浙江專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理與古典概率第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理練習(xí)含解析

PAGEPAGE5第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理[基礎(chǔ)達標]1．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個數(shù)是()A．30 B．42C．36 D．35解析：選C.因為a＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×6＝36個虛數(shù)．2．用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法有()A．3種 B．5種C．9種 D．12種解析：選C.只用一種幣值有2張10元，4張5元，20張1元，共3種；用兩種幣值的有1張10元，2張5元；1張10元，10張1元；3張5元，5張1元；2張5元，10張1元；1張5元，15張1元，共5種；用三種幣值的有1張10元，1張5元，5張1元，共1種．由分類加法計數(shù)原理得，共有3＋5＋1＝9(種)．3．某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最終五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數(shù)為()A．20 B．25C．32 D．60解析：選C.依據(jù)題意知，最終五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合題意的電話號碼的個數(shù)為25＝32.4．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．48C．60 D．72解析：選B.先排個位，再排十位，百位，千位，萬位，依次有2，4，3，2，1種排法，由分步乘法計數(shù)原理知偶數(shù)的個數(shù)為2×4×3×2×1＝48.5．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．10解析：選C.分兩類狀況探討：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．6．如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的線段表示它們有網(wǎng)線相連，連線標注的數(shù)字，表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以從分開不同的路途同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A．26 B．20C．24 D．19解析：選D.因為信息可以從分開不同的路途同時傳遞，由分類加法計數(shù)原理，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3；12→6→4；12→6→7；12→8→6.故單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為四條不同網(wǎng)線上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.7．如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有()A．11種 B．20種C．21種 D．12種解析：選C.電路接通，則每一個并聯(lián)電路中至少有一個開關(guān)閉合，再利用乘法原理求解．兩個開關(guān)并聯(lián)的電路接通方式有3種，即每個開關(guān)單獨接通共2種．兩個開關(guān)都接通有一種，所以共有3種，同理三個開關(guān)并聯(lián)的電路接通方式有7種，由乘法原理可知不同的閉合方式有3×7＝21(種)．8．某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右其次個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號碼可選的全部可能狀況有()A．180種 B．360種C．720種 D．960種解析：選D.依據(jù)車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，其次個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的全部可能狀況有5×3×4×4×4＝960(種)．9．直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l與坐標軸圍成的三角形的面積不小于10，則這樣的直線的條數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．16解析：選B.l與坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)ab≥10，即ab≥20.當a＝1時，不滿意；當a＝3時，b＝8，即1條．當a∈{5，7}時，b∈{4，6，8}，此時a的取法有2種，b的取法有3種，則直線l的條數(shù)為2×3＝6.故滿意條件的直線的條數(shù)為1＋6＝7.故選B.10．在如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24種 B．48種C．72種 D．96種解析：選C.分兩種狀況：(1)A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24(種)．(2)A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)．綜上兩種狀況，不同的涂色方法共有48＋24＝72(種)．11．從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)當班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)當文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．解析：第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔(dān)當，所以從剩下的3人中選1人當文娛委員，有3種選法．其次步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員，又可分兩步進行：先選學(xué)習(xí)委員有4種選法，再選體育委員有3種選法．由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種)．答案：3612．乘積(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)綻開后共有________項．解析：由(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)綻開式各項都是從每個因式中選一個字母的乘積，由分步乘法計數(shù)原理可得其綻開式共有3×4×5＝60(項)．答案：6013．在平面直角坐標系內(nèi)，點P(a，b)的坐標滿意a≠b，且a，b都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素．又點P到原點的距離|OP|≥5，則這樣的點P的個數(shù)為________．解析：依題意可知：當a＝1時，b＝5，6，兩種狀況；當a＝2時，b＝5，6，兩種狀況；當a＝3時，b＝4，5，6，三種狀況；當a＝4時，b＝3，5，6，三種狀況；當a＝5或6時，b各有五種狀況．所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20種狀況．答案：2014．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通．今發(fā)覺A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同狀況有________種．解析：采納解除法．各個焊點有2種狀況，所以四個焊點共有24種可能，其中能使線路通的狀況有：1，4同時通，且2和3至少有一個通時線路才能通，共有3種可能，故不通的狀況共有24－3＝13種狀況．答案：1315．將4個不同小球放入3個不同的盒子，其中每個盒子都不空的放法共有________種．解析：必有一個盒子放2個小球，將4個小球分3組，其中有2個小球為一組，另外2個小球為兩組，共有6種分組方法．然后，每一種分組的小球放入3個不同盒子，按分步乘法計數(shù)原理，有3×2×1種放法，共有6×(3×2×1)＝36(種)放法．答案：3616．假如一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________．解析：分類探討：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．答案：3617．已知集合A＝{最大邊長為7，且三邊長均為正整數(shù)的三角形}，則集合A的真子集共有________個．解析：另外兩個邊長用x，y(x，y∈N*)表示，且不妨設(shè)1≤x≤y≤7，要構(gòu)成三角形，必需x＋y≥8.當y取7時，x可取1，2，3，…，7，有7個三角形；當y取6時，x可取2，3，…，6，有5個三角形；當y取5時，x可取3，4，5，有3個三角形．當y取4時，x只能取4，只有1個三角形．所以所求三角形的個數(shù)為7＋5＋3＋1＝16.其真子集共有(216－1)個．答案：216－1[實力提升]1．有一項活動需在3名老師，6名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參與，(1)若只需一人參與，有多少種不同選法？(2)若需一名老師，一名學(xué)生參與，有多少種不同選法？(3)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參與，有多少種不同選法？解：(1)只需一人參與，可按老師、男同學(xué)、女同學(xué)分三類各自有3、6、8種方法，總方法數(shù)為3＋6＋8＝17(種)．(2)分兩步，先選老師共3種選法，再選學(xué)生共6＋8＝14種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×14＝42(種)．(3)老師、男、女同學(xué)各一人可分三步，每步方法依次為3，6，8種，由分步乘法計數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×6×8＝144(種)．2．同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的安排方式有幾種？解：設(shè)四個人為甲、乙、丙、丁，依次寫的賀年卡為A，B，C，D.第一步：甲有3種拿法，即拿了B，C或D.其次步：對甲的每一種拿法，不妨設(shè)拿了乙的B卡，則乙也有3種拿法，即拿A，C或D，有3種拿法．若乙拿了甲的A卡，則丙、丁只能是丙拿D，丁拿C.若乙拿了丙的C卡，則丙只能拿D卡，丁拿A卡．若乙拿了丁的D卡，則丁只能拿C卡，丙拿A卡．所以安排方式共有3×3＝9(種)．3．由數(shù)字1，2，3，4，(1)可組成多少個三位數(shù)？(2)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(3)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字的三位數(shù)？解：(1)百位數(shù)共有4種排法；十位數(shù)共有4種排法；個位數(shù)共有4種排法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共可組成43＝64個三位數(shù)．(2)百位上共有4種排法；十位上共有3種排法；個位上共有2種排法，由分步乘法計數(shù)原理知共可排成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)4×3×2＝24(個)．(3)排出的三位數(shù)分別是432、431、421、321，共4個．4．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，則：(1)y＝ax2＋bx