第05講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)+真題+11類高頻考點(diǎn) 精講（解析版）

第05講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 7高頻考點(diǎn)一：三角函數(shù)的定義域 7高頻考點(diǎn)二：三角函數(shù)的值域 10高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)的周期性 15高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)的奇偶性 19高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)的對稱性 22高頻考點(diǎn)六：三角函數(shù)的單調(diào)性（求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間） 25高頻考點(diǎn)七：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?31高頻考點(diǎn)八：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)） 34高頻考點(diǎn)九：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合） 38高頻考點(diǎn)十：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與對稱性相結(jié)合） 42高頻考點(diǎn)十一：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合） 45第四部分：新定義題 48第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心對稱軸方程無遞增區(qū)間遞減區(qū)間無2、三角函數(shù)的周期性函數(shù)周期函數(shù)周期函數(shù)()()()周期其它特殊函數(shù)，可通過畫圖直觀判斷周期(1)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)的周期為，函數(shù)()的最小正周期．(2)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)的周期為．函數(shù)()的最小正周期均為．(3)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)|的周期為，函數(shù)()的最小正周期均為．3、三角函數(shù)的奇偶性三角函數(shù)取何值為奇函數(shù)取何值為偶函數(shù)()()()()()(1)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；(2)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；(3)函數(shù)是奇函數(shù)?()．4、三角函數(shù)的對稱性(1)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；(2)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；(3)函數(shù)的圖象的對稱中心由)解得．第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·乙卷理）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個(gè)周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項(xiàng)即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項(xiàng)中，B選項(xiàng)中，C選項(xiàng)中，D選項(xiàng)中，排除選項(xiàng)CD，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個(gè)對稱中心，排除選項(xiàng)A，對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.3．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.4．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

【答案】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)?，所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1).(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．【詳解】（1）因?yàn)樗?，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，所以的最大值為，最小值?若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所?所以，；若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：三角函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)的真數(shù)大于零，二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和分式的分母不為零，列不等式組可求得結(jié)果.【詳解】要使有意義，需滿足，解得且．所以定義域?yàn)?故選：B．例題2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）在內(nèi)函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，其中有意義，則滿足，其中，即，其中，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.例題3．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數(shù)的定義域．【答案】【分析】利用正切函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例題4．（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?（用區(qū)間表示結(jié)果）【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，偶次方根下大于等于零及正切函數(shù)的定義域列式求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，只需，所以，，即，，所以或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知的定義域是，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的定義域，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域是，對于函數(shù)，有，可得，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊驹斀狻坑蓅inx≠cosx，得tanx≠1，即x≠＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)y＝的定義域?yàn)?3．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】.【分析】根據(jù)題意，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.4．（23-24高一上·湖北孝感·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.高頻考點(diǎn)二：三角函數(shù)的值域典型例題例題1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.【詳解】由題意可知：，當(dāng)時(shí)，則，所以故選：B.例題2．（23-24高一下·河北承德·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定函數(shù)，結(jié)合周期性，在長為一個(gè)周期的區(qū)間內(nèi)探討使得的函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】函數(shù)的周期為，由，得，即，解得，在長為一個(gè)周期的區(qū)間上，取，得，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在上的值域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)時(shí)，，于是，所以的取值范圍是.故選：B例題3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．則=；函數(shù)的最小值為．【答案】/【分析】先化簡，然后計(jì)算，換元，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】，則，令，則，對稱軸為，故最小值為.故答案為：；.例題4．（23-24高一上·山西陽泉·期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值，并求出取得最值時(shí)x的值．【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值【分析】（1）化簡的最小正周期，然后求得的最小正周期，利用整體代入法求得的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得正確答案.【詳解】（1），．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，，．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（2）由得，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為，當(dāng)，即時(shí)取得最大值為1．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)，的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的范圍，再由正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍，再乘以3即可.【詳解】故選：C.2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坷脫Q元法，結(jié)合正弦函數(shù)的值域與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，易知開口向上，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：.3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】化簡可得，令且，所以函數(shù)的值域等價(jià)于在區(qū)間上的值域，利用二次函數(shù)求出在區(qū)間上的值域即可.【詳解】由題可得：，令，則，令，所以函數(shù)的值域等價(jià)于在區(qū)間上的值域，由于，所以當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥渴紫却_定的范圍，結(jié)合二次函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，的值域?yàn)?故答案為：.高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)的周期性典型例題例題1．（23-24高一下·北京·期中）函數(shù)的最小正周期是（）A．4π B．2π C．π D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡求出周期即可.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期，故選：A.例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習(xí)）以下函數(shù)中最小正周期為的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】對于A，直接畫出函數(shù)圖象驗(yàn)證即可；對于BCD，舉出反例推翻即可.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖可知函數(shù)的最小正周期為，滿足題意；對于而言，，即函數(shù)的最小正周期不是，不滿足題意；對于而言，，即函數(shù)的最小正周期不是，不滿足題意；對于而言，，即函數(shù)的最小正周期不是，不滿足題意；綜上所述，滿足題意的函數(shù)的個(gè)數(shù)有1個(gè).故選：A.例題3．（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）下列四個(gè)函數(shù)中以為最小正周期且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A選項(xiàng)，函數(shù)不是周期函數(shù)；BC選項(xiàng)，不滿足奇偶性；D選項(xiàng)滿足要求.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)圖象如下：不是周期函數(shù)，BC選項(xiàng)，與是偶函數(shù)，D選項(xiàng)，的周期為且，故為奇函數(shù)，D正確.故選：D．例題4．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，那么函數(shù)最小正周期為；對稱軸方程為.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，繼而利用周期公式及整體代入法求解對稱軸即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，令,得，所以函數(shù)的對稱軸為.故答案為：；.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一上·山東聊城·期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)周期性，奇偶性逐一判斷每一選項(xiàng)即可求解.【詳解】對于A，是奇函數(shù)不滿足題意，故A錯(cuò)誤；對于B，若，首先定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是偶函數(shù)，又，所以是周期函數(shù)，故B正確；對于C，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：由此可知函數(shù)不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（多選）（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知下列函數(shù)中，最小正周期為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由圖象變換，周期為，則根據(jù)對稱性，周期為，同理可判斷A、B、C；而，可判定.【詳解】作的圖象，如圖，由圖可知函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由于的周期為，則根據(jù)對稱性，周期為，故B正確；由于的周期為，周期為，故C正確；而，周期為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC3．（23-24高一上·四川成都·期末）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由最小正周期公式和三角函數(shù)的奇偶性對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，的最小正周期為，且為奇函數(shù)，故A正確；對于B，的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對于C，最小正周期為，為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，最小正周期為，為奇函數(shù)，故D正確.故選：AD.4．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則的周期為，實(shí)數(shù).【答案】【分析】利用輔助角公式化解函數(shù)，判斷函數(shù)的周期，再結(jié)合對稱性與最值的關(guān)系，即可求解【詳解】，其中，所以函數(shù)的周期,若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，即，兩邊平方后，整理為，得.故答案為：；高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)的奇偶性典型例題例題1．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象.若是偶函數(shù)，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用給定的圖象變換求出的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，由是偶函數(shù)，得，，而，則.故選：B例題2．（2024·陜西西安·一模）將函數(shù)的圖象向左平移m（）個(gè)單位，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m的值可以是（

）．A． B．π C． D．【答案】D【分析】先求平移后圖象的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可得.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移m個(gè)單位，得的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，即，當(dāng)時(shí)，得，使，，的整數(shù)不存在.故選：D例題3．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性列式運(yùn)算得解.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以，又，故的最小值為．故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，的取值范圍，進(jìn)而即可求得的值．【詳解】由將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)為為奇函數(shù)，則，得，又，則，，故選：B．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進(jìn)行討論即可求得答案.【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無意義，得．綜上，．故選：C．3．（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則寫出a的一個(gè)可能值為．【答案】（答案不唯一）【分析】利用給定變換求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性列式計(jì)算求出的值，取其一即得.【詳解】將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，由得函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，令，可得的一個(gè)值為.故答案為：（答案不唯一）.高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)的對稱性典型例題例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得，進(jìn)而求得的對稱軸.【詳解】依題意，由，得，所以的圖象的一條對稱軸為，D選項(xiàng)正確，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D例題2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一條對稱軸為（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】D【分析】將原函數(shù)平移后借助誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】由題意可得，令，則，當(dāng)時(shí)，有，其余選項(xiàng)均不符合.故選：D.例題3．（23-24高一上·山西長治·期末）函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用正切型函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，解得，令，可得，所以函數(shù)的一個(gè)對稱中心有，其它不是對稱中心.故選：B．例題4．（多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說法不正確的是（

）A．定義域?yàn)?B．最小正周期是C．圖象關(guān)于成中心對稱 D．在定義域上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期公式、定義域、對稱中心、單調(diào)性可判斷出答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；最小正周期，B錯(cuò)誤；解得，所以圖象的對稱中心為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對稱中心為點(diǎn)，C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以由單調(diào)性的定義可知，D錯(cuò)誤．綜上，ABD符合題意.故選：ABD.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，以點(diǎn)為對稱中心的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】對于A：函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，，故A錯(cuò)誤；對于B：函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，，故B錯(cuò)誤；對于C：函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，，故C錯(cuò)誤；對于D：函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，，故D正確.故選：D2．（2024·陜西榆林·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦函數(shù)的對稱性直接求解.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以，得，因?yàn)?，所?故選：C.3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知為的對稱中心，結(jié)合余弦函數(shù)對稱性分析求解.【詳解】因?yàn)椋芍獮榈膶ΨQ中心，則，可得，解得，且，可知：當(dāng)時(shí)，取到最小值.故選：A.4．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個(gè)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則可以為．【答案】（答案不唯一）【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性與周期性得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，則，故，又，所以，，，…．.故答案為：（答案不唯一）.高頻考點(diǎn)六：三角函數(shù)的單調(diào)性（求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）典型例題例題1．（23-24高一下·重慶銅梁·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值，并求出函數(shù)取得最小值的x的集合．(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)；(2)和【分析】（1）直接利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小值及取最小值時(shí)的集合；（2）先通過求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)增區(qū)間.【詳解】（1）對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值；（2），，由和可得和，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.例題2．（23-24高一上·廣東陽江·期末）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期求出，進(jìn)而得到，代入求值即可；（2）利用整體代入法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，，則，故.（2）令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.例題3．（22-23高一·全國·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，其中，（，），的部分圖像如下圖．(1)求，，的值；(2)求的單調(diào)增區(qū)間，【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)求得，，的值.（2）利用整體代入法求得的遞增區(qū)間.【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知，，所以，過點(diǎn)和點(diǎn)，所以，由于，所以，則，所以，所以.（2）由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.練透核心考點(diǎn)1．（21-22高一上·黑龍江佳木斯·期末）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及在上的最大值和最小值(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間【答案】(1)，最大值為，最小值(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是【分析】（1）利用最小正周期公式計(jì)算即可求得函數(shù)最小正周期，由，得，借助余弦函數(shù)圖像即可求解；（2）將看作整體，借助余弦函數(shù)性質(zhì)建立不等式，計(jì)算即可求解.【詳解】（1），，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以，的最大值為，最小值.（2）由余弦函數(shù)性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增,解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，解得，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是.2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意首先根據(jù)對稱中心求得函數(shù)表達(dá)式，然后令，解不等式組即可得解.（2）由，得,解不等式組即可得解.【詳解】（1）由題意知，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即．，故．令，得，即．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，．由，得，即．不等式的解集為.3．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較與的大小.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)解析式求解最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)解析式求解函數(shù)值比較大小值.【詳解】（1）因?yàn)樗?，由，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．故函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）,，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，，所以.高頻考點(diǎn)七：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大?。┑湫屠}例題1．（23-24高一上·湖南張家界·期末）若，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換可將式子化簡為，再由余弦函數(shù)單調(diào)性即可比較得出大小.【詳解】易知；；；由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，且,所以可得，即.故選：A例題2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）設(shè)，，，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由倍角公式化簡為正切函數(shù)，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，故選：C.例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列各式正確的是（

）A．tan＜tanB．tan2＞tan3C．cos(－)＞cos(－)D．sin(－)＜sin(－)【答案】AC【詳解】tan＝tan(－π)＝tan(－)，因?yàn)檎泻瘮?shù)y＝tanx在(－，)上為增函數(shù)，且－＜－＜＜，所以，tan(－)＜tan，即tan＜tan，故A正確；由于正切函數(shù)y＝tanx在(，)上為增函數(shù)，且＜2＜3＜，所以tan2＜tan3，故B錯(cuò)誤；cos(－)＝cos＝cos，cos(－)＝cos＝cos，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)y＝cosx在(0，π)上為減函數(shù)，且0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos(－)＞cos(－)，故C正確；由于正弦函數(shù)y＝sinx在(－，)上為增函數(shù)，且－＜－＜－＜，所以sin(－)＞sin(－)，故D錯(cuò)誤．故選AC.練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先判斷角所在的象限，再根據(jù)單調(diào)性和與對稱軸的距離判斷三角函數(shù)值的符號(hào)?！驹斀狻恳?yàn)?又,所以函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù),所以,故A不正確;因?yàn)?,且,所以,故C正確;因?yàn)?且,所以,故B正確;因?yàn)?且在為單調(diào)遞減函數(shù),所以,故D不對.故選:BC.2．（多選）（23-24高一上·全國·期末）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性一一分析即可.【詳解】，，因?yàn)?，且在該范圍?nèi)單調(diào)遞增，則，故A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，所以，故B正確；，，因?yàn)椋?，所以，故C正確；對D，，，所以，故D正確；故選：BCD.3．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）與的大小關(guān)系是（填：“或=”中的一個(gè)）.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡后，利用正切函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，故，故答案為?高頻考點(diǎn)八：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)）典型例題例題1．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件化為，利用換元法化為，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，則，因?yàn)?，所以；又因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，即，解得.故選：C例題2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】易知，，在時(shí)，，顯然，若要符合題意，且能取得最大值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知需滿足：，故的最大值為.故選：A例題3．（23-24高三上·廣東·期末）已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先將函數(shù)降冪，由題設(shè)求出的值，再根據(jù)后續(xù)條件，考查所得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，比較區(qū)間的包含關(guān)系計(jì)算即得.【詳解】由的最小正周期為，得,則，因當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.由題知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故須使，解得.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023·江西·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到，從而得到不等式組，解得即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A2．（23-24高三上·北京海淀·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性分析求解即可.【詳解】由題意易知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，需要滿足：.要想滿足函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，還需滿足：，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.3．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值集合為.（用列舉法表示）【答案】【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與周期性可得，再對的值進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可得出答案.【詳解】由在區(qū)間上是減函數(shù)，則，且，解得因?yàn)?，所以或或或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無意義，故不成立.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故滿足題意.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故滿足題意.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無意義，故不成立.故答案為:高頻考點(diǎn)九：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合）典型例題例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上不單調(diào)，則的可能取值有（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到，此時(shí)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求得，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，可得，因?yàn)?，可得，所以，又由，可得，?dāng)時(shí)，可得，可得在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，可得在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，可得在上不單調(diào)，符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，可得在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的最小正周期為，此時(shí)，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，符合題意，所以，所以滿足條件的有9個(gè).故選：C.例題2．（多選）（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)求得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)列式求得的范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上具有單調(diào)性，所以，，即且，，則，，因?yàn)?，得，因?yàn)?，所以時(shí)，，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故C正確；B、D錯(cuò)誤.故選：AC.例題3．（2024·安徽蕪湖·二模）已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則．【答案】/1.5【分析】根據(jù)題意，再由對稱中心求出，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，，即或，又的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，即，所以，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，符合條件.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】借助輔助角公式可將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得的范圍.【詳解】，當(dāng)，由，則，則有，，解得，，即，，有，，即，即或，當(dāng)時(shí)，有，時(shí)，有，故的取值可能在或.故選：AC.2．（多選）（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可確定的取值范圍，從而確定正確的選項(xiàng).【詳解】由，，.又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得，綜上，，故BC正確，AD錯(cuò)誤.故選：BC3．（23-24高三上·江西南昌·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是.【答案】【分析】先求得，根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由，可得，其中，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.高頻考點(diǎn)十：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與對稱性相結(jié)合）典型例題例題1．（2024·吉林延邊·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】結(jié)合題意可得，因?yàn)榍€關(guān)于軸對稱，所以，解得,因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.例題2．（23-24高三上·河北承德·期中）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】的圖像向左平移個(gè)單位長度后為，由關(guān)于軸對稱，即有，解得，又，故的最小值為.故選：C.例題3．（2023·湖南永州·一模）已知函數(shù)，若，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則的取值共有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)可得，根據(jù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)可得，即可求出的取值有幾個(gè).【詳解】由題意，在中，，∴,所以，兩式相減得，所以，即，，因?yàn)?，所以，令，，由題意知在上無零點(diǎn)，故，，所以，即，兩式相加得，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的取值有5個(gè).故選：B.練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦函數(shù)對稱中心求出的表達(dá)式，再賦值求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,則，解得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)的初始相位為，若在區(qū)間上有且只有三條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)x的取值范圍，確定，結(jié)合在區(qū)間上有且只有三條對稱軸，列出不等式，即可求得答案.【詳解】由于函數(shù)的初始相位為，即，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上有且只有三條對稱軸，故，解得，故選：D3．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個(gè)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則可以為．【答案】（