2024-2025學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

懷柔區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高二質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.考生要認(rèn)真填寫姓名和考號(hào).

2.本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），共150分.考試時(shí)間120分鐘.

3.試卷所有答案必須填涂或書寫在答題卡的對(duì)應(yīng)位置，在試卷上作答無(wú)效.第一部分必須用2B鉛筆作答,

第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答.

4.考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回.

第一部分選擇題（共40分）

一,選擇題（共10道小題，每小題4分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）

1.已知直線的傾斜角為60。,且過(guò)點(diǎn)尸（0,1）,則直線的方程為（）

A.y=^-x-lB.y=^-X+1

C.y=y/3x-1D.y=+1

33

2.拋物線f=4y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（)

A.1B.2C.4D.8

3.已知等比數(shù)列｛%｝馮=1,&=-8,則公比4等于（）

A.--B.:C.-2D.2

22

4.若直線了+'-。=0是圓/+>2-2彳+6>+1=0的一條對(duì)稱軸，則。值為（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.若直線4x+2y-l=0與直線4x+陽(yáng)=0平行,則兩平行線間的距離（）

A.拽B.班C.@D.好

510510

6.已知直線乙的一個(gè)方向向量為“=（-2,1,3）,直線的一個(gè)方向向量為m=（2,-l,r）,若4〃，2,則才值為（）

A.-3B.1C.-D.-

35

7.雙曲線C：的右焦點(diǎn)方到其漸近線的距離為（）

169

A.4B.3C.且D.亞

55

22

8.“0〈根<2”是“方程土+^^=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，這是因?yàn)榻饎偸奶荚釉诳臻g中的排列方式?jīng)Q定的.如圖1,組成金剛石的每一個(gè)

碳原子，都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來(lái)看，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)所有棱

長(zhǎng)都相等的正三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離都相等的位置，如圖2所示.即圖2中

1

D.

3

10.己知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4="2-2°",則根據(jù)下列說(shuō)法選出正確答案是（）

①若。則數(shù)歹U-U的前〃項(xiàng)和S“=1一一二.

2[an\n+i

②若a=；,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為T?，則T“是遞增數(shù)列.

③若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則ae（f,1].

A.①②B.②③C.①③D.①②③

第二部分非選擇題（共110分）

二,填空題（共5道小題，每小題5分，共25分.）

11.以點(diǎn)4（2,1）為圓心，且與無(wú)軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

12.己知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,，若為=-3,%+/=-3,則氏=,5"的最小值為.

13.若雙曲線的離心率為近,寫出一個(gè)滿足條件的雙曲線方程.

14.已知橢圓E-.y+/=l的左右焦點(diǎn)分別是片,F2，點(diǎn)尸在橢圓上，則|P^|+|P^|=，若尸耳.PgW0,則點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)的取值范圍是.

15.邊長(zhǎng)為1的正方體A3CO-A耳G2中,E,F,G分別為AA,CG，BC的中點(diǎn)，以為正方體內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），

且滿足5"=1,則下列選項(xiàng)中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

①線段班/與G尸無(wú)交點(diǎn).

②平面EFG截正方體所得到的截面圖形面積為士叵.

4

③直線BH與平面及6所成角為三.

④在平面EFG上存在點(diǎn)H,使得3〃，平面EFG.

三,解答題(共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.)

16.已知圓C：尤2+(尸2)2=4,直線/：x+y-1^0.

⑴求過(guò)圓心且與直線/垂直的直線方程.

(2)直線/與圓C交于A,5兩點(diǎn)，求VABC的面積.

17.如圖，已知正方體ABCD-A用G2，邊長(zhǎng)為2.

(2)求二面角A-2。-C的余弦值.

18.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%+/=12,$5=25.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

⑵數(shù)歹!1場(chǎng)｝的前〃項(xiàng)和為Z,,且滿足4=2%,從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知,求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式及數(shù)列

｛%+4｝的前"項(xiàng)和Kn-

條件①%=3初

條件②也｝的前〃項(xiàng)和為(=3"-1.

b

條件③log?才=

19.已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M。,-2).

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)F坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.

⑵拋物線C上一點(diǎn)N,若|NF|=6,求N點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)直線/：尤=：犯+1與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，若一ABO(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,求加值.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PDCJ_平面DC,E為PA中點(diǎn)、,PD=DC=BC=1,PC=也,

AB=2.

p

C

B

⑴求證：DE〃平面尸3C.

(2)求直線DE與平面上4B所成角的正弦值.

(3)在線段DP上是否存在點(diǎn)Q，使得尸3〃平面ACQ,若存在，求出器的值，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知橢圓E：[+彳=1(°>6>0),左右焦點(diǎn)為冷尸2,上頂點(diǎn)為為正三角形，點(diǎn)11,-0在橢圓上，過(guò)耳(與

x軸不重合)的直線與橢圓E交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程及離心率.

⑵在x軸上是否存在定點(diǎn)尸(與與不重合)，使得點(diǎn)身到直線尸M,PN的距離總相等，若存在,求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)

明理由.

1.D

【分析】首先得到直線的斜率，再由斜截式得到直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為60。,所以直線的斜率k=tan60。=6.

又直線過(guò)點(diǎn)P（0,l）,所以直線的方程為y=6x+l.

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)拋物線方程得到P值,則得到焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

【詳解】2?=4,p=2，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閰n=1,4=-8,所以八字=-8,解得4=-2.

故選：C

4.A

【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心在直線上求出參數(shù)的值.

【詳解】圓工2+'2一2%+6〉+1=0,即（％一1）2+（丁+3）2=9.

所以圓心坐標(biāo)為（1,-3）,依題意直線x+y-4=0過(guò)點(diǎn)（1,-3）.

所以1—3—。=0,解得Q=—2.

故選：A

5.D

【分析】由直線平行關(guān)系求加，根據(jù)平行直線距離公式求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)橹本€4x+2y—1=。與直線4%+相＞=。平行.

所以4xm=2x4.

所以根=2.

此時(shí)兩直線方程為4x+2y-l=0,4x+2y=0,兩直線平行.

直線4尤+2丫一1=0與直線4x+2y=0的距離為-Q=好.

V42+2210

故選：D.

6.A

【分析】由已知可得加//〃,設(shè)機(jī)=力1,列方程求九

【詳解】因?yàn)橹本€4的一個(gè)方向向量為，=（-2,1,3）,直線4的一個(gè)方向向量為根=（2,-11）4〃桿

所以加//〃,設(shè)機(jī)=x〃.

貝lj2=—2/1,—1=A,t=3A.

所以a=—1,，=—3.

故選：A.

7.B

【分析】首先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得.

22

【詳解】雙曲線c：=1的右焦點(diǎn)時(shí)°)?

3

漸近線方程為y=?：x,即3x±4y=0.

3x5

所以右焦點(diǎn)P到其漸近線的距離d=,1=3

V32+42

故選：B

8.C

22

【分析】求“方程乙+屋」=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線”的等價(jià)條件，結(jié)合充要條件的定義判斷結(jié)論.

mm-4

22m>0

【詳解】“方程上+4^=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線”等價(jià)與

mm-4m2-4<0

BP0<m<2.

22

所以“0〈加<2”是“方程—+=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線”的充要條件.

mm-4

故選：C.

9.D

【分析】將正三棱錐A-BCD放入正方體中，利用余弦定理計(jì)算即可.

【詳解】將正三棱錐A-3CD放入正方體中，由題意E為正方體中心，如圖.

fEB2+EC2-BC-4a4a~

在...￡BC中，由余弦定理可得cosNBEC=——=―m~j=~

2xcixa

22

故選：D

10.A

［分析］利用裂項(xiàng)相消法求和判斷①，根據(jù)加-北=%*(〃+1)>0判斷②，根據(jù)an+l>%,即可得到a<"+；，從而求出。的

取值范圍,即可判斷③.

1,1111

【詳解】對(duì)于①：當(dāng)〃=一5時(shí)％="?+〃，則￡=而旬=%一總？

H--------=1---7,故①正確?

1223nn+1n+1

對(duì)于②：當(dāng)a=1■時(shí),%1).

則%+i-a”=(〃+-("+1)-"+"=2〃>0,所以｛4｝單調(diào)遞增.

又T?+1-Tn=a,I+l=〃("+1)>0,所以7；是遞增數(shù)列，故②正確.

2

對(duì)于③：若數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則a?+1>an，即(〃+1)?一2a5+1)>?-2即.

所以2〃+1>2a，所以。<〃H—.

2

因?yàn)閣eN*,所以4<1+［=［,即故③錯(cuò)誤.

22V1)

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若數(shù)列｛0｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則%+i>4,,再參變分離，求出參數(shù)a的取值范圍，反之，若判斷I的單調(diào)

性，只需作差得到卻一1>0即可.

11.(x-2)2+(y-l)2=l

【分析】根據(jù)題意得出半徑,即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】以點(diǎn)A(2,l)為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1.

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2>+(y-l)2=1.

故答案為：(x-2f+(y-l)z=1

12.n-5##-5+n-10

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為〃，根據(jù)所給條件得到a,d的方程組，解得即可求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)求和公式及二次函

數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬閐,貝U1"2=%+:=一：/，解得］;1=-4.

1>也+/=2q+5d=—-3=1

所以%=〃一5,所以s“=一9")=；［〃一"1：：_81

~~8'

所以當(dāng)九=4或〃=5時(shí)S”取得最小值，且S”的最小值為邑=g(42-9x4)=-10.

故答案為：n-5,-10

13.x2-y2=l(答案不唯一，等軸雙曲線均符合題意)

【分析】本題屬于開放性問(wèn)題,所有等軸雙曲線均符合題意.

【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為&，即e=￡=Jl+巴=&,所以6=死

故所有等軸雙曲線均符合題意，不妨取尤2-丁=1

故答案為：x2-/=l（答案不唯一，等軸雙曲線均符合題意）

-2也[-T'f

【分析】由橢圓方程求a,b,c,結(jié)合橢圓的定義求「耳|+|「閶，求點(diǎn)用鳥的坐標(biāo)，設(shè)由條件列方程和不等式，化簡(jiǎn)

求解即可.

【詳解】設(shè)橢圓:+丁=1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為短半軸長(zhǎng)為6,半焦距為

則a=-y/3,b=l,c—y[2-

所以月卜后,0）,外（0,0）.

由橢圓的定義可得|W|+|尸用=2.=2如.

設(shè)P（x。，%）,則當(dāng)+y；=1,尸片=卜&-%，-%），「外=（3-毛，-%）

因?yàn)槭?尸鳥W0.

所以君一2+￥<0.

所以只一2+1一9（）.

所以片

解得-"4/4包.

202

所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是一分，手.

故答案為：2"一手，手.

15.①②

【分析】求點(diǎn)8到直線GF的距離，結(jié)合BH=1,判斷命題①，設(shè)H',M,N分別為其4,AD,CD的中點(diǎn)，證明E,M,N,F,G,H'

共面，再求六邊形￡21如網(wǎng)汨'面積判斷命題②,建立空間直角坐標(biāo)系，證明BDI為平面EPG的法向量，利用向量方法求直線

BH與平面EFG所成角，取特殊點(diǎn)判斷命題③錯(cuò)誤，假設(shè)存在H點(diǎn)滿足條件，結(jié)合條件推出矛盾，判斷命題④，由此可得結(jié)

論.

【詳解】由已知=BC=gG=QC=1,/BCF=/BB、G=90°.

因?yàn)镕,G分別為CG,與G的中點(diǎn).

所以C/=B1G=g.

連接3T,T為GP的中點(diǎn)，則3T，GF,BT=

所以點(diǎn)B到直線GF的距離為述，又BH=L

4

所以線段BH與GF無(wú)交點(diǎn)，①正確.

連接GH',H'E,EM,MN,NF,H；M,N分別為AD,CD的中點(diǎn).

因?yàn)镠'G/AGAGUEF.

所以〃'G//EF,所以比G,七廠四點(diǎn)共面.

所以點(diǎn)H'e平面EFG.

因?yàn)槭琋〃G。，GD//耳A,B.A/ZH'E.

所以平面EFG,攵Eu平面EFG.

所以Ne平面EFG.

同理可證Me平面EFG.

所以EM,N,RG,“共面.

J?

又EM=MN=NF=FG=GHr=HrE=—

2

所以平面EFG截正方體所得到的截面圖形為正六邊形項(xiàng)WFGH',且邊長(zhǎng)為YZ.

2

所以面截正方體所得到的截面圖形面積為6x^xYlx逅=38,②正確.

2244

以點(diǎn)8為原點(diǎn),9BC,3月為無(wú)，％z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

所以明=(1,1,1)產(chǎn)=(-l,l,O),G尸=[o,?

所以Bq.E戶=—l+l+O=O,BD「GR=O+g-；=O.

所以3〃=(LL1)為平面EFG的一個(gè)法向量.

設(shè)”的坐標(biāo)為(。也。),則BH=(a,b,c).

0<a<l,0<b<l,0<c<l.

因?yàn)锽H=1,^(+&2+c2=1-

設(shè)直線BH與平面EFG所成角為氏則

卜+人+da+b+c

sin6-|cosBH,BDX|=

61a2+及+C1yfiyja2+b2+c2

^a=—,b=—,c=—^\sin0=^-=l.

333V3xl

7TIT

又Oe0,-，所以0=￡

此時(shí)直線BH與平面EFG所成角為y，③錯(cuò)誤.

設(shè)平面EFG上存在點(diǎn)H,使得BH±平面EFG.

因?yàn)?”，平面EFG,所以BH//BD、.

所以(4,6,?！?1,1,1),又,/+6+02=].

所以”*邛,C邛.

V3V3叵

所以“,EH=B立」、

一，5_一2?

因?yàn)镠e平面EFG.

所以可設(shè)EH=xEb+yGb=bx,x+],—gy]

所以一a3一Lx+13-y=3一L

323232

所以X=1-3,X+2=3-y=L一3.

323223

由第一個(gè)方程與第三個(gè)方程相加可得x+京占孚，與第二個(gè)方程矛盾?

所以滿足條件的點(diǎn)H不存在，④錯(cuò)誤.

故答案為：①②.

16.⑴％一>+2=0

⑵立

2

【分析】(1)由圓的方程求圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直關(guān)系求所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程；

(2)求出弦長(zhǎng)后利用公式可求面積.

【詳解】(1)圓x?+(y-2)2=4的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑r=2.

直線無(wú)+>T=0的斜率為-1.

與直線/垂直的直線的斜率為L(zhǎng)

所以過(guò)圓心且與直線I垂直的直線方程為無(wú)->+2=0.

(2)圓心(0,2)到直線/距離d==g=乎

所以|=24一/=2^4=A/14.

所以ABC的面積SABC=；|ABH=，.

17.(1)證明見解析

⑵T

【分析】方法一：(1)證明4。2血,明，8￡>,由線面垂直判定定理證明3。上平面447,由此證明結(jié)論.

(2)證明NAOC為二面角A-8。-C的平面角，解三角形求其余弦值.

方法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求直線8。，&C的方向向量，利用向量方法證明兩直線垂直.

(2)求平面BCD,的法向量，求兩向量的夾角余弦,結(jié)合圖形確定二面角4-3。-C的余弦值.

【詳解】(1)方法一：連接AC,設(shè)AC80=0,在正方形ABCD中,AC工

在正方體ABCZ)-4旦。］。1中A4tJ_平面ABC。,且BDu平面ABCD

:.A\LBD.

「AX】u平面AAC,ACu平面AAC,且朋AC=A.

，3D工平面AAC,又ACU平面AAC

BDl^C

方法二：在正方體ABCD-A81G2中,DD1±AD,DDtlDC,AD±DC.

以點(diǎn)。為原點(diǎn),DA,DC,DDl為％Xz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則0(0,0,0),A(2,0,0),4(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0).

DB=(2,2,0),AC=(-2,2,-2).

DB-AC=(2,2,0)-(-2,2,-2)=-4+4+0=0.

:.DB_L*

(2)方法一：連接40.

38中,3C=DC,0為8。的中點(diǎn).

.-.CO1BD.

在正方體ABCD-4耳￡2,a。=AB.

.?.在中

所以NAOC即為二面角的平面角.

在△AOC中,。。=夜，4。=",AC=2相

由余弦定理可-乎

2\OOC3

二面角A-BD-C的余弦值一走.

3

方法二：平面BCD，z軸,所以4=(0,0,1)為平面BCD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面A3。的法向量%=(x,y,z)

因?yàn)椋?,0,2）,08=（2,2,0）

D\?%=2x+2z=0

<.■一

DB?a2=2x+2y=0

令x=1,則y=-1,z=-1.

所以%=(1,-1,T)為平面48。的一個(gè)法向量.

cosnx,n2=

觀察圖形可得二面角A-8。-C的平面角為鈍角.

所以二面角A-BD-C的余弦值一心.

3

18.⑴?！?2〃-1

(2)答案見解析

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式將條件轉(zhuǎn)化為q”的方程，解方程求4,d,再

求結(jié)論.

(2)選①，根據(jù)等比數(shù)列定義證明｛4｝為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求4，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式

等差數(shù)列求和公式求結(jié)論.

選②，由1與4的關(guān)系，求“，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式等差數(shù)列求和公式求結(jié)論.

選③，由(1)結(jié)合關(guān)系10g3?=an-n求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式等差數(shù)列求和公式

求結(jié)論.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d.

因?yàn)?+々4=12,85=25.

。3+。4=2%+56?=12

所以

S5-54+10d=25

，%,d=2.

an=2n-l.

(2)由(1)=2q=2.

選條件①,???%=32也=2.

b

所以看=3.

b?

所以數(shù)列｛〃｝是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.

，2=2X3"T.

數(shù)歹U｛?！?為｝的前〃項(xiàng)和K,=4+4+“2+62+。3+。3Van+b,

=(q+6Z2+/H---Pa“)+他+仇+Z?3H---

_(1+2H-1)M2(1-3")

=-2-+^~

=n2+3"-l.

選條件②，圾｝的前〃項(xiàng)和為7；=3"-1,仿=1=2.

當(dāng)心2時(shí)也=7；-加=(3"-1)一(3"—一1)=2x3"T.

又〃=1時(shí),4=2*31=2.

所以勿=2x31

數(shù)列｛4+〃｝的前〃項(xiàng)和

Kn=%+b]+%+仇+%+4+?,,+〃〃+bn

=(q+o2+a3+---+a?)+(Z>l+b2+&+…+2)

(l+2?-l)n2(1-3H)

=-2-+-T5-

=H2+3Z,-1

b

選條件③，因?yàn)閘og?弓=4-n=n-\

h

所以m=3"一；故"=2X3"T.

數(shù)列｛%+bn｝的前n項(xiàng)和

Kn=%+Z?j+%+a+%+4+…++bn

=(%+%+%+■??+%)+(4+,+4+…+或)

_(1+2?-1)?2(1-3")

=-2-+^~

=?2+3"-1

19.(1)/=4x,F(l,0),x=-l

(2)N(5,±26)

⑶m的值為6或一7L

【分析】(1)將/。，-2)代入拋物線方程可求?，由此可求拋物線方程，再求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

(2)由條件結(jié)合拋物線的定義求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，再代入拋物線方程求其縱坐標(biāo)，由此可得結(jié)論.

(3)聯(lián)立方程組,結(jié)合設(shè)而不求法表示ABO的面積，列方程求，

【詳解】(1)拋物線V=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)

?14=2。，故p=2.

拋物線C的方程為;/=4x.

拋物線C的焦點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l.

(2)由N向準(zhǔn)線x=-l引垂線，垂足為乂

若|麗|=6,由拋物線定義可知：|NF|=|MVj=6,且準(zhǔn)線方程：x=-l.

???點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為5,代入拋物線方程得到/=20

y=+2A/5.

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,±2君).

(3)因?yàn)橹本€AB的方程為x=四+1,所以直線AB過(guò)點(diǎn)F(l,0).

1丫2=4x

聯(lián)立」消x可得>2-4my-4=0.

[x=my+1

方程y2-4my-4=0的判另!]式A=167后+16>0.

設(shè)201，%)出(%2，%)?

由己知必,為為方程y2-4my-4=0的兩根.

所以％+%=4，"，%%=-<

又..ABO的面積SABO=SA0F+SBOF=]x|O司、況+于10/岡為|=—|y2-yj.

所以SABO=g.

由已知,2-JrrT+\=4，解得m=土石.

所以機(jī)的值為名或-VL

【分析】（1）取PB的中點(diǎn)F,證明。E〃/C,根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線DE的方向向量與平面7MB法向量，利用向量夾角公式求兩向量的夾角余弦，由此可得

結(jié)論.

（3）假設(shè)線段D尸上存在點(diǎn)Q，使得P3〃平面ACQ，求直線PB的方向向量和平面ACQ的法向量,由假設(shè)可得兩向量垂

直，列方程求出Q的坐標(biāo)，由此可得結(jié)論.

【詳解】（1）取PB的中點(diǎn)產(chǎn),連接跖，尸C.

因?yàn)镋,尸分別為的中點(diǎn).

所以PAB中,EF//AB,EF=gAB.

底面ABCZ)中,AB=2,OC=1,ABDC,AB^^DC.

:.EF〃DC,EF=DC.

.??四邊形屏CD為平行四邊形.

DE//FC.

,：FCu平面「,DEN平面PBC.

：.DE7/平面PBC.

(2)取的中點(diǎn)N,連接。N.

因?yàn)镹BUDC,NB=DC.

所以四邊形NBCD為平行四邊形.

所以DN//BC,又BCLDC.

所以￡>N_LDC.

因?yàn)槠矫鍼DC1.平面ABCD,平面PDC'平面ABCD=DC,DNu平面ABCD.

所以DN上平面PDC,PRDCu平面尸￡>C.

所以DN-LPD,DNJ_DC.

因?yàn)镻D=DC=1,PC=點(diǎn).

所以巴y+OC?=PC?,所以尸。_Loc.

所以O(shè)V,DC,OP兩兩垂直.

以點(diǎn)。為原點(diǎn),DN,DC,￡）尸為尤,y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),4(1,-1,0),3(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,1),

所以DE=C，-：,j,PA=(l,-l,-l),AB=(O,2,O).

設(shè)平面7^45的法向量為元=(x,y,z).

PA-n=0[x—y—z=0

則，即Jc-

[AB-n=Q[2y=0

取x=l,則y=0,z=l.

所以a=（l,0,l）為平面R4B的一個(gè)法向量.

-xl+——x0+-xl

DEn2I2

所以cos〈OE,力〉=

MHJ河+；x，l+0+l

設(shè)直線DE與平面P4B所成角為仇則sin。=逅

3

所以直線班與平面2B所成角的正弦值為亞.

3

（3）設(shè)線段DP上是存在點(diǎn)Q（0,0,c）,使得心//平面ACQ,0VcWL

設(shè)平面AC。的法向量為歷=（范％,zj.

又"二(-1,2,0),CQ=(O,

ACm=0[—x+2y,=0

則，即_n.

CQ-m=0LM+CZ[=°

取4=1,則X=c,X]=2c.

所以根=(2c,c,l)為平面AC。的一個(gè)法向量.

因?yàn)镻B//平面ACQ.

所以PB'm,又=

所以尸8-m=2c+c-l=0.

所以c=g

所以存在點(diǎn)。，使得尸3//平面ACQ，此時(shí)^|=1,

⑵存在,P(TO)

【分析】(1)依題意可得。=2c,即可求出離心率，再根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)，即可得到方程組，求出即可求出橢圓方程.

(2)方法一：設(shè)直線方程：尤=%y-1,當(dāng)〃7=0時(shí)顯然成立，當(dāng)機(jī)A0時(shí),聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，設(shè)x軸

上點(diǎn)P(?,0)，依題意可得PK為NMPN的平分線(X^a,x2^a),kPM與kPN互為相反數(shù)，根據(jù)心.+上印=0求出。的值，即

可得解，方法二：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)顯然成立，直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程：y=%(x+l),化豐0),聯(lián)立直

線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，設(shè)x軸上點(diǎn)P(a,O)，依題意可得尸6為NMPN的平分線@w,褊與《互為

相反數(shù)，根據(jù)kPM+%,=。求出。的值，即可得解.

【詳解】(1)..人耳巴為正三角形.

:.a=2c,：.e=

橢圓過(guò)L

4Z?2

=b2+c2或者.J

、a2

22

..?橢圓E的方程為工+匕=1.

(2)方法一：過(guò)片的直線與無(wú)軸不重合,設(shè)直線方程：x=my-l.

當(dāng)m=0時(shí),直線與x軸垂直，由橢圓的對(duì)稱性可知,PAW為等腰三角