2024-2025學(xué)年福建省廈門市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試題

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼

的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合人={x|y=Vx2_5}，8={°，L2,3,4},貝!]/門3=()

A.{0,1}B.{1,2}c.{2,3}D.{3,4}

2.（5分）已知0>1,10g46Z+10ga2=—,則。的值可以為（)

2

A.3B.4c.6D.8

3.（5分）已知sinx=，11r3,cosx=4-2m,且xe(32L,2兀），則tanx=（）

m+5m+52

m3

A.-B.且C.Ang-?3D.

4-2m121244

121

4.(5分)a=c|)、,b=F,。=惇）?，則a,b,(的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.a>b>cC.a>c>bD.b>c>a

5.(5分)命題夕mxdR,N+Za+lWO是假命題，則實數(shù)6的值可能是()

A.苴B.C.2D.?

222

6.(5分)已知/G)是定義在R上的偶函數(shù)，且/G)在[0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，則()

A-f(-72)<f(7l)<f(0)B-f(H)<f(0)<f(-72)

1

c-f(0)<f(K)<f(-72)D-f(-72)<f(0)

7.（5分）已知函數(shù)/（x）=N-2在［5,20］上不單調(diào)，則實數(shù)左的取值范圍是

A.(-oo,6]B.[21,+oo)

C.(-oo,6]U[21,+oo)D.(6,21)

logix,x>0

8.（5分）已知函數(shù)f（x）匚,函數(shù)g(x)=x2,若函數(shù)>=/(x)

15x40

T,

g（x）有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為)

A.(5,+oo)B.(5,號)C.(5,當(dāng))D.(5,號]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.（6分）下列說法正確的是（）

A.若函數(shù)/（%）=2%+%-4的零點所在區(qū)間為（k,左+1）1￡Z）,貝1」左=1

B.函數(shù)^=。然+2-2的圖象恒過一定點，這個定點是（-1,-1）

C.牛|>帆”是“%>y”的必要條件

D.“加<0”是“關(guān)于X的方程N-2x+加=0有一正根和一負(fù)根”的充要條件

10,（6分）已知6VQ<0,則下列選項正確的是（

A.a2>b2B.a+b<.abC.\a\<\b\D.ab>b2

11.（6分）已知定義在R上的奇函數(shù)/（x）滿足/（x+2）=-/（%）,且當(dāng)x￡[2,4）時，/

(x)=|2x-6|-2,則()

A.f(x)=f(x+4)

B./（x）在（-1,1）上單調(diào)遞減

C./(2024.5)=1

D.函數(shù)g(x)=2f(|x|)-|log2|刈恰有8個零點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）若一個半徑為2的圓剪去一個圓心角為108。的扇形，則剩余部分的周長

是

x^-2x+l,x42

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=,

log2(x+4),x>2

（1）川（-1）]=

(II)若八a)=4,則q

14.(5分)當(dāng)今各網(wǎng)絡(luò)銷售平臺通常會提供上門回收舊家具服務(wù).平臺工作人員小牛正在回

收某客戶淘汰的舊家具，為了省力，小牛選擇將舊家具水平推運(舊家具背面水平放置于

帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于舊家具背面).已知舊家具的形狀為長方體.小牛在

推運過程中遇到一處直角過道，如圖所示，過道寬為1.8米.記舊家具在地面的投影為矩

形EFGH,其中寬度￡8=1.2米.請幫助小牛得出結(jié)論：按此種方式推運的舊家具，可以

通過該直角過道的最大高度M為米(結(jié)果精確到0.1米).

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)設(shè)二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+3(a,6CR).

(1)若不等式/(%)>0的解集為(-3,1),求a、b的值；

(2)若/⑴=4,a>0,b>0,求生+目的最小值；

ab

16.(15分)已知函數(shù)/(%)=4sin(3x+(p)(4>0,co>0,|(p|<K)的部分圖象如圖.

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(II)將函數(shù)/G)的圖象向左平移衛(wèi)-個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到

17.(15分)函數(shù)/(X)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)近0時，/(x)=-^-

x+1

(I)判斷函數(shù)/(x)在［0,+00)的單調(diào)性，并給出證明;

(II)求函數(shù)/(x)的解析式；

(Ill)若對任意的1],不等式/K)4y⑵-25-3)>0恒成立，求實數(shù)人

的取值范圍.

18.(17分)某旅游風(fēng)景區(qū)發(fā)行的紀(jì)念章即將投放市場，根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計每枚該紀(jì)念

章的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：

上市時間X天2620

市場價V元10278120

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價y與上市時

間x的變化關(guān)系并說明理由：@y=ax+b；?y=ax2+bx+c；③y二包十⑶

x

(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格；

(3)利用你選取的函數(shù)，若存在xG(10,+oo),使得不等式"lL_k40成立，求實數(shù)

x-10

人的取值范圍.

f[(x),f1(xXf2(x)

19.(17分)定義函數(shù)f(x)=,

f2(x)?f1(x)>f2(x)

x-1

⑴設(shè)函數(shù)f[(x)=4，f2(x)=(y)(X>0)-求函數(shù)產(chǎn)/(x)的值域；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=lg(|p-x|+1)(0<p€R),f2(x)=l，(0<x4/)，

當(dāng)0<x4/時，恒有/(X)=fl(x)成立，求實常數(shù)P的取值范圍；

|x-pl

(3)設(shè)函數(shù)力6)=2向，f2(x)=3-2,p為正常數(shù)，若關(guān)于x的方程/(x)

m(機為實常數(shù))恰有三個不同的解，求0的取值范圍及這三個解的和(用〃表示).

數(shù)學(xué)試題

答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合人={x|yWx2_5}，8={°，L2,3,4},貝U/03=（）

A.{0,1}B.{1,2}C.{2,3}D.{3,4}

【考點】求集合的交集.

【正確答案】D

【分析】由集合的性質(zhì)和交集的運算求出即可.

解：由題意得/-5川，則有A=（-8,-依）U［通，?），

所以/1"13={3,4}.

故選：D.

【點評】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）已知。>1,k>g4a+log“2=菅，則。的值可以為（）

A.3B.4C.6D.8

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【正確答案】B

【分析】利用對數(shù)換底公式，對數(shù)方程，利用代數(shù)變換求解未知數(shù)，然后利用對數(shù)的基本

性質(zhì)求解即可.

解：由題意可得_1_=1,

2log2a2

設(shè)10g2Q=X,

可得三

2x2

解得Xl=l或X2=2,

所以log2fl=l或log2O=2,

所以a=2或4.

故選：B.

【點評】本題考查了對數(shù)換底公式的應(yīng)用，考查了對數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)已知sinx=:m-3cosx=,且、￡27i),則tanx=()

m+5m+52

A.m-WB.-Lc.旦或-3D.這

4-2m121244

【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系.

【正確答案】D

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.

解：已知sinx=^士，cosx=4一加,且工仁（3"2兀），

m+5m+52

又sin2x+cos2%=1,sinx<0,cosx>0,

則m2-8m=0,

即m=0或m=S（舍），

則sinx=-|-'COST=A,

DD

3

即tawfuSinx

cosxA4

5

故選：D.

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

J_2_J_

4.（5分）2=心）3,b=（-1-）3,C=A）3,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

333

A.c>a>bB.a>b>cC.a>c>bD.b>c>a

【考點】對數(shù)值大小的比較；指數(shù)函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【正確答案】C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷求解.

1

解：因為函數(shù)>=乂1在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以a>c,

又函數(shù)y=（4），是單調(diào)遞減函數(shù)，則6<c,

所以a>c>b,

故選：C.

【點評】本題考查了幕函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）命題夕mxdR,爐+加+：0是假命題，則實數(shù)6的值可能是（）

A.苴B.衛(wèi)C.2D.$

222

【考點】存在量詞命題真假的應(yīng)用.

【正確答案】B

【分析】由題意可知，-p：12+樂+1>0是真命題，所以A<0,從而求出6的取

值范圍.

解：二?命題p：N+bx+iq)是假命題，

-p：Vx￡R,N+6X+I>0是真命題，

?-2一4<0,

解得-2V6V2,

...實數(shù)6的值可能是-3.

2

故選：B.

【點評】本題主要考查了特稱命題的否定，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)已知/G)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x)在［0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，貝U()

11

A-f(-72)<f(7l)<f(0)B-f(H)<f(0)<f(-72)

c-f(0)<f(n)<f(-72)D-f(-72)<f(0)

【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【正確答案】D

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可得-x)=f3,再結(jié)合f(x)在［0,+00)內(nèi)單調(diào)遞減，可

得結(jié)論.

解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，可得/G)=/(-%),

11

/(_?2)=/(y2),

1

由于72G(2,3),兀>3,

1

則o<7r<兀，

由/(x)在［0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，

1

可得/(o)>/(7r)>/(兀)，

1

即有兀)</(-/5)<f(0).

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查運算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=，-2(左-l)x-8在[5,20]上不單調(diào)，則實數(shù)后的取值范圍是

A.(-co,6]B.[21,+oo)

C.(-00,6]U[21,+oo)D.(6,21)

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【正確答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)=x2-21)X-8在[5,20]上不單調(diào)，可得函數(shù)/(X)的對稱

軸x=A-l屬于區(qū)間(5,20),從而解出左的取值范圍即可.

解：根據(jù)題意，二次函數(shù)/G)=x2-2(左-1)x-8的對稱軸為1,

?函數(shù)/(x)=N-2在[5,20]上不單調(diào)，

：.5<k-1<20,BP6<k<21.

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，考查學(xué)生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

'log]x,x>0

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=|2,函數(shù)g(x)=H若函數(shù)y=/(x)-

a|x卷背,x<0

g(x)有3個零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.⑸+00)B,⑸號)C,(5,->)D.(5,學(xué)

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【正確答案】B

【分析】當(dāng)x>0時，y=log]X與g(X)=%2有1個交點.

要使函數(shù)(%)-g(x)有3個零點，只需：x<0時，y=a\x+^\~[且與g(x)=N有

24

兩個交點即可，結(jié)合圖象即可求解.

解：當(dāng)x>0時，歹=log]X與g(%)=N有1個交點.

要使函數(shù)歹=/(x)-g(X)有3個零點，

只需：爛0時，y=a\x+^]--g(x)=/有兩個交點即可(如圖).

24

過點(-工，--)作g(x)=x2(x<0)的切線，設(shè)切點為(冽，m2)

24

切線方程為y-/=2加a-%）,把點（-工，代入上式得m=-1,

242

切線斜率為2加=-5.

a（0+-1）-11<0,解得0<正，

242

實數(shù)。的取值范圍為（5,比）.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.（6分）下列說法正確的是（）

A.若函數(shù)/（x）=2'+x-4的零點所在區(qū)間為（k,左+1）1GZ）,貝U左=1

B.函數(shù)>=小計2-2的圖象恒過一?定點，這個定點是（-1,-1）

C.“國>例”是的必要條件

D."%<0"是“關(guān)于x的方程r-2x+m=0有一正根和一負(fù)根”的充要條件

【考點】函數(shù)零點的判定定理；充分條件與必要條件；命題的真假判斷與應(yīng)用；指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性與最值.

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)零點存在定理、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、及二次函數(shù)根的分

布可判斷各選項.

解：對于出函數(shù)/（x）是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)最多存在一個零點，且/（I）=241-4=-

1<0,/（2）=22+1-4=1>0,由函數(shù)零點存在定理可得，函數(shù)的零點在區(qū)間（1,2）內(nèi)，

故左=1.所以/正確；

對于2：函數(shù)了=於^2-2,令2x+2=0,得x=-1,此時>=0。-2=-1,

函數(shù)尸小什2-2的圖象過定點(-1,-1),所以3正確；

對于C：。>y"推不出“慟>伙|"，所以。錯誤；

、、fA>0

對于。：方程N-2x+/M=0有一正一負(fù)根(設(shè)為Xl,X2)等價于J，

x?x2=m<0

即"7<0,

貝廣加<0"是“關(guān)于x的方程X?-2x+%=0有一正一負(fù)根”的充要條件，所以。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)以及一元二次方程根

的分布及充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.

10.(6分)已知6<a<0,則下列選項正確的是()

A.a2>b2B.a+b<abC.|a|<|Z?|D.ab>b2

【考點】不等關(guān)系與不等式；等式與不等式的性質(zhì).

【正確答案】BC

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)解題.

解：'：b<a<Q.

.'.b2>a2,錯誤.

Va+b<0,ab>0,...B正確.

■：\a\<\b\,，C正確.

'：ab<b2,錯誤.

故選：BC.

【點評】本題主要考查不等式成立的簡單證明，屬于基礎(chǔ)題.

11.(6分)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=-/(x),且當(dāng)xd[2,4)時，/

(x)=|2x-6|-2,則()

A.f(x)=f(x+4)

B.y(x)在(-1,i)上單調(diào)遞減

C.f(2024.5)=1

D.函數(shù)g(x)=2/,(|x|)-|log2|刈恰有8個零點

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)的奇偶性.

【正確答案】AC

【分析】對于選項4,由已知可得了(x+4)=-f(x+2)=f(x)；對于選項5,由已知條

件作出了(x)的部分圖象可判斷；對于選項C,結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷；對于選項。，

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，作出y=/(x)與y1|logox|在(°，+8)上的圖象，觀察兩者的交

點個數(shù)即可.

解：已知定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/G+2)=-/(%),且當(dāng)x￡[2,4)時，/G)

=\2x-6\-2,

對于選項A,

由f(x+2)=-f(x),

得/(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即選項A正確；

對于選項5,當(dāng)x￡[0,2)時，x+2￡[2,4),

則/(x+2)=\2x-2|-2=-f(x),

得/(x)=-|2x-2|+2,

畫出/(x)的部分圖象如圖所示.

4,

I>

A2\AA__Ak-K-/

/\A\I/\/\/\/\/

jJX，乂▲夕=*?才3力，ASRiiAA樂'樂A央：

/\/\T1'\f\\\\/

—4?

由圖可得/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，

即選項2錯誤；

對于選項C,f(2024.5)=/(4x506+0.5)=/(0.5)=-/(2.5)=-|5-6|+2=1,

即選項C正確；

對于選項。，因為g(-x)=2fC\-x\)-|log2|-x||=2/-(|x|)-|log2|x||=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時，令g(x)=0,

得f(x)[|log2x上

畫出函數(shù)y4|log2X|的圖象，

因為。|log2"|>卷|1上216|=2,

N乙N乙

所以/(x)與y」|log|在(0,+8)上的圖象只有8個零點，

根據(jù)函數(shù)奇偶性可得g(x)恰有16個零點，

即選項。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，重點考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)若一個半徑為2的圓剪去一個圓心角為108。的扇形，則剩余部分的周長是

【考點】弧長公式；扇形面積公式.

【正確答案】

5

【分析】由角度與弧度的互化公式，求出剩余部分扇形的圓心角，然后由弧長公式求解即

可.

解：由題意可知，剩余部分仍然是一個扇形，圓心角為252。，即衛(wèi)L,

5

所以剩余部分的周長為二三*2+2X2=4+14兀?

55

故產(chǎn)

D

【點評】本題考查了角度與弧度的互化公式的應(yīng)用，扇形的弧長公式的應(yīng)用，考查了邏輯

推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.(5分)已知函數(shù)/(無)=:>-2x+Lx<2

log2(x+4),x>2

(D/EfC-l)1=3；

(II)若/(a)=4,則a=-1或12.

【考點】函數(shù)的值.

【正確答案】(1)3.

(II)-1或12.

【分析】(I)由題意利用分段函數(shù)的先求出/(-I)的值，可得要求式子的值.

(II)由題意，分類討論。的范圍，可得a的值.

解：(I)函數(shù)/(x)=1'1)=1+2+1=4,

log2(x+4),x>2

/[/■(-1)]=/(4)=log28=3,

故3.

(II)f(a)=4,貝!bW?①或,”>2,②,

-2a+l=4[log2(a+4)=4

解①可得a=-l,解②可得a=12,

故-T或12.

【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）當(dāng)今各網(wǎng)絡(luò)銷售平臺通常會提供上門回收舊家具服務(wù).平臺工作人員小牛正在回

收某客戶淘汰的舊家具，為了省力，小牛選擇將舊家具水平推運（舊家具背面水平放置于

帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于舊家具背面）.已知舊家具的形狀為長方體.小牛在

推運過程中遇到一處直角過道，如圖所示，過道寬為1.8米.記舊家具在地面的投影為矩

形EFGH,其中寬度9=1.2米.請幫助小牛得出結(jié)論：按此種方式推運的舊家具，可以

通過該直角過道的最大高度M為2.6米（結(jié)果精確到0.1米）.

【考點】三角函數(shù)應(yīng)用.

【正確答案】2.6.

【分析】延長跖與直角過道的邊相交于〃、N,由EF=MN-ME-NF表示出EF,設(shè)

t=sinp+cosP=V2sin(B+■1-)進行換元，利用單調(diào)性即可求解,

解：依題意設(shè)/尸HG=B，BW(0,2Ly延長環(huán)與直角過道的邊相交于/、N,

則ZOMH=NNGF=p,

所以MN=0M~HJN=曰+L〉肝+叱，F(xiàn)N=1.2tanP，

sinpcosptanp

又EF=MN-ME-NF,

urneI.8,1.8,c八o,1、1.8(sinP+cosP)-1.2

如EF「~~廣"!----Q—1.2(.tanp+-~p~)=-------;―o-----o-------，

sinpcosPtanpsmpcosp

JT

(0,—)?

7T

設(shè)t=sinB+cosB=V2sin(P

因為BE(0,￡)，所以令，等

)，

所以t€(1,V2],

貝IjEF,l-8t-1.26Xy2,

f(t2-l)5t2-l

再令加=3L2,m€(1，3A/2-2],

則EF-1x——-第X―—,m€(1,372-2],

b,rmn_+z9_x4bm—b+4.

31m

因為y=m-$+4在(1，啦-2]上單調(diào)遞增，且了=以-旦+4〉0，

mm

又y」在(0,+00)上單調(diào)遞減，

X

所以丫年?一—在(1,3V2-2]上單調(diào)遞減，

55,

m—+4

m

故當(dāng)m=3芯-2，BPt=V2>8?時，￡廠取得最小值型返二1232.69，

45

由實際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的家具的高度的最大值為2.6米.

故2.6.

【點評】本題考查了三角函數(shù)在生活中的實際運用，考查了轉(zhuǎn)化思想及三有恒等變換，屬

于中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)設(shè)二次函數(shù)/(x)^ax2+bx+3(a,6CR).

(1)若不等式/(%)>0的解集為(-3,1),求a、b的值；

(2)若/(I)=4,a>0,b>0,求國十殳的最小值；

ab

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；一元二次不等式及其應(yīng)用；基本不等式及其應(yīng)用.

【正確答案】（1）a=-1,b=-2.

(2)25.

【分析】（1）分析可知關(guān)于x的二次方程辦2+云+3=0的兩根分別為-3、1,利用韋達(dá)定

理可求得實數(shù)。、b的值;

（2）由已知可得出。+6=1,將代數(shù)式當(dāng)十旦與相乘，展開后利用基本不等式可求得

ab

當(dāng)"的最小值.

ab

解：（1）由題意可知，關(guān)于X的二次方程ax2+6x+3=0的兩根分別為-3、1,且。<0,

-3+1=--

a

a=-l

所以-3x1=-T解得

ab=-2

,a<0

(2)因為a>0,b>0,/(1)=a+6+3=4,可得a+6=l,

所以，--*7-=(-(a+b)=13+—13+2J-=25-

abababVab

(2

當(dāng)且僅當(dāng)J2b=3a時，即當(dāng),:時，等號成立，故生的最小值為25.

(a+b=1,1ab

【點評】本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了基本不等式應(yīng)

用問題，是基礎(chǔ)題.

16.（15分）已知函數(shù)/'（X）=/sin（cox+（p）（4>0,o>0,|（p|<7r）的部分圖象如圖.

（I）求函數(shù)/（x）的解析式；

（II）將函數(shù)/G）的圖象向左平移看個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到

原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間.

【考點】函數(shù)y=Asin（o）x+（p）的圖象變換；由y=Asin（3x+（p）的部分圖象確定其解析

式.

【正確答案】(I)/(x)=2sin(2x-A)；(II)［浮+4k兀，4k兀打豈&GZ).

333

【分析】(I)直接利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式；

(II)利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用函數(shù)

的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

解：(I)根據(jù)圖象的性質(zhì)，

所以/=2；

T5幾兀n

萬T丁

整理得：T=n,

故3=2;

當(dāng)-時，f(-ZL)=2sin(Z三期)=0,

333

2兀5兀

-：--+^T：-—一

由于闡〈冗,

所以(P=2L或工；

33

故函數(shù)/(x)=2sin(2x一2兀)或/(x)=2sin(2%+2-)；

33

2兀.5兀

當(dāng)工=」——時，/(x)=2sin(2X+2L)取不到最大值而是取得最小值，故舍

2123

去；

故/(x)=2sin(2X^2L).

(II)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移工個單位后，得到y(tǒng)=2sin(2x—)的圖象，y再

63

將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變得到g(x)=2sin(lxJL)

23

的圖象，

令與+2k兀<^xT<2k兀*ez)；

整理得：等+4k?！秞<4k冗-用梟ez)；

OO

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［且L+4k7T,4k兀三"ez).

33

【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的確定，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮

變換的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于

基礎(chǔ)題.

17.(15分)函數(shù)/G)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)后0時，/(x)=二-.

x+1

(I)判斷函數(shù)/G)在［0,+oo)的單調(diào)性，并給出證明；

(II)求函數(shù)/(x)的解析式；

(III)若對任意的1］,不等式/(后-Z2)⑵--3)>0恒成立，求實數(shù)發(fā)

的取值范圍.

【考點】函數(shù)恒成立問題；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【正確答案】(I)/(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞減，證明見解析；

洋X>°

（II）f（X）

導(dǎo)X<0

(III)(-co%

【分析】(I)利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；

(H)利用奇函數(shù)的定義以及已知的函數(shù)解析式，先求出xVO時的解析式，即可得到/(x)

的解析式；

(III)先利用奇函數(shù)的定義將不等式進行變形，然后利用函數(shù)/(X)的單調(diào)性去掉了‘，轉(zhuǎn)

化為左<3/2-2什3對任意的/引-1,1］恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，即可得到

人的取值范圍.

解：(I)/(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞減.

證明如下：

當(dāng)歸0時，f(x)—~x,

x+1

設(shè)0Svi<X2,

r,X<XnXn-X<

則f(X1)-f(X2)=——

1+

/x［+1x2l(X］+1)(X2+D

因為OSX1VX2，

所以％2-Xl>0,（xi+1）（X2+1）>0，

故/（xi）-f（X2）>0，即/（Xl）>f（X2），

所以f(x)在［0,+00)上單調(diào)遞減;

(II)令x<0,則-x>0,

又當(dāng)xK)時，/(x)=x,

x+1

所以/(-x)=Lx)=x,

-x+1l-x

因為/(x)為R上的奇函數(shù)，

所以f(X)=-/(-X)=—^―

X-1

即x<0時，f(x)=X-,

X-1

工，x>0

（III）因為對任意的［-1,1］,不等式f（k-t2）+f（2z-25-3）＞0恒成立，

即/（左-5）〉一/（2-2祥-3）對任意的￡［-1,1］恒成立，

因為/（x）為奇函數(shù)，

貝丫（后―2）＞/（-2什2?+3）對任意的ze［-1,1］恒成立，

因為/（x）在［0,+oo）上單調(diào)遞減，且/G）為奇函數(shù)，

則/（x）在（-00,0）上單調(diào)遞減，

故/（x）在R上單調(diào)遞減，

所以后-祥＜-2/+25+3對任意的/e［-1,1］恒成立，

即左＜3F-2什3對任意的史［-1,“恒成立，

因為y=3t2-2t+3=3（t4-）2-ki,

OO

所以當(dāng)/=工時，函數(shù)夕=3d-2什3取得最小值名,

33

則

3

故實數(shù)后的取值范圍為（-8,1）.

【點評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，奇函數(shù)定義的理解與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明

以及函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問題的求解，要掌

握不等式恒成立問題的一般求解方法：參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔

題.

18.(17分)某旅游風(fēng)景區(qū)發(fā)行的紀(jì)念章即將投放市場，根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計每枚該紀(jì)念

章的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下:

上市時間X天2620

市場價V元10278120

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價y與上市時

間x的變化關(guān)系并說明理由：?y=ax+bi?y=ax2-+bx+c-,③生

X

(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格；

(3)利用你選取的函數(shù)，若存在xG(10,+oo),使得不等式工1立_卜<0成立，求實數(shù)

x-10

人的取值范圍.

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【正確答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果；

(2)把三個點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到a,b,c的值，從而得到函數(shù)解析式，再利用

二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；

(3)把存在問題轉(zhuǎn)化為最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)g(x)的最值即可.

解：(1)：隨著時間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個函數(shù)中y=ax+6

X

顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，

選擇y=ax2+bx+c；

(2)把點(2,10,),(6,78),(20,120)代入y=ax2+bx+c中，

(1

4a+2b+c=102a節(jié)

得,36a+6b+c=78，解得|卜_

b-1U

=

L400a+20b+c120c=120

1n1n

y4x-10x+1204(x-10)+70

.?.當(dāng)x=10時，y有最小值%加=70,

故當(dāng)紀(jì)念章上市10天時，該紀(jì)念章的市場價最低，最低市場價為70元；

(3)由題意，令g'(x)=f(x)小金_10)+70，

x-102,Jx-10

若存在Xd(10,+00)使得不等式g(x)-KO成立，則須應(yīng)g(X)mirl,

又工(x-10)->2底，當(dāng)且僅當(dāng)x=10+2/而時，等號成立，

2x-10

所以k>2V35.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際運用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，是中檔題.

fl(X),f.(x)《f2(x)

19.(17分)定義函數(shù)f(x)=，、

］f2(x)?f［(x)>f2(x)

x-1

(1)設(shè)函數(shù)fl(x)=4，f2(x)=4)(x>0)-求函數(shù)y=/(x)的值域；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=lg(|p-x|+l)(0<pER)，f2(x)(0<x4,)，

當(dāng)0<x4/時，恒有/(X)=力(X)成立，求實常數(shù)p的取值范圍；

|x-pl

(3)設(shè)函數(shù)f［(x)=2向，f2(x)=3?2,p為正常數(shù)，若關(guān)于x的方程f(x)

=m(%為實常數(shù))恰有三個不同的解，求p的取值范圍及這三個解的和(用p表示).

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)與方程的綜合運用；函數(shù)的值域.

【正確答案】⑴(0,1)；

(2)I］；

22

3p~logo3

(3)p￡(log23,+8)；三個解的為,或------~.

【分析】(1)由題意可得力(x),fl(x)在［0,+00)上單調(diào)遞增，且有力(1)=fi(1)=

1，分00x01和x>l分別求出/(x)的解析式，再求出值域即可；

(2)由題意可得P電(x)minP>h(x)max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出g(X)min,h(X)

max即?

(3)分立0、0<x<p,分別求出/(%)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及/(x)=m(m

為實常數(shù))恰有三個不同的解，求解即可.

解：(1)因為力(1)=1,fi(1)=1,

又因為力(%)=4在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

fi(x)=g)xT在［0,+co)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)00爛1,力(x)<fi(x),

此時/(%)=力(%)=4引0,1］,

當(dāng)%>1時，力(x)>fi(x)=(0,1),

綜上所述，函