西北四?。兾魃轿髑嗪幭模?025屆高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含答案

西北四?。兾?，山西，青海，寧夏）2025屆高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷考生注意:1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則()A. B. C. D.2．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．拋物線的準線方程為()A. B. C. D.4．采用隨機抽樣抽到一個容量為100的樣本，由樣本數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)1015x252010若用每組的中點值來代表該組數(shù)據(jù)，則估計總體的平均數(shù)為()A.42 B.44 C.46 D.485．已知圓錐的高為4，側面積是底面積的3倍，則圓錐的體積為()A. B. C. D.6．已知函數(shù)，若，，則()A. B. C. D.7．已知正方體的棱長為常數(shù)，點P在線段上（端點除外），過點P且垂直于的平面截正方體所得截面的周長為y，若，則y關于x的函數(shù)圖象大致為()A. B.C. D.8．已知橢圓的左焦點為F，經(jīng)過點F且傾斜角為的直線l與C交于A，B兩點，若，則C的離心率為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．若向量，，，則()A. B.C. D.a在c上的投影向量是10．記等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，已知，且，，成等差數(shù)列，則下列說法正確的是()A.B.，，成等比數(shù)列C.若，則數(shù)列的前n項和為D.若，則存在正整數(shù)M，使得當時，11．已知函數(shù)的導函數(shù)為，的導函數(shù)為，若，，則稱是“T函數(shù)”，則下列說法正確的是()A.是T函數(shù)B.若是定義域為R的T函數(shù)，則C.若對任意成遞增等差數(shù)列的4個數(shù)，，，，都有，則是T函數(shù)D.若是定義域為R的T函數(shù)，且當時，則在R上單調遞增三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，且，則________.13．A，B，C三人計劃假期去旅游，有甲，乙，丙，丁四個景點供選擇，若每人隨機選一個景點，則三人選擇的景點互不相同的概率為________.14．設表示不大于x的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（I）求B；（II）若D為的中點，且，求.16．如圖，在三棱臺中，平面，，，，，M為的中點.（I）證明：平面；（II）求平面和平面夾角的余弦值.17．在一次軍事演習中，某炮兵部隊有甲，乙，丙三門火炮對敵方目標M進行射擊，現(xiàn)設計了以下規(guī)則：每次讓一門火炮對M射擊一次，如果沒有擊中M就換另一門火炮進行射擊，如果擊中M或甲，乙，丙都射擊過一次就停止射擊.已知甲，乙，丙每次射擊擊中M的概率分別為，，，且每次射擊相互獨立.（I）若按甲，乙，丙的順序進行射擊，且，，，求M被擊中的概率；（II）若安排乙第二個射擊，且，要使射擊總次數(shù)的數(shù)學期望較小，應該安排哪一門火炮第一個射擊？18．已知，函數(shù)在處取得極值.（I）求a；（II）證明：對任意的，都有；（III）若存在實數(shù)，使得成立，求k的最小整數(shù)值.19．已知雙曲線的離心率為，且C經(jīng)過點.（I）求C的方程；（II）作C在點P處的切線l，設l與C的兩條漸近線分別交于點Q，R，求；（III）將橫，縱坐標均為正整數(shù)的點稱為“格點”，記C上的所有格點為，，，…，且，證明：為定值.

參考答案1．答案：A解析：集合A和B的公共元素只有2和4，所以.2．答案：B解析：，所以z在復平面內(nèi)對應的點為，位于第二象限.3．答案：B解析：拋物線的標準方程為，焦點為，準線方程為.4．答案：C解析：由已知得，估計總體的平均數(shù)為.5．答案：D解析：設圓雉的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意知，所以，又，所以，所以圓錐的體積.6．答案：C解析：由已知得的最小正周期，因為，，而，所以的圖象關于坐標原點對稱，所以，所以.不妨令，若，則，符合題意，若，則，不符合題意，故.7．答案：D解析：如圖所示，設平面和平面分別與交于點Q，R，當點P在線段和線段上時，截面是正三角形，當點P越靠近點A或越靠近點時，截面周長越小，且變化是線性的.當點P在線段上（不含點Q，R）時，截面是六邊形，且，，，，所以，所以，所以六邊形的周長與的周長相等.綜上可知y關于x的函數(shù)圖象大致為D.8．答案：B解析：設，，則l的方程為，由得，設，，則，①.因為，所以②.由①②可得，再結合，，得，解得.9．答案：CD解析：對于A，，故A錯誤；對于B，，與b不平行，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，設a在c上的投影向量為，則，所以，故D正確.10．答案：ACD解析：對于A，因為，且，，成等差數(shù)列，所以，故A正確；對于B，由，得，解得或，當時，，故B錯誤；對于C，若，則，，所以，所以的前n項和為，故C正確；對于D，當時，，，由于呈指數(shù)增長，而呈線性增長，因此當n足夠大時，必有，故D正確.11．答案：ABD解析：對于A，由題意得，，所以是T函數(shù)，故A正確；對于B，設，則，因為是T函數(shù)，所以在R上單調遞增，所以，所以單調遞增，所以，即，所以，故B正確；對于C，因為，，，成遞增的等差數(shù)列，故可設，，，，，考慮函數(shù)，因為，所以，但，，所以不是T函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為是T函數(shù)，所以在R上單調遞增，任意選取，設函數(shù)，則，當時，，當時，，所以，即，當時，因為，所以，左邊是關于x的一次函數(shù)，根據(jù)直線的性質知，這里的是任意選取的，所以，所以在R上單調遞增，故D正確.12．答案：解析：由題意得，所以.13．答案：解析：三個人任意選擇景點，不同的選擇方案有種，若三人選擇的景點互不相同，則不同的選擇方案有種，故所求的概率為.14．答案：12解析：因為，所以該式的前15項都為0，后4項都為1，所以，，所以且，得，因為，，所以，所以，故.15．答案：（I）；（II）或.解析：（I）因為，所以由正弦定理得，化簡得.因為，所以，因為，所以.（II）因為D為的中點，所以，所以，所以.由余弦定理可得，所以.因為，所以，整理得，即，解得或.16．答案：（I）證明見解析；（II）解析：（I）如圖，連接.由題意知平面，所以，又，，所以，因為M是的中點，所以.因為平面，所以，又，，所以平面，所以.因為，所以平面.（II）以A為坐標原點，以直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，所以，.設平面的法向量為，則取.由（I）知平面的一個法向量為.因為，所以平面和平面夾角的余弦值為.17．答案：（I）；（II）應該讓甲先射擊解析：（I）設事件A表示“M被擊中”，則.（II）設射擊的總次數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3.若按甲，乙，丙的順序射擊，則，，，所以.若按丙，乙，甲的順序射擊，同理得.因為又因為，，所以，所以要使射擊總次數(shù)的數(shù)學期望較小，應該讓甲先射擊.18．答案：（I）；（II）證明見解析；（III）5解析：（I），因為在處取得極值，所以，所以，解得.經(jīng)驗證當時，在處取得極小值，符合題意，故.（II）對任意的，設，則，….由（I）知，則在上單調遞增，所以當時，，即，所以在上單調遞增，因為，所以，即，故.（III）存在實數(shù)，使得成立，即成立.令，則，令，則在上恒成立，故在上單調遞增.又，，故存在唯一的，使得，即.當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，故，結合，得，故k的最小整數(shù)值為5.19．答案：（I）；（II）；（III）證明見解析解析：（I）由題意得.解得所以C的方程為.（II）當時，由得，所以，所以l的斜率為，l的方程為，即，由得C的漸近線方程為，聯(lián)立與，解得，所以.（III）在方程中，令，得，令，得，則因為，所以，得是C上的一個格點，，得是C上的一個格點.按這種構造方式，由可以得到一系列格點