2024-2025學(xué)年北師大版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試卷（解析版）

2024-2025高一第一學(xué)期期末模擬試卷

（北師大版2019）

（考試時(shí)間：120分鐘;滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填

寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷和第II卷時(shí)，用黑色簽字筆把答案填寫(xiě)到答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

一、單選題（每小題5分，共40分，請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置）

1.已知集合N={x19-x>2},8={x|xN3},則/口8=（）

A.[3,7）B.（3,7）C.[3,+a））D.（7,+s）

【答案】A

【解析】

【詳解】由題意得2={49—x〉2}={x|x<7},

則Zc8={x|x<7}c{x|x>3}=[3,7）,

故選：A.

命題“三1￡（0,+8）,\<%”的否定為（）

2.

X

VXG(0,+oo),-^->x1

A.B.Vxe(0,+oo),

X

3xe(0,+oo),-^->x

C.D.3xG(0,+oo)?-

X

【答案】A

【解析】

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定形式可知命題“％e（0,+s），3<x”的否定為“Vxe（0,+o））A>x

XX

故選：A.

3.如圖所示是一樣本的頻數(shù)分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)落在口5,20]內(nèi)的頻率為（）

“頻數(shù)

50------——

30---------------

20—1-

05101520數(shù)據(jù)

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】B

【解析】

【詳解】由頻率分布直方圖知，

30

樣本數(shù)據(jù)落在［15,20］內(nèi)的頻率為治=0.3,

IJIJ

故選：B

4.已知加是常數(shù)，幕函數(shù)/(乃=(/一3卜"'在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/⑵=()

11

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】A

【解析】

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=(機(jī)2-3)犬,是幕函數(shù)，所以加2—3=1，解得機(jī)=±2,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，函數(shù)/(》)=必在(0,+s)上單調(diào)遞增，不符合題意;

當(dāng)加=-2時(shí)，函數(shù)/(x)=<2在(0,+OQ)上單調(diào)遞減，符合題意,

11

所以/(2)=2一72=級(jí)=不

故選：A.

5.下列結(jié)論正確的是()

1

ba則+2

A.若Q/ER,則一+—22B.若x￡R,+/2的最小值為2

abVX2+2

4D.當(dāng)x>0時(shí)，4X+-^=>4

C若x<0,則xH—24

-X

【答案】D

【解析】

ha

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。乃異號(hào)時(shí)，易知—+：22不成立，即A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,易知J%'+22,所以JX'+Z+T>2Jx?+2./==2,

—V%+2VVX2+2

即，％2+2=1時(shí)等號(hào)成立,顯然不存在X滿(mǎn)足題意，即B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若x<0,則一x>0

44

當(dāng)且僅當(dāng)—1=——，即1=-2時(shí)，等號(hào)成立，即x+—V—4,所以c錯(cuò)誤;

-xx

l4

對(duì)于D,當(dāng)0時(shí)，可得y/X>0，所以JX+—j==4,

y/X

當(dāng)且僅當(dāng)、后=3，即x=4時(shí)，等號(hào)成立，即、&+)24,所以D正確.

7xyjx

故選：D

6.中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國(guó)各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱(chēng)，反映了中華民族對(duì)生命、健康和疾病

的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含

量x與藥物功效y之間滿(mǎn)足〉=15x-2爐.檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的6個(gè)樣本，得到成分甲的含量的平均值

為5,標(biāo)準(zhǔn)差為石，則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為()

A.18B.15C.20D.10

【答案】B

【解析】

【詳解】設(shè)這6個(gè)樣本中成分甲的含量分別為毛，X2?當(dāng)，》4，/，4，平均值為嚏，則

=

(西一x)+(%—x)--x)=X；++?,?+/2—(再+/+,—H4)+6xH--------F—2x,6x+6x

2

=+x2H-------F所以----2所以

2x6-6x=6x(V^)=30,FX6=180,

H222

乂+歹2---^6=15(再+x2H----FX6)-2(X1+X2H---bx6)=90,則y=必十%；—=15

故選:B.

7.設(shè)q=,b=log51,

c=2%，則a、b、c的大小關(guān)系為（)

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【詳解】指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，對(duì)數(shù)函數(shù)＞=l°ggX在（0,+e）上單調(diào)遞增,

則有〉0,即c〉q〉0,又6=logig<log[l=0,

所以b<a<c.

故選：C.

8.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步.問(wèn)：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉

徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1,用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為6

和。的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、

青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為a+6,寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)d.由

劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3,設(shè)。為斜邊5c的中點(diǎn)，作直角三角形A8C的內(nèi)接正

方形對(duì)角線NE，過(guò)點(diǎn)/作18。于點(diǎn)足則下列推理正確的是（）

圖1圖2圖3

a+b

A.由圖1和圖2面積相等得〃由4E2Z/可得

a+b2

2

C.由402ZE可得1~rD.由AD2AF可得a?+/2°+b

—+—

ab

【答案】C

【解析】

【詳解】對(duì)于A,由圖1和圖2面積相等得ab=(a+b)xd,所以故A錯(cuò)誤;

a+b

對(duì)于B,因?yàn)?尸所以一xaxb=—x/E,所以幺尸=/

22Ja2+b2

AE=41d=^^-^

a+b

因?yàn)樗援?dāng)'浸M’整理得故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)?。為斜?c的中點(diǎn)，所以幺。=包士匕

2

因?yàn)閆D2/E,所以JY+=n也ab,整理得J—~Y，故c正確；

2a+b—+工

ab

/2727

對(duì)于D,因?yàn)?所以I.!)，整理得/+〃之2仍，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

二、多選題(每小題有兩個(gè)或三個(gè)正確答案，每小題全部選釋正確得6分，部分選對(duì)得部分

分，錯(cuò)選或不選得0分，共18分，請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置)

9,下列運(yùn)算正確的是()

A.[a2—y[aB.(1)=4，

C.log43=21og23D.lg5H-lg2=log25

【答案】BD

【解析】

【詳解】療=加，故A錯(cuò)誤.

指數(shù)幕性質(zhì)，知道)3=/,B正確；

對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，知道Iog43=glog23,C錯(cuò)誤；

換底公式逆用，知道炮5+坨2=10825,口正確.

故選：BD.

10.已知樣本甲：為，X2,x3,…，X"與樣本乙：%，為，”，…，然滿(mǎn)足%=2%3+1(/?=1,2「-,〃),

則下列結(jié)論不正確的是()

A.樣本乙的極差等于樣本甲的極差

B.樣本乙的眾數(shù)大于樣本甲的眾數(shù)

C.若某個(gè)茗為樣本甲的中位數(shù).則乂是樣本乙的中位數(shù)

D.若某個(gè)玉為樣本甲的平均數(shù)，則上是樣本乙的平均數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【詳解】解：由樣本甲：XpX2,x3,X”與樣本乙：必，y2,y3,”滿(mǎn)足

yt=2x；+l(z=1,2,???,?),知：

樣本乙的極差不等于樣本甲的極差，故A中結(jié)論不正確；

樣本乙的眾數(shù)不一定大于樣本甲的眾數(shù)，故B中結(jié)論不正確；

不妨令再<》2<陽(yáng)<…<%"，易知"=2x：+1在R上單調(diào)遞增，

所以用<…〈匕，

所以若某個(gè)玉為樣本甲的中位數(shù)，則%是樣本乙的中位數(shù)，故C中結(jié)論正確；

若某個(gè)玉為樣本甲的平均數(shù)，則N不一定是樣本乙的平均數(shù)，故D中結(jié)論不正確.

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/(x)=P甲",若尸(x)=/(x)—左有四個(gè)不同的零點(diǎn)不，X2,x3,%且

[x+2x+l,x<0

xy<x2<x3<x4,則下列說(shuō)法正確的是()

A.0<k<lB.+x2=-2c.x3-x4=1D.x3+x4<10

【答案】BC

【解析】

【詳解】左函數(shù)草圖如下:

對(duì)A：由圖可知，若尸(x)=/(x)—左有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則0〈發(fā)41,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：因?yàn)轫?xiàng)</<0，且％1，工2關(guān)于直線x=—l對(duì)稱(chēng)，所以芭+》2=-2,故B正確；

對(duì)C:因?yàn)?<退<1<%<10,所以/(%)=-lg》3，/(x4)=lgx4,

由/仇”/?)0lgx3+lgx4=0=>lg(x3x4)=0n蒼葩=1,故c正確；

對(duì)D：因?yàn)槠呙?1,所以&+%=》3+;，因?yàn)楹瘮?shù)丫=x+,在上單調(diào)遞減，所以2<yW10+、，

即退+甚62,10+1,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

三、填空題(每小題5分，共15分.請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置)

12.一組樣本數(shù)據(jù)為1,。,4,5力,12,若a,b(a<b)是方程必一8x+12=0的兩根，則這個(gè)樣本的方差是

aQ

【答案】—

3

【解析】

【詳解】由――8X+12=0,解得x=2或6.

因?yàn)槭欠匠獭?%+12=0的兩根，且Q<b,

所以〃=2,b=6,

所以樣本平均數(shù)為,。+2+4+5+6+12)=5,

6

由方差公式得/=:[(1—5)2+(2—5)2+(4—5)2+(5-5)2+(6-5)2+(12-5)2]=y.

aQ

故答案為：--

3

13.某校廣播室為研究學(xué)生對(duì)廣播節(jié)目的喜好情況，從該校450名同學(xué)中用隨機(jī)數(shù)法抽取30人參加這一項(xiàng)

調(diào)查.將這450名同學(xué)編號(hào)為001,002,…,449,450,在以下隨機(jī)數(shù)表中從任意一個(gè)隨機(jī)數(shù)開(kāi)始讀出三位數(shù)

組，假設(shè)從第2行第7列的數(shù)字開(kāi)始，則第3個(gè)被抽到的同學(xué)的編號(hào)為

162277943949544354821737932378873520964384263491

648442175572175455068331047447672176335025839212

067663016378591695556719981050717512867358074439

【答案】331

【解析】

【詳解】由隨機(jī)數(shù)表法可知，前三個(gè)被抽到的同學(xué)的編號(hào)為：175、068、331.

故第3個(gè)被抽到的同學(xué)的編號(hào)為331.

故答案為：331.

14.已知y=/(x)是偶函數(shù)，N=g(x)是奇函數(shù)，它們的定義域都是[-3,3],且它們?cè)赬W[0,3]上的圖象

如圖所示，則不等式/(x)g(x)<0的解集是

【答案】(-2,-l)U(O,l)U(2,3)

【解析】

/(x)〉01/(x)<0

【詳解】/(x)g(x)<0<=>g(x)<°”[g(x)>0

-2<x<0或0<x<2、-3<x<-2或2<x<3

得《

-3<x<-l或0<x<l?—l<x<0或l<x<3

解得：一2<x<-l或0<x<1,或2<x<3,

所以不等式的解集為(―2,—l)U(0」)U(2,3).

故答案為：(—2,—l)U(O,l)U(2,3)

四、解答題(本大題共5小題，共77分.請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置)

15.已知函數(shù)/(x)=x+&(左w0)

(1)當(dāng)左=1時(shí)，判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并證明.

(2)若/⑶=6,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)歹=/(x)在區(qū)間(-叫-3］的單調(diào)性.

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；(2)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析.

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)左=1時(shí)，可得/(x)=x+,，

X

函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，證明如下：

易知此時(shí)/(x)的定義域?yàn)?-?0)。(0,+。)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

又對(duì)于Vxe(-”,0)D(0,+oo),

均滿(mǎn)足/(-x)=

因此可得函數(shù)N=/(x)為奇函數(shù);

【小問(wèn)2詳解】

若/(3)=6,可得/(3)=3+g=6,解得左=9,

9

即f(x)=工+-，

取任意須,％2￡(一8，-3］,令王<%2，

991999(x-xj(再-XX-9)

可得/(%)一/(工2)=西+---2X2)(I2

%2----=再一%2--x-x----x--2--+--

X

1XxX2XxX2

又入］,%2￡(一――3］,再<、2，可得再一X2<°，再%2>°，玉%2-9>0，

即可得〃玉)-/卜)=&一用9)<o,所以〃苞)<〃々)，

工1%2

因此可得函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-oo,-3］單調(diào)遞增.

16.2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開(kāi)了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作.若某市經(jīng)過(guò)初次選拔后有甲、乙、

丙三名同學(xué)成功進(jìn)入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中這三名同學(xué)同時(shí)解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題.已知甲同學(xué)成功解

出這道題的概率是:，甲、丙兩名同學(xué)都解答錯(cuò)誤的概率是乙、丙兩名同學(xué)都成功解出的概率是:，且

這三名同學(xué)能否成功解出該題相互獨(dú)立.

⑴求乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率;

(2)求這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題的概率.

【答案】⑴39和￡2(2片21.

OJ"

【詳解】(1)設(shè)甲、乙、丙三名同學(xué)各自成功解出該道題分別為事件4民C.

因?yàn)槭?//、)=、3，所以尸(—/)=;1.

又尸(4?)=尸(⑷尸(C)=不，所以P(C)=9即尸(。)=工.

17

又P(BC)=P(B)P(C)=：,所以尸(8)=三,

4o

即乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率分別為［3和彳2.

o3

(2)設(shè)這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題為事件。，

貝UP(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

13235233133221

=-X—X——|——X—X——|——X—X—H——X—X—=——,

48348348348332

21

所以這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題的概率為

17.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=-^x-log2(x+2).

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(3)若對(duì)任意的teR,不等式/(6+3)+〃_4成)<0恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

log2(2-x)一;<0

【答案】⑴/(%)=<0,x=0

——

—xlog2(x+2),x>0

(2)/(x)是R上的減函數(shù)

(3)0,|

【解析】

【小問(wèn)工詳解】

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

/（T）=一；（T）_log?㈠+2）=；X_log2（2-x）

又；/（x）是R上的奇函數(shù)，

.?./(-x)=-/(x)且"0)=0

.,.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=—f(―x)=log2(2—x)-a》

綜上:/(%)=<0,x=0

—x-log,(x+2),x〉0

【小問(wèn)2詳解】

二,當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=-—log2（x+2）單調(diào)遞減，

因?yàn)?（X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，由對(duì)稱(chēng)性可知，/（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減,

Vx>0,有/（x）<-1<0=/（0）,

又?.?當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=log2（2-x）-單調(diào)遞減,

Vx<0,有/（x）〉l〉0=/（0）,

.??/（X）是R上的減函數(shù).

【小問(wèn)3詳解】

：/（%）是奇函數(shù)，二/（機(jī)/+3）</（4機(jī)/）,

又.../（X）是R上的減函數(shù)，...加/+3>4加

即mt2-4mZ+3>0對(duì)任意的，eR恒成立

①當(dāng)加=0時(shí)，3>0恒成立，滿(mǎn)足條件

m〉03

②當(dāng)加w0時(shí),加應(yīng)滿(mǎn)足<即0＜加＜—

A=16m2-12m＜04

綜上：加的取值范圍是o,|j.

18.2024年10月27日，成都市舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障.當(dāng)時(shí)

成都市文體廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：

第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所示的

頻率分布直方圖.

(1)求。的值，并估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)；

(2)若從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任了本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試

者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40,第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和50,

請(qǐng)據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差.

(附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：加，兀，s1〃，三,s；,記兩組數(shù)據(jù)總體

—9m

的樣本平均數(shù)為W.則總體樣本方差S-=----

m+n

【答案】(1)a=0.Q25；x=69.5

1120

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

由圖得(0.005+a+0.045+0.02+0.005)x10=1,

解之可得a=0025；

根據(jù)題意知，X=0.05X50+0.25x60+0.45x70+0.2x80+0.05x90=69.5

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)第二組、第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)、方差分別為

X1=62,x2=80,s；=40,52=50，

且兩組的頻率之比為些=*,

0.24

則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)為W=5x62+4x80=70,

9

5——4————

第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為$2=g[s：+（而—wyi+gls；+（%—優(yōu)）2],

5,4,

=1[40+（62—70）2]+-[50+（80-70）2]

5206001120

-------1--------------，

999

則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為工圖.

9

19.學(xué)習(xí)了不等式的內(nèi)容后，老師布置了這樣一道題：

12

已知。>0,6>0,且a+b=l,求—I■—的最小值.

ab

李雷和韓梅梅兩位同學(xué)都“巧妙地用了a+6=1"，但結(jié)果并不相同.

121212

李雷的解法：由于a+b=l,所以y=—+—+1-1=—+—+。+6-1=。+—+6+——1,而

ababab

a+->2a--=2,b+->2b--=2^2.那么y22+2后—1=1+2后，則最小值為1+2及.

a\ab\b

[2,12、b2a

韓梅梅的解法：由于。+〃=1,所以歹二—--I■7（Q+6）=3H,而

abyabJab

3+-+—>3+2J--—=3+272,當(dāng)且僅當(dāng)2=羊，即。=血一1/=2—Ji時(shí)，等號(hào)成立則最小

ab\abab

值為3+2行.

Cl）你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯(cuò)誤？（錯(cuò)誤的需說(shuō)明理由）

（2）為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外兩道題，請(qǐng)你解決：

（i）設(shè)仇C都是正數(shù)，求證：--I--H>a+b+c；

abc

48

(ii)已知。>0,b>0,且Qb+2a+〃=4,求M=+------1-----的最小值.

。+1b+2

【答案】(1)李雷的解法錯(cuò)誤，韓梅梅的解法正確，理由見(jiàn)解析

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)