2024-2025學(xué)年重慶市高三年級上冊第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試題

注意事項(xiàng)：

1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規(guī)定位置上.

2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.

3.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合。=2血，則下面結(jié)論中正確的是（）

A.B.

C.｛0｝《'D.。任力

【正確答案】D

【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系、元素與集合的關(guān)系可得B、C錯誤，再根據(jù)。=2夜為無

理數(shù)可得正確的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?。表示元素，｛“｝表示集合，故B、C錯誤.

因?yàn)?正不是自然數(shù)，所以且｛0｝之'不成立，故A也錯誤，D正確，

故選：D.

本題考查元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系的判斷，一般地，集合與集合之間用包含或

不包含，

2.記S"為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，則“任意正整數(shù)〃，均有%>°”是“｛*｝是遞增數(shù)列”的（

）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)4與S"的關(guān)系，利用作差法，可判斷充分性，取特殊例子，可判斷必要性，

即得答案.

【詳解】當(dāng)％>°時，則S"—S"T=%〉0(〃之2,〃eN),

...S〃>S-i,即數(shù)列｛s〃｝是遞增數(shù)列，

所以“對任意正整數(shù)力均有是"｛，"｝為遞增數(shù)列”的充分條件；

取數(shù)列&｝為TUS4,…，顯然數(shù)列｛'｝是遞增數(shù)列，但是死不一定大于零，

所以“對任意正整數(shù)"，均有%〉°”不是“｛邑｝為遞增數(shù)列”的必要條件，

因此“對任意正整數(shù)"，均有例>°”是“｛，"｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知向量°'=(，),(，),(，),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成

三角形，則實(shí)數(shù)機(jī)不可以是()

1

A.-B—C.1D.-1

【正確答案】C

【分析】求益與NC,使之共線并求出機(jī)的值，即可得解.

【詳解】因?yàn)門)-。，-3)=(1,2),

AC=OC-OA=(m+l,m-2)-(l,-3)=(m,m+l)

假設(shè)48，C三點(diǎn)共線，則+2機(jī)=°,即機(jī)=1.

所以只要加N1,則4民°三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.

故選：C

4.己知'3,則<)VJ的值是

121_2

A.3B.3c.3D.3

【正確答案】D

【分析】

將代數(shù)式中的角用75°+a表示，利用誘導(dǎo)公式即可求出所求代數(shù)式的值.

[詳解]sinQ_15°)+cos(105°_a)=sin[(a+75°)—90°]+cos[180°_(a+75°]

=-2cosQ+75。)=一2xg=—g

故選：D.

本題考查利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，解題時要將角利用已知角加以表示，考查計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

5.已知函數(shù),°)一1nx1在點(diǎn)(卜1)處的切線與曲線""'("I)*—?只有-個公共

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.B.{。19}c.{T-外D.

{0,-1,-9}

【正確答案】B

【分析】求出切線方程，再對。分。=°和討論即可.

/((x)=~+~?/⑴―2

[詳解]由萬必得

所以切線方程是N=2(X—1)—1=2X—3,

①若a=°,則曲線為V=一x-2,顯然切線與該曲線只有一個公共點(diǎn)，

②若a70,貝ij2x-3=ax"+(a-l)x—2,

即af+(a-3)x+1—0

由△=(□—3)2-4。=°,即/_1()4+9=0,

得。=1或a=9,

綜上:。=°或或。=9.

故選：B.

6.數(shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題，且

每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為

G；CC43

A黑盤盤34

B.團(tuán)D.

叱CC43

【正確答案】A

【詳解】將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題

只需每個課題依次選三個人即可，共有《中選法，最后選一名組長各有3種，

故不同的分配方案為：°；2瑪戲3,

故選A.

7.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%?100%,當(dāng)

血氧飽和度低于90%時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:

S（7）=S°eK’描述血氧飽和度S?）隨給氧時間/（單位：時）的變化規(guī)律，其中風(fēng)為初始血

氧飽和度，K為參數(shù).已知*=60%,給氧1小時后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度

達(dá)到90%,則至少還需要給氧時間（單位：時）為（）

（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：ln2y0.691n37110）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

【正確答案】B

【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時間/的方程，解之即可求得給氧時間至少還需要的小時數(shù).

【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時間至少還需要》一1小時，

由題意可得60eK=80,60e&=90,兩邊同時取自然對數(shù)并整理，

A：=ln—=ln-=ln4-ln3=21n2-ln3&=ln—=ln-=ln3-ln2

得603602,

：ln3-ln2：1.10-0.69;小

則211127n32x0.69-1.10,則給氧時間至少還需要。.5小時

故選：B

8.若V4SC的內(nèi)角滿足sin5+sinC=2sinN,則（）

兀271

的最大值為H

A.AB.A的最大值為3

兀71

C.A的最小值為3D.A的最小值為6

【正確答案】A

【分析】利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理有：2a=b+c,結(jié)合余弦定理可得:

〃+02_

b2+c2-a2

cosA=

2bc2bc

°時等號成立,

1

所以，COS/的最小值是2,

兀

又余弦函數(shù)＞=cosx在（0,兀）上單調(diào)遞減得，A的最大值為3.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知I的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說法正確的是（）

A.2,",10成等差數(shù)列

B,各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)

D.展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

【正確答案】ABD

【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出"的值，再令x=l可求系數(shù)和，根據(jù)展開式的總項(xiàng)數(shù)可

得二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，利用展開式的通項(xiàng)公式求第5項(xiàng).

【詳解】由?的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,得〃=6,得2,6,10成等差數(shù)列，

A正確；

—與=26=64

令x=l,IVxJ,則I?。┑母黜?xiàng)系數(shù)之和為64,B正確；

KN

1的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確；

5x--C：（5x）2]—與=15x25x81

I的展開式中的第5項(xiàng)為I為常數(shù)項(xiàng)，D正確.

故選:ABD

10.甲、乙兩支田徑隊的體檢結(jié)果為：甲隊體重的平均數(shù)為6°kg,方差為200,乙隊體重的

平均數(shù)為7°kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1：4,則下列說法正確的

是（）

A.甲、乙兩隊全部隊員的平均體重是68kg

B.甲、乙兩隊全部隊員的平均體重是65kg

C.甲、乙兩隊全部隊員的方差是296

D.甲、乙兩隊全部隊員的方差是306

【正確答案】AC

【分析】依題意利用各樣本平均數(shù)和方差與總體平均數(shù)和方差的關(guān)系式，代入公式計算即可

求得結(jié)果.

￡4

【詳解】根據(jù)題意可知，甲、乙兩隊的隊員在所有隊員中所占權(quán)重分別為丁》；

又甲隊體重的平均數(shù)為60kg,乙隊體重的平均數(shù)為70kg,

14

-x60+-x70=68.

所以甲、乙兩隊全部隊員的平均體重是55kg,即可得A正確，B錯誤；

s2=1200+(60—68月+m300+(70—68)2]=296

乙兩隊全部隊員的方差是，可知C

正確，D錯誤.

故選：AC

r,、sm/rx

/（x）=------r

11.設(shè)函數(shù)％―x+1,則（）

4

A./（X）的最大值為3B」/（小5卜|

C.曲線了=/（"）存在對稱軸D.曲線，=/（"）存在對稱中心

【正確答案】ABC

、sin7ix

/（x）=------7

【分析】函數(shù)X-X+1，

對于A：分別求出分子分母的范圍，即可求出了（“）的最大值；

g=|西0|x——（5

X|7TX（_j_Y3

對于B：借助于V2）4,判斷出/（X）怕5忖；

對于C：分析出y=sinm和＞=/—x+1的對稱軸即可

對于D：利用對稱中心的定義進(jìn)行驗(yàn)證.

、sinrex

/(x)=-27

作出X—X+1的圖像，如圖示:

“工八八二sin?xe八目》一入+1

對于A：?.?分子L'」，分母44

，/、sinjtx14

/(x)=f---------<—=-

x2-x+l33

4,故A正確;

_J_

5是J=/（x）的對稱軸，故c正確;

對于D??./（"-x）+/（a+x）.

<1不可能為常數(shù)，故D錯誤.

故選：ABC

（1）多項(xiàng)選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項(xiàng)一一驗(yàn)證；

（2）對于非基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等性質(zhì)，利用定義法進(jìn)行分析.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.復(fù)數(shù)z=?+1）°—4）,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是.

【正確答案】-4

【分析】先化簡求得z再計算實(shí)部和虛部的和即可.

【詳解】2=（3+i）0-4i）=3-12i+i+4=7-Ui,故實(shí)部和虛部之和為7-11=-4.

故-4

13.若函數(shù)/（x）-2x一山》在其定義域的_個區(qū)間（2左-1,24+1）內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)左的取

值范圍是.

【正確答案】弓

【分析】只需函數(shù)/（X）的極值點(diǎn)在區(qū)間Q后一1，2左+1）內(nèi)，再利用（2左一1,2左+1）為定義域

的真子集即可求出實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【詳解】解：函數(shù)/（x）=2》2-Inx的定義域是（0,+oo）,

k>-

所以2kT20,即2.

/（x）=4x--

因?yàn)閤,

所以/,a）在（°，+00）上單調(diào)遞增，

Y——1

由/'（X）=o,可得2

若函數(shù)/（x）=2x?-Inx在區(qū)間（2左-1,2左+1）內(nèi)不單調(diào)，

113

2k-l<-<2k+\--<k<-

則2,解之可得44,

k>--<k<-

又因?yàn)?,所以24.

故答案為」57）

14.已知平面向量℃滿足Q=|。8|=4,〈0408〉6,則

ULIUULIULIUULU

O^OB=,若（℃-。壯（℃-08）=3,則I否的最大值為.

【正確答案】①.T24+V13

【分析】空1,利用向量的數(shù)量積的定義求解即可；空2,先建立平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)

c（x/）,則點(diǎn)。在圓一+3—1）2=16上運(yùn)動,結(jié)合三角函數(shù)范圍得出I"區(qū)4+屈,

即可求解.

【詳解】空1,因?yàn)樯酱?2百，Q司=4,〈°"3〉一

OAOB=2A/3X4XCOS—=-12

所以6.

B

空2,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

cosOA,OB=--sin04,05=-

不妨設(shè)C。/),由題知2,則2

故可設(shè)礪=(一26,2),厲=(26,0),設(shè)C(xj),

UUULMUUUUXIJ—L

則(0C-CM).(<9C-OB)=(x-2V3,y)g+2V3,J-2)=x2+/-2j-12=3

x=4cos0

即點(diǎn)C在圓/+3—1)2=16上運(yùn)動，令［y-l=4sin￡,

故IAC|=7(4cos3-273)2+(4sin3+1)2=也9+8sin"16百cos?

=j29+8V^sin(M+0)<也9+8巫=4+713

所以?就飽最大值為4+JF.

故答案為.4+小

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于建立坐標(biāo)系，求得點(diǎn)c(x/)的軌跡方程，進(jìn)而三角代換利用輔助角

公式求得最大值.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛""｝的前三項(xiàng)和為12,等比數(shù)列也｝的前三項(xiàng)和為改，

日4]=4〃2=“2

_tL，.

(1)求｛%｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

an,n=2k-\

cn—<I——

⑵設(shè)[Jb“,〃=2k,其中左eN*,求數(shù)列匕｝的前20項(xiàng)和.

冊=2〃b=2"

【正確答案】(1)n

(2)2246

【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量，根據(jù)題意得到關(guān)于基本量的方程組進(jìn)行求

解；

（2）利用分組法和等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛“〃｝的首項(xiàng)為q、公差為d,

等差數(shù)列3"｝的首項(xiàng)為4、公比為”

3%+3d—12

a1+d=biq

<4（l+q+/）=7/?i

q〉0

得°

由題意,

解得4=2,d=2,4=2,q=2

所以a〃=2〃，bn=T；

【小問2詳解】

解：由題知｛,"｝的前20項(xiàng)和

S=%+%+,,,+%9++…+yf^20

10

2+382x（2-l）

xl0+—----12246

即22-1

271

sinX+1+V2sinXH-----

16.已知4MY]2

（1）求/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

5兀3兀

（2）若函數(shù)一切在區(qū)間L24'8」上恰有兩個零點(diǎn)%

①求相的取值范圍；

②求國+々的值.

3兀7兀7/7ry、

----卜際,一+E（kEZ）

【正確答案】（1）188」

1171

_<〃？<一X[+X?=—

(2)①42或機(jī)=0②~4

【分析】（1）根據(jù)降幕公式，二倍角的正弦公式，輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦

函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可;

（2）①利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可；②根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即

可.

【小問1詳解】

7t

/(x)=sin2*+V2sinx+—?cosx+—

I42

1—cosI2xH—

I4

+交sin￡x+四71￡

2222

二2°s2x+&in2x+旦°s2x」

24422

=—sin2x+—cos2x

44

=-sin[2x+-71

24

--+2H<2x+-<-+2kji(keZ)

結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得：當(dāng)242

3兀7,'兀

-------卜ku<x<—+E（左eZ）

即88時，函數(shù)單調(diào)遞增,

3兀7兀7,7ryX

-----F左兀，一十左兀（左￡N）

所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為L88-

【小問2詳解】

兀5兀3兀兀1.11

t=2x+—xG三了」時,te6,71—sin/e

①令4,當(dāng)242

1.

y=—sin/e

所以2°4

0四

2

-----，——<m<一

所以要使y=l/（x?一”在區(qū)間L248」上恰有兩個零點(diǎn)，制的取值范圍為42或

m=0.

1.

y=—smt-m—2X|H--,4=--

②設(shè)是函數(shù)2的兩個零點(diǎn)（即44）,

c兀c兀

,>_2X]H-------F2x?H-----=71

由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知4+‘2=71,即4-4

17.隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個人駕駛已經(jīng)逐漸成為一項(xiàng)成年人的基本技能.某免費(fèi)“駕考App”

軟件是駕校學(xué)員的熱門學(xué)習(xí)工具，該軟件設(shè)置每天最多為一個學(xué)員提供5次模擬考試機(jī)會.學(xué)

員小張經(jīng)過理論學(xué)習(xí)后，準(zhǔn)備利用該App進(jìn)行模擬考試，若他每次的通過率均為3,且計劃

當(dāng)出現(xiàn)第一次通過后，當(dāng)天就不再進(jìn)行模擬考試，否則直到利用完該軟件當(dāng)天給的所有模擬

考試機(jī)會為止.

（1）求學(xué)員小張最多利用兩次機(jī)會就通過模擬考試的概率；

（2）若學(xué)員小張每次模擬考試用10分鐘，求他一天內(nèi)模擬考試花費(fèi)的時間X的期望.

【正確答案】（1）9

1210

⑵虧

【分析】（1）借助獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式計算即可得；

（2）求出一天內(nèi)模擬考試的次數(shù)4的所有可能取值，計算相應(yīng)概率，代入數(shù)學(xué)期望公式求解

口的期望，借助期望的性質(zhì)求得模擬考試花費(fèi)時間X的期望即可.

【小問1詳解】

pF\——￡=-x—=一

設(shè)學(xué)員小張恰第7?次通過模擬考試的概率為4,則3,339,

8

9-

所以，學(xué)員小張最多利用兩次機(jī)會就通過模擬考試的概率為39

【小問2詳解】

設(shè)J表示一天內(nèi)模擬考試的次數(shù)，則JT，2,3,4,5,

由題意知：尸…彳，尸…)十三尸("A：jx”

1327

尸("4)叫I'llP（=）=I?=8l

/、22221121

￡G）=1X—+2x—+3x——+4x——+5x——=——

所以v73927818181

因?yàn)閄=10J,所以~IJ81

1210

所以小張一天內(nèi)模擬考試花費(fèi)的時間X的期望為81分鐘.

18.2023年8月27日，哈爾濱馬拉松在哈爾濱音樂公園音樂長廊鳴槍開跑，比賽某補(bǔ)給站平

面設(shè)計圖如圖所示，根據(jù)需要，在設(shè)計時要求48=ND=4,BC=6,

⑴若3,3,求cosNADC的值；

⑵若。。=2,四邊形N5CD面積為4,求c°s('+0)的值.

V7

【正確答案】(1)4

5

⑵6

【分析】(1)△"BO中求出8。，在△5C。中，由正弦定理求出sinNBDC,根據(jù)

cosZ.BDC=Vl-sin2ZBDC即可求cosZ.BDC.

(2)在△NBO、△C3O中，分別由余弦定理求出BQ?,兩式相減可得cosN與cosC的

SABCD=SAABD+SCRD='，4D-AB,sinA-i--CB-CD,sinC...「

關(guān)系式；又由c22的smN與sinC的

關(guān)系式；兩個關(guān)系式平方后相加即可求出c°s(4+C).

【小問1詳解】

4=空ZADB=-

在/\4BD中，...4B=AD=4,3,貝ij6

BD=2ADcosZADB=2x4xcos—=4A/3

6

BC_BD

在△BCD中，由正弦定理得，sinZBDCsinC,

6sin-

BCsinC3=3a

sinZBDC=

BD404

由BC=6,BD=4也,得BC<BD

Q<ZBDC<ZBCD=^

cosZBDC=Vl-sin2Z5DC

【小問2詳解】

在△4BD、△C8O中，由余弦定理得,

BD?=AB2+AD2—2AB-ADcosA=42+42—2x4x4xcosA=32—32cosA

BD2=CB2+CD2-2cB-CDcosC=62+22-2x6x2xcosC=40-24cosC

從而4cosN-3cosc=-1①，

,S^ABD+Sx4><4xsin+x6x2xsinC4

由C5O=21^42=得za，

4sin4+3sinC=2②，

①每2得16(sin2/+cos?/)+ggin?C+cos?C)-24(cos/cosC-sin/sinC)=5

即25-24cos(Z+C)=5

cos(/+C)="!

2X

/(x)=+ax+b(x-1)3

2X-1+1

19.已知函數(shù)(其中a,6eR).

(1)當(dāng)a>°,b=0,記/(X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),證明：/'(X)〉°恒成立；

(2)指出歹=/(0的對稱中心，并說明理由；

2X

3

ng(x)=+e*—/(x)+b(x-I)+(Z?-1)..

(3)已知aw。，設(shè)函數(shù)2,若對任意的

b+a

xeR恒成立，求。的最小值.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)y=/(X)的對稱中心為(1,+"),理由如解析

(3)-1

【分析】(1)根據(jù)給定條