2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型 等比數(shù)列的通項及前n項和性質(zhì)7大題型總結(jié) （解析版）

第15講等比數(shù)列的通項及前n項和性質(zhì)7大題型總結(jié)

【考點分析】

考點一：等比數(shù)列的基本概念及公式

①等比數(shù)列的定義：上嘰=4(或者嗅=q).

4Ta”

ninm

②等比數(shù)列的通項公式：%=aeq-=am-q-.

Ah

③等比中項：若三個數(shù)〃，A,人成等比數(shù)列，則A叫做〃與b的等比中項，且有4=必(-=-).

aA

nax(q=1)

n

④等比數(shù)列的前〃項和公式：sn=<a^-q]=gx-anq/

、1-q-"q2；

考點二：等比數(shù)列的性質(zhì)

①通項下標(biāo)和性質(zhì)：在等比數(shù)列｛4｝中，當(dāng)M!+"=〃+(?時，則。,屋?！?/p>

特別地，當(dāng)加+〃=2方時，則a“ja“=aj.

n

②等比數(shù)列通項的性質(zhì)：an=axq',所以等比數(shù)列的通項為指數(shù)型函數(shù).

aqn

③等比數(shù)列前〃項和的常用性質(zhì)：sn=^~^=--^q+-^,即S"=々q〃+r,其中左+r=0

1-<71-<7v-q

【題型目錄】

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

題型二：等比中項及性質(zhì)

題型三：等比數(shù)列通項下標(biāo)的性質(zhì)及應(yīng)用

題型四：等比數(shù)列前九項片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

題型五：等比數(shù)列前，項和的特點

題型六：等比數(shù)列的單調(diào)性

題型七：等比數(shù)列新文化試題

【典型例題】

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

【例1】在各項為正的遞增等比數(shù)列｛氏｝中，4。2。6=64,卬+%+%=21,貝1]?！?()

C.3X2"TD.2x3"-1

【答案】B

【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求生42=4=4,再利用公比表示%,%，代入方程，即可求得公比，

再表示通項公式.

【詳解】數(shù)列｛%｝為各項為正的遞增數(shù)列，設(shè)公比為4,且4>1,

?/a｛a2a6=64,

a：q6=64

a1q—4—CI3，

*：%+〃3+%=21,

4,

-2+4+4q9=21,

q

即（4^2-1）（^-4）=0,

解得：4=2

..—1

1

an=a｛q"=2"-,

故選：B

a177

【例2】數(shù)列｛4｝中,\=2,?m+?=aman,ak+i+ak+2+??-+at+10=2-2,則左=（）

A.5B.6C.7D.17

【答案】B

【分析】先令〃z=l得到—=2%,從而得到數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求得九再將%+限+…+%?；?/p>

為由此可得女的值.

【詳解】依題意，令根=1,則％=2,am+n=aman,即有an+l=axan=2an,

故數(shù)列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

設(shè)數(shù)歹式見｝的前〃項和為S“，貝s“=2（：；）=2"+i_2，

wli+1

所以―+―+…+%。=S“Sk=（2-2）-（2-2）=2s*,

又因為％+i+久+2+…+4+io=217-27,

所以2Kli—2^+1=217—27，故左=6.

故選:B.

【例3】已知等比數(shù)列｛q｝的各項均為正數(shù)，且q+%=20,4+%=5,則使得4的…?！?lt;1成立的正整數(shù)〃的

最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

,〃（9一〃）

【分析】應(yīng)用等比數(shù)列通項公式求基本量可得凡=25-"，再由q%…%=2=<1求正整數(shù)〃的范圍，即可

得答案.

【詳解】若等比數(shù)列的公比為4>0,且4>。，

由題設(shè)工，兩式相除得4=:，則4=彳，

所以q=16,故4=25-",顯然（M5時％出…4<1不成立，

〃（9一〃）n（9-n）.

所以">5且〃￡N，…%=24+3+2+1+0T-…一（5-〃）=?2<1，即<。，貝U〃>9,

故正整數(shù)〃的最小值為10.

故選：C

【例4】各項為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列｛%｝中，%,！生，4成等差數(shù)列，則%的值為（）

2〃4

A1-君RV5+1-3+V5n3-V5

2222

【答案】B

【分析】由題意，根據(jù)等差中項的性質(zhì)，建立方程，利用等比數(shù)列的通項公式，整理方程，解得公比，可

得答案.

【詳解】因為42，；。3，q成等差數(shù)列，所以4+%=2x；%=%，即q+qg=q/,

因為數(shù)列｛%｝為各項為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，

所以一1=0,解得g=l±笠或g=Y<°（舍去），則&=4=匕夕，

22a42

故選：B.

【例5】已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若%>0,公比q>l,%+%=20,%%=64,則、6=（）

A.31B.36C.48D.63

【答案】D

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可得的。6=4%=64,解方程即可得數(shù)列中的項，進(jìn)而可得首項與公比，求得

【詳解】由等比中項的性質(zhì)得。2必=。34=64,

又〃3+%=20,

a=16

解得或3

%=4

Q=4

當(dāng)b]6時,內(nèi)或"-2(舍),

佑二161

當(dāng)時，=±—(舍),

%=42

a.=4

所以%=16，啟，

此時q=l,

〃1-力1x(14)

所以$6=-------------------OD,

1一41-2

故選：D.

【例6】若數(shù)列｛。"｝滿足%+i=2a?-l,則稱｛4｝為“對奇數(shù)列”.已知正項數(shù)列｛2+1｝為“對奇數(shù)列”,且仇=2,

則4=()

A.2x3"—B.2"一C.2"+1D.2"

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得時|+1=2值,+1）-1,進(jìn)而可得｛2｝為等比數(shù)列，再求得通項公式即可.

【詳解】由題意得或M+1=2（￡+1）-1,所以鼠尸2包，又仇=2,所以｛2｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)

列，所以么=2x2"-=2".

故選：D.

【例7】已知等比數(shù)列｛%｝：-1,2,-4,8,…，若取此數(shù)列的偶數(shù)項的，。4，。6,…組成新的數(shù)列｛2｝，則

@等于（）

A.210B,-210C.215D.28

【答案】C

【分析】由題可得a“=-(-2)i,進(jìn)而即得.

【詳解】由題可得％=-1x(-2)^=-(-2f\

所以4=%=-(-2)15=215.

故選：C.

【例8】已知｛?！埃鞘醉棡?的等比數(shù)列，S“是｛%｝的前"項和，且9s3=8$6,則5=()

A.31B.—C.31或5D.衛(wèi)或5

1616

【答案】B

【分析】數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，通過等比數(shù)列的前〃項和公式化簡9s3=8及，從而得到公比4的值，從而求

出Ss的值.

【詳解】因為｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，S"是｛%｝的前"項和，且9邑=8及

當(dāng)q/1時，9x”"=8x”_q6),計算得q=:

v-q1-q2

=_21

,5―"16

當(dāng)4=1時,邑=3,$6=6,所以9s3f

綜上：S5=3^1

1O

：B

【例9】已知數(shù)列｛%｝滿足4=2,〃e二%，則數(shù)列｛4｝的通項公式為4=()

A.2/1-1B.2'iC.22""'D.n2

【答案】C

【分析】將氏+1=片兩邊同時取常用對數(shù)，即可得數(shù)歹U｛lg%｝是以Ig2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而

求得數(shù)列｛0｝的通項公式.

【詳解】易知凡〉。，且。"1,在一=個的兩邊同時取常用對數(shù)，得lg%=21ga”，

叱+1

故=2,所以數(shù)歹曜1g%｝是以坨2為首項，2為公比的等比數(shù)歹！J,

所以1g%=2n~lx1g2=1g22",所以q,=22",

故選:C.

【例10］已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛氏｝滿足。7=4+2%，存在兩項區(qū)冊使得Jaj4=4q,則

1n+2

-----------1----------的最小值為（

m+2n

11+20D26

A.--------D.一

815仁：15

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的知識求得私〃的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得二+巴匚

的最小值.

m+2n

【詳解】

因為%=。6+2%，所以q=2或q=-l,

又見＞。，所以q=2.

由也y=4%可知:JQ；2”+〃-2=4q,所以m+M=6,

貝[|(租+2)+"=8,

\n+212+](m+2)+n，+2+i

-----------1----------

m+2nm+2n8m+2n)

1m+22(m+2)nn

--1---------------------1-----------1—+1

8m+2nm+2n

n2(根+2)、+1>13+2,n2(m+2)

=-3++1

81m+2n,m+2n

11+2也

--------f

8

n2(m+2)

由可得取等號時”=及（心+2）,但九weN*,無解;

m+2n

又m+n=6,經(jīng)檢驗m=1且〃=5時有最小值區(qū).

故選:B

【例11】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，且電=9,S3=36.

⑴求｛〃“｝的通項公式；

⑵若bn=an+log3an,求數(shù)列｛bn｝的前幾項和Tn.

【答案】(1)??=3\(2)3'用+"+"一3

2

【分析】(1)結(jié)合題干條件求解基本量4,4,利用等比數(shù)列的通項公式求解即可；

(2)分組求和即可得解.

(1)

設(shè)數(shù)列｛〃.｝的公比為4,則L的="=9，

[S3-Oy=a2+a3=(\q+axq=36,

解得％=3,q=3.

故an==3x3"i=3".

(2)

由(1)可得與=3"+log33"=3"+”.

貝=(3+l)+(3?+2)+…+(3"+")=(3+32+…+3")+(l+2+…+”)

n+12

3x(l-3")(i+n)n3+?+zz-3

=--------------1-----------=--------------------?

1-322

【例12】已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,%=9再。=100.

(1)求｛q｝的通項％;

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足：〃=2匕也｝的前〃項和為7“，求使7；<20。成立的最大正整數(shù)〃的值.

【答案】(1)%=2〃-1：(2)4.

【分析】(1)利用44表示題干條件，求解即可得解；

(2)先證明他,｝是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求解4,解不等式即可.

(1)

由題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項為由,公差為d,

又%=9,$=100,

q+4d=9

q=1

即《1的+3d=l。?！獾?/p>

d=2

故〃“=6+(〃一l)d=2〃一1.

(2)

由題意2=2%=22i,

b22n-1

又廣=k=4,故｛2｝是以4=2為首項，4=4為公比的等比數(shù)列，

%2-"3

T4x(l-4")2x(1-4")2x(4"-1)

丁"=1-q=~=

若7；<200,即2X(：T)<200,即4”<301,

又4,=256,4$=1024>301,故”的最大值為4.

【題型專練】

1.在公比4為整數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，S“是數(shù)列｛%｝的前〃項和，若%+%=18,出+%=12,則下列說法

錯誤的是()

A.4=2B.數(shù)列｛S“+2｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛1g(｝是公差為2等差數(shù)列D.為=51。

【答案】C

【分析】A選項：根據(jù)％+4=18,a2+03=12再結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可得到數(shù)列｛〃“｝的公比4；

B選項：利用求和公式得到S“，再利用等比數(shù)列的定義證明版,+2｝是等比數(shù)列即可;

C選項：利用等差數(shù)列的定義證明｛1g4｝為等差數(shù)列即可；

D選項：根據(jù)S“求&即可.

【詳解】A選項：因為若4+%=18,出+%=12,所以q(l+/)=i8,^(^+^)=12,所以1±^=與=：,

\/q+q122

所以4=2,q(:舍)，故A正確；

212，，+1

B選項：由A知，4=2,所以％=2,4=2",s=(~)=2"-2,所以^^=2,且H+2=q+2=4,

所以｛S“+2｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；

C選項：由B知，lg%+|Tga.=lg4包=坨2,且lg%=lg2,所以數(shù)列｛1g%｝是以lg2為首項，lg2為公差的

等差數(shù)列，故C錯誤;

D選項：由B知，s.=斗2）=510,故D正確；

81-2

故選：C.

n

2.已知數(shù)列｛（｝中，q=1,an-a?+1=2,〃eN*,則下列說法正確的是（）

A.g=2B.g-〃3=4

+l

C.｛%“｝是等比數(shù)列D.a2n_x+a2n=r

【答案】AC

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得的，生，%，由此判斷ABD選項的正確性，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷C選項的正

確性.

2n

【詳解】即?！?1=—,則。2=2,%=2,2=4,所以A正確；

%

顯然有。4-。3=2。4,所以B不正確；亦有4+。2=3W2*I,所以D不正確；

又。用.為+2=2川，相除得吐=2,

an

因此數(shù)歹｛%“｝分別是以1,2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故C正確.

故選：AC

3.（2022?福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在正項等比數(shù)列｛%｝中，若存在兩項％,，4,（%〃eN*）,使得

Jaman=4a,,且%=4+241，則,+2的最小值為（）

mn

11「8八10「14

AA.—B.-C.—D.—

4335

【答案】A

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比4,利用等比數(shù)列的通項公式求得機(jī)+〃=6,結(jié)合利〃eN*進(jìn)行討論求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比4,（其中4>0）,

因為%=%+2%,可得才=q+2,

即-2=0,解得4=2或q=—1（舍去）

又因為=4q,所以%,a“=16a；,

即al2"'+i=i6a；,所以機(jī)+〃=6,

當(dāng)機(jī)=1,幾=5時，—1—=Id—=—；

mn55

19_1911

當(dāng)m=2,〃=4時，

mn244

191910

當(dāng)機(jī)=3,幾二3時，—l—=—1—=—：

mn333

19_1919

當(dāng)m=4,〃=2時，

mn424

191c46

當(dāng)m=5,〃=1時，—I—=--1-9=—；

mn55

1Q11

綜上所述，上+Z的最小值為:

mn4

故選：A.

4.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））設(shè)｛%｝是等比數(shù)列，且。1+W=3,出+。3=6,則%+4=（）

A.12B.24C.32D.48

【答案】D

【分析】根據(jù)｛見｝是等比數(shù)列，且滿足q+出=3,%+%=6,計算出其通項公式〃“，然后代入%+4計算

即可.

【詳解】???｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為0,則由6+%=3,2+。3=6得：

%+%=%（1+/=3解得

a〃=2"%+4=24+2，=48.

Q2+Q3=。2（1+4）=6'[4=2f

故選：D.

5.（2022?山東泰安?三模）已知數(shù)列｛%｝滿足:對任意的機(jī)，〃eN*,都有aman=。皿“，且g=3,貝|%o=（）

A.320B.315C.310D.?

【答案】C

【解析】

【分析】

由遞推關(guān)系判斷數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列通項公式求生（）.

【詳解】

因為對任意的切，〃eN*,都有a,?an=am+n,

所以%%=%+”,

又。2=3,

所以q=±G，所以4包=。1,

an

所以數(shù)列｛%｝是首項為生,公比為生的等比數(shù)列，

所以%=%?（?1廣=⑷"，

所以%,=3尸=3%

故選：C.

6.（2022.河南省葉縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，4+4=72,g+%=36,則%=

【答案】6

（、缶（1+9）=72

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項為生,公比為4，由題意可得到j(luò)=36,能求出生和心即可求出

答案

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項為生,公比為q,

%+%=%+qq=72q(l+q)=72

由題意可得

出+%=+"2=36qq(l+q)=36

易得1+4N0,所以兩式相除，解得q=；,

將4=]代入q（1+4）=72可得q=48,所以&=6,

故答案為：6

113

7.已知等比數(shù)列｛見｝的公比31,-+—=/=2夜，貝凡"=.

【答案】2"

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及4>1，求得出與4的值，從而可得出”.

113

【詳解】解：由一+—=^得4a?+4%=3a2%

由等比數(shù)列得。2。4=d=8,所以4。2+4%=24,即。2+。4=6

解得卜或42=：，貝U幺=d=2或幺=[2=；,由g>l,可得"2=2,即心血

&=4&=2a2a22

2n-22n

所以a2n=%，/"T=a2'/I=2X(5/^")=2".

故答案為：2。

8.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前"項各為s“，已知4=1,邑=3,則§3=.

【答案】7

【分析】根據(jù)條件求出等比數(shù)列的公比，再求出出,根據(jù)前"項和的定義計算即可.

【詳解】由題意，邑=4+〃2=3,2=2,公比q="=2=44=4,63=4+。2+%=1+2+4=7；

故答案為：7.

9.已知等比數(shù)列｛4｝的前w項和為S”，q+%=g,%+%=：，貝1J$5=

31

【答案】v

O

【分析】根據(jù)條件建立關(guān)于4國的方程組，解出qM的值，然后可算出答案.

%+〃3=(1+/)二萬

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,貝卜

%+%=%(q+/)=a

2x

解得4=；，“1=2,貝1JS5q(i-031

1-;~8

31

故答案為：—

O

10.已知在正項等比數(shù)列｛4｝中3q,gq，2%成等差數(shù)列，則“2022+“2021

“2020+。2019

【答案】9

【分析】設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝的公比為q,則q>0,根據(jù)已知條件求出4的值，再結(jié)合等比數(shù)列的基本性

質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則4>。，

因為34，；/，2。2成等差數(shù)列，所以2xga,=3q+2a2,

2

即ad=3%+2axq,又%>0,：.q-2q-3=0

所以4=3或4=-1（不符合題意，舍去）.

2021202032

grpj。2022+a2021__2_Q

—

//I么20192018-1——>，

“2020+“2019%q+%qq+l

故答案為：9.

11.正項等比數(shù)列｛%｝中,4=1,%=44.

(1)求心,｝的通項公式；

(2)記S”為｛4｝的前n項和.若S",=63,求m.

【答案】⑴a"=2"T,(2)m=6

【分析】(1)設(shè)｛。“｝的公比為4,由題設(shè)得4=4")根據(jù)。5=4%列方程,解出4即可得出結(jié)果.

(2)由(1)的結(jié)果可求出S“，將S.=63代入求解即可.

(1)

設(shè)｛叫的公比為。，由題設(shè)得%=qi.

由已知得/=4/，解得q=0或q=2,

???｛%｝為正項等比數(shù)列，

所以4=2.

故?！?2。

(2)

由⑴得4=2,

???貝峪=2"-1.

S“=63,

2'"=64,

解得機(jī)=6.

12.已知公比小于1的等比數(shù)列｛%｝滿足電+%=20,%=8.

⑴求｛4“｝的通項公式；

(2)記Sn為｛4｝的前〃項和，若S”>100a?,求n的最小值.

【答案】((>=*,(2)7

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,根據(jù)題意可得出關(guān)于％、q的方程組，解出這兩個量的值，即可

求得數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求出S",由題意可得出關(guān)于〃的不等式，結(jié)合〃eN*可得出”的最小值.

（1）

a+a^=qqO+q2）=

2q=32

解：設(shè)等比數(shù)列｛。.｝的公比為q,則<%=4/=8，解得1

q

q<12

,%=a0i=32xg]=^--

（2）

32卜一！]

解：由（1）可知S“=I2"J=641_L],

」IT）

2

由S,>100%可得64-白〉黑，可得2">101.

因為“eN*,所以九的最小值為7.

題型二：等比中項及性質(zhì)

【例1】三個實數(shù)成等差數(shù)列，首項是9,若將第二項加2、第三項加20可使得這三個數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列

｛%｝,則生的所有取值中的最小值是（）

A.49B.36C.4D.I

【答案】D

【分析】設(shè)原來的三個數(shù)為9、9+d、9+2d,根據(jù)題意可得出關(guān)于d的等式，解出d的值，即可得解.

【詳解】設(shè)原來的三個數(shù)為9、9+d、9+2d,

由題意可知，4=9,a2=\\+d,%=29+24,且蠟=%生，

所以，（d+liy=9（2d+29）,即1+4〃一140=0,解得d=10或—14.

則密的所有取值中的最小值是29-2x14=1.

故選：D.

【例2】若a,b,c為實數(shù)，數(shù)列T,a,b,c,-25是等比數(shù)列，則6的值為（）

A.5B.-5C.±5D.-13

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得6的值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,

所以6=(-1)4<0,

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知/=(-l)x(-25)=25,解得6=—5.

故選:B

【例3】已知等差數(shù)列｛%｝的公差是2,若%,%，%成等比數(shù)列，則。z等于()

A.-6B.-4C.-8D.-10

【答案】A

【分析】利用等比中項，結(jié)合等差數(shù)列通項公式列方程求解即可.

【詳解】解：因為等差數(shù)列｛。.｝的公差為2,且％,%，%成等比數(shù)列，

所以1a4,即(w+2)~=(。2—2)(%+4)，

解得出=-6，

故選：A

【例4】已知等比數(shù)列｛?！埃凉M足4>。，公比0>1,且外出…%021…%022>1，貝U()

A.〃2022>1

B.當(dāng)〃=2021時，力出…?！ㄗ钚?/p>

C.當(dāng)"=1011時，。陷2…%最小

D.存在〃v1011,使得。/的=2+2

【答案】AC

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)、單調(diào)性及不等式的性質(zhì)可對每一個選項進(jìn)行判斷

【詳角軍】對A,?%>(),q>1,。,又6a2"2021<1，［出,.,"2022>1，

:?/022>~~~>1,故A正確；

^2021

對B和C,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得外。2021=。2。2020=…=6010%012=W11，

.…〃2021="1011<1艮°0<〃1011<1，

,〃2a2022=〃3a2021=…="10116013="1012，??3a4,,,“2022二％012，

因為a洶％…的必=外空￡*1>J_,所以溜>,,

ax%ax

11

%。2…〃2021<1，%>0,q>1,0<^<1,一>1,

?,.?1012>1>故當(dāng)”=1011時,生電…?！弊钚?所以B錯誤,C正確；

對D,因為。<4<1,0>1,所以｛q｝是單調(diào)遞增數(shù)歹！J,所以當(dāng)“<1011時，a“<&)11<1,故。,4+1<。用<?！?2，

故D錯誤，

故選：AC

【例5】設(shè)logz3,1gx,log"2三個數(shù)成等比數(shù)列，則實數(shù)x=.

【答案】亞或巫##典或加

1010

【分析】利用等比中項性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可構(gòu)造方程求得1gX,由此可得X.

【詳解〉.Tog”，Igx,log812三個數(shù)成等比數(shù)列，.?.(Igx)2=k)g23-k)g8i2=k)g23-log342=；log23-k(g32=；,

.?.但尤=±：,解得：x=JI5或

210

故答案為：質(zhì)或畫.

10

【例6】已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝中，4=1,%是電和網(wǎng)的等比中項.

(1)求數(shù)列僅“｝的通項公式：

(2)保持?jǐn)?shù)列｛%｝中各項先后順序不變，在應(yīng)與(左=1,2,…)之間插入》,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新

的數(shù)歹!H或｝,記｛2｝的前〃項和為看,求數(shù)的值.

【答案】(1)??=?,(2)2101

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)等比中項列出方程求得d即可得到通項公式.

(2)由題意計算出4在他,｝中對應(yīng)的項數(shù)，然后利用分組求和即可.

(1)

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,因為“4是出和肉的等比中項，

則a；=a2.%=>(%+3d)2=(%+d)(%+7d)且％=1

則d=l或d=0（舍）

貝!J%=q+（〃一l）d=l+（〃-l）xl=〃,

即通項公式4=〃

(2)

因為應(yīng)與%+i(%=1,2,...)之間插入2”，

所以在數(shù)列也｝中有10項來自｛凡｝,10項來自｛2"｝,

所以金二1±12>]0+2(1—2)=2]01

2021-2

【題型專練】

1.古-1與百+1的等比中項是()

A.血B.-72C.±72D.土g

【答案】C

【分析】根據(jù)等比中項的定義可得結(jié)果.

【詳解】若一1與4+1的等比中項是±J(G-l)(g+l)=土回.

故選：C.

2.若四個正數(shù)a,6,Gd成等差數(shù)列，X是。和d的等差中項，y是b和c的等比中項，則X和y的大小關(guān)系為

()

A.x>yB.尤NyC.x<yD.

【答案】B

【分析】首先根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，列式，結(jié)合基本不等式，即可比較大小.

【詳解】由條件可知，a+d=b+c,(a,b,c,d>0),x=,y=+y[bc,

當(dāng)y=_癡時，x>y,

當(dāng)好癡時，>=癡±等=等=

所以尤2y.

故選：B

3.若不為1的正數(shù)a,b,c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x>l時，log.x,logbx,log’x().

A.依次成等差數(shù)列B.依次成等比數(shù)列

C.各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D.各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列

【答案】c

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可得k=碇，可得當(dāng)x>l時，log?2=log.ac,結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，即可判斷答

案.

【詳解】由題意可知不為1的正數(shù)a,b,c依次成公比大于1的等比數(shù)列，即〃=收,

,211

故當(dāng)x>l時，log*=logxac,gp--------=--------+--------,

10gz，尤log.xlog〃尤

故log”尤，10gt.X,log。X各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，

故選：C

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項利為S“，若品，七，1成等比數(shù)列，且$2。2400,則｛%｝的公差d的取值范圍

為.

【答案】［2,+8)

【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列定義，等差數(shù)列通項公式和前〃項和公式可得含d的不等式，解不等式可求d

的取值范圍.

【詳解】因為S”生，1成等比數(shù)列，所以《=59=式號』=9%，所以%=9,即4+44=9,即

%=9-41.由52(^400,得204+190d=20x(9—4d)+190d2400,解得d22,即｛%｝的公差d的取值范

圍為［2,+oo).

故答案為：［2,+8).

5.已知等差數(shù)列｛%｝的公差為-3,且%是％和%的等比中項，貝1J%5=.

【答案】-30

【分析】將4和公差代入等式，求解％,寫出通項公式%，代入〃=15,可求出結(jié)果.

【詳解】解：因為的是生和肉的等比中項，且公差為-3,所以

(a,-6)2=。［(卬-9)=>q=12,所以a?=15-3"=>%=-30.

故答案為：-30.

6.已知-1M,-4成等差數(shù)列，-1,6,-4成等比數(shù)列，貝|而=.

【答案】±5

【分析】根據(jù)等差、等比中項的性質(zhì)，求得。的值，即可求得必值，得到答案.

【詳解】由成等差數(shù)列，可得2。=一1一4=一5,解得a=

又由TdT成等比數(shù)列,可得＞2=（_I）X（-4）=4,解得b=±2,

所以必=±5.

故答案為：±5.

7.若依次成等差數(shù)列的三個實數(shù)a,b,c之和為12,而a,b,c+2又依次成等比數(shù)列，貝|a=.

【答案】2或8

【分析】由題意列出方程組，即可求得答案.

2b=a+c

【詳解】由題意可得a+Hc=12,整理得Y—iOa+16=0,

b2=a（c+2）

解得a=2或a=8，

故答案為：2或8

8.在3和9之間插入兩個正數(shù)后,使前三個數(shù)成等比數(shù)列,后三個數(shù)成等差數(shù)列,則這兩個正數(shù)之和為（）

A.13-B.11-C.10-D.10

242

【答案】B

【解析】不妨設(shè)插入兩個正數(shù)為6，即3,a,仇9

：3M,6成等比數(shù)歹！則/=36

a,6,9成等差數(shù)列,則a+9=2&

9

a2=3b&2｛a=—3

即O解得；或人2（舍去）

a+9=2bb=-~〔,二3

745「1

則nla+b=——=11—

44

故選：B.

題型三：等比數(shù)列通項下標(biāo)的性質(zhì)及應(yīng)用

【例1】已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，若％.%,%=,4+%+41=7〃，則

tanJ9的值是（）

A.-73B.-1C.--D.目

3

【答案】A

b&+bq

從而可求出tan,的值

【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)的性質(zhì)先求出a+b9和…8的值,

【詳解】解：因為數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，數(shù)列低｝是等差數(shù)列，%.%%】=-36,4+%+%=7%,

所以a；=—3A/3,3b6=7兀，

所以4=一6，"6=，

]/|冗

所以4+Z?9=2/?6=—,&?/=%2=3,

14萬

所以tan&+』_匕口-^―=tan（--）=-tan（2乃+—）=-tan—=-A/3'

1—1-3333

故選：A

【點睛】此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角函數(shù)求值，屬于中檔題

【例2】已知｛?！ǎ秊榈缺葦?shù)列，%+%=2,。5。6=-8,貝！J[0=（）

A.1或8B.T或8

C.1或—8D.-1或-8

【答案】C

【分析】由｛%｝為等比數(shù)列，可得4%=4%，再結(jié)合%+%=2,可求出知,%，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可

求出4,4o，即可求出答案.

【詳解】解：；｛%｝為等比數(shù)列，a5a6=3=-8,

.??[—；，解得[%=4或2;2,

=-8必=-2必=4

3

當(dāng)%=—2,%=4時，q=-=-2f

。4

%=-I-=1,%?！?4x(_2)——8；

q

故選：c.

【例3】設(shè)｛4｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=2,且）=23°,那么?的9…—=（）

A.210B.220C.216D.215

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)人=%。4%…。28，8=…。29，。=/4%…。30，

則A,B,C成等比數(shù)列，然后利用等比中項的性質(zhì)可求得答案

【詳解】設(shè)A=a1a4a7…。28,B=???^^9,C***^^30，

則A,B,C成等比數(shù)列，公比為/=21°,且3、AC,

由條件得AEC=23。，

所以百=23°,所以8=2%所以CE2J2汽

故選：B

【例4】等比數(shù)列｛%｝滿足a.>0,weN*且4，。2,-3=32"（〃22）,則當(dāng)“21時，

log有%+log有％+L+log有。27=（）

A."⑵I）B.2（2n2-n）C.—D.2n2-n

2v72

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可先求出4=3",進(jìn)而可判斷數(shù)列｛log"%｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)等

差數(shù)列前n項和公式即可求解.

【詳解】???｛%｝是等比數(shù)列，且分%一3=32"（〃22）,

a?2=32",

a?>0,。"=3",

.?.log6an=2n,可知數(shù)列｛log有%｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,

（2〃一1）（2+4〃-2）（2\

log^?1+log*%+.??+logQa2n-i=----------2------------=2（2"-?）?

故選：B.

【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列前〃項和的求解，屬于基礎(chǔ)

題.

【例5】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，。臼1+2小a+生43=25,則％%3的最大值是

【答案】?25

4

【分析】根據(jù)題意，將441+2&。8+/。13=25變形可得（&+網(wǎng)）2=25,又由基本不等式的性質(zhì)可得

計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛叫中，ag+2&a+%43=25,

即+2。6。8+%2=(〃6+〃8)=25,

??.—=&%，"愛)=手，當(dāng)且僅當(dāng)%=小，即公比為1時等號成立，

故的最大值是亍25.

25

故答案為：

4

【例6】已知等比數(shù)列｛%｝各項均為正數(shù)，且滿足：%7。18+1<%7+。18<2,記，=%?…2，

則使得的最小正數(shù)〃為()

A.36B.35C.