2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)挑戰(zhàn)綜合壓軸題（11大題型）（全章題型梳理與分類(lèi)講解）解析版

反比例函數(shù)挑戰(zhàn)綜合壓軸題（11大題型）

（全章題型梳理與分類(lèi)講解）

第一部分【知識(shí)梳理與題型目錄】

題型目錄

【綜合篇】

【題型1】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)............................................1

【題型2】反比例函數(shù)中的平移問(wèn)題...........................................4

【題型3］反比例函數(shù)中的折疊問(wèn)題...........................................9

【題型4】反比例函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題...........................................14

【題型5】反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題...........................................19

【壓軸篇】

【題型6】反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題........................................25

【題型7】反比例函數(shù)中的三角形問(wèn)題.........................................33

【題型8】反比例函數(shù)中的四邊形問(wèn)題........................................40

【題型9】反比例函數(shù)中的探究性問(wèn)題........................................48

【直通中考與拓展延伸篇】

【題型10］直通中考........................................................54

【題型11］拓展延伸........................................................58

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型11反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

12

【1-1］（2024九年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知反比例函數(shù)了=—.

x

（1）若了<4,則x的取值范圍是；

（2）若>22,則X的取值范圍是；

（3）若一2<了<2,且則x的取值范圍是.

【答案】（1）x>3或x<0；⑵0<xV6；⑶x<-6或xN6.

【分析】本題考查反比例函數(shù)的增減性，

（1）先求出當(dāng)V=4時(shí)x的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可；

1

（2）先求出當(dāng)y=2時(shí)X的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可；

（3）先分別求出當(dāng)了=2和了=-2時(shí)x的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可；

解題的關(guān)鍵在于熟知反比例函數(shù)>=￡（左#0）的性質(zhì)：當(dāng)斤>0時(shí)，函數(shù)的圖像在第一、三象限，在每個(gè)象

限內(nèi)，N隨x的增大而減??；當(dāng)4<0時(shí)，函數(shù)的圖像在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，歹隨x的增大而增

大.

12

解：（1）反比例函數(shù)歹=一的圖像如圖所示，

當(dāng)y=4時(shí)，x=—=3,

???函數(shù)的圖像在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，>隨1的增大而減小,

???當(dāng)”4時(shí)，X的取值范圍是x>3或x<0,

故答案為：x>3或x<0；

.12

（2）當(dāng)y=2時(shí)，x=—=6,

???函數(shù)的圖像在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，歹隨工的增大而減小,

??.當(dāng)”2時(shí)，x的取值范圍是0<%?6,

故答案為：0<x<6；

1212

（3）當(dāng)>=2時(shí)，x=—=6；當(dāng)>二-2時(shí)，x=—=-6,

2—2

???函數(shù)的圖像在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，>隨1的增大而減小,

...當(dāng)一2<y?2且yw。時(shí)，%的取值范圍是％<-6或xN6.

-7-6-5-4-3-2-'1()

-3

4

-5

4

【1-2］（23-24九年級(jí)上?山東聊城?期末）一次函數(shù),=履+6與反比例函數(shù)%=一的圖象交于點(diǎn)/（-4,機(jī)）,

8（〃,-2）,點(diǎn)C（0,5）是J軸上一點(diǎn).

⑴求出一次函數(shù)的表達(dá)式;

⑵觀(guān)察圖象，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍;

⑶求ZUBC的面積.

2

Ac

不收

[答案](2)x<—4或0<x<2；(3)5根g=18.

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，比較反比例函數(shù)與一次函數(shù)的大小，根據(jù)反比例函

數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)求三角形的面積，掌握待定系數(shù)法和利用圖象比較函數(shù)大小的方法是解題的

關(guān)鍵.

(1)把點(diǎn)48的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出加、“，再把點(diǎn)48的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式,

建立方程求解即可；

(2)觀(guān)察圖象，找出一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上面的部分，再確定這部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍即

可；

(3)設(shè)直線(xiàn)與》軸交于點(diǎn)。，則/?=4^c+S誣c，再確定每個(gè)三角形的底和高，計(jì)算即可.

4

解：(1)把點(diǎn)4-4,〃?),5(”,一2)分別代入必=-一，

x

得m=l,”=2,

...^(-4,1),5(2,-2).

[l=-4k+b

把4-4,1),8(2,-2)代入必=履+6,得

[-2=2k+b

k=--

解得a，2

6=一1

所以一次函數(shù)的表達(dá)式為“=-1x-l.

(2)在V軸的左側(cè)，當(dāng)％>為時(shí)，x<-4；

在y軸的右側(cè)，當(dāng)乂>為時(shí)，o<x<2；

???當(dāng)乂>%時(shí)，入<—4或0<x<2.

(3)設(shè)直線(xiàn)45與歹軸交于點(diǎn)

當(dāng)％=0時(shí)，由必=一;工一1,解得必=一1,

3

CD=5—(—1)=6.

x

SI^ABC~S^DC+S型DC~~CD,+5CZ)-|xg|=~6x4+—x6x2=18.

【題型2】反比例函數(shù)中的平移問(wèn)題

【1?1】（2024?浙江杭州?一模）一次函數(shù)〉=b+6（左，b為常數(shù),且［T0）的圖象和反比例函數(shù)》='（加為

x

常數(shù)，m*0）的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)3（-2,-2）.

⑴求”的值及一次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵點(diǎn)。為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于》軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)。，點(diǎn)。恰好落在反

比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】（1）〃=4,―；（2）C（2,2）

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩個(gè)函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算出“、一，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（加,一），根據(jù)對(duì)稱(chēng)平移性質(zhì)得到點(diǎn)。（-加,1-4）代入反比例函數(shù)解析式求出加值即可得

m加

到點(diǎn)。坐標(biāo).

解：（1）???點(diǎn)4（1/）和點(diǎn)3（-2,-2）在反比例函數(shù)圖象上,

m=1x?=-2x(-2)=4,

:.m=n=4,則4),

■■-41,4),8(-2,-2)在一次函數(shù)解析式上,

k+b=4

-2k+b=-2

解得自%=22

???一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x+2；

4

44

(2)由(1)可知，反比例函數(shù)解析式為y=—,根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為(加,一)，

xm

點(diǎn)c關(guān)于>軸的對(duì)稱(chēng)軸為一加，']，

將C'(-加,3]向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)/>(-?,--4),

VmJm

4

???點(diǎn)。(-加,一-4)在反比例函數(shù)圖象上，

m

4

—m(--4)=4,

m

解得m=2,

二.C(2,2).

[1-2](2024?山東濟(jì)南?二模)如圖，一次函數(shù)>=-2x+8的圖象與反比例函數(shù)y」(x>0)的圖象交于點(diǎn)

X

4(加,6),3(3,〃),交x軸于C,交》軸于D.

⑴求加、"的值及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求△048的面積：

⑶將直線(xiàn)k-2無(wú)+8向下平移/個(gè)單位，若直線(xiàn)與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，求t的值.

x

【分析】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟知反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)將/(加,6),8(3,")代入y=-2x+8求出機(jī)，”的值，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，求出發(fā)的值即

可；

(2)先求出0c的長(zhǎng)，再利用S.AOB=S"*OC-S.BOC即可得出結(jié)論；

(3)先得出直線(xiàn)平移后的解析式，再與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立得出關(guān)于x的一元二次方程，由直線(xiàn)與反

比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)得出/的值，再由x>0即可得出結(jié)論.

解:(1)將4私6),3(3,(代入y=-2x+8得,

5

-2m+8=6,〃=—6+8,

解得m=\,n=2,

kA

將Z(l,6)代入＞=￡,得左=6,即＞=?；

xx

(2)y=-2x+8,當(dāng)＞=0時(shí)，x=4,

/.C(4,0)即CO=4,

S.nr=--CO-y.=n,

s△ostozCr=-2-CO-Jj?B=4,7

，S&AOB=S"oc—SABOC=8；

(3),??直線(xiàn)V=—2x+8向下平移，個(gè)單位得新直線(xiàn)y=—2x+8—￡,

y=-2x+8-/

與＞聯(lián)立得6,

xy=-

Lx

消y得-2x+8-f=9,化簡(jiǎn)得2/_(87)》+6=0,

X

直線(xiàn)與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，

A=(8-f)2-48=0,

解得y8-46或"8+46,

y=—(X＞0),

X

.1=8+4省(舍去),

即t=8—4A/3.

【1-3](2024,河南周口三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，直線(xiàn)C￡＞的圖象與反比例函數(shù)了=4

X

(左＞0,x＞0)的圖象相交于/(a,4a)、8(a+3,l)兩點(diǎn)，與x、y軸分別交于點(diǎn)C、。兩點(diǎn).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵將直線(xiàn)。向下平移，若平移后的直線(xiàn)與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，試說(shuō)明直線(xiàn)向下平移了

幾個(gè)單位長(zhǎng)度？

6

y

1

D^t

4

【答案】(l)?=?x>0),(2)直線(xiàn)向下平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度.

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)的平移規(guī)律，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)情況，以及

一元二次方程根的判別式.

(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可即可求得。的值，從而求得左值，即可解得反比例函數(shù)的表達(dá)

式；

(2)首先利用A、3兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線(xiàn)42的表達(dá)式，再設(shè)直線(xiàn)42向下平移加(加>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得直線(xiàn)

解析式為V=f+5-俏，然后根據(jù)平移后的直線(xiàn)與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，以及一元二次方程根

的判別式求解，即可解題.

解：(1)???/(?,4a)、5(a+3,l),

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，

4a°=(°+3)x1,

解得。=1(負(fù)值舍去)，

5(4,1),

k

4二—,

1

解得k=4,

4

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-(x>0)；

(2)設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為V=QX+b,

代入4(1,4)、8(4,1)得:

j4=〃+b

\l=4a+b，

解得[：=：，

[b=5

，直線(xiàn)AB的表達(dá)式為歹=一1+5,

7

設(shè)將直線(xiàn)向下平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得直線(xiàn)解析式為y=-x+5-m,

???直線(xiàn)向下平移加(加>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共交點(diǎn)，

4,

x

整理得小+(加-5)x+4=0,

A=(m-5)~-4xlx4=0,

解得加=9或心=1,即加的值為1或9(舍去)，

直線(xiàn)A8向下平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度.

【1-4](23-24八年級(jí)下?重慶黔江?期末)如圖，Rt448C的直角邊48在x軸上，ZABC=90°,邊/C交V

k

軸于點(diǎn)。，點(diǎn)c在反比例函數(shù)了=巴第一象限的圖象上，ZC所在直線(xiàn)的解析式為y=ax+4,其中點(diǎn)a

X

(-2,0),3(1,0).

⑴求反比例函數(shù)和NC所在直線(xiàn)的解析式；

(2)將RtA^C的邊直角邊BC沿著x軸正方向平移加個(gè)單位長(zhǎng)度得到線(xiàn)段B'C,線(xiàn)段B'C與反比例函數(shù)的

X

【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖形的平移、平行四邊形的判定

和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

k

(1)先求出/C所在直線(xiàn)的解析式為y=2x+4,再求出點(diǎn)C(l,6),由點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=￡第一象限的

圖象上即可得到反比例函數(shù)的解析式；

(2)求出。。=4,由平移的性質(zhì)得到。(1+加,6),B1C=BC=6,得到當(dāng)EC'=。。=4時(shí)，四邊形

是平行四邊形，求得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為了一,則利用￡。=夕。-2'￡=6-19—=4求出加的值即可.

1+機(jī)1+m

解：(1)解「,直線(xiàn)y=〃x+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-2,0),

8

，—2Q+4=0,

.，?Q=2,

???AC所在直線(xiàn)的解析式為廣2x+4,

v5(1,0),ZABC=90°,

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是1,當(dāng)x=l時(shí)，y=2x+4=2xl+4=6,

k

???點(diǎn)。在反比例函數(shù)歹=*第一象限的圖象上，

.?"=1x6=6；

???反比例函數(shù)的解析式為y=2

(2)當(dāng)x=0時(shí)，＞=2x+4=4,

OD-4,

由平移的性質(zhì)得到C'(l+m,6),BC'=BC=6,

由題意得。EC,

.,.當(dāng)EC'=OZ)=4時(shí)，四邊形ODC'E是平行四邊形，

由(1)知反比例函數(shù)的解析式為＞=9,

X

點(diǎn)在反比例函數(shù)＞第一象限的圖象上，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+%,

X

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為二，

1+m

:.EC'=B'C'-B'E=6—=4,

1+m

解得m=2,

即當(dāng)機(jī)為2時(shí)，四邊形OAC'E是平行四邊形.

【題型3】反比例函數(shù)中的折疊問(wèn)題

【1-1](23-24八年級(jí)下?浙江紹興?期末)如圖，在坐標(biāo)系中有一矩形0/3C,滿(mǎn)足4(10,0),C(0,8),點(diǎn)。

9

為48上一點(diǎn)，△28關(guān)于C。折疊得到AECD,點(diǎn)E落于邊04上.

(1)求OE的長(zhǎng)度；

⑵若〉關(guān)于x的反比例函數(shù)y=%k豐0)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,與C。另一交點(diǎn)記為點(diǎn)F；

①求該反比例函數(shù)解析式；

②在CE上有一動(dòng)點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為多少時(shí)，△尸。尸的周長(zhǎng)最小？

30o

【答案】(1)OE=6;⑵①>=一；②尸(不2).

x2

【分析】(1)由四邊形/BCD是矩形，所以8c=CM,AB=0C,NB=ZAOC=NBCO=96°,由折疊可知,

CE=BC=1Q,DE=BD,所以。石=而二行=6；

(2)①由折疊可知，BD=DE,在RtAADE中，由勾股定理可得，DE2=AE2+AD2,所以

(8-W=42+^2,解之可得0(10,3),將點(diǎn)。(10,3)代入反比例函數(shù)解析式可得，了=衛(wèi)30；

X

②由待定系數(shù)法可得，lCD：y=~x+S,令竺=_9+3,解得x=10或x=6,則尸(6,5)；由折疊可知，

2x2

ZCED=ZB=90°,如圖，延長(zhǎng)。E至點(diǎn)ZX,使得?！?Z)￡,則。(2,-3),連接。尸交CE于點(diǎn)P,點(diǎn)尸即

449

為所求;利用待定系數(shù)法可得,lD.F：y=2x-7,及直線(xiàn)CE的解析式y(tǒng)=-WX+8,令2.7=-%+8,解得x=3,

91

則尸皮，2)時(shí)，廠(chǎng)的周長(zhǎng)最小.

解：⑴???4(10,0),C(0,8),

;Q=10,0c=8,

???四邊形/3CZ)是矩形，

BC=OA,AB=OC,ZS=AAOC=ABCO=90°,

BC=OA=\0,AB=OC=8,

???ABCD關(guān)于CD折疊得到AECD,

:.CE=BC=1Q,DE=BD,

OE=V102-82=6;

(2)(i)-.-OA=W,OE=6,

10

ZE=4,

由折疊可知，BD=DE,

在RtAADE中，DE2=AE2+AD2，

/.(S-AD)2=42+AD2,

：.AD=3,

0(10,3),

??-》關(guān)于x的反比例函數(shù)y=-(k^0)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,

X

二.左=10x3=30,

30

，該反比例函數(shù)解析式為y='；

②設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為：y=mx+n,

■-C(0,8),0(10,3),

,，|W=8,

[\0m+n=3

1

,,TH—----

解得,2,

H=8

=x+

：?ICD-y~~^，

301

令——=--^+3,解得x=10或x=6,

x2

”(6,5)；

.-.OF=A/42+22=275；

由折疊可知，NCED=NB=90°,

如圖，延長(zhǎng)。E至點(diǎn)D,使得DE=DE,則。(2,-3),

連接。'尸交C￡于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求；

11

設(shè)直線(xiàn)。N的解析式為：y=kfx+b,

2〃+6=-3k'=2

,解得

6k'+b=5b=-7

lD,F:y=2x-l,

4

同理可得直線(xiàn)C￡的解析式為：片-§x+8,

49

令2x—7=-§x+8,解得x=i，

y=2x—7=2,

2

9

9

即P(-,2)時(shí)，APDF的周長(zhǎng)最小.

【點(diǎn)撥】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，勾股定

理，折疊問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)求最值問(wèn)題等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵.

[1-2](2019?江蘇蘇州?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在＞軸正半軸上，/C〃尤軸，點(diǎn)B、C

的橫坐標(biāo)都是3,且8c=2,點(diǎn)。在/C上，若反比例函數(shù)＞=々工＞0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8、D,且獎(jiǎng)=].

(1)求人的值及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)將△/OD沿著折疊，設(shè)頂點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/的坐標(biāo)是/'(機(jī),")，求代數(shù)式機(jī)+3〃的值.

【答案】⑴4=3;0。,3)；⑵加+3〃=9.

【分析】(1)根據(jù)條件求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，從而求出后的值，設(shè)點(diǎn)。化3),即可求出;

(2)過(guò)點(diǎn)/‘作E戶(hù)〃CU交/C于E,交x軸于尸，連接根據(jù)條件證明ADEZ!’設(shè)

根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出

AC)Q

解：⑴,.會(huì)=；，BC=2,

nC2

AO=3,

???點(diǎn)5、。的橫坐標(biāo)都是3,

12

：.AOHBC,

???8（3,1）,

???點(diǎn)B在反比例函數(shù)>=>0）的圖象上，

k

=解得：k=3,

vAC〃x軸，

???設(shè)點(diǎn)。”,3）,

???3t=3,解得：t=1,

（2）過(guò)點(diǎn)/作即〃CM交ZC于E,交x軸于尸，連接0/（如圖所示）,

??,AC〃x軸，

???ZA'ED=ZAFO,

???ZOAD=90%

??ZDA'E+ZOA'F=90%

-ZDAE+ZA'DE=90°,

ZA'DE=ZOAF,

ADEA?△4FO,

由（1）得：。（1,3）,AO—3,

:.EF=3,

設(shè)/（加,〃），

m3-n

nm-19

又???在Rt"'R9中，機(jī)2+〃2=9,

???加+3及=9；

13

【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合，一次函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想

是解題關(guān)鍵.

【題型4】反比例函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

k

【1-1］（2022?吉林?一模）如圖，正比例函數(shù)7=2x與反比例函數(shù)y=1（x>0）的圖像交于點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)/作

48，了軸于點(diǎn)B,延長(zhǎng)A8至點(diǎn)C,連接OC.BC=8,OC=10.

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；

⑵將繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H的坐標(biāo).

1Q

【答案】（1）。（-8,6）,反比例函數(shù)的解析式為了=三乂2）4（-6,3）或（6,-3）。

X

【分析】（1）解直角三角形求出02=6,從而得到。（-8,6）,根據(jù)題意得出/（3,6）即可得到反比例函數(shù)解

析式；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)方向可知分兩種情況分別求解即可.

解：（1）?.?/3，y軸于點(diǎn)8,BC=8,OC=10,

在及AOSC中，OB=yloC2-BC2=6>

???點(diǎn)/在直線(xiàn)v=2x上，當(dāng)y=6時(shí)，X=3,

“（3,6）,

???點(diǎn)/在反比例函數(shù)>=與上，

X

.?"=3x6=18,

1Q

???反比例函數(shù)的解析式為歹=上；

x

（2）???將aZOB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。，并沒(méi)有說(shuō)清楚是順時(shí)針還是逆時(shí)針，故分兩種情況:

在①順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖所示：

14

M'OB'=KAOB,

A'B'=AB=3,OB'=OB=6,

■■/在第四象限，

，4（6,-3）；

②逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖所示：

NA'OB'=NAOB,

A'B'=AB=3>,OB'=OB=6,

；/在第二象限，

4(-6,3)；

綜上所述，?（-6,3）或（6,-3）.

【點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)”的坐標(biāo).

1斤

【1-2］（20-21九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，已知直線(xiàn)45與雙曲線(xiàn)＞=—交于3兩點(diǎn),

且點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為4.

（1）求發(fā)的值；

k

（2）將直線(xiàn)N2繞坐標(biāo)原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到另一條直線(xiàn)/,交雙曲線(xiàn)了=￡于尸，0兩點(diǎn)（尸點(diǎn)在第一象限）.若

X

15

由點(diǎn)/、B、P、。為頂點(diǎn)的四邊形面積為24,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并判斷此時(shí)四邊形的形狀.

【答案】(1)左=8；(2)P](2,4),P2(8,1),四邊形/尸3。是平行四邊形.

【分析】(1)將點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為4代入直線(xiàn)可求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)關(guān)系式可求出k

值；

(2)先判斷四邊形/尸8。為平行四邊形，然后分兩種情況進(jìn)行解答，一是點(diǎn)P在點(diǎn)/上方曲線(xiàn)上，將平

行四邊形/尸30的四分之一，轉(zhuǎn)化為梯形面積，設(shè)出坐標(biāo)，構(gòu)造方程求解即可，二是點(diǎn)尸在點(diǎn)/的下方曲

線(xiàn)上，方法相同，只是表示線(xiàn)段的代數(shù)式不同，構(gòu)造方程求解，舍去不符合題意的解.

解：(1)把點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為4.代入直線(xiàn)得，y=2,

kk

???點(diǎn)/(4,2)代入y=人得，2=二，

x4

■,■k=8；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸Nix軸，垂足為N,過(guò)點(diǎn)N作/MJC軸，垂足為

則有SANOP=SAAOM,

-''S^AOP—S^NOP+S楮彩AMNP~S&AOM=S梯形AMNP,

由對(duì)稱(chēng)性得，OA=OB,OP=OQ,

.?.四邊形APBQ是平行四邊形,

■■.SAAOP=；SaAPBQ=；x24=6=S—MNP,

QQ

設(shè)點(diǎn)尸(x,—),則尸N=一,ON=x,

XX

①當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)4上方的曲線(xiàn)上，

18、/、

-(z-+2)(4-x)=6,

2x

整理得，x2+6x-16=0,

解得：切=2,型=-8(舍去)，

O

當(dāng)x=2時(shí)，y=~=4,

x

16

.?點(diǎn)P(2,4),

②當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)/下方的曲線(xiàn)上，

18

—(-+2)(%-4)=6,

2x

整理得，x2-6x-16=0,

解得：修=8,*2=~2(舍去)，

8

當(dāng)x=8時(shí)，y=—=1,

x

???點(diǎn)尸(8,1),

符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，Pi(2,4),P2(8,1).

【點(diǎn)撥】考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形判定,

解題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)系數(shù)左然后分兩種情況考慮,一是點(diǎn)P

在點(diǎn)/上方曲線(xiàn)上，將平行四邊形/網(wǎng)0的四分之一，轉(zhuǎn)化為梯形面積，設(shè)出坐標(biāo)，構(gòu)造方程求解，二是

點(diǎn)P在點(diǎn)/的下方曲線(xiàn)上，方法相同，只是表示線(xiàn)段的代數(shù)式不同，構(gòu)造方程求解，舍去不符合題意的

解.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí).

[13](20-21九年級(jí)上?河南信陽(yáng),期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)04分別與反比例函數(shù)

必=2(X>O)和%="(x>0)的圖象相交于點(diǎn)B,已知04=48.

xx

(1)求人的值.

7k

(2)將直線(xiàn)0/繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后得到直線(xiàn)CD,并分別與反比例函數(shù)乂=4和%=￡的圖象相交于點(diǎn)。，

xx

C,連接4),8C,求證：AD//BC.

【答案】(1)左=8；(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)48分別作軸于點(diǎn)￡,AFLx軸于點(diǎn)尸，得“OESABOF,面積之比等于對(duì)

應(yīng)邊之比的平方，得5.浜0的=1：4,故2"=1:4,解得左=8；

(2)過(guò)點(diǎn)C,。分別作CNL無(wú)軸于點(diǎn)N,軸于點(diǎn)得^DOM^CON,由

17

S.DOM-S.CON=OD2:OC2^1:4,可得又。1:08=1:2，因此?！辏?。。=。:OB.又

ZA0D=NB0C,可證得AAODSABOC,由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到Z0AD=N0BC,由同位角相等

兩直線(xiàn)平行可證AD//BC.

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)/,3分別作軸于點(diǎn)E,AFLx軸于點(diǎn)尸，

AAOES^BOF,

*'-S&A0E:S^BOF=:0B2,

OA=AB,

.v.s-1-4

??n^AOE?QABOF-'.R，

?,?2:左=1:4,

.?.k=8.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C,。分別作CN，x軸于點(diǎn)N,軸于點(diǎn)

ADOM^ACON,

???SADOM5CON=OD2：OC2=1：4,

??.0D:0C=l:2,

又04:05=1:2,

/.OD\OC=OA\OB.

又ZAOD=/BOC,

,MAODSABOC,

ZOAD=AOBC,

18

AD//BC.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí),

正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解答此題的關(guān)鍵.

【題型5】反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【1-1](24-25九年級(jí)上?廣西桂林?階段練習(xí))如圖，在平面直坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)y=￡(x>0)經(jīng)過(guò)8、C兩

點(diǎn)，△ABC為直角三角形，軸，軸，/(6,3),4c=2.

⑴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，點(diǎn)2的坐標(biāo)為;

⑵點(diǎn)別■是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB、MC：

①當(dāng)+為最小值時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)：

②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若ACMN是以CN為直角邊的等腰直角三角形，求

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，即可求得點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)①作c關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)c,連接BC'交歹軸于〃，由于c和c關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng)，有

MB+MC=MB+MC,當(dāng)B,M,。共線(xiàn)時(shí)，+最小，即MB+MC最小，最小值為的長(zhǎng)度,

11Q

利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)8。的解析式為了=-歷x+不，即可求得點(diǎn)〃的坐標(biāo)；②設(shè)“(0,加)，

N[n^^當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)C作水〃了軸，過(guò)N作NTL7X于7,過(guò)加?作于K,可證

3-m=4一〃

明△CMK%NCT(AAS),則CK=NT,MC=CT,列出112。；當(dāng)"為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)N作RS,天

4=-----3

、n

12.

n=-----3

n

軸于S,過(guò)C作CR_LRS于H,同理可得眈=RC,SM=NR,列出V12,解得M即可.

-----m-A—n

、n

解：（1）???/（6,3）,AC=2,

19

，C(4,3),

將C(4,3)代入＞得：

3=&

4，

解得上=12,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為＞=上12，

x

12

在＞=一中，令工=6得丁=2,

x

??.8的坐標(biāo)為(6,2)；

(2)解：①作C關(guān)于V軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接5c交歹軸于〃，此時(shí)MS+MC最小，如圖:

當(dāng)B,M,。'共線(xiàn)時(shí)，"5+MC最小，即“3+MC最小，最小值為5c的長(zhǎng)度，

由(1)知。(4,3),8(6,2),

???。(-4,3),

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b(kW0),

2=6左+6

3—+〃解得

113

則直線(xiàn)BC的解析式為＞=--X+y,

13

當(dāng)x=o時(shí)，＞=不，

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

②設(shè)M(0,加)，N,1),

當(dāng)。為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)C作正〃V軸，過(guò)N作NT1TK于T,過(guò)/作/于K,如圖:

20

口

C

M口K

Ox

△CMN的等腰直角三角形,

CM=CN,ZMCK=90°-ZNCT=ZCNT,

?.?/K=900=/T,

:.CMKaNCT(AAS),

/.CK=NT,MK=CT,

3-m=4-n

12,

4=-----3

、n

12

解得〃=1,

Y4

當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)N作RSLy軸于S,過(guò)。作CRLRS于&,如圖:

同理可得的=HC,SM=NR,

12f

n=------3

n

12

-----m—4—n

、n

解得或〃=『

（舍去）,

后-3歷+3、

:.N

2

7

21

JV57-3歷+3、

綜上所述,N的坐標(biāo)為[亍,7

【點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)和幾何的結(jié)合，涉及待定系數(shù)法求解析式、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、全等三角形的判定

和性質(zhì)以及等直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉函數(shù)的性質(zhì).

【1-2](24-25九年級(jí)上?湖南邵陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，一次函數(shù)＞=x-l的圖象與反比例函數(shù)”人的圖象交

X

于點(diǎn)4(%1)*(-1,切).

k

⑴求函數(shù)＞=上的表達(dá)式；

X

k

(2)點(diǎn)C是反比例函數(shù)v=—的圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△42C的面積等于A/5。的面積時(shí)，求C

無(wú)

點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用.正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行

求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)點(diǎn)/(〃/)，B(T加)在一次函數(shù)上，求出加，”的值，待定系數(shù)法求出＞=?的表達(dá)式即可；

(2)AMC的面積等于的面積，得到點(diǎn)C到直線(xiàn)43的距離等于點(diǎn)O到直線(xiàn)48的距離，根據(jù)平行

線(xiàn)間的距離處處相等，將直線(xiàn)N3向上或向下平移I個(gè)單位，得到直線(xiàn)4,4,直線(xiàn)44與雙曲線(xiàn)在第一象限

的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,進(jìn)行求解即可.

解：(1)?.?一次函數(shù)片X-1的圖象與反比例函數(shù)y=上的圖象交于點(diǎn)/(凡1),5(-1,m),

X

==-2,1=n-l,

'?YI—2,

.?.5(-1,-2),

.?"=1x2=2,

22

2

—=一；

x

(2)???△4BC的面積等于△ZBO的面積，

???點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離等于點(diǎn)。到直線(xiàn)AB的距離，

-y=x-\,

二.x=0時(shí)y=-1,

???將直線(xiàn)ZB向上或向下平移i個(gè)單位，得到直線(xiàn)44,直線(xiàn)4,4與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)即為點(diǎn)。，

：.11:y=x,l2:y=x-2f

y=xX=V2X=—V2

聯(lián)立2,解得:廠(chǎng)或「（不合題意，舍去）;

y=-y=y/2[y=-y/2

X

.-.C（V2,V2）；

kI"+出fx=l-V3

聯(lián)立2,解得：廣或「（不合題意，舍去）;

y=-[y=V3-13=_]_J3

.-.C（1+V3,V3-1）；

綜上：點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(丁，何或(1+6,若-1).

【1-3](2024?山東泰安?二模)一次函數(shù)了=-工+優(yōu)與反比例函數(shù)＞=&的圖象交于43兩點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)

X

為(3,5).

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)求△04B的面積；

⑶過(guò)動(dòng)點(diǎn)7億0)作x軸的垂線(xiàn)/,/與一次函數(shù)V=-x+加和反比例函數(shù)歹="的圖象分別交于河，N兩點(diǎn),

X

23

【答案】①一次函數(shù)的解析式為：V=-x+8,反比例函數(shù)的解析式為：j=—；（2）8；（3〃＜0或

3＜，＜5.

【分析】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,

熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

（1）把/（3,5）分別代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)求出比、人的值即可得到答案；

y=—x+S

（2）聯(lián)立15求出點(diǎn)5的坐標(biāo)，令直線(xiàn)與1交于點(diǎn)C,由直線(xiàn)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，最后由

尸一

Ix

s“°B=S…邑皿=；OC?%-?OC?丹，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

（3）直接由函數(shù)圖象即可得到答案.

解：（1）把/（3,5）代入一次函數(shù)y=f+加，

得一3+加=5,

解得：加=8,

???一次函數(shù)的解析式為：＞=-x+8,

把A（3,5）代入反比例函數(shù)y=：得，

左=15,

???反比例函數(shù)的解析式為：y=-；

X

y=-x+8

（2）聯(lián)立｛15,

J=—

IX

???8(5,3),

24

令直線(xiàn)48與x交于點(diǎn)C