2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二年級上冊第二次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期第二次月考（12月）數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.等差數(shù)列｛"J中，已知名+%+%=18,則該數(shù)列的前9項和為（）

A.54B.63C.66D.72

2.棱長為1的正四面體/BCD中，點E是力D的中點，則反3.及=（）

￡_1V3

A.4B.4C.4D.4

3.設(shè)又是等比數(shù)列｛%｝的前n項和，若53=4。4+。5+。6=6則

中=

泉=()

319519

A.2B.ioC.3D.不

4.己知兩條直線「X一百了+2=°與4：尤-退＞+6=°被圓C截得的線段長均為2,則圓

C的面積為（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.5兀

5.如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點F',片在x軸上，A,5是橢圓的頂點，P是

橢圓上一點，且S,、軸，PF2//AB,則此橢圓的離心率是（）

1V51V2

A.2B.5C.3D.-

6.已知四面體/8CZ）中，AB,BC,8。兩兩垂直，BC=BD=g,4B與平面

/CD所成角的正切值為5,則點8到平面/CD的距離為（）

V327345245

A.2B.3C.5D.5

7.設(shè)加?R,若過定點/的動直線苫+叼=°和過定點5的動直線承X-〉T〃+2=0交

于點P（xj）,則附?陽的最大值是（）

5

A.2B.2C.3D.5

8.正方體44GA的棱長為5,點M在棱43上，且4M=2,點尸是正方體下

底面/BCD內(nèi)（含邊界）的動點，且動點尸到直線4〃的距離與點P到點M的距離的

平方差為25,則動點尸到3點的最小值是（）

A.2GB.&C.6D.也

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知S"是等差數(shù)列也｝的前〃項和，且?guī)?幾，則（）

A.公差”＞。B.%6＞。C.%=°D.”=17時，最大

10.在正方體/夕四一44cM中，處=2,點E是四的中點，空間中一點尸滿足

/尸=-5+y怒（x,y則（）

A.當(dāng)》=1時，ABVCP

B.當(dāng)＞=1時，三棱錐尸一8C2的體積為定值

1

C.當(dāng)一2時，有且僅有一個點P,使得8尸〃平面/CR

D.當(dāng)x+N=l時，有且僅有一個點P,使得弓尸與⑷所成角為60°

11.雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布?伯努

利將其作為橢圓的一種類比來處理.橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡，

而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過

兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線.曲線°：。2+/了=4（?―/）是雙紐線，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線0經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

B.已知'（一五°）,，（展°）,尸為雙紐線上任意-點,則E+陷"也

c.若直線^=依與曲線0只有一個交點，則實數(shù)人的取值范圍為（一叫一口口口420）

D.曲線。關(guān)于直線＞=x對稱的曲線方程為（?+「）=4（/-/）

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知數(shù)列｛"J的前〃項和為S",且滿足S"=2"-3（?eN）,則%=.

13.如圖，在四棱柱/2co一4片G2中，底面N2CD是平行四邊形，點￡為8。的中點,

若AXE=xAAx+yAB+zAD則x+y+z=

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩

點距離的比為常數(shù)2（^*1）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點

/（-7，°）,3為直線/：2x+y+3=0上的動點，P為圓C：（x-2y+/=9上的動點，則

附+3閘的最小值為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.若數(shù)列包｝的前〃項和為為且2S〃=3%-l（〃eN）,等差數(shù)列切滿足仇=3%,

4=+4

（1）求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式；

c“=互

⑵設(shè)'3%，求數(shù)列也｝的前“項和T?

16.如圖，在四棱錐中,

ADHBC,AB上BC,AB=BC=1,尸/_L平面/BCD,尸。與平面

所成角為45。，E為尸D中點，

〃C

(1)證明：BEVPD.

(2)若直線尸C與平面/股所成角為60。，求”的值.

x2y2

17.已知雙曲線C：。2—62=1(心0,6>0)的虛軸長為4,直線2x—y=0為雙曲線C

的一條漸近線.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A,B,過點7(2,0)的直線/交雙曲線C于點

M,N(點〃■在第一象限)，記直線MA的斜率為ki，直線NB的斜率為k2,求證：

k\

上2為定值.

一產(chǎn)_V2

18.已知橢圓的左、右焦點分別為離心率為2,設(shè)

p(%o，yo)是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點，尸工的延長線分別交橢圓C于點48,連

接。尸”，小，若%的周長為4后.

(1)求橢圓C的方程；

⑵當(dāng)軸，求△尸/月的面積；

(3)若分別記°P,4B的斜率分別為此，求右X的最大值.

19.已知兩個數(shù)列也｝和也｝的項數(shù)均為P,且對于數(shù)列.”出,…，％,其中％=1,2,…,P,

若存在勿滿足：①V，e｛l,2,…都有生4牝②七e｛l,2,…，切，使得°,=牝則稱

數(shù)列也｝是應(yīng)｝的單極數(shù)列.

⑴已知見eN*,若｛%｝的單極數(shù)列為1,2,2,3,3,3,求滿足條件的包｝的個數(shù).

(2)已知也｝是｛g｝的單極數(shù)列.

⑴若%+2%=左，求％-牝

,〃+1

力/2_(_1尸的,〃為奇數(shù)

an=<?wo

J--(-科，〃為偶數(shù)當(dāng)、T*°2色一“)<1263

(11)右v7，當(dāng)，時，證明.1=1

答案

1.【正確答案】A

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知％+%+%=3%=18,則%=6,

=9（-+佝）==9x6=54

故前9項的和為2

故選A.

2.【正確答案】A

【詳解】因為屋=5+通,

所以以醞=前用+荏）=BACA+BA-AE,

又網(wǎng)=|引=1R=1蟀,荏）=事

F兀Y12兀1

BALE=Ixlxcos—+lx—xcos——=—

所以3234.

故選：A.

3.【正確答案】B

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q，求得的值，再利用等比數(shù)列的求和

公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,若q=l,則^+a5+a6=3ar=S3

,矛盾.

..。4（1-q3）?iQ3（l-q3）3c33

a+a+a

所以，q片1,故456=^^=i-q,則q=2,

_?i(i-<76)

c%(1一/)

S6-l-=(1+

所以,q辦l-q

%(i-q9)%(i-q3)

$9=(1+q3+q6)

l-ql-q

S919s3219

因此，及=丁.恒=正

4.【正確答案】A

【詳解］因為兩條直線4：/島+2=0與4：彳_島+6=0,

所以

所以4與4間的距離為

所以圓心C到直線4的距離為1,

因為直線4被圓截得的弦長為2,

所以圓的半徑為r=Vl2+l2=41,

所以圓C的面積為口2=2兀.

故選：A.

5.【正確答案】B

%2/

/十萬=1(〃>b>0)

【詳解】橢圓方程

則點尸的坐標(biāo)為（〔J"（a,0）,B（0,b）,8（c,0）,

b

k=_b_k"b_-

于是ABa,PF12ac,由心&=%得alac,即6=2c,

_c_V5

e

故q=6,~a~5.

故選：B

6.【正確答案】D

【詳解】以8為原點，BC,BD,8/所在直線分別為X、>、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所不：

設(shè)血f>0,8（。，0,0）,c（：/2,o,oy。（0,亞,0）,A（o,o,t）方=（0,0,T）

5=6灰,0,0CD=（^42,y/2,0^

設(shè)平面的法向量為五=（3,z）,

n-CA=-yflx+/Z=0r-（亞、

<__v2元=W--

則[a8k=_7^+后=0,令x=],得>=1,z-/,故It）.

因為直線與平面《CD所成角的正切值為2,

V5

所以直線48與平面/⑦所成角的正弦值為5.

AB-n\V2

網(wǎng)?同5

即""I，解得％=2.

、

n二

所以平面48的一個法向量47

AB?元

d=

同5

故B到平面/CD的距離為

故選：D

7.【正確答案】A

【分析】先確定兩直線所過的定點A、8的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它

們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可

［詳解］依題意，直線*+叼=°過定點直線M-＞一機(jī)+2=0可整理為

”＞（2-3°,故直線過定點8。，2）,

又因為直線方+吵=°和直線加x-y-機(jī)+2=°始終垂直，p為兩直線交點，

所以&1PB,

則|叫2=陷2+|尸城=（1一0）2+（2-0）2=5

I尸即冏￡J_L_l_L=L_L=5

由基本不等式可得2,

5

\PA=\PB\=—所以必卜網(wǎng)的最大值是2.

當(dāng)且僅當(dāng)2時取等號,

故選：A.

8.【正確答案】A

【詳解】

如圖所示，作0為垂足，則易知平面

過點0作交49于&,則易知平面尸。勺所以尸及即為尸到直線

49的距離.

2

因為尸叱一尸十=25,且PR-PQ2=RQ2=25,所以=

所以點尸的軌跡是以為準(zhǔn)線，點M為焦點的拋物線.

如圖建立直角坐標(biāo)系，則點尸的軌跡方程是好=4x（04、44）,

點“C設(shè)心”所1HL+7”

“16，所以當(dāng)/=8,陷取得最小值2旦

故選：A

9.【正確答案】BC

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛""｝的公差為d,

由$3=S]9得〃14+。15+%6+。17+々18+%9=3（46+。17）=0,

由于4>0,所以d<0,《6>0嗎7<0,所以AD選項錯誤，B選項正確.

s32

32=~^x32=16（g16+a17）=0

C選項正確.

故選：BC

10.【正確答案】AC

【詳解】對于選項A,當(dāng)》=1時，AP=AB+yAAx；

如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時尸在線段8月上，

由于在正方體中，平面“u平面ABCC,

所以選項A正確;

對于選項B,當(dāng)了=1時，"=x4B+AA1,

如圖所示，

由平面向量基本定理，此時尸在線段44上，

由圖可知，三棱錐P-8cA當(dāng)以平面8c〃為底面時幾^為定值，

但因為頂點尸在線段4區(qū)上運(yùn)動，所以P到底面8cA的高不確定,

故三棱錐尸一BCR的體積不是定值，選項B錯誤；

1

X——

對于選項C,當(dāng)2時，如圖所示，

由平面向量基本定理，取N8與中點M,N,則尸在線段VN上運(yùn)動,

由圖可知，過8點且與平面/C"平行的平面為平面A'BCi,

Awn平面48G=尸，所以此時3尸//平面/cn,

又P是MN與交點、,即當(dāng)且僅當(dāng)尸是中點時，有8尸〃平面

故選項C正確；

對于選項D,如圖所示，

以。為原點，DC,DA,OR分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),A(0,2,0),5(2,2,0),C(2,0,0),。(0,0,2),A,(0,2,2),C,(2,0,2),

因為x+y=l,則有4P=x4S+Q_x)44],

又方=(2,0,0),直=(0,0,2),

所以4P=(2x,0,2-2x),

所以P(2x,2,2-2x)

于是可=(2x-2,2,-2x),西=(-2,0,2),

所以GRCR的夾角為60。時有，

cos60。=豆?可=-)-4x1=1

甲H西I7(2X-2)2+4X2+4.2V2萬，

解得x=?；颉?1,

即尸(0,2,2)或尸(2,2,0)都可以使得GP,CR的夾角為60°,

選項D錯誤.

故選：AC.

11.【正確答案】BCD

【詳解】對于A,由（/+/）可得（Y-2）+（?+2）=8-2//,

所以即-2Wx＜2,-24”2,

令y=°，解得x=0,X=2或x=-2；

當(dāng)＞=±1時，得（丁+1）=4『1）,無解；

當(dāng)歹=±2時，得（/+4）=4?-4）,無解；

所以曲線C經(jīng)過整點（2，°＞（一2，°），（°，°）,故A錯;

對于B,由于43°）,Bg。）,則網(wǎng)=2暫

所以尸為雙紐線上任意一點，則E+閥"四，B正確；

對于C,直線尸丘與曲線W+V）=4（x2-/）一定有公共點（o,o）,

若直線了=區(qū)與曲線C只有一個交點，

?+/）2=4（f）2

所以b=丘，整理得X,'（1+”）=4/（1/）無非零實數(shù)解，

1一〃40,實數(shù)人的取值范圍為（f°，T]U[l,+⑹），故c正確；

對于D,曲線方程中x,y互換可得曲線C關(guān)于直線>=x對稱的曲線方程為

（*+#2=4（/7）,故口正確.

故選：BCD.

f5/=1,

12.【正確答案】12，，+1>W-2

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列"J滿足月=2"2-3,

當(dāng)在2時，有％=8-兀=（2/2-3）-（2"+'-3>

當(dāng)”=1時，有％=1=8-3=5,不符合%=2"+:

_J5,H=1,

故""="22.

j5,n=]

故"在2

13.【正確答案】0

【詳解】在四棱柱/次中，底面N8CD是平行四邊形，點E為5。的中點,

所以乖*+荏+而用+方+g而=境+方+g伴+而）一麴+g方+；而

4E—xAAy+y4B+zA.D

,11

x=-l,y=—,z=—

所以22

即x+y+z=O

故答案為.°

14.【正確答案】3石

1^1.3

【詳解】令為=3|叩，則也|,

依題意，圓C：（x-2>+/=9是由點A,。確定的阿波羅尼斯圓，且4=3,

\PA\_，(X+7)2+F

設(shè)點。坐標(biāo)為。(拉，")，貝/0°yl(x-m)2+(y-n)2,

22

229加+79n49—9/w—9n

x+y--------x----y------------c.2?2A工

整理得,44.8，而該圓的方程為Ux+>-4X=5

m=\

〃=0點。的坐標(biāo)為D（1，°）,

2+3

因此閘+3閥|=3附|+3閥訓(xùn)網(wǎng)，當(dāng)此呼時，四|最小，最小值為；F7F

所以當(dāng)時，回+3閥的值最小為3石.

15.【正確答案】（1）與=3",b?=2n+\

⑵”手

【詳解】⑴2s.=3%-l(〃eN),

又2sl=3a“_iTg2)

兩式相減得2%=3%-3%,

即°"-】，故數(shù)列｛"」是以3為公比的等比數(shù)列,

又當(dāng)〃=］時，2s1=2%=3/-1,得q=1,

二.an=3"T

b［=3。］=3b3=dt2+4=3+4=7

’—/一?

；?等差數(shù)列也｝的公差為3-1一2一，

"=2〃+1

2〃+1

c=-----

（2）由（1）可得3"

73572n-l2〃+1

口丁鏟+丁…+五+丫，

13572n-l2n+l

二鏟+三+下+…+與一+亍廠

2T32222n+l1,2n+142n+4

/=§+鏟+*+…+”一行'+:

3"+i33〃+i

上兩式相減得

，Tn=2-竺^

〃3〃

16.【正確答案】(1)證明見解析；

⑵。=2.

【詳解】⑴因為/O//8C,ABLBC,

所以因為平面/BCD,與平面/3C。所成角為45。,

所以/P/M為尸。與平面所成角，即/尸加=45。，

則尸Z)==a(a>1),又4D,4Bu平面ABCD,

所以PAIAD,PAIAB

所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/一位,

X

^(0,0,0),5(1,0,0),￡O,p-|j,P(O,O,?),D(O,a,O),C(1,1,0)

則由題

屜+1,盹匹=(0,風(fēng)一叫正=(1,1,-4)A8=(1,0,0)

所以

1aa22

BEPD=?(0,a,—a)=——?—=0

V722

所以’2’2

所以礪，與，BPBE1PD.

(2)設(shè)平面/8E的法向量為：=Q,y,z),

r_f_aa

hX.BE"BE=Q|-^+yy+-z=0

則［五J_48,所以［萬.48=0,所以由(i)得［x=0

取了=T,則為=(°，T/)，又直線PC與平面所成角為60。,

所以sin60°=?cosn,PC\?=同岡=/—,

_Q+1_A/3

12a2+42,解得q=2.

/2

17.【正確答案】（1）N—4=i（2）證明見詳解

【詳解】（1），??虛軸長為4,；.26=4,即6=2,

???直線2x—?=0為雙曲線C的一條漸近線，

b

:。=2,

了2

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為%2-41.

（2）由題意知,4（一1,0）,8（1,0）,

由題可知，直線/的斜率不自,故可設(shè)直線/的方程為％=行+2,

設(shè)M(xi，ji),Ng,y2)>

聯(lián)立

得(4"2—1)就+16”了+12=0,

16〃

??y\+及=—4〃2-1,

12

yxyi~4,2一1,

3

乃/2=_4&1+及)，

?.?直線MA的斜率禽=xl+l,

-2

直線NB的斜率左2=苫2—1,

3

—~(yl+y2)+y1

k\nyly2+yl

k2===nylyl+3y2=

_.

—y2~1

18.【正確答案】（1）2

372

⑵5

（3廠2"

22

^a-b=V|4a=4&

【詳解】（1）由題意：a2'

可得：a=0b=',

2

X21

—i-y=]

故橢圓方程2-；

（2）設(shè)4（X1%）風(fēng)町必）,

-_vi

當(dāng)根二時，由大（T°），耳（1，°），P在第一象限，可得“'%=三,

P（1'9,故求得直線力方程為2岳=x+l,

即

242y=x+1

聯(lián)立方程,+2/=2,得（2岳-1了+=2,

_mZB10/_4岳一1=0,凹+匕=坪加=一白

整理得1010,

IIr--------.------------V72372

I必一歹2I=，（必+>2）~^y\yi=~io~=~^~

Q|_1o3V2_3A/2

=

SPAp=-y,~y?\—x2x-----=------

所以M2I1211^1/21255

（3）設(shè)，（久1%）同叼必）,因為P（￡（M）在橢圓C上,故x；+2泣=2

PA-.y=^-（x+\},PB-.y=^-（x-1）

由題意與+1%―1

%

y=（X+1）

無0+1

22

故將直線尸/與橢圓C聯(lián)立方程〔x+2y=2

--|2

x2+2-^（x+1）=2

代入可得

3XQ+4XQ

整理可得：（2%+3*+4/%_3%：_4%o=0,所以°12%+3,

即2%+32x0+3,即I2x0+32x0+37

Y（一）

2

同理：將直線必與橢圓C聯(lián)立方程〔x+2/=2

2

x2+2心（1）=2

代入可得Ao1_

=3x；一仇

22

（3-2x0）x-4y0x+4x0-3x\=0；所以」〈一2x0-3,

整理可得:

_3/-4_%3%-4%

x2~、r，%一B

2%—32XQ—32XQ3

即2/T即

%?歹。

二2%-32%+3=4%%二