2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 特殊平行四邊形 單元測(cè)試卷

第一章特殊平行四邊形單元測(cè)試卷

〔時(shí)間：90分鐘分值：100分〕

一、選擇題（本大題共10小題.每小題3分，共30分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意）

1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

B.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

C.矩形的對(duì)角線相等

D.有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形

2.在下列條件中，能夠判定口ABCD為菱形的是（）

A.AB=ACB.AC±BDC.AC±BCD.AC=BD

3.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形，則四邊形ABCD一定是（）

A.矩形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形

C.菱形D.對(duì)角線相等的四邊形

4.如圖是矩形ABCD的邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)矩形的兩條邊AB,BC的長(zhǎng)分別為3和4,那么點(diǎn)P到矩

形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（）

A.裝B.|C.|D.不能確定

5.如圖1-Z-2,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（0,2）,（-

1,0）,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

A.（V5,2）B.（2<V5）C.（V3-2）D.（2>V3）

6.如圖l-Z-3,過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EFLAC,交BC邊于點(diǎn)E,交AD邊于點(diǎn)F,分別連接AE,CF.

若百,NDCF=30。廁EF的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.—D.V3

2

7.如圖1-Z-4,在菱形ABCD中，乙4BC=80。舊是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B,D重合），當(dāng)AABE是等腰

三角形時(shí)，NDAE的度數(shù)為（）

A.30°B.70°C.30°或60°D.40°或70°

8.如圖1Z5,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,連接AC,BD,CE平分乙4。￡＞交BD于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)為

()

4.2V2-25.V3-1C.2-V2D.V2-1

9.如圖1-Z-6,在菱形ABCD中,/D=135o,BE，CD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,FG，BC于點(diǎn)G.若ABFG的周長(zhǎng)為4,則

菱形ABCD的面積為（）

A.4V2B.8V2C.16O.16V2

圖I-Z-7

10.如圖1-Z-7,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,點(diǎn)M,N分別在AD,BC上，且AM=BN,AD=3AM,E為BC邊上一動(dòng)

點(diǎn)，連接DE,將ADCE沿DE所在直線折疊得到ADCE,當(dāng)點(diǎn)C恰好落在線段MN上時(shí)，CE的長(zhǎng)為（）

4|或2B，lC.|或2￡).|

二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）

11.如圖1-Z-8,在AABC中,NACB=90o,NA=3(F,BC=3cm,D為AB的中點(diǎn)，則CD=cm.

12.如圖1-Z-9,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC，BD,且AC平分BD,若添加一個(gè)條

件：則四邊形ABCD為菱形.

13.如圖1-乙10所示,在矩形ABCD中,DE_LAC于點(diǎn)E,且/ADE:/EDC=2:1,則NBDE=°.

14.如圖1Z1L在菱形ABCD中,AD=5,對(duì)角線AC=8,P是AD上任意一點(diǎn)，M是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，則

PM+DM的最小值為.

15.如圖1-Z-12,在正方形ABCD中.對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn)CE=5,F為DE的中點(diǎn).若

ACEF的周長(zhǎng)為18,貝［|OF的長(zhǎng)為

圖l-Z-14

圖l-Z-ll圖l-Z-12

16.如圖1-Z-13,在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上,F是AE的中點(diǎn),AB=4,AD=DE=5,則BF的長(zhǎng)為.

17.如圖1Z14,菱形ABCD的對(duì)角線AC.BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)0出發(fā)，在線段AC上以0.5cm/s

的速度反向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E,F分別到達(dá)A,C兩點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.連接DE,DF,BE,BF,已知AABD是邊長(zhǎng)

為4cm的等邊三角形，當(dāng)t=_s時(shí)，四邊形DEBF為正方形.

三、解答題（本大題共6小題，共49分）

18.（6分）如圖1-Z-15,在正方形ABCD中,E,F分別為邊AD和CD上的點(diǎn)，且4E=CF,連接AF,CE交于點(diǎn)G.求

證：AG=CG.

圖1-Z-15

19.（8分）如圖1-Z-16,在矩形ABCD中.對(duì)角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,N,

與邊AD交于點(diǎn)E,垂足為0.

⑴求證:AAOM=ACON;

⑵若AB=3,AD=6,則AE的長(zhǎng)為.

M

圖IZ-16

20.（8分）如圖1Z17在菱形ABCD中.對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段BO上，連接AE.

⑴若CD=5,BD=8,點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上，求△4ED的面積：

（2）若乙DAE=4DEA,CD=2BE,E0=1,求線段AE的長(zhǎng).

S1-2-17

21.（8分）如圖1-Z-18,在正方形ABCD中,.AB=4,,E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DE過(guò)點(diǎn)E作EF1DE交

AB于點(diǎn)F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接AG.

⑴求證:矩形DEFG是正方形；

⑵求AG+4E的值.

S1-Z-18

22.（9分）如圖1-Z-19在MBCD中，G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,D重合）.EG的延長(zhǎng)線與

BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,連接CE、DF.

⑴求證：四邊形CEDF是平行四邊形.

（2）填空:若=3cm,BC-5cm=60°.

①當(dāng)AE=時(shí)，四邊形CEDF是矩形；

②當(dāng)AE=時(shí)，四邊形CEDF是菱形

圖1-Z-19

23.（10分）知識(shí)探究:如圖1-Z-20①,E是正方形ABCD對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，以E為直角頂點(diǎn)的直角三角形

EFG兩邊EF,EG分別與AD,AB相交于點(diǎn)M,N.當(dāng)EF12。時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄縀M與EN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

拓展探究：當(dāng)△EFC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖②，請(qǐng)?zhí)骄縀M與EN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)

明理由；

遷移運(yùn)用：在圖②的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)E作EH14B于點(diǎn)H,如圖③，求證:H是線段BN的中點(diǎn).

圖J-Z-20

1.D2.B3.B4.A5.A6.A

7.C［解析「..在菱形ABCD中,/ABC=80。，

???UBD=-乙ABC=40°,ADBC.

2，

???4BAD=180°―/.ABC=100°.

?；AABE是等腰三角形，點(diǎn)E不與點(diǎn)B,D重合，

；.AE=BE或AB=BE.

當(dāng)AE=BE時(shí),/BAE=/ABE=40。，

ZDAE=ZBAD-ZBAE=100°-40°=60°;

當(dāng)AB=BE時(shí),/.BAE=乙AEB=|(180°-乙4阻=jx(180°-40°)=70

ZDAE=ZBAD-ZBAE=100°-70°=30°.

綜上所述，當(dāng)仆ABE是等腰三角形時(shí)，NDAE的度數(shù)為30?；?0°.

故選C.

8.D［解析］?.?四邊形ABCD是正方形，

?,.AB=BC=CD=DA=l,ZBCD=90°.

???BD=VSC2+CD2=V2.

VAC為正方形ABCD的對(duì)角線,CE平分/ACD,

ZDCE=22.5°..\ZBCE=67.5°.

VZBEC=ZEDC+ZDCE=45O+22.5O=67.5°,

/.ZBEC=ZBCE.

，BC=BE.

VBC=1,.\BE=1.

DE=BD-BE=42-1.

故選D.

9.B

10.B［解析］設(shè)CE=x，貝?。?CE=%.

,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,

CD=AB=5,AD=BC=6,AD〃BC.

;點(diǎn)M,N分別在AD,BC上，且3AM=AD,BN=AM,AM=BN=2,.\DM=CN=4.

四邊形CDMN為平行四邊形.

ZNCD=90°,四邊形CDMN是矩形.

/.ZDMN=ZMNC=90°,MN=CD=5.

由折疊知C'D=CD=5,

MC=yJC'D2-DM2=V52-42=3.

c'N=MN-MC=5-3=2.

:EN=CN-CE=4-x,C'E2-EN2=C'N2;

x2-(4-x)2=2?,解得x=*即CE-|.

故選B.

11.3

12.OA=OC(答案不唯一)

13.30

14.解析］如圖.連接PB交AC于點(diǎn)M,連接DM,DB,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O.

四邊形ABCD是菱形,

???線段AC,BD互相垂直平分，

點(diǎn)B,D關(guān)于AC對(duì)稱，則MD=MB,

PM+DM=PM+BM=PB.

當(dāng)BPLAD時(shí).PB的值最小.

在RtAADO中，

11

AD=5,AO=-AC=-x8=4,

22

??.DO=y/AD2-AO2=7s2-42=3,

???BD=2DO=6.

ii

^SABD=-AD-PB=-BD-AO;

.?.PnBc=-B-D--A-O-=——6X4=―24,

AD55

；.PM+DM的最小值為當(dāng)

故答案為g

15［［解析］???CE=5,ACEF的周長(zhǎng)為18,

->.CF+EF=18-5=13.

為DE的中點(diǎn)/BCD=90。，

113

???EF=CF=-2DE=—2DE=2EF=13.

CD=yjDE2-CE2=V132-52=12.

四邊形ABCD是正方形,；.BC=CD=12.

：O為BD的中點(diǎn),OF是4BDE的中位線,

OF=3BE=|(BC-C￡)=|x(12-

16.6廨析］：四邊形ABCD是矩形,AB=4,AD=DE=5,

ZABC=ZC=90°,CD=AB=4,BC=AD=5,

???CE=VDE2-CD2=V52-42=3,

/.BE=BC-CE=5-3=2,

AE=7AB2+BE2=V42+22=2次.

?；F是AE的中點(diǎn),

BF=-AE=-X2^5=V5.

22

故答案為V5

17.4［解析］?菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在線段AC上以0.5cm/s

的速度反向運(yùn)動(dòng)，

OD=OB,OE=OF,DB_LEF,

四邊形DEBF是菱形.

AABD是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，

OD=OB=2cm.

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,則OE=OF=0.5tcm,當(dāng)OB=OE時(shí),四邊形DEBF為正方形，即0.5t=2,故t=4.

故答案為4.

18.證明:.??四邊形ABCD是正方形，

.?.AD=CD,ND=90。.

VAE=CF,.\DE=DE

在4ADFfflACDE中.

VAD=CD,ZADF=ZCDE,DF=DE,

AADF^ACDE(SAS).

ZDAF=ZDCE.

在4AGE和4CGF中，

ZGAE=ZGCF,ZAGE=ZCGF,AE=CF,

/.△AGE名ACGF(AAS).AG=CG.

19.解:⑴證明:：MN是AC的垂直平分線，

AO=CO,ZAOM=ZCON=90°.

,/四邊形ABCD是矩形,AB//CD,

ZM=ZN.AAAOM^ACON(AAS).

⑵如圖所示，連接CE.R

：MN是AC的垂直平分線，

/.CE=AE.X

M

設(shè)AE=CE=x,Ji!!!DE=6-x.

,/四邊形ABCD是矩形，

ZCDE=90°,CD=AB=3.

在Rt△CDE中,CD?+DE2=CE2,

即32+(6-x)2=即

解得x=?,即AE的長(zhǎng)為?故答案為y

444

20.解:⑴：四邊形ABCD是菱形，

1

Z.OA=OC,OA±OD,AD=CD=5,OB=OD=^BD=4.

由勾股定理得。4=VXD2-OD2=V52-42=3.

?，點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上,

；.AE=BE.

設(shè)OE=x,!U!|AE=BE=4-x.

在RtAAOE中，由勾股定理得.A02+OE2=AE2,即32+X2=(4-工廠解得x=

8

AAED的面積=△AOE的面積+△AOD的面積=-x-x3+-x4x3=—.

28216

(2)設(shè)BE=y，則CD=2y.

???四邊形ABCD為菱形，

???AB=AD=CD=2y,OB=OD,AC±BD.

NDAE=NDEA,DE=AD=2y.

BD=3y.OB=OD=-y.

'：EO+BE=OB..\l+y=|y,解得y=2.

；.AB=4,OB=3.

在RtAAOB中，

OA=7AB2-OB?=V42-32=V7.

在RtAAOE中，

AE=Moa2+。。2=](仞2+了=2V2.

21.解:⑴證明如圖過(guò)點(diǎn)E作EMXAD于點(diǎn)M,EN±AB于點(diǎn)N.

由題易得四邊形ANEM是矩形，

ZMEN=90°.

:四邊形ABCD是正方形,

.,.ZEAD=ZEAB=45°.

VEM±AD,EN±AB,

，EM=EN,ZEMD=ZENF=90°.

VEF±DE,ZMEN=90°,

ZMEN=ZDEF=90°.

/.ZDEM=ZFEN.

則4EMD四△ENF.，ED=EF.

又：四邊形DEFG是矩形，

四邊形