第04講 拓展二 集合與常用邏輯用語中的新定義題（解析版）

第04講拓展二集合與常用邏輯用語中的新定義題目錄TOC\o"1-1"\h\u新定義題之小題 1新定義題之解答題 12新定義題之小題1．（2024·上海靜安·二模）如果一個非空集合上定義了一個運算，滿足如下性質(zhì)，則稱關(guān)于運算構(gòu)成一個群.（1）封閉性，即對于任意的，有；（2）結(jié)合律，即對于任意的，有；（3）對于任意的，方程與在中都有解．例如，整數(shù)集關(guān)于整數(shù)的加法（）構(gòu)成群，因為任意兩個整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對于任意的，方程與都有整數(shù)解；而實數(shù)集關(guān)于實數(shù)的乘法（）不構(gòu)成群，因為方程沒有實數(shù)解.以下關(guān)于“群”的真命題有（

）①自然數(shù)集關(guān)于自然數(shù)的加法（）構(gòu)成群；②有理數(shù)集關(guān)于有理數(shù)的乘法（）構(gòu)成群；③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積（）構(gòu)成群；④復(fù)數(shù)集關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（）構(gòu)成群.A．0個； B．1個； C．2個； D．3個.【答案】B【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.【詳解】對于①，，在自然數(shù)集中無解，錯誤；對于②，，在有理數(shù)集中無解，錯誤；對于③，是一個數(shù)量，不屬于平面向量集，錯誤；對于④，因為任意兩個復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，且對任意的，方程與有復(fù)數(shù)解，正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的3個條件進行驗證，注意實數(shù)或復(fù)數(shù)運算的運算律與新定義中運算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.2．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構(gòu)成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數(shù)為（

）A．7個 B．9個 C．10個 D．14個【答案】D【分析】分別計算2劃分，3劃分和4劃分的個數(shù)，再相加即可.【詳解】不妨設(shè)，則：的2劃分有，，，，，，；的3劃分有，，，，，；的4劃分只有.綜上，的劃分共有個，D正確.故選：D.3．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義A\B=且，則對于集合A={}，B={}，且，以下說法正確的是（

）A．若在橫線上填入”∩”，則C的真子集有212﹣1個.B．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個數(shù)大于250.C．若在橫線上填入”\”，則C的非空真子集有2153﹣2個.D．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個數(shù)為13.【答案】B【分析】根據(jù)各個選項確定相應(yīng)的集合，然后由集合與子集定義得結(jié)論．【詳解】，，集合無公共元素，選項A中，集合為空集，沒有真子集，A錯；選項B中，由得，由得，因此中元素個數(shù)為，B正確；選項C中，中元素個數(shù)為166，非空真子集個數(shù)為，C錯；選項D中，，而，因此其中元素個數(shù)為331個，D錯．故選：B．4．（2022高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)一個非空數(shù)集滿足“如果，則，且時，”時，我們稱就是一個數(shù)域，以下四個關(guān)于數(shù)域的命題：①0是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則；③集合是一個數(shù)域；④有理數(shù)集是一個數(shù)域，其中真命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)任意相同元素之差0，可判斷①；根據(jù)當(dāng)時，，利用定義依次推導(dǎo)，可判斷②，舉反例判斷③，根據(jù)有理數(shù)的運算結(jié)果判斷④.【詳解】對于①，根據(jù)當(dāng)，則，即，所以0是任何數(shù)域的元素，故①正確；對于②，根據(jù)當(dāng)時，，則，即，進而，，故②正確；對于③，對，但，不滿足題意，所以集合不是一個數(shù)域，故③不正確；對于④，若是有理數(shù)，則，都是有理數(shù)，故有理數(shù)集是一個數(shù)域，所以④正確;所以其中真命題的個數(shù)是3個.故選：C.5．（多選）（24-25高二下·全國·期末）群的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對代數(shù)多項式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個非空集合，“”是一個適用于中元素的運算，若同時滿足以下四個條件，則稱對“”構(gòu)成一個群：（1）封閉性，即若，，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對中任意元素，，都有；（3）單位元存在，即存在，對任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元.根據(jù)以上信息，下列說法中錯誤的是（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．和均關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積構(gòu)成群【答案】CD【分析】根據(jù)“”運算的定義，結(jié)合集合中元素與集合的關(guān)系判斷，逐一判斷即可．【詳解】對于A，、，有，且滿足（乘法結(jié)合律）；，使得，有；，，有，即關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群，故A正確；對于B，若，即為所有偶數(shù)組成的集合，、，有，且滿足（加法結(jié)合律），，使得，有；，，有，故關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群；若，設(shè)、，，則，且對滿足，當(dāng)時，，滿足，，，使，故關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群，故B正確；對于C，因為，且，但，故C錯誤；對于D，設(shè)為平面向量集，、，但是為實數(shù)，即可，不滿足封閉性故平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積不構(gòu)成群，故D錯誤；故選：CD6．（多選）（2024·廣西柳州·三模）設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的，對于有序元素對，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的，有，則對任意的，下列等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)已知中，對四個答案的結(jié)論逐一進行論證，即可求解結(jié)論．【詳解】根據(jù)條件“對任意的，，有”，則：A中，無法確定是否一定成立，故A錯誤；B中，，一定成立，故B正確；C中，，一定成立，故C正確；D中，將看成一個整體，則，故，故D正確.故選：BCD．7．（多選）（2023高一·全國·專題練習(xí)）對任意集合，記且，則稱為集合的對稱差，例如，若，，則，下列命題中為真命題的是（）A．若且，則B．若且，則C．存在，使得D．若且，則【答案】ABC【分析】根據(jù)對稱差的定義及交、并、補運算，逐項判斷即可．【詳解】對于A，因為，所以且，即與是相同的，所以，故本選項符合題意；對于B，因為，所以且，所以AB，且B中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，故本選項符合題意；對于C，時，，，故本選項符合題意；對于D，因為，所以且，所以BA，故本選項不符合題意．故選：ABC．8．（多選）（22-23高一上·重慶渝中·階段練習(xí)）對于一個非空集合，如果滿足以下四個條件：①，②，③，若且，則，④，若且，則，就稱集合為集合A的一個“偏序關(guān)系”，以下說法正確的是（

）A．設(shè)，則滿足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個B．設(shè)，則集合是集合A的一個“偏序關(guān)系”C．設(shè)，則含有四個元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合共有6個D．是實數(shù)集R的一個“偏序關(guān)系”【答案】ACD【分析】A選項，分析出，分析③可知，和只能二選一，或兩者均不能在中，從而得到足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個；B選項，且，但，B錯誤；C選項，分析出，再添加一個元素即可，從而得到答案；D選項，通過分析均滿足四個條件，D正確.【詳解】A選項，，則，通過分析②可知，，分析③可知，和只能二選一，或兩者均不能在中，取，或，或，故滿足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個，A正確；B選項，集合，且，但，故②不成立，故B錯誤；C選項，，通過分析②可知，，結(jié)合③和④，可再添加一個元素，即中任選一個，即取，或，或，或，或，或，共6個，C正確；D選項，是R的子集，滿足①，且當(dāng)時，，滿足②，當(dāng)時，滿足③，，若且，則，所以，則，滿足④，故是實數(shù)集R的一個“偏序關(guān)系，D正確.故選：ACD9．（多選）（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知，如果實數(shù)滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點”，則下列集合中以0為“開點”的集合有（

）A．， B．，C． D．【答案】AC【分析】由開點的定義和元素和集合的關(guān)系可求得結(jié)果．【詳解】對于，對任意的，存在，使得，故正確；對于，假設(shè)集合，以0為“開點“，則對任意的，存在，，使得，當(dāng)時，該式不成立，故錯誤；對于，假設(shè)集合以0為“開點“，則對任意的，存在，使得，故正確；對于，集合，，，當(dāng)時，，時，使得不成立，故錯誤．故選：．10．（多選）（23-24高一上·浙江臺州·期末）設(shè)是正整數(shù)，集合.對于集合中任意元素和，記，.則（

）A．當(dāng)時，若，則B．當(dāng)時，的最小值為C．當(dāng)時，恒成立D．當(dāng)時，若集合，任取中2個不同的元素，，則集合中元素至多7個【答案】BD【分析】根據(jù)的計算公式即可求解AB，舉反例即可求解C，根據(jù)所給定義，即可求解D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤，對于B，，而，故當(dāng)時，此時取最小值，比如時，，故B正確，對于C，時，，,,不符合，故C錯誤，對于D，不妨設(shè)中一個元素，由于，則中相同位置上的數(shù)字最多有兩對互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同，若中相同位置中有一對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同，不妨設(shè)此時，那么與相同位置中有一對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同的元素有此時，其中，，而，與中相同位置上的數(shù)字有兩對是不相同的，此時，滿足，若與相同位置中有2對的數(shù)字互為相反數(shù)，那么就與有3對相同位置上的元素互為相反數(shù)，不符合，因此此時中滿足條件的元素有7個，若中相同位置中有兩對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應(yīng)相同，不妨設(shè)，此時與元素重復(fù)，綜上可知中元素最多7個，D正確，故選：BD【點睛】方法點睛：求解新定義運算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進行求解.對于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識求解.11．（23-24高二下·廣東·期末）若數(shù)集的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集的超子集．已知集合，記，記的超子集的個數(shù)為，當(dāng)?shù)某蛹瘋€數(shù)為221個時，．【答案】11【分析】這是新定義數(shù)列，關(guān)鍵是找到遞推關(guān)系，才能求出具體的項.【詳解】集合的超子集可以分為兩類：第一類中不含有，這類子集有個，第二類子集中含有，這類子集為的超子集與的并集，共有個，，，，故答案為：11.12．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)集合為含有個元素的有限集．若集合的個子集滿足以下3個條件：①均非空；②中任意兩個集合交集為空集；③．則稱為集合的一個階分拆．若，為的2階分拆，集合所有元素的平均值為，集合所有元素的平均值為，則的最小值等于，最大值等于．【答案】01012【分析】根據(jù)題意分別取取得最值時的集合，從而可得的最值.【詳解】由題意：取，，因為：，，，，所以，則為最小值；取，，為最大值.故答案為：0；101213．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）若非空集合G關(guān)于運算?滿足：（1）對任意的a，，都有，（2）對任意的a，b，，都有，（3）存在，對，都有，則稱G關(guān)于運算?構(gòu)成“幺半群”．現(xiàn)給出下列集合和運算：①G為正自然數(shù)集，?為整數(shù)的加法．②G為奇數(shù)集，?為整數(shù)的乘法．③G為素數(shù)集，?為整數(shù)的乘法．④G為平面向量集，?為平面向量的數(shù)量積．⑤G為所有二次三項式的集合，?為多項式加法．⑥G為純虛數(shù)集，?為復(fù)數(shù)的乘法．其中G關(guān)于運算?構(gòu)成“幺半群"的是．【答案】②【分析】逐一驗證幾個選項是否分別滿足““幺半群”的三個條件，若三個條件都滿足，是““幺半群”，有一個不滿足，則不是““幺半群”．【詳解】對①，設(shè)，則且，不滿足（3），故①不是“幺半群”對②，對任意兩個奇數(shù)，積仍為奇數(shù)，滿足（1），乘法滿足結(jié)合律，滿足（2），且對于奇數(shù)1，任何奇數(shù)乘1等于1乘這個數(shù)，等于這個數(shù)，滿足（3），故②是“幺半群”，對③，由已知知，則，不滿足（1），故③不是“幺半群”；對⑤，對任意兩個平面向量，數(shù)量積為數(shù)量，不滿足（1），故④不是“幺半群”；對⑥，對任意兩個二次項系數(shù)相反的二次三項式，和可能不是二次三項式，不滿足（1），故⑤不是“幺半群”；對于虛數(shù)，，不是虛數(shù)，不滿足（1），故⑥不是“幺半群”；故答案為：②14．（2024高一·全國）記不超過的最大整數(shù)為，若集合，集合，當(dāng)或1或內(nèi)的無理數(shù)時，；當(dāng)（為既約真分?jǐn)?shù)）時，.若（表示中任意一個元素都大于中任意一個元素），則的取值范圍是.【答案】【分析】分類求解可得集合根據(jù)的含義可得，進而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合,即可列不等式求解.【詳解】當(dāng)時，，由得無解，當(dāng)時，，由得無解，當(dāng)時，，由得，解得，當(dāng)時，，由得，解得，當(dāng)時，，由得，不符合要求舍去，故集合由題意可得.因為，進而由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性有.又，集合的最小值要大于集合的最大值，.故.故答案為：15．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設(shè)表示不超過的正整數(shù)集合，表示k個元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則；若，則m的最大值為．【答案】22【分析】根據(jù)定義，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式進行求解即可.【詳解】當(dāng)時，表示有2個元素的集合，，因為，且有2個元素，所以或或，所以；由題中定義可知：，于是由，而，即，又因為，所以m的最大值為，故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義，運用等差數(shù)列的前項和公式.新定義題之解答題16．（23-24高二下·浙江寧波·期中）對于，定義，，其中為中最大的數(shù)，例如：，，.給定正整數(shù)，根據(jù)以上內(nèi)容，對于，請回答下列問題:(1)（用和表示）;(2)滿足的有序數(shù)對有多少個?(3)滿足的有序數(shù)對有多少個?(4)滿足的有序數(shù)對有多少個?【答案】(1)(2)個(3)個(4)個【分析】（1）直接構(gòu)造數(shù)列并使用等差數(shù)列性質(zhì)求解；（2）先計算滿足的的個數(shù)，再作差求解滿足的的個數(shù)，最后令即可；（3）由上一小問的結(jié)論可直接得到結(jié)果；（4）將條件等價轉(zhuǎn)化為：，且有或，再用乘法原理求出結(jié)果.【詳解】（1）我們定義數(shù)列滿足，，則.由于，故是遞增數(shù)列，從而.所以，這得到是公差為的等差數(shù)列，再由就有.所以.（2）我們有，對集合，記其元素個數(shù)為.設(shè)正整數(shù)，定義集合，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即.從而，特別地，.故對于正整數(shù)，使得的的個數(shù)即為.特別地，取，知使得的的個數(shù)為.（3）由上一問的推導(dǎo)，知使得的的個數(shù)為.（4）由前面的推導(dǎo)可知，但又有，故.這表明等價于.對正整數(shù)，有如下結(jié)論.等價于：及，且這兩組條件中的每組都至少有一個取到等號.綜合兩組條件可得，這表明和這兩個不等式兩邊不能取等.因此，原結(jié)論又等價于：，且有或.當(dāng)，時，相應(yīng)的有種；當(dāng)，時，相應(yīng)的有種.上述兩次計算中，的情況被重復(fù)計算了一次，其它滿足條件的都恰被計算一次.所以滿足條件的全部的的個數(shù)為.17．（23-24高一下·北京·期中）設(shè)為正整數(shù)，若滿足：①；②對于，均有.則稱具有性質(zhì).對于和，定義集合.(1)設(shè)，若具有性質(zhì)，寫出一個及相應(yīng)的；(2)設(shè)和具有性質(zhì)，那么是否可能為，若可能，寫出一組和，若不可能，說明理由.【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義可得答案；（2）利用反證法以及性質(zhì)的定義推出相互矛盾的結(jié)論可得解.【詳解】（1），；，；，；，；，；，.（2）假設(shè)存在和均具有性質(zhì)，且，則，因為與同奇同偶，所以與同奇同偶，又因為為奇數(shù)，為偶數(shù)，這與與同奇同偶矛盾，所以假設(shè)不成立.綜上所述：不存在具有性質(zhì)的和，滿足.18．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若對任意，當(dāng)時，存在，使得，則稱是的元完美子集．(1)判斷下列集合是否是的3元完美子集，并說明理由；①；

②．(2)若是的3元完美子集，求的最小值．【答案】(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由見解析(2)【分析】（1）理解3元完美子集的定義，并判斷兩個集合是否滿足完美子集的定義；（2）分別設(shè)，，以及時，判斷是否存在3元完美子集，并比較最小值，即可求解.【詳解】（1）①因為，且，所以不是的3元完美子集；②因為，且，而，是的3元完美子集．（2）不妨設(shè)．若，則，且，則集合的元素個數(shù)大于3個，這與3元完美子集矛盾；若，則，而，符合題意，此時，即,此時．若，則，于是，，若存在3元完美子集，則或，即，所以．綜上，的最小值是12．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查有關(guān)集合新定義的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是理解3元完美子集的定義.19．（23-24高二下·北京豐臺·期末）已知集合（，且）．若集合，同時滿足下列兩個條件，則稱集合，具有性質(zhì)．條件（1）：，，且，都至少含有兩個元素；條件（2）：對任意不相等的，，都有，對任意不相等的，，都有．(1)當(dāng)時，若集合，具有性質(zhì)，且集合中恰有三個元素，試寫出所有的集合；(2)若集合，具有性質(zhì)，且，，求證：；(3)若存在集合，具有性質(zhì)，求的最大值．【答案】(1)，，；(2)證明見解析；(3)32.【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)可得答案；（2）記“對任意不相等的，，都有”為條件①，記“對任意不相等的，，都有”為條件②，分析條件①②中的元素可得答案；（3）一方面求出時，可構(gòu)造集合、使其具有性質(zhì)；一方面，當(dāng)時，可證明不存在具有性質(zhì)的集合，可得答案.【詳解】（1）所有的集合為，，；（2）記“對任意不相等的，，都有”為條件①，記“對任意不相等的，，都有”為條件②．由條件②得．由，和條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件①得，即．由條件②得，與矛盾，所以，即（3）的最大值為32．證明如下：一方面，當(dāng)時，可構(gòu)造集合，具有性質(zhì)；另一方面，當(dāng)時，可證明不存在具有性質(zhì)的集合，．證明如下：由（2）知，，且當(dāng)，時，，此時不存在具有性質(zhì)的集合，．由條件①得2，3不能同時屬于集合．下面討論2和3一個屬于集合，一個屬于集合的情況：（1）當(dāng)，時，由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即，．因為，，，，由條件②得，，即，．由條件①得，，即，．由條件②得，與矛盾，此時不存在具有性質(zhì)的集合，．（2）當(dāng)，時，由條件②得4，5不能同時屬于集合，下面分三種情形：情形一：若，，由條件①得，即．由條件②得，，即，．由條件①得，即．由條件①得，即．由條件②得，與矛盾，此時不存在具有性質(zhì)的集合，．情形二：若，，由條件①得，，即，．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，與矛盾，此時不存在具有性質(zhì)的集合，．情形三：若，，由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件②得，即．由條件①得，與矛盾，此時不存在具有性質(zhì)的集合，綜上，的最大值為32．【點睛】思路點睛：此題考查數(shù)列與集合結(jié)合的新定義問題，屬于難題，關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素,找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件,看所求的是什么問題,進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.20．（23-24高二下·北京朝陽·期末）已知n是正整數(shù)，集合.若集合且P中元素個數(shù)為k，則稱P是的k元子集.若P是的一個k元子集，且對任意：，都存在P中若干個不同元素，，，，滿足，則稱P是的k元基子集.(1)判斷是否是的4元基子集，說明理由；(2)設(shè)P是的7元子集，判斷P是否一定是的7元基子集，說明理由；(3)若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值.【答案】(1)是，理由見解析，(2)不是，理由見解析，(3)15【分析】（1）根據(jù)4元基子集的定義即可驗證求解，（2）根據(jù)4元基子集的定義舉反例即可說明，（3）先用反證法證明不符要求，即可得，設(shè)，由于0可以表示為中若干個元素之和,根據(jù)對稱性只證明整數(shù)，均可表示為中若干個元素之和,，即可根據(jù)①②兩種情況求解即可.【詳解】（1）由于，因為且，所以是的4元基子集（2）P不一定是的7元基子集，理由如下：，取，則，故4不能寫成中若干個元素之和，所以不是的7元基子集（3）當(dāng)時，考慮的元子集，當(dāng)時，中的元素均不是正數(shù)，此時中的正整數(shù)均不能寫成中若干個元素之和，當(dāng)時，中所有的正元素之和為，故不能寫成中若干個元素之和,所以，設(shè)，則,任取的15元子集，因為，所以或存在使得,所以0可以表示為中若干個元素之和,由對稱性，只需要證明整數(shù)，均可表示為中若干個元素之和,設(shè)，因為中至多包含11個非正數(shù)，所以，下面證明這11個數(shù)中至少有個數(shù)可表示為中若干個不同元素之和,①若中存在不小于的數(shù)，設(shè)其中最小的一個為，則，所以中至少有個數(shù)可表示為中若干個不同元素之和,②若，設(shè)在所有可表示中若干個元素之和的數(shù)中，小于的最大數(shù)為，則，所以，解得，設(shè)是在中的補集，則對于任意的，均有，即中至少有個數(shù)可表示為中若干個不同元素之和,設(shè),，因為的元素個數(shù)，中的元素個數(shù)，又,所以，即不為空集，，設(shè)，則可表示為中若干個不同元素之和,所以可表示為中若干個不同元素之和,綜上可得：最小值為15【點睛】方法點睛：求解新定義運算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進行求解.對于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識求解.21．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知集合對于，定義與的差與間的距離為.(1)當(dāng)時，設(shè)，求；(2)證明：，且；(3)設(shè)中有個元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用定義直接計算；（2）分和進行證明，可得證；（3）利用題意結(jié)合排列組合的知識處理的式子，然后結(jié)合組合數(shù)和不等式的性質(zhì)進行放縮即可證得結(jié)論.【詳解】（1），，（2），因為，所以，從而，由題意知，當(dāng)時，||，當(dāng)時，||，所有.（3），其中表示中所有兩個元素間距離的和，設(shè)中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個個0，中1的個數(shù)為的個數(shù)為，則，由于，所以，所以.【點睛】方法點睛：解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之外用好集合的運算與性質(zhì).22．（2025高三·全國·專題練習(xí)）對給定的正整數(shù)，令，對任意的，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個元素的子集，集合中的最小值稱為的特征，記作．(1)當(dāng)時，直接寫出下述集合的特征：；(2)當(dāng)時，設(shè)且，求中元素個數(shù)的最大值；(3)當(dāng)時，設(shè)且，求證：中的元素個數(shù)小于．【答案】(1)，，．(2)個元素(3)證明見解析【分析】(1)利用題目給的新定義結(jié)合題目給的新的集合寫出集合的特征即可,(2)先根據(jù)定義求出中至多有個元素，再利用且和的元素個數(shù)相同，但中共有個元素，其中至多一半屬于，求出中至多有個元素．(3)先求出中恰有2021個元素，再設(shè)，，則，利用與矛盾，求出，結(jié)合是正整數(shù)，得到集合中的元素個數(shù)小于．【詳解】（1）依題意可得集合:中的最小值為:故，集合:中的最小值為:，集合:中的最小值為:．故，，．（2）（a）一方面：對任意的，令，則，故，令集合，則，則且和的元素個數(shù)相同，但中共有個元素，其中至多一半屬于，故中至多有個元素．（b）另一方面：設(shè)是偶數(shù)，則對任意的，，，都有中的元素個數(shù)為，易得與奇偶性相同，故為偶數(shù)，又，則，所以，注意到，且它們的距離為2，故此時滿足題意，綜上，中元素個數(shù)的最大值為．（3）當(dāng)時，設(shè)且，設(shè)，則對任意的，定義的鄰域，（a）一方面：對任意的，中恰有2021個元素，事實上，①若，則，恰有一種可能；，②若，則與，恰有一個分量不同，共2020種可能；綜上，中恰有2021個元素，（b）對任意的，，事實上，若，不妨設(shè)，，則，這與矛盾，由（a）和（b）可得中共有個元素，但中共有個元素，所以，即，注意到是正整數(shù)，但不是正整數(shù)，上述等號無法取到，所以，集合中的元素個數(shù)小于．23．（2024·北京西城·三模）記集合.對任意，，記，對于非空集合，定義集合.(1)當(dāng)時，寫出集合；對于，寫出；(2)當(dāng)時，如果，求的最小值；(3)求證：.（注：本題中，表示有限集合A中的元素的個數(shù).）【答案】(1)；(2)5(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)定義直接寫出集合，再根據(jù)的定義寫出；（2）設(shè)，則，則由題意可得，從而可求得結(jié)果；（3）設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中，記（），先利用反證法證明這些互不相等，再根據(jù)定義證明即可.【詳解】（1）；若，則.（2）的最小值為5.證明如下：設(shè).因為，除外，其它7個元素需由兩個不同的，計算得到，所以，解得.當(dāng)時，有，符合題意.（3）證明：設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中.記（），則這些互不相等.證明如下：如果存在，，則，的每一位都相等，所以，的每一位都相等，從而，與集合A中元素的互異性矛盾.定義集合，則.又，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查集合的新定義，考查集合間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對集合新定義的正確理解，考查理解能力，屬于難題.24．（23-24高一下·北京順義·期中）已知為實數(shù)集的一個非空子集，稱是一個加法群，如果連同其上的加法運算滿足如下四條性質(zhì)：①，；②，；③，，使得；④，，使得．例如是一個無限元