2024-2025學(xué)年河北省保定市高三年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.若集合/={尤|0<尤+1<3},B={X\X2+3X=Q\,則（)

A.-le（^A5）B.OeUn.8）C.B=AD.A^B=0

2.拋物線3y=8/的準(zhǔn)線方程是（）

2233

A.%=——B.x=—C.y=----D.y=-

3332

3.已知a,，是兩個互相平行的平面，I,m,〃是不重合的三條直線，且/J_a,

mua,nu（3,貝U（）

A.ILnB.mLnC.11InD.mlln

4.某學(xué)校高一、高二、高三3個年級的學(xué)生人數(shù)分別為1600,1200,2000,現(xiàn)按年

級采用分層隨機抽樣的方法從中選取120人，若按照樣本比例分配，則高二年級被

選中的學(xué)生人數(shù)為（）

A.50B.40C.30D.20

5.若函數(shù)/（x）=alnx+2x的圖象在點（1,2）處的切線不經(jīng)過第二象限，且該切線與坐

標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為3，則。=（）

6

22

A.—1B.—C.—D.1

33

6.如圖，側(cè)面展開圖為扇形的圓錐和側(cè)面展開圖為扇環(huán)48CD的圓臺的體積

相等，且礪=疵"貝（1分=（）

7.7知正項等差數(shù)列｛%｝滿足%+%+■??+/”_=_%(〃eN*),則如=()

---+。2〃+1〃+2

A.2B.1012C.2024D.4048

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)X>0時，=.若VXER,

f(x-a2)<f(x),則。的取值范圍為()

A.(-oo,0]B.(-00,2]C.[0,2]D.(-oo,0]u[2,+oo)

二、多選題(本大題共3小題)

9.已知向量1=(x,3),3=(5,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若￡〃[,則工=一。B.若3_LB，則X=~|

C.若,|=5,則％=4D.若x=3,則Q?=21

10.已知函數(shù)〃X)=Jsm：,則()

A.f(x)為奇函數(shù)

B./(x)的最大值為:

C./(x)的最小正周期為兀

D./(x)的圖象關(guān)于直線X=7T對稱

11.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”.如圖，曲線C：(/+/)2=412_丁)是

雙紐線，關(guān)于曲線C,下列說法正確的是()

A.a=9

B.C上存在點(%,%),使得加+年>3

C.C上的點的縱坐標(biāo)的最大值為逑

4

D.若直線>=履與C恰有一個公共點，則左的取值范圍為(-s,-l)U(l,+8)

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(2-i)(3+2i),則3=

22

13.已知。為坐標(biāo)原點，雙曲線C：j-匕=l(a>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,

a6

3

以線段打工為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點為P.若cos/尸乙耳=：,則點。到直

線尸月的距離為.

已知P且(〃，貝!的最小值為

14.e,efO,jj,sin(2c+￡)+2sin2zcos￡=3sinJcos/7

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知數(shù)列｛%｝滿足%=2,(2"-1”用=(4〃+2)%.

(1)證明數(shù)列:第J為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項公式；

(2)求｛%｝的前n項和S”.

16.如圖，在多面體48co比中，N￡_L平面A8CD,平面尸CD_L平面/BCD,

AB//CD,ABLAD,AFCD為等腰直角三角形，且CF.。尸，

AD=CD=2AB=2AE,

(1)證明：5尸〃平面/DE.

(2)求平面尸與平面。斯的夾角的余弦值.

17.如圖，A、B、C、。是圓。上的四點.

7T

(1)若N8/C=w，AB=5,AC=4,求圓。的半徑；

7T

(2)若乙4。5=44。。=—,且“C。的面積是V45C的面積的2倍，求cosZADC.

6

18.已知4(2,1)是橢圓￡：鳥+4=1(°>6>0)上的一點，且E的離心率為心，斜率存

ab2

在且不過點A的直線/與￡相交于P,。兩點，直線4尸與直線/。的斜率之積為:

(1)求E的方程.

(2)證明：/的斜率為定值.

(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點，若/與線段02(不含端點)相交，且四邊形。尸/。的面積為

2道，求/的方程.

19.已知函數(shù)/(x)的定義域為/,區(qū)間。3/,若/(%)=/，則稱/是/(x)

在。上的不動點，集合/=卜()"伉)=%,%e。｝為了(X)在。上的不動點集.

(1)求函數(shù)〃力=2廠主4在(°，+8)上的不動點集；

(2)若函數(shù)g(x)s-sin2x在］43上有且只有一個不動點，求”的取值范圍；

(3)若函數(shù)〃(x)=x?-(3/一1b+1(皿＞0)在R上的不動點集為｛xy,x2,x3｝,求x；+x；+xj

的取值范圍.

答案

1.【正確答案】B

［詳解］因為N={_r|0<x+l<3}={尤—］<x<2},5={x|x2+x=o}={-1,0},

所以Bq/不成立，/門8={0}/0,故CD錯誤，

則-1e（/口團，OeUAS）,故A錯誤，B正確，

故選：B.

2.【正確答案】C

【詳解】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為/=:>，則拋物線的準(zhǔn)線方程為夕=-9.

o32

故選：C.

3.【正確答案】A

【詳解】因為M/￡,Zia,所以口夕.

又mua,"u￡,所以/_L加，ILn,

m,w平行或異面.

故選：A

4.【正確答案】C

【詳解】設(shè)高二年級被選中的學(xué)生人數(shù)為X,

故選.C

5.【正確答案】D

【詳解】由/（x）=alnx+2x,得/（尤）=q+2,/'（1）=。+2,

則/（X）的圖象在點（1,2）處的切線方程為y=（a+2）x-a.將x=o代入切線方程，得

%-J將>=0代入切線方程，得了=」三.

因為該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為所以2?上7=）

62a+26

2

解得4=1或a=-5.

當(dāng)。=1時，切線經(jīng)過第一、三、四象限，符合題意；

當(dāng)。=-：時，切線經(jīng)過第一、二、三象限，不符合題意.故a=L

故選：D

6.【正確答案】A

【詳解】設(shè)側(cè)面展開圖為扇形NO。的圓錐的底面半徑為％高為肌

則該圓錐的體積匕=：/萬.

側(cè)面展開圖為扇形8OC的圓錐的底面半徑為〃，高為助,

則該圓錐的體積匕=5（"）2財=萬匕.

由題可知匕=2匕，從而；P=2.

故選：A.

7.【正確答案】B

【詳解】因為｛%｝為等差數(shù)列，

所以“…皿=%'

n（a,+。2“+1）

。3+。5+?…+a2n+\=-----------------=〃4+2，

???+八二"=幾（N）

所以a1+%+2U*

…???+2"+2-

所以％=4+2所以a2024_%022=…="

nn+2'2024—2022-…，'

02024=2°24=

所以1012

〃22

故選：B

8.【正確答案】D

【詳解】當(dāng)0=0時，顯然恒成立.

當(dāng)a片0時，/（x-/）v"x）可以理解為將/（x）的圖象向右平移/個單位長度后，得

到的/1-/）的圖象始終在/卜）的圖象的下方（部分重合）.

當(dāng)0>0時，由/'（X）的圖象:

可知，a2>2ay解得。22;

當(dāng)a<0時，由/'（X）的圖象:

）的圖象始終在〃x）的圖象的下方.

故a的取值范圍為（-叫0]32,+功.

故選：D

9.【正確答案】BD

【詳解】對于A項，若Z〃石,則2x-15=0,得》=^，故A項不正確.

對于B項，若￡_1_辦，則5x+6=0,得％=-'|,故B項正確.

對于C項，若同=5,則，/+9=5,得尤=±4,故C項不正確.

對于D項，若x=3,貝m=3x5+3x2=21，故D項正確.

故選：BD.

10.【正確答案】AB

【詳解】“X）的定義域為R，/（x）=Jsm：sinx

5-cos2x3-cos2x

sin(-x)sinxr,、

則/（一%）二

3-COS2(-X)

所以/'（X）為奇函數(shù)，A正確.

sin(x+7i)smxr,、

/(x+兀)=Er-

3-cos2(x+7i)

所以〃X）的最小正周期不是兀，C不正確.

sin(2兀-x)sinx

f(2n-x)=

3-COS2(2TI-x)3-cos2x

所以〃X）的圖象不關(guān)于直線尤=兀對稱，D不正確.

sinxsinx

/(x)=，顯然/（無）=/*+2兀），且;■（（））=/■（兀）=0,

3-cos2x2+sin2x

1

當(dāng)工￡（0,兀）時，"幻一

.2

sinx+———

sinx

22

由0<sinx<l,函數(shù)y=—十%在（0,1]上是減函數(shù)，因止匕i——+sinx>3,

xsinx

所以/1（X）當(dāng)xe（71,2元）時，/（x）＜0,

所以f（x）的最大值為:，B正確.

故選：AB.

11.【正確答案】AC

【詳解】由圖可知，點（3,0）在C上，則（3?+（）2）2=-（）2）,所以a=9,A正確;

設(shè)曲線C上任一點尸（X/）,由'+戶2=9-力，

可得0＜'+了2=9（；2-1）49,Jx2+y2＜3,

即C上不存在點（后,%）,使得Jx；+$＞3,B不正確；

方程（/+力2=912-#可化為/+（2了2-9卜2+了2（_/+9）=0,

令I(lǐng),得/+（2產(chǎn)-9）+/爐+9）=0,

A=（2/-9）2-4y2爐+9）=_9好_蚱0

2

由＜t\+t2=-（2y-9）＞0,

22

tlt2=y（y+9）＞0

O

可得04>2?

O

即一逑4y4逑，易知等號成立，故。上的點的縱坐標(biāo)的最大值為逑，C正確;

444

直線》=丘與。均經(jīng)過原點（0,0）,則直線歹=而與。除原點外無其他公共點,

聯(lián)立方程組，（/+/）=9（一一力，整理得尤4（1+后2）2_9/（1_嚴(yán)）=0,

y=kx

當(dāng)1一左2=0時，方程》4=。僅有一解x=（）,滿足題意,

當(dāng)1一/R0時，整理得小2（1+r）2—9（1-/=0,

當(dāng)x=0時，方程恒成立，

9(1_r)

因為恒有一解,所以無2=無解，即當(dāng)1-嚴(yán)＜0時，方程無解,

(1+r)2

綜上，1-F＜0,解得左或斤4-1,D不正確.

故選.AC

12.【正確答案】8-i

【詳解】z=(2—i)(3+2i)=6+4i—3i—2f=8+i,則彳=8-i.

故8-i

13.【正確答案】|/1.5

【詳解】

由題可知，PFJPB，設(shè)歸閭=3x,

3

則由cos/尸石耳=丁得山閭=2c=5x,I尸四=4x,

則2.=閥卜閡=x.

由62=°2一/，得6=1^；_作；，解得x=l,

則點。到直線尸片的距離d=f』=|.

?3

故Z

2

14.【正確答案】里

17

【詳解】由sin(2a+/7)+2sin2acos尸=3sin/，得3sin2acosP+cos2asin尸=3sin(3,

則3sin2a+cos2atan0=3tan0,

八3sin2a6sinacosa3tana3

tan13--------------------------------------=---------------=--------------------

則3-cos2a4sin2cr+2cos2a2tan2a+1”,1

2tanad--------

tana

因為所以tanas(0,百)，貝l]2tana+------->272,

I3)tana

當(dāng)且僅當(dāng)tanc=變時，等號成立，

2

A,33后

從而tan(3<--j=------.

2V24

又加M，

所以當(dāng)tan/取得最大值時，cos￡取得最小值，且最小值為用.

17

故答案為另

15.【正確答案】(1)證明見解析，

(2)5?=(2?-3)-2"+1+6

【詳解】(1)證明：由(2〃-1).=(4〃+2”.，得「汽

2(77+1)-12n-l

又因為彳%=2片0,

2x1-1

所以［含，是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

則善'=2",從而.”=(2〃一1>2".

2n-l

⑵由(1)可知，S?=1X2'+3X22+5X23+???+(2M-1>2n?

則2S*=1x22+3x23+5x2'+…+(2f.2向②

=2'+2x(22+23+---+2")-(2n-l)-2"+1

即_S”=2+2x—一(2n-1)-2"+=-6-(2n-3)-2向,

則5"=(2〃-3)-2用+6.

16.【正確答案】(1)證明見解析

證明：取8的中點。，連接。3,OF.

因為為等腰直角三角形，且CF'。下，所以。尸，CD.

又平面CDF_L平面4BC。，平面CDFc平面48co=CD,。尸u平面CDF,

所以。9_L平面NBC。，.

因為/E_L平面ABCD,

所以。尸〃NE.

又O尸(Z平面/DE,/Eu平面4DE,

所以。尸〃平面ADE,

因為CD=2/3,所以48=。。，

又OD〃AB,

所以四邊形/8O。為平行四邊形，則。3〃/￡>.

因為。8<Z平面4DE,4Du平面/DE,

所以。8〃平面ADE,

又OBcOF=O,。8,。尸<=平面。3尸，

所以平面03尸〃平面ADE.

因為3尸u平面。2下，所以酬〃平面4DE.

(2)解：由題可知N8,AD,NE兩兩垂直，

故以/為坐標(biāo)原點，AB,AD,/￡所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)43=1,貝IJ8(1,0,0),￡>(0,2,0),E(0,0,l),尸(1,2,1),

=(-1,0,1),麗=(1,2,0),方=(0,-2,1)

設(shè)平面AE》的法向量為訪=3，yi，zD，

BE?玩=0{-x+z,=0

則由_得]'°,

BF-m=01占+2乂=0

令％=1,得而=(-2,1,-2),

設(shè)平面。跖的法向量為元=(%2〃2/2)，

DE?方=0f—2y?+z?=0

則由一得Jn，

EF-n=0氏+2%=0

令為=1,得元=(一2,1,2).

/-一、m-n1

cos<m,n)=-~~—=—

|m||w|9

則平面與平面DEF的夾角的余弦值為

17.【正確答案】(1)近

(2)cosZADC=—

【詳解】(1)

在“BC中,

由余弦定理得8c2=/32+/C2-2/3-/CCOSN3/C=52+42-2X5X4XL=21,

2

貝U3C=亞.

設(shè)圓。的半徑為「，貝！|r=———=單=布?

2sinZBAC也

(2)A/CD的面積S1=1ylC-CDsinZACD=^AC-CD,

A/BC的面積星=^AC-BCsmZACB=^ACBC,

因為SJ=2S2，所以CD=28C,

如圖，連接BD.

在ABCD中，設(shè)3C=x,

由余弦定理得2加=BC-+CD2-2BC-CDcosZBCD=3x2,

貝IBC2+BD2=CD2,則BC1BD.

IT

因為ZABD=/ACD=—,

6

2兀

所以//BC=N4BQ+/05C=—,

3

TT

所以ZADC=7i-ZABC=-,

3

則cos乙4。。J

2

22

18.【正確答案】⑴土+匕=1

82

(2)證明見解析

(3)y=-1x+l

411

-----1-----=1

a1b2

2

-=^-，角軍得力=8,b=2f

【詳解】（1）由題可知

a2

a2=b2+c2

故石的方程為二+q=1.

82

（2）設(shè)/的方程為歹=云+機，P（xi，yi）?Q（x2,y2）,xl^2,x2^2.

22

二+J

聯(lián)立方程組82

y=kx+m

整理得（4/+1卜2+8初仃+4/一8=0,

A=64k2m2-{16k2+4）（4m2-8）=128*2-16m2+32>0

4m2-8

即“72<8左2+2,則X]+%=-■771—7x}x2=——-——

4K+1124左2+1

k必一1y2-1{kxx+m-1）（AX2+m-1）

0X]_2%2_2—2（/+/）+4

22

kx1x2+左（加一1）（再+x2）+（m-l）

x{x2_2（&+x2）+4

k2（4m2-8）-8k2m（m-1）+（4A;2+l）（m2-2m+l）

4m2-8+16km+16k2+4

m2-2m-4k2+11

4m2+16km+16k2—44

整理得（2斤+l）（〃?+2左一1）=0,則左=一;或〃z+2左一1=0,

若加+2左-1=0,則＞=b+1-2左，則/過點A,不符合題意,

故左=-1,即/的斜率為定值.

2

2

（3）由（2）可得直線/:；%+>—加=0,x{+x2=2m,xxx2=2m-4,

因為/與線段。力（不含端點）相交，所以0〈加＜2,

\PQ\=J1+左2J（%i+%2）2—4西馬二N20-5m2,

|l+l-m|4-2m

dj—

點A至!J/的距離

四邊形?？?。的面積5=：加|（4+，2）=2"^7=26,

解得加=1或加=-1（舍去）,

故/的方程為.了=-;尤+1

19.【正確答案】⑴{4}

（2）（-℃,1]<->[3,+00）

⑶（3蚯,+勾

【詳解】（1）由/'（x）=尤，得X2_3X_4=0,

X

解得％=-1或x=4,

故/（%）在（0,+8）上的不動點集為{4}.

（2）方法一：由題可知，關(guān)于x的方程（a7）x_sin2x=0在上有且只有一個

實數(shù)根.

即方程（"l）x=sin2x在14,野只有一解.

因為x=0是方程（"l）x=sin2x的解，所以方程（a-l）x=sin2x在[-刊[。,；）上無

解.

作函數(shù)了=（"1卜和y=sin2x,xe[-1■，!■]的圖象，如下圖：

當(dāng)a-122或a-lVO即或aVl時，了=（a-1）尤與y=sin2x,xw［-!■，!■）的圖象只有

一個交點.

所以。的取值范圍是.（-e』u［3,+e）

方法二：由題可知，關(guān)于x的方程（a7）x-sin2x=0在［-今4］上有且只有一個實數(shù)根.

令^（x）=（^-l）x-sin2x,則“（X）=Q—1—2COS2X.

若/3