/⑴=/■⑴/⑼，所以/(0)=2,令x=0可得,

〃力+/(7)=2/(“即=〃一y),所以函數(shù)/(無(wú))為偶函數(shù)，令尸1得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(尤+2)+7(尤)=/(x+l),從而可知/(x+2)=-/(x-l),

/(x-l)=-/(^-4),故〃x+2)=/(x-4),即〃x)=/(x+6),所以函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/⑴+〃2)+…+/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以㈤=〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=1-1-2-1=-3.故選：A.

k=l

I方法二I:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由1(x+y)+/(x7)=〃x)/(y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+^)+cos(x-y)=2cosxcosyf可設(shè)/(x)=QCOSGX,則由方法一中/(0)=2,/(1)=1知4=2,訛0$°=1,

[71

解得COS0=],取0=§,

jr

所以/(x)=2cos§x,則

)c"兀而所以

f(x+y)+f(x-y)=2cosfyX+yy+2cos—x——yj=4c°q1X0/(x)=2cosqx

)(33

T——￡

符合條件，因此/(x)的周期~￡~,/(o)=2,/(l)=l,且

3

/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以“1)+“2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡〃左)=，⑴+/⑵+/(3)+八4)=1一1一2-1=一3.故選：A.

k=l

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法;

29.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且