2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末《壓軸題》含答案解析

專(zhuān)題02高一上期末真題精選（壓軸66題7個(gè)考點(diǎn)專(zhuān)練）

4*

>【題型1］集合及其運(yùn)算中的新定義題（1類(lèi)考點(diǎn)）

>【題型2】一元二次不等式中的恒成立與能成立問(wèn)題（2類(lèi)考點(diǎn)）

>【題型3］二次函數(shù)的最值問(wèn)題（2類(lèi)考點(diǎn)）

>【題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式（3類(lèi)考點(diǎn)）

>【題型5】雙變量問(wèn)題（含指數(shù)，對(duì)數(shù)，三角函數(shù)）（2類(lèi)考點(diǎn)）

>【題型6】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（2類(lèi)考點(diǎn)）

>【題型7】三角函數(shù)（4類(lèi)考點(diǎn)）

c/T］考叵］猜回________________________________________________________

01集合及其運(yùn)算中的新定義題d類(lèi)考點(diǎn)）

考點(diǎn)01集合及其運(yùn)算中的新定義題

1.（2023上?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）若集合A同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）OeA,leA；（2）若x,yeA,

則x-yeA；（3）若xeA且xwO,則則稱(chēng)A為“好集”.已知命題：①集合是好集；②對(duì)

任意一個(gè)“好集”4若貝伊+yeA.以下判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

2.（2023上?遼寧本溪?高一校考期末）設(shè)尸和。是兩個(gè)集合，定義集合尸-Q={x|xeP,且彳e。}.如果

尸={彳現(xiàn)2尤<1},2={%||%-2|<1},那么P_Q=（）

A.1x|0<x<l}B.1x|0<x<l!

C.1x|l<x<2}D.{x|2Vx<3}

3.（2021?浙江?高一期末）設(shè)［x］為不超過(guò)x的最大整數(shù)，記函數(shù)國(guó)刈，x^［n,n+l）,〃eN*的值域

為A,集合8是集合A的非空子集，對(duì)于任意元素如果女-1e3,且上+1e3,那么％是集合B的

一個(gè)“孤立元素”，若集合A的所有子集3中，只有一個(gè)“孤立元素”的集合B恰好有6個(gè)，則正整數(shù)”的可

能值為（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2021上?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）對(duì)于集合A,B,我們把集合{x|xeA且x史碼叫做集合A與8的差

集，記作人一&若A={x|ln尤V21nG},B={x|x>l},則4-3為（）

A.{x|x<l}B.{x[0<x<l}C.{x|lWx<3}D.1x|l<%<3}

[X,XGP

5.（2。22.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)〃龍）=一”/其中尸,.為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定

f\P)={y\y=f(x),xeP},f(M)={y\y=f(x),x^M},給出下列四個(gè)判斷:

①若PcM=0,則/（p）n/w）=0；

②若尸CMW0,則/（p）cv（M）#0；

③若尸5W=R,則/(P)U/(")=R；

④若PuMwR,則/(P)U/(")wR.

其中正確判斷有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

02一元二次不等式中的恒成立與能成立問(wèn)題（2類(lèi)考點(diǎn)）

考點(diǎn)01一元二次不等式中的恒成立問(wèn)題

1.（2023上?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期末）已知對(duì)一切工￡[2,3],丁￡[3,6],不等式儂2_孫+,220恒成立,

則實(shí)數(shù)次的取值范圍是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

2.（2023下?河南新鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末）“叫2。<2”是，對(duì)任意了€（-1,+<?）,尤2+（4-“卜+4-4>0恒成立”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

("2)4+("2)2=2022

3.（2023上?江西新余?高一統(tǒng)考期末）已知a/eR,且加b,滿足<若對(duì)于任

伍-2『+伍-2)2=2022

意的xe[3,6],均有及2+2尤wa+b成立，則實(shí)數(shù)/的最大值是（）.

4.（2023上?浙江金華?高一浙江省東陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)〃尤）=加+，-。，當(dāng)

時(shí)，〃尤）2恒成立，則a+b的最大值為.

5.（2023上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)7=xeR

⑴證明/（x）是增函數(shù)；

（2）若不等式3"2（x）+“〃x）川對(duì)于也近1,2]恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

考點(diǎn)02一元二次不等式中的能成立問(wèn)題

1.（2022上?北京朝陽(yáng)?高三對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）校考期末）若命題“*eR,

使（a2-3a+2）x2+（a-l）x+2<0”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

2.（2019上?陜西商洛高二?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式d-4x+l-機(jī)>0的區(qū)間[1,4]內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)加的

取值范圍為

3.（2020上?山東威海?高一統(tǒng)考期末）若*e（-2,-1）,使不等式-根2）甲+2,+1>0成立，則實(shí)數(shù)加的

取值范圍為.

X

4.（2022上.四川南充?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（無(wú)）=/>0).

%?+k

（1）若不等式F（x）—機(jī)>。的解集為卜|X<-2或X>-1},若不等式加2+X+初7>0的解集;

⑵若玉』；,2],使得成立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

5.（2022下?河北衡水?高二河北武強(qiáng)中學(xué)統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)式的=爾+云+c（a#））,滿足式x+2）—Ax）

=16尤且八0)=2.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若存在Xd［l,2］,使不等式兀v)>2x+%成立，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

03二次函數(shù)的最值問(wèn)題(2類(lèi)考點(diǎn))

考點(diǎn)01動(dòng)軸定范圍

1.(2022上?新疆哈密?高一?？计谀?=l-2a-2acosx-2sin12x.

⑴若a=l,求的值域；

(2"(力最小值為g(a)(aeR),若g(a)=g,求。及此時(shí)的最大值.

2.(2023上?寧夏銀川?高一銀川唐徐回民中學(xué)?？计谀?設(shè)函數(shù)〃司=/-2依+3.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)〃尤)在區(qū)間［-2,3］的最大值和最小值：

⑵設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［-2,3］的最小值為g⑷，求g(a).

考點(diǎn)02定軸動(dòng)范圍

1.（2023上?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)/（力滿足/（x）=/（4—x）,/（2）=/（1）-1,若不等

式/（x）V-2x+2有唯一實(shí)數(shù)解.

⑴求函數(shù)“X）的解析式；

⑵若函數(shù)“X）在山+1］上的最小值為g⑺.

⑴求g（。;

04根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式（3類(lèi)考點(diǎn)）

考點(diǎn)01根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（小題）

1.（2023上?河南南陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）已知/（x+1）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的1＜年＜三，都有

（占-9）［/（占）-〃%）］＜0恒成立，則關(guān)于x的不等式/（2x）＞/（x-l）的解集為（）

A.B.(-l,+oo)

C.(-14)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

2.（2023下?甘肅白銀?高二?？计谀┮阎x在R上的函數(shù)在（f,3］單調(diào)遞增，且/（x+3）是偶函

數(shù)，則不等式/（x+l）＞〃2x）的解集為（）

A.B.(-℃,1)C.(。,1)D.(L+s)

（下?北京東城?高二北京二中?？计谀┮阎瘮?shù)=二，

3.2023xeR,若對(duì)任意,都

有sine）+〃l-/n）＞0成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(0,2)

C.D.(-co』

4.（2023下?河南焦作?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,＞=/（》-4）-1是偶函數(shù)，當(dāng)xWT時(shí),

/(%)=(X+4)2-2,則不等式〃3x—5)>〃2了-4)的解集為.

5.(2023?遼寧?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)〃力=1%(1+/),若g(x)=_^(x),且g(l-m)<g(2m),則實(shí)數(shù)

加的取值范圍是.

考點(diǎn)02根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式(大題，含指數(shù)，對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，三角函數(shù))

1.(2023上?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0

時(shí)，f(x)-x2+6x.

⑴求“力的解析式;

⑵求不等式/(sin2x)>〃l-sin2x)的解集.

2.(2023上.福建福州.高一福建省福州第一中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/'(x)=lg*

(1)判斷函數(shù)y=〃x)的單調(diào)性并用定義法加以證明

(2)求不等式'(x))+/(lg3)>0的解集

3.(2023下?湖南長(zhǎng)沙?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(月=了工(a,6為常數(shù))是定義在［-1』的奇函數(shù),

⑴求函數(shù)“X）的解析式；

（2）若/?（%）在定義域是增函數(shù)，解關(guān)于x的不等式/（x-l）+/（x）＜0.

4.（2023下?重慶沙坪壩?高二重慶一中?？计谀┮阎?（無(wú)）=-7+6是定義在R上的奇函數(shù)，且

2+1

/（log23）=1.

⑴求實(shí)數(shù)。，匕的值；

⑵若/（療-2）+/（加）〉0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

5.（2023上?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)無(wú)V0時(shí),

〃x）=ln（e-x）-x-3.

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵判斷“X）在（0，+8）上的單調(diào)性（無(wú)需證明），并解不等式/（2x-3）＞〃3尤+1）.

考點(diǎn)03根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式(抽象函數(shù))

1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/⑶的定義域是(0,+8),滿足，(2)=1,x>l時(shí)/(尤)>0,對(duì)任意正實(shí)

數(shù)x,y,都有/(盯)=/(x)+f(y).

⑴求/⑴J(4)的值；

(2)證明：函數(shù)/*)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(3)求不等式/⑴-/(尤-3)>2的解集.

2.(2022上?江蘇南京?高一?？计谀?若增函數(shù)/(%)對(duì)任意x,yeR,都有/(x+y)=f(x)./()；),且/(I)=2,

/(x)>0恒成立.

⑴求/(0),/(1),/(-i);

]

(2)求方程f的解集;

/(lgx-3)

(3)求不等式/(x2)./(x+l)<8的解集.

3.(2023上?黑龍江哈爾濱?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,yeR,都有〃x+y)=〃x)+/(y),

且當(dāng)x>0時(shí)f(x)<0.

(1)求/(o)的值，判斷并證明函數(shù)/(X)的奇偶性；

⑵試判斷函數(shù)在(-?),+◎上的單調(diào)性并證明;

(3)解不等式+1)+/(x-4)>0.

4.(2023上?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的減函數(shù)，并且滿足

/(x+y)=/(x)+/(y),=

⑴求”0)的值;

⑵若〃力+〃2+2力<-2,求X的取值范圍.

05雙變量問(wèn)題(含指數(shù)，對(duì)數(shù)，三角函數(shù))(2類(lèi)考點(diǎn))

考點(diǎn)01雙變量函數(shù)值相等問(wèn)題

1.(2023上?遼寧?高一大連二十四中校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=x2-2x+a,g(x)=ax+5-a.

⑴若函數(shù)y=在區(qū)間[-3,0]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若對(duì)任意的可目-3,3],總存在當(dāng)€卜3,3],使得〃占)=8(%)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.(2022上?四川廣安?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〉=工+：有如下性質(zhì)：若常數(shù)/>0,則該函數(shù)在(0,?]上

單調(diào)遞減，在[〃+可上單調(diào)遞增.

⑴已知/(切=丁],(l<x<3),利用上述性質(zhì)，求函數(shù)〃尤)的值域；

-OJCIT"

(2)對(duì)于(1)中的函數(shù)〃x)和函數(shù)g(尤)=/+2依-"，若對(duì)任意Je[1,3],總存在々《0』,使得

g(%)/&)=l成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4%一>+1-u?

3.(2022上?河南商丘?高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？计谀?設(shè)函數(shù)〃x)=4，x>0.

⑴求函數(shù)的值域；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=1-依+1,若對(duì)V玉Hx2e[l,2],/(^)=g(x,),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)02雙變量函數(shù)值不等問(wèn)題

1.(2022上?廣東汕尾?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)滿足〃同=尤+,.

X

(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明“X)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,也)上單調(diào)遞增;

⑵令g（x）=x2+J-2"）在＞。若對(duì)％,”；，2,都有|g（xJ_g（X2）|4成立，求實(shí)數(shù)%的取

X\乙）L，」4

值范圍.

2,1

2.（2023下?江蘇徐州?高二?？计谀┮阎瘮?shù)/（x）=yr是定義域上的奇函數(shù)，且/（-1）=-2.

⑴求a、b的值；

⑵若方程/（%）=%在（0,+8）上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（3）令//。）=/+!-2蟲(chóng)》）“＜0）,若對(duì)V占,1,2都有也（占）一為（9）歸；，求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

2

3.（2。23下?河南焦作?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃加13rg8=1鳴（1）.

⑴若幾＞0,函數(shù)萬(wàn)（力=〃力-川（可在區(qū)間（3,5）上存在零點(diǎn)，求X的取值范圍；

（2）若。＞1,且對(duì)任意為e[a,a+3],都有9耳。,。+3],使得了（占）＜g（毛）成立，求a的取值范圍.

4.（2023上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=sin2x-2A/^COS2尤+a（aeR）,且滿足.從

①函數(shù)”尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)（右01寸稱(chēng)；②函數(shù)〃尤）的最大值為2；③函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/，日.這

三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到上面的橫線上，并解答下面的問(wèn)題：

(1)求實(shí)數(shù)a的值并求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵已知函數(shù)g(x)=lg2x-mlgx-加(％eR),若對(duì)任意的無(wú)，總存在％e[1,100],使得

/a)vg(z),求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

06指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(2類(lèi)考點(diǎn))

考點(diǎn)01指數(shù)(對(duì)數(shù))型復(fù)合函數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題

1.(2023下?河南開(kāi)封?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(力=平+1-21

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若g(x)=3+1%恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.(2023下.山東威海.高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=log2(4'+l).

X

⑴求不等式/(j)-log23>1的解集；

⑵若關(guān)于X的方程y(x)=log2("2'-2)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3.（2023下?遼寧?高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃司=1。8.（4+1）-》（4>0且。片1）.

⑴試討論〃x）的值域；

（2）若關(guān)于x的方程/（無(wú)）=log“（c?優(yōu)-c）有唯一解，求c的取值范圍.

4.（2023下?安徽亳州?高一渦陽(yáng)縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃同=1￡,aeR.

⑴若為偶函數(shù)，求a的值；

⑵令g（x）=〃x）-S+l）.若函數(shù)g（x）在［-1』上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

考點(diǎn)02指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

1.（2023上廣東深圳?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃尤

⑴證明在（0,+8）上單調(diào)遞增；

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=〃6求使函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a的值;

（3）若對(duì)VXGR,不等式e?，+e-2*-（2根+l）,e/°）+機(jī)（加+1）+2>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2.（2023上?浙江?高一期末）已知函數(shù)/（%）=-Y+ix+Qi+og/ERSvO）是偶函數(shù)，且了⑺有且僅有兩

個(gè)零占

⑴求實(shí)數(shù)。，6的值；

（2）設(shè)若對(duì)任意x”R和％e[0,2],都有g(shù)（%）2/a）成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

3.（2023上?云南高一云南師大附中?？计谀┰O(shè)函數(shù)"x）=4'-小2㈤+1,aeR.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，證明：方程/（尤）=bgj”在（。,1）上有唯一實(shí)根；

2

（2）是否存在實(shí)數(shù)。，滿足：對(duì)于任意%,馬€[1，2]，都有|〃占）-〃尤2）|<1?若存在，求出所有滿足條件的

a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)03指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的能成立問(wèn)題

2—x

1.（2023下?江蘇鎮(zhèn)江?高一統(tǒng)考）已知函數(shù)/（x）=log“。（a>0且awl）.

⑴求函數(shù)的奇偶性；

⑵若關(guān)于x的方程〃力=1。8“（》-加）有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2.（2023上?廣東廣州?高一?？计谀┮阎瘮?shù)8（制=次2-2依+6（a>0）在區(qū)間［2,3］上有最大值4,最小

值1.函數(shù)/。）=晅.

X

（1）求函數(shù)g（x）的解析式；

（2）若存在X6［e,e2］使得不等式/（Inx）-HnxV0成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

3.（2022上?河北張家口?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）為定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí),

2x,0<x<2

|x-6|,x>2

r7-7-T-----------------------

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污-十十十十;十十十一十十十出十污W

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一蝕塞二61%：①如■川1

IIIIIItIIIIIIiIIIIII

⑴①作出函數(shù)〃X）在［-10,10］上的圖象;

②若方程/（力=。恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑵設(shè)g（尤）=1嗎（尤2+1）一，若V±eR,3x2e［1,+?＞）,使得/?（藥）+3〃2g（%）成立，求實(shí)數(shù)。的最小值.

考點(diǎn)04指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的新定義問(wèn)題

1.（2023下?四川眉山?高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)〃尤）=lg坂，g（^）=log2（ax+l）.

⑴若函數(shù)y=l-g（x）在［L2］內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍.

（2）設(shè)函數(shù)夕⑺的最大值、最小值分別為跖m,記=設(shè)a=2,函數(shù)0（x）=g（x）-log2X,

當(dāng)公心/o］時(shí)，不（切＞鶴（幻］恒成立，求％的取值范圍.

2.(2023上?遼寧鞍山?高一統(tǒng)考期末)一般地，設(shè)函數(shù)y=的定義域?yàn)?。，如果?duì)。內(nèi)的任意一個(gè)x,

都有-xeD,且〃x)"(r)=l,則稱(chēng)y=〃x)為倒函數(shù).請(qǐng)根據(jù)上述定義回答下列問(wèn)題：

1丫

(1)已知〃0=2*,g(x)=--,判斷y=/(x)和y=g(x)是不是倒函數(shù)；(不需要說(shuō)明理由)

⑵若y=/(x)是R上的倒函數(shù)，當(dāng)XWO時(shí)，〃刈=三占，方程〃同=2022是否有正整數(shù)解？并說(shuō)明

理由；

⑶若y="X)是R上的倒函數(shù),其函數(shù)值恒大于0,且在R上是增函數(shù).設(shè)/(X)」/*]T,若〃2)=2,

(13

求解不等式/logjx--<0.

、3)?

07三角函數(shù)(4類(lèi)考點(diǎn))

考點(diǎn)01三角函數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題

1.(2023上?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀?設(shè)函數(shù)f(x)=2百sinxcosx-2sin2%+l.

⑴當(dāng)xe時(shí)，求〃x)的值域；

⑵若函數(shù)83=/e苫+3)在區(qū)間(兀,2兀)上沒(méi)有零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2.(2023下?北京密云?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=sin2x+gsinxcosx-；.

(1)求/'(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵求“X)在區(qū)間"盤(pán)上的最值，并求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的X的值；

⑶若g(x)=〃x)+m在區(qū)間0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，直接寫(xiě)出機(jī)的取值范圍.

3.(2023下?北京懷柔?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=2gsin(兀一x)cosx+2cos2彳.

⑴求函數(shù)的最小正周期；

7T7T

⑵若xe,求函數(shù)的值域；

OJ_

TT

(3)若函數(shù)g(x)="x)-l在區(qū)間一1,"2上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

4.(2023下?北京西城?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=sin(2x-tj+2cos2無(wú)一1.

⑴求了(《的值；

⑵求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶若函數(shù)“X)在區(qū)間［0,向上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求相的取值范圍.

5.(2021上?天津靜海?高一靜海一中校考期末)已知函數(shù)

/(幻=百5也(5+0)+25詒2］絲薩卜1(0>0,0<0<%)為奇函數(shù)，且/(>)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

71

2'

(1)求，(%)的解析式.

(2)求/2(%)=/(%)+5由工+3%的最大值.

(3)將函數(shù)/a)的圖象向右平移g7T個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的￡1(縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)y=g。)

的圖象，當(dāng)xe—a勺時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域.

12o

47T47r

(4)對(duì)于第(3)問(wèn)中的函數(shù)雙尤)，記方程g(x)=M在xe匕，下］上的根從小到依次為七，巧，L4,試

363

確定"的值，并求占+2%+2鼻+…+2尤+xn的值.

考點(diǎn)02三角函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

1.(2023下?江西撫州?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(x)=sin(0x+°)-13>O,O<9<7r)的圖象兩相鄰對(duì)稱(chēng)

軸之間的距離是(若將〃無(wú))的圖象上每個(gè)點(diǎn)先向左平移已個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所

得函數(shù)g(x)為偶函數(shù).

⑴求“X)的解析式；

兀?

⑵若對(duì)任意xe0,-,-(2+m)力》+2+m40恒成立，求實(shí)數(shù)相的取值范圍；

⑶若函數(shù)，7(x)=2f(元)+3的圖象在區(qū)間口,可(a,6eR且。<》)上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足條件

的區(qū)間,,可上，求b-a的最小值.

2.(2023下?四川成都?高一樹(shù)德中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=4sinxcos［x+：J+B.將函數(shù)的

7兀

圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的彳，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移U個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

318

g(x)的圖象.

⑴求函數(shù)/(X)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若對(duì)于Vxe0,1,g2(x)-mg(x)-3＜。恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.

3.(2023上?江蘇無(wú)錫?高一統(tǒng)考期末)定義在區(qū)間［-4,4］上的函數(shù)/(.X)=察-1(。eR,6＞。且力w1)為奇

b+1

函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)。的值，并且根據(jù)定義研究函數(shù)AM的單調(diào)性：

⑵不等式(〃+I).f(g'sin2e+2cos°(9+M＞1-Z?2對(duì)于任意的。e0,y恒成立，求實(shí)數(shù)"?的取值范圍.

考點(diǎn)03三角函數(shù)中的存在性問(wèn)題

1.(2021上?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=2cos(0x+e)+00＜。＜2,。＜夕＜］.請(qǐng)?jiān)谙?/p>

面的三個(gè)條件中任選兩個(gè)解答問(wèn)題.①函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,20)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)］；,應(yīng)］

對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)“X)相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸之間距離為2.

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)若為,三是函數(shù)的零點(diǎn)，求cos(%+的值組成的集合;

(3)當(dāng)ae(-2,0)時(shí)，是否存在。滿不等式,2a+￡|＞/⑷？若存在，求出。

的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2021上?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(尤)=2后sin(x+?)cosx-l.

jrjr

(1)當(dāng)xe時(shí)，/(x)-時(shí)⑺-機(jī)W0恒成立，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍;

OO

(2)是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)。和正整數(shù)"，使得函數(shù)g(x)="x)-。在［0,7團(tuán)上恰有2021個(gè)零點(diǎn)?若存在，請(qǐng)

求出所有符合條件的。和〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2020上?安徽淮南?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=2sin］。尤+-石cos(20x)-l(0>O),/(x)的最小

正周期為7.

⑴求了(X)的單調(diào)增區(qū)間；

'7'

⑵方程/。)-2〃+1=0在0,—上有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑶是否存在實(shí)數(shù)加滿足對(duì)任意士€［-1,正都存在々eR,使得4'+4』+加(2』-2』)+1>/(無(wú)成立.若存在,

求機(jī)的取值范圍;若不存在，說(shuō)明理由.

考點(diǎn)04三角函數(shù)中的新定義問(wèn)題

1.(2023下?北京西城?高一統(tǒng)考期末)對(duì)于定義在R上的函數(shù)/(x)和正實(shí)數(shù)T若對(duì)任意xeR,有

f(x+T)-f(x)=T,則為T(mén)一階梯函數(shù).

⑴分別判斷下列函數(shù)是否為1-階梯函數(shù)(直接寫(xiě)出結(jié)論)：

①②/(x)=x+l.

⑵若〃力二無(wú)+sinx為階梯函數(shù)，求T的所有可能取值；

(3)已知為階梯函數(shù)，滿足：〃尤)在上單調(diào)遞減，且對(duì)任意xeR,有

f(T-x)-f(x)^T-2x.若函數(shù)尸(尤)=〃x)-辦-6有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，記其中正的零點(diǎn)從小到大依次為

占,天,無(wú)3,…直接給出一個(gè)符合題意的。的值，并證明：存在6eR,使得*x)在［0,2023T］上有4046個(gè)零

點(diǎn)，且％2—=無(wú)3-%2=…=%4046—%4045?

2.(2023下?上海寶山?高一統(tǒng)考期末)在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)

是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù),其中雙曲正弦函數(shù)：sinh(x)=e'；e',雙曲余弦函數(shù):cosh(x)=e；e'

(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…).

⑴計(jì)算cosh(2)-2cosh2(l)的值；

(2)類(lèi)比兩角和的余弦公式，寫(xiě)出兩角和的雙曲余弦公式：cosh(x+y)=,并加以證明;

⑶若對(duì)任意，e[0,ln2],關(guān)于x的方程sinh⑺+cosh(x)="有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.(2023下?上海奉賢?高一上海市奉賢中學(xué)校考期中)已知函數(shù)y=/(x),若存在實(shí)數(shù)相、左(相片0),使

得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)無(wú)，均有或〃x)=f(x+k)+f(x-k)成立，則稱(chēng)函數(shù)〃x)為“可平衡”函數(shù)；

有序數(shù)對(duì)(加㈤稱(chēng)為函數(shù)〃x)的“平衡”數(shù)對(duì).

⑴若〃力=》2,求函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)；

(2)若m=1,判斷/(x)=si!U是否為“可平衡”函數(shù)，并說(shuō)明理由；

(3)若/、eR,且卜,今[、[叫,；]均為函數(shù)/。)=852?0<.；)的“平衡”數(shù)對(duì)，求4+涕的取值

范圍.

4.(2023上福建福州?高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀?設(shè)函數(shù)和g(x)的定義域分別為2和2,

若對(duì)V/e/都存在"個(gè)不同的實(shí)數(shù)不，孫&,L,無(wú)*?心，使g(%)=/(xo)(其中i=l,2,3,…〃eN*),

則稱(chēng)g(x)為的“"重覆蓋函數(shù)”.

⑴試判斷g(x)=2sin(2x-T(°"W27r)是否為〃x)=一、;的“4重覆蓋函數(shù)”？并說(shuō)明理由；

⑵已知函數(shù)g(x)=『十°"："+1L24E為〃x)=log2馬吆的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)”的取值范

[log2羽%>12"+1

圍.

專(zhuān)題02高一上期末真題精選（壓軸66題7個(gè)考點(diǎn)專(zhuān)練）

4*

＞【題型1］集合及其運(yùn)算中的新定義題（1類(lèi)考點(diǎn)）

＞【題型2】一元二次不等式中的恒成立與能成立問(wèn)題（2類(lèi)考點(diǎn)）

＞【題型3］二次函數(shù)的最值問(wèn)題（2類(lèi)考點(diǎn)）

＞【題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式（3類(lèi)考點(diǎn)）

＞【題型5】雙變量問(wèn)題（含指數(shù)，對(duì)數(shù)，三角函數(shù)）（2類(lèi)考點(diǎn)）

＞【題型6】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（2類(lèi)考點(diǎn)）

＞【題型7】三角函數(shù)（4類(lèi)考點(diǎn)）

c/T］考叵］猜回________________________________________________________

01集合及其運(yùn)算中的新定義題d類(lèi)考點(diǎn)）

考點(diǎn)01集合及其運(yùn)算中的新定義題

1.（2023上?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）若集合A同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）OeA,leA；（2）若x,yeA,

則x-yeA；（3）若xeA且xwO,則則稱(chēng)A為“好集”.已知命題：①集合是好集；②對(duì)

任意一個(gè)“好集”4若貝伊+yeA.以下判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【答案】D

【詳解】對(duì)于①,因?yàn)橛駕1,0,-1},而一1一1=-2比

所以集合不是好集，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)榧螦為“好集”，

所以A,0_y=_yeA,

所以x-（—y）=x+yeA,故②正確，

所以①為假命題，②為真命題.

故選：D.

2.（2023上?遼寧本溪?高一?？计谀┰O(shè)尸和。是兩個(gè)集合，定義集合尸-Q={x|xeP，且彳任。}.如果

P={x|log2尤W1},0={4元-2區(qū)1},那么P-Q=()

A.{x|0<x<l}B.1x|0<x<l}

C.1x|l<x<2}D.{x[2Wx<3}

【答案】A

【詳解】由題，log2Xw1olog2X<log22<^>0<x<2,

則P=1x|0<X<2|.|X-2|<1<^>X2-4X+4<1<^>1<X<3,

則0=卜|14》<3}.則由題中所給定義有：尸_Q={尤|0<x<l}.

故選：A

3.（2021?浙江?高一期末）設(shè)國(guó)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，記函數(shù)刈，Xe[n,n+1）,〃eN*的值域

為A,集合8是集合A的非空子集，對(duì)于任意元素如果女-1e3,S.k+leB,那么人是集合8的

一個(gè)“孤立元素”，若集合A的所有子集3中，只有一個(gè)“孤立元素”的集合8恰好有6個(gè)，則正整數(shù)”的可

能值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【詳解】當(dāng)〃=2時(shí)，/（x）=H刈，xe[2,3）,

由國(guó)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，

得函數(shù)的值域A={4,5},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集B中，

滿足只有一個(gè)“孤立元素”的集合B,

則3={4},3={5}；

不滿足題意，故選項(xiàng)A不正確；

當(dāng)〃=3時(shí)，/（X）=[x[xj],xw[3,4）,

由田為不超過(guò)x的最大整數(shù)，

得函數(shù)的值域A={9,10,11},

又集合B是集合A的非空子集，

集合A的所有子集B中，

滿足只有一個(gè)“孤立元素”的集合3,

則8={9},5={10},B={11}；

不滿足題意，故選項(xiàng)B不正確；

當(dāng)〃=4時(shí)，/(x)=[x[xj],xe[4.5),

由國(guó)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，

得函數(shù)的值域4={16,17,18,19},

又集合B是集合A的非空子集，

集合A的所有子集B中，

滿足只有一個(gè)“孤立元素”的集合3,

則3={16},3={17},3={18},8={19},

B={16,18,19},B={16,17,19},

滿足題意，故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)力=5時(shí)，/(X)=,xw[5,6),

由國(guó)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，

得函數(shù)的值域A={25,26,27,28,29},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集B中，

滿足只有一個(gè)“孤立元素”的集合3,

則3={25},B={26},B={21},B={28},

3={29},8={25,27,28},B={25,28,29},

B={25,26,28},B={25,26,29},B={26,27,29},

B={26,28,29},3={25,27,28,29},B={25,26,27,29},

共13個(gè)滿足條件的集合B,

不滿足題意，故選項(xiàng)D不正確；

故選：C.

4.(2021上?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)對(duì)于集合A,B,我們把集合｛x|xeA且工/研叫做集合A與8的差

集，記作A—"若人=卜|111尤42111若},B={x|x>l),則4一3為()

A.{x|x<l}B.{x|0<%<11C.1x|l<%<3}D.{x|lWxW3}

【答案】B

【詳解】A={x|lnxV21ng={x[0<xV3},/.A-B={x|0<x<l}.

故選：B.

fX,XGP

5.(2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(%)=其中尸，”為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定

[~X9XGM

/(P)={y|y=f(x)，xcP}，f(M)={y\y=fM,x^M),給出下列四個(gè)判斷：

①若PCM=。，則/(p)rv(”)=0；

②若尸c〃W0,則/(P)n/(M)W0；

③若尸uM=R,則/(P)U/(")=R；

④若PUMWR,則/(P)U/(M-R.

其中正確判斷有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】對(duì)①：取P={1},M={-1},滿足尸c"=0,

但/(尸)={1},〃〃)={1}，/(P)n/(M)={1},故①錯(cuò)誤；

對(duì)②：若PCMH0,由函數(shù)定義可得尸CM={0},

所以。目/(P)fV(M)b0,故②正確；

對(duì)③：取尸={x|x20},M^{x\x<0},滿足尸UM=R，

但/(P)={x|x、0},f(M)={x\x>0},”P(pán))U/(M)wR,故③錯(cuò)誤；

對(duì)④：假設(shè)PuMwR,且/(P)U/(M)=R,

則存在xe(尸UM),則了￡尸，尸)，所以xe/(M),所以一尤eA/,

且fe"(P)U/(M]=R,

若-xe/(P),則—xeP,所以—xe(PcM)={0},所以.『OeP,矛盾，假設(shè)不成立；

若-xef(M),則xeM,矛盾，假設(shè)不成立；

所以若PDMHR,則/(P)U/(M"R,故④正確.

故選：B.

02一元二次不等式中的恒成立與能成立問(wèn)題(2類(lèi)考點(diǎn))

考點(diǎn)01一元二次不等式中的恒成立問(wèn)題

1.(2023上?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期末)已知對(duì)一切xe[2,3],ye[3,6],不等式-孫+產(chǎn)20恒成立,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.m<6B.—6<m<Q

C.m>0D.0<m<6

【答案】C

【詳解】..?尤w[2,3],”[3,6],則工引上3，

x32

；.冊(cè)[1,3],

222

又,:iwc-xy+y>09[2,3],x>0,

可得加』-任丫，

X1%J

令f=？e[L3],則原題意等價(jià)于對(duì)一切re[l,3],優(yōu)布r2恒成立，

：y=，-/的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸/=；,

則當(dāng)r=l時(shí)，y=”產(chǎn)取到最大值=1-仔=。，

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是〃后0.

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：

對(duì)WxeV,/⑺2口恒成立，等價(jià)于[了(切1ntoNa；

對(duì)VxeM,f(x)Va恒成立，等價(jià)于[/⑴]1mx?。.

2.(2023下?河南新鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末)“1嗎"2”是，對(duì)任意尤式-1,小)，f+(4—。卜+4-。>0恒成立

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由即log/zvlog',所以0<a<4,

由xe(—l,+co),無(wú)2+(4—口)龍+4—<7>Of旦成立,

即x2+4x+4>a（尤+1）在（一L+oo）上，旦成立,

所以"編=（川）+士+2’

又（》1）+士+222再3+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)川=之，即.0時(shí)取等號(hào),

所以a<4,

因?yàn)椋?,4）真包含于（9,4）,

所以“l(fā)og〃<2”是“對(duì)任意xe（-l,+s）,f+（4-a）x+4-a>0恒成立”的充分不必要條件.

故選：A

("2)4+("2)2=2022

3.（2023上?江西新余?高一統(tǒng)考期末）已知a,beR,且加b滿足，若對(duì)于任

(b-2『+伍-2)2=2022

意的xe[3,6],均有及2+2x4a+b成立，則實(shí)數(shù)f的最大值是（）.

【答案】A

("2)4+("2尸=2022

【詳解】已知a,beR,且出b,滿足

(6-2)4+(6-2)2=2022

則(a-2)4+(“-2)2-(2-6)4-(2-⑦2=o,

即[(a-2)2+(2-6)2][(a-2)2-(2-力2]+[(々_2)2-(2-6)2]=o