2023-2024學(xué)年陽江市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末測試卷（附答案解析）

2023-2024學(xué)年陽江市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末測試卷

2024.1

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1設(shè)集合0={-2,-1,0,1,2},4={-1,2},3=則=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2-1,2}C.{-2,2}D.{2}

2.已知x,y>0,-x+-y=4xy,則3x+2y的最小值為（）

23

A.-1B.1C.0D1

3.已知募函數(shù)y=/（x）圖象過點(diǎn)j等,;j,則/（3）的值為（）

D.1

A.9B.3C.73

3

4.若關(guān)于x一元二次方程/-2（xv+4=0有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1,另一個(gè)實(shí)根大于2,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

A.（-oo,-2）B.（2,+s）C.■，+D.（-?2,-2)U(2,+8)

廠sin2x

5.已知?0$X+$111%=^"，則CCJY兀）=（）

3cos}I

A7R7V2?77

D.——

16663

6.已知向量M=（cos%sina）,b=（-sincif,coscr）,fh=^J3a+b，H=d+后,則沅與萬的夾角為

（）

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

6432

7.某圓錐的母線長為4,軸截面是頂角為120。的等腰三角形,過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面

面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）

A.4B.2C.73D.V2

1

8.已知P,A3,C是表面積為16兀的球。表面上的四點(diǎn)，球心。為AABC的內(nèi)心，且到平面

B45PBeB4c的距離之比為2:2:6，則四面體P—ABC的體積為()

A.3B.4C.5D.6

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在中，內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的有()

A.若。=6,A=巴，則AABC面積的最大值為2叵

32

B.若。=63+c=8,則AABC面積的最大值為

C.若角A的內(nèi)角平分線交3c于點(diǎn)。，且器=；M=3,則AABC面積的最大值為3

Q

D.若=為3c的中點(diǎn)，且4以=2,則"RC面積的最大值為§

10.已知函數(shù)〃x)T<xr+l|一麻一l|(xeR),則()

A."%)是R上的奇函數(shù)

B.當(dāng)a=l時(shí)，/(%)<1的解集為1一%!|

C.當(dāng)時(shí)0時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞減

D.當(dāng)"0時(shí)，丁=/(力值域?yàn)閇-2,2]

11.己知函數(shù)/(%)=匚^—1,則下列正確的有()

X+1

A.函數(shù)/(元)在(0,+8)上為增函數(shù)B.存在xeR,使得/(-X)=-/(X)

C.函數(shù)/a)的值域?yàn)?f,-2]U[—l,+8)D.方程/(x)—V=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

12.正方體ABC?！狝4GR棱長為4,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別滿足可巨="2恁+〃題，其中〃eR

且〃w0,|居+畫]=4；R在用G上，點(diǎn)T在平面內(nèi)，則()

A.對(duì)于任意me(0,1),〃eR且〃w0,都有平面ACP,平面4月。

2

B.當(dāng)m+〃=l時(shí)，三棱錐3-APD的體積不為定值

C.若直線HT到平面AC，的距離為2百，則直線。A與直線HT所成角正弦值最小為丑.

3

D.A3@5的取值范圍為［-28,4］

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

..不、、3msin2a+2sin2a.底生

13.已知sm(一+。)=一，則--------------的值為_______.

451+tana

冗2_|_2%XCL

14.已知點(diǎn)(2,1)在函數(shù)〃x)="一的圖像上，且〃尤)有最小值，則常數(shù)。的一個(gè)取值為

［2-3,x>a

15.三棱錐A-6CD的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為20兀的球。上,點(diǎn)A在平面BCD的射影是線段3c的中點(diǎn)，

AB=BC=20則平面BCD被球。截得的截面面積為.

16.在四面體A3CD中，AB=V,BC=2,CD=6且CDLBC,異面直線A3,CD

JT

所成的角為一，則該四面體外接球的表面積為.

6

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在AABC中，角A氏C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,dc,且a+Z?=ll,c=7,cosA——.求：

7

(1)a的值；

(2)sinC和AABC的面積.

18.某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第

一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所

示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

3

(2)估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第60百分位數(shù)(精確到0.1)；

兀71

19.如圖，在所有棱長都等于1三棱柱ABC—AbBiCi中，NABBi=-,/BiBC=—.

23

(1)證明：AiCiXBiC；

(2)求直線8c與平面ABBA所成角的大小.

20.已知直線4：2x+y—8=O,直線。：x—y+2=0,設(shè)直線乙與4的交點(diǎn)為A，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,0).

(1)經(jīng)過點(diǎn)P且與直線4垂直的直線方程；

(2)求以AP為直徑的圓的方程.

21已知直線m:3%+4、+12=0和圓。：/+/+2%-4y-4=0.

(1)求與直線用垂直且經(jīng)過圓心C的直線的方程；

(2)求與直線機(jī)平行且與圓C相切的直線的方程.

22.已知函數(shù)=eR)

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間(只需判定單調(diào)區(qū)間，不需要證明)；

4

(2)設(shè)〃尤)在區(qū)間(0,2］上最大值為g⑷，求y=g(a)的解析式.

2023-2024學(xué)年陽江市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末測試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1,設(shè)集合。={-2，一1，°」，2},A={-L2},5={-1,0,1}；則應(yīng)町%=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2-1,2}C.{-2,2}D.{2}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】令8={—2,2},(^B)oA={-2,-l,2}.

故選：B

2.已知x,y＞0,gx+；y=4孫，貝！J3x+2y的最小值為()

A.-1B.1C.0D.1

【答案】B

【解析】

11,

【分析】由題設(shè)丁+丁=4,且孫＞0,應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值，注意取值條件.

3x2y

11,

【詳解】由題設(shè)丁+丁=4,且孫＞0,

3x2y

5

所以3x+2y=?。?九+2?。ü?工）=工（2+2y3%、、1_2y3%x..

—+—)>-(2+2—?—)=1,

43x2y43x2y4V3x2y

當(dāng)且僅當(dāng)2y￡二3x斤即戶式1北時(shí)1等號(hào)成立，

所以3x+2y的最小值為1.

故選：B

3.已知幕函數(shù)y=/（x）的圖象過點(diǎn)，則〃3）的值為（）

1

A.9B.3C.6D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)y=/（x）=x"，根據(jù)等［;求出1,即可求出函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)y=/（x）=x°,則/二=乂一=—,所以a=2,

\7\7

貝1/（尤）=/,所以/（3）=32=9.

故選：A

4.若關(guān)于尤的一元二次方程f一2辦+4=0有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1,另一個(gè)實(shí)根大于2,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合已知作出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】設(shè)/（x）=%2—2依+4,

根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖

6

A=(-2tz)2-16=4(tz2-4)>0

則有《/(l)=5-2tz<0

y(2)=8-4tz<0

解得a>—.

2

故選：C.

sin2x

則屋

5.已知cosx+sinx=，

3

77

A.——B.述cD.

16~6~-43

【答案】D

【解析】

【分析】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.

(sinx+cosx)2-17

【詳解】

克x也3-

故選：D

6.已知向量。=(cosa,sina),B=(-sinc,cosa),而=百萬+B,為=萬+6石，則沅與萬的夾角為

)

兀兀71

D.

64J2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、夾角公式求解.

7

【詳解】...M=(cosa,sina),B=(—sina,cosa),

/.\a\=1，M=1.5=-sinacosi+cosisini=0,

...沆?為=(6訝+.)?(日+百6)=y/3a2+6方2+4@.6=26

.'.|m|=J^y/3a+b^=^/^=2,同="萬+=2,

故選：A

7.某圓錐母線長為4,軸截面是頂角為120。的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面

面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）

A.4B.2C.6D.血

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓心為O,連接SO,得到SBC=gsc義S3義sinNCS3,得到SB,SC

的夾角為90。時(shí)，ASBC的面積最大，結(jié)合匕.BOC=%-SBC，列出方程，即可求解.

【詳解】設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓心為。，AB為底面圓的直徑，連接SO,由圓錐的母線長為4,軸

截面是頂角為120。的等腰三角形可知圓錐的高50=2,底面圓半徑為2石，

設(shè)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，連接8C,OC,則S^SBC=gsCxS3義sinNCS3,

所以當(dāng)△S3。的面積最大時(shí)，即sin/CSB最大時(shí)，即SB,SC的夾角為90。時(shí)，

△S3C的面積最大，此時(shí)△S3C的面積為8,且3c=4&，

取3c中點(diǎn)。，連接OD,則OD±BC,

在直角△3QD中，可得OD=《OB?—BD?=2,

所以&BOC的面積為5B0C=-X4V2X2=4A/2,

2

設(shè)圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h,

則由^S-BOC—^O-SBC可得§XSOxSABOC=—xhxSASBC，

8

即gx2x40=；x/zx8,解得/z=0,

所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為J5.

故選：D.

8.已知p,AB,C是表面積為16兀的球。表面上的四點(diǎn)，球心。為的內(nèi)心，且到平面

4c的距離之比為2:2:J7,則四面體P—ABC的體積為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可知AABC是邊長為2G等邊三角形，點(diǎn)P在底面ABC的投影在直線8。上，

建系，設(shè)P(2cos8,0,2sine),sin6>0,利用空間向量結(jié)合點(diǎn)到面的距離可得sin。=岑，進(jìn)而可求

體積.

【詳解】由題意可知：球心。既是AABC的內(nèi)心，也是443C的外心，則“3。為等邊三角形，

設(shè)球。的半徑為R,貝14位2=16兀，解得R=2，

由正弦定理可得AB=2Rsin60°=26，即的邊長為26，

分別取AC,A8的中點(diǎn)2E,連接3。，

因?yàn)?。到平面尸A5PBe的距離相等，由對(duì)稱可知：點(diǎn)P在底面A3C的投影在直線即上，

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8。為x軸所在直線，0￡為y軸所在直線，過。作底面A3C的垂線為z軸所

在直線，建立空間直角坐標(biāo)系，

9

則3（2,0,0）,4-1,60），4-1,-"0）,

可得AB=（3,-AO）,CB=（3,y/3,0）,CA=（0,2后,0）,

不妨設(shè)平面PAB,PBC,PAC的法向量依次為?=（l,V3,?）,m=（l,-Ab）,p=（1,0,c）,

UUL/l\UUUULUU/L\

且。4=-1,6,0,O5=（2,0,0）,OC=-1,-后0,

221

則O到平面PAB,PBC,PAC的距離依次為"'a+/',1+02

21=2:2:77整理得了=廿

可得

14+/“+/"b1=3+7金

因?yàn)镺P=2,設(shè)尸（2cos8,0,2sin。），sin8>0,

UUUUUL

則AP=（2cos0+1,0,2sin8）,BP=（2cos0-2,0,2sin8）,

ft-AP-2cos8+1+2〃sing=0

1-cos0

則《玩?AP=2cos8+l+2/?sine=0,解得〃=/7=--------------

_?sin。sin。

p-BP=2cos8-2+2。sin。=0

J2cos8+1丫__（1-cos^Y冷刀夕日a1

貝1TlI--------------=3+7-------------,解得cos6=不，

Isin。JIsin8J2

則sin0=Vl-cos2^=—，即點(diǎn)尸到底面ABC的距離為且,

22

所以四面體P—ABC的體積為工X』X3X2GX9=3.

322

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：

1.分析可知疑。是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)尸在底面ABC的投影在直線5。上;

2.巧妙設(shè)點(diǎn)或向量，方便分析計(jì)算.

10

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的有（）

A.若a=6,A=二，則”RC面積的最大值為上叵

32

B.若。=63+c=8,則面積的最大值為3s

C.若角A內(nèi)角平分線交于點(diǎn)D,且殷=’,。=3,則面積的最大值為3

DC2

Q

D.若=為3c的中點(diǎn)，且AM=2,則AABC面積的最大值為§

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面積公式可判斷AB；根據(jù)角平分線的性質(zhì)及余弦定理,

結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷C,根據(jù)余弦定理結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷D.

jr

【詳解】對(duì)于A,由余弦定理可得3c2=AB?+AC2—2A3.ACCOS—,

3

即AB-+AC2-AB-AC=36，

由基本不等式可得36=AB?+AC?一AB.AC22AB?AC—AB?AC=AB?AC，

即AB-ACW36,當(dāng)且僅當(dāng)A3=AC=6時(shí)，等號(hào)成立，

所以S=-AB-ACsin-=—AB-AC<9^3，所以A錯(cuò)誤；

△AOBC234

對(duì)于B,由余弦定理可得cosA=—=0+=64-36-2兒=14_1；

2bc2bc2bcbe

所以54ABe=；besinA=；bcy/l-cos2A=g^（Z?c）2-（14-Z?c）2=Ebe-49,

因?yàn)?=b+c22j^,所以人cK16,當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=4時(shí)，等號(hào)成立，

所以工^=Ebe-49W3a，即△ABC面積的最大值為3J7,故B正確；

對(duì)于C,設(shè)NE4Q=。，/BDA=（3,則NC4D=。，NCZM=180。—尸，

11

4Hsin/?AC'sin（180。-￡）

在和中，分別運(yùn)用正弦定理，得——=—C和0=

BDsinaDCsina

AD74rABBD1…7-

因?yàn)閟in（180。一分）=sin￡,所以絲二不即an==—,所以b=2c,

v7BDDCACDC2

IA—p/曰./?2+C2—6225c2—9匚Ui、j

由余弦JE理可得cosA=----------=------，所以

2bc4c2

i--------------------I（s2-QY3/------------

5=-bcsmA=c2yjzl-cos2A=Jc4---r----=-^-c4+10c2-9，

aABC2'I4J4

=j^-（c2-5）2+16<jx4=3,當(dāng)且僅當(dāng)°=百時(shí)，等號(hào)成立，

所以AABC面積的最大值為3,所以C正確；

對(duì)于D,設(shè)9=%,則B4=BC=2x,在△B4"中，由余弦定理得4爐+尤2一4尤2以^8=4,解得

9220

X--------

49i+M

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題以三角形中的邊角關(guān)系為背景設(shè)置了求三角形面積的最大值問題.求解時(shí)，先運(yùn)

用余弦定理求得邊角關(guān)系，再建立三角形的面積函數(shù)，進(jìn)而借助基本不等式或二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分

析探求出其最大值使得問題獲解.

10.已知函數(shù)/(%)=而+1|-|改一l|(xwR),則()

A./(%)是R上的奇函數(shù)

B.當(dāng)a=l時(shí)，〃X)<1的解集為

C.當(dāng)a<0時(shí)，〃X)在R上單調(diào)遞減

D.當(dāng)"0時(shí)，y=/(x)值域?yàn)閇-2,2]

【答案】ABD

12

【解析】

【分析】對(duì)于A,直接由奇函數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于B,直接分類討論解絕對(duì)值不等式即可判斷；對(duì)于

C,舉出反例，推翻C選項(xiàng)；對(duì)于D,通過令f=axeR換元法，然后再分類討論求出y=/(力的值域即

可判斷.

【詳解】對(duì)于A,首先/(X)的定義域是R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次

f(一X)=|—CIX+1|一|一CIX一1|=|<2X一1|一|<2X+1|=-f(X)，

即7(x)是R上的奇函數(shù)，故A正確；

—2,x<—1

r2%<1

對(duì)于B,當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,所以/(七)<101《一1或<]<

2,x>1

解得xW—l或—l<x<g,即當(dāng)a=l時(shí)，/卜)<1的解集為]一叫!|,故B正確；

對(duì)于C,不妨取a=—l<0,此時(shí)/'(%)=忖一1|一次+1|,對(duì)為=2<々=3,有

/(X1)=1-3=-2=2-4=/(X2),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)awO,xeR時(shí)，令f=此時(shí)〃無)=而+1|—尿一1|=卜+1]—=g?)/wR,

而g(7)=，+l卜|一1|=<2/,—1<Y1,當(dāng)—1<*1時(shí)，-2<g(t)=2t<2,

2,t>l

從而當(dāng)aw0時(shí)，y=g")即y=/(x)值域?yàn)閇-2,2].

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于AC選項(xiàng)的判斷比較常規(guī)，直接由定義即可判斷，對(duì)于B,注意分類討論解決

速度最快了，對(duì)于D,通過換元令r=axeR,這樣就不要分a>0或進(jìn)行討論了.

11.已知函數(shù)/(%)=匚^-1,則下列正確的有()

X+1

A.函數(shù)/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)B.存在xeR,使得/(T)=-/(X)

C.函數(shù)/*)的值域?yàn)?H。,—2]U[T,+8)D.方程/(x)——=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】ABD

【分析】首先去絕對(duì)值，依次判斷函數(shù)的單調(diào)性和值域，再求解了(-x)=-/(x)的方程，再利用數(shù)形結(jié)合

13

判斷D.

【詳解】A.當(dāng)尤>0時(shí)，，（犬）=七—1=缶，函數(shù)在（0,+"）上為增函數(shù)，故A正確；

B.當(dāng)x>0時(shí)，一％<0,f（-X）=-f（X）,則------1=----+1,

一龍+1x+1

即x2+x-l=0>其中A=5>0,所以方程存在實(shí)數(shù)根，故B正確；

C.當(dāng)x?0時(shí)，/（'=七—1=三，函數(shù)在[0,+"）上為增函數(shù)，止匕時(shí)—l<y<0,

_y1

當(dāng)x<0且xw—1時(shí)，/（%）=------1=-2+——，此時(shí)函數(shù)在（一8,-1）和（一1,0）單調(diào)遞減，此時(shí)

y<—2或y>—l,所以函數(shù)的值域是（-*—2）U[—l,+8），故C錯(cuò)誤；

D.由以上求值域的過程可知，x20和％<—1時(shí)，當(dāng)一1〈尤<0時(shí)，二—1=Y,即

x+1

如圖畫出y=-2d—匚和丁=》2,當(dāng)一1<%<。的圖象,

x+1

兩函數(shù)圖象在區(qū)間（一1,0）只有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程/（x）--=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.

故選：ABD

12.正方體48?！?4。12棱長為4,動(dòng)點(diǎn)「、。分別滿足經(jīng)="次+〃市彳，其中加€（0,1）,〃€1<

且7ZW0,向豆+。"|=4；R在4G上，點(diǎn)T在平面內(nèi)，則（）

A.對(duì)于任意的me（0,1）,〃eR且〃w0,都有平面ACP,平面4耳。

B.當(dāng)m+〃=1時(shí)，三棱錐3-APD的體積不為定值

14

C.若直線HT到平面AC，的距離為26,則直線與直線HT所成角正弦值最小為1.

3

D.?加的取值范圍為[-28,4]

【答案】ACD

【分析】建空間直角坐標(biāo)系，用向量知識(shí)求解四個(gè)選項(xiàng).

對(duì)于A,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA所在直線為x軸，＞軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）,0（0,4,0）,C（4,4,0）,R（0,4,4）,A（°，°，4），4（4,0,4）,B（4,0,0）

設(shè)平面片修。的法向量為機(jī)=（百,,

4^=（4,0,0）,麗=（O,4T）

m-AiBl=4%=0

則＜，令％=1，則%=0,4=1,

m-AXD-4y1—4z1二0

貝！J根二（0,1,1）,

AC=（4,4,0）,宿=（0,4,4）,

AP=mAC+nAD1=m（4,4,0）+n（0,4,4）=（4m,4m+4n,4n）,

設(shè)平面ACP的法向量為3=（九2，%，Z2），

n-AC=4X+4%=0

則L—.9，令％=1，則%=-1，Z2=1,

n-AP=4mx2+（4m+4n）y2+4nz2=0

則7=（1,-1,1）,

又加?〃=（-l）xl+lxl=0,

所以而_LA，所以對(duì)于任意的相￡（。,1）,都有平面ACP_L平面4耳。，故A正確;

15

對(duì)于B,當(dāng)加+n=1時(shí)，P（4m,4,4”）

設(shè)平面A3。的法向量為M=（七,y3,z3）

甌=（T,0,4）,彷=（T,4,0）,

u-BA,=-4x,+4z,=0

則〈一,，令退=1，則%=1，Z3=1,

u.BD--4X3+4%=0

所以a=(l,l,l),

又BP=(T”,4,4”),

\BP-U\44J3

點(diǎn)P到平面A}BD的距離為d==忑=：

又！—&PD=匕3-&B。，

又因?yàn)锳AB。的面積為定值，所以三棱錐3-的體積為定值，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,設(shè)火（4,女4）,T（a,0,c）MRT^（a-4,-b,c-4）

因?yàn)橹本€RT到平面ACD,的距離為2陋，所以RT〃平面ACD,,

AC=（4,4,0）,宿=（0,4,4）

設(shè)面ACQ為G=（%4，y4，Z4），則

k-AC=4X+4y4=0

<_______4，令”=T，則％=1,Z4=1,

k-AD】=4y4+4Z4=0

所以云=（1,-M）

所以RT,左=a—4+b+c—4=0，即a+b+c=8，

一|赤閡\S-b\「

又礪=（4,反4）,則^^=々4=203,解得人=2或6=14,

若b=2,所以a+c=6,R（4,2,4）,

又聞=（0,0,4）,

設(shè)直線DDy與直線RT所成角為歷

16

2

RTDDl|4c-16|IC-8C+162c—4

氏72口4"4)2+4+(c—4)2V2C2-12C+242c2-12c+24

當(dāng)cos0最大時(shí)，sin0最小，

人(、-2c—4，化)=_4c(")_

?g?-2c2T2c+24,Re?_12c+24)2，

g(c)在［0,4］單調(diào)遞增，

所以g(c)max=g(4)=；，g(c*=g(°)=J，

cose最大值為J1+g=(,所以sine最小為g,所以直線。與直線HT所成角正弦值最小為

同

3

若。=14,所以a+c=-6,尺(4,14,4),根據(jù)對(duì)稱性可得sin8最小為半，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)。(x,y,z)因?yàn)?。3+匿"J=4,所以QB=(4-x,-y,-z),QC=(4-x,4-y,4-z),

QB+QQ=(8-2x,4-2y,4~2z),

所以|班+西|二J(8-2x『+(4-2y『+(4_2z,=4,

整理得V+V+z?—8x—4y-4z+20=0,

即(％_4)2+(,_2)2+(”2)2=4

所以點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)以(4,2,2)為球心，半徑為2的球面上一點(diǎn)，所以2WxW6,

42=(x,y,z-4),QD=(-x,4-y,-z)

222

所以AlQQD=—x-y-z+4y+4z=20-8x,

當(dāng)x=6時(shí)，麗?的最小為-28,當(dāng)尤=2時(shí)，麗最大為4

所以碩?前的取值范圍為[-28,4],故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

17

cn號(hào)./兀、3misin2a+2sin2a

13.已知sm(一+。)=一，則-------------的值為

45l+tancr

7

【答案】——##-0.28

【分析】化簡所求值的式子，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算即得.

sin2cif+2sin26Z2sinacosa+2sin2a2sinacosa(cosa+sinor).八

-------------；------------=----------------------------------=sm2。

【詳解】依題意，l+tan6zI?sin—cosa+sina

cosa

7

故答案為：----

%+2xxci

14.已知點(diǎn)(2,l)在函數(shù)〃x)=,'—的圖像上，且〃龍)有最小值，則常數(shù)。的一個(gè)取值為

2-3,%>a

【答案】I(不唯一)

【分析】分別畫出函數(shù)y=f+2x和y=2‘-3的圖像，再根據(jù)條件求解.

【詳解】設(shè)g(x)=d+2x/(x)=2X—3,分別繪制g(x),/z(x)函數(shù)的大致圖像如下圖:

其中g(shù)(x)=Y+2x有最小值，g1nin(%)=g(T)=T，入(％)=2*-3沒有最小值，產(chǎn)一3是它的漸近

線，

點(diǎn)(2,1)在人⑺上，a<2,h(l)=-L如上圖，當(dāng)a<l時(shí),/")不存在最小值,

,\l<a<2；

故答案為：a=l(不唯一).

15.三棱錐A-5CO的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為20兀的球。上，點(diǎn)A在平面3CD的射影是線段3。的中點(diǎn),

18

AB=BC=2A/3，則平面BCD被球O截得的截面面積為.

【答案】4兀

【解析】

【分析】求出球的半徑，由題目條件得到AABC為等邊三角形，作出輔助線，找到球心的位置，并得到

DP=Jo。2_(jp2=2,求出截面面積，

【詳解】設(shè)球。的半徑為則4兀尺2=2。兀，解得R=石,

因?yàn)辄c(diǎn)A在平面BCD的射影是線段3C的中點(diǎn)M,即A"，平面BCD,

因?yàn)槠矫鍮CD,所以

由三線合一可知，AB^AC,

因?yàn)?3=3。=26，所以&43C為等邊三角形，

故BM=CM=6，AM=3,且球心。在平面ABC上的投影為"RC的中心N,

即?V=2,肱V=l,

過點(diǎn)。作OP，平面BCD于點(diǎn)P,連接。P,。。，故0D=E

則OP與AM平行，故OP=MN=T,

由勾股定理得DP=yJOD2-OP2=2，

平面BCD被球。截得的截面為圓，半徑為2,

故面積為Jr??=4兀.

故答案為：4兀

16.在四面體A3CD中，AB=1，BC=2,CD=g，且CDLBC,異面直線A3,CD

TT

所成的角為二，則該四面體外接球的表面積為.

6

19

【答案】8?；?2兀

【解析】

【分析】將四面體A3CD放到長方體中，則。在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，由異面直線A3,CD所

7T

成的角為一，即可大致確定。的位置，利用對(duì)稱性以。點(diǎn)在Z軸正方向時(shí)為例找出外接球球心位置并利用

6

半徑得出等量關(guān)系，求得半徑大小后便可得出四面體外接球的表面積.

【詳解】依題意，將四面體ABCD放到長方體中，則D在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，

兀

因?yàn)楫惷嬷本€A5,所成的角為一，CEHAB,

6

所以可得NECD=C或生，所以。應(yīng)為圖中2或如下圖所示:

66

由對(duì)稱性可知，當(dāng)。點(diǎn)在Z軸負(fù)方向時(shí)，解法與2或。2位置相同;

可設(shè)AC的中點(diǎn)為四面體A3CD外接球的球心為。，球的半徑為R,

由題意可知，球心。在過點(diǎn)/且垂直于平面ABC的垂線上，且滿足R=OC=8,

建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳3=l,BC=2,CD=6,

、

設(shè)又c(o,o,o),q|3,0,

222J

T7\

2

由心"2=W，所以RJ91+產(chǎn)=1+1+}

可,或R2=：+I+/=4+I+1

2

7

解得"空或"受

所以尺2=2或尺2=8,

即可知四面體ABCD外接球的表面積為4成2=8?；?2K.

故答案為：8兀或32兀

20

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在考查幾何體外接球問題時(shí)，如果外接球球心的位置用幾何法不太容易確定，可采取

分割補(bǔ)形法或坐標(biāo)法來確定其位置，進(jìn)而求得半徑.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.