2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型 等差數(shù)列的通項求和及性質(zhì)7大題型 （解析版）

第14講等差數(shù)列的通項求和及性質(zhì)7大題型

【考點分析】

考點一：等差數(shù)列的基本概念及公式

①等差數(shù)列的定義：an-an_t=d(或者a,#1=d)(neN*,n>2).

②等差數(shù)列的通項公式：an=al+(n-l)d,通項公式的推廣：4=%“+(〃—

③等差中項：若三個數(shù)。，A,。成等差數(shù)列，則A叫做。與b的等差中項，且有A=*(A—a=〃—A).

2

2

④等差數(shù)列的前〃項和公式：S"=<n(n—1)

2

考點二：等差數(shù)列的性質(zhì)

①通項下標(biāo)和性質(zhì)：在等差數(shù)列｛%｝中，當(dāng)根+〃=夕+4時，則。機+

特別地，當(dāng)根+〃=2?時，則.

②等差數(shù)列通項的性質(zhì)：%,=%+(〃—1?=赤+。1—〃，所以當(dāng)dwO時，等差數(shù)列的通項為關(guān)于〃的一

次函數(shù)，即4〃=左〃+6.

③等差數(shù)列前〃項和的常用性質(zhì)：S“=%+血曰』=：|/所以當(dāng)dwo時，等差數(shù)列的

2

前n項和為關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，即Sn=An+Bn

cdo(d\

因為s”=-?-+!

當(dāng)d>o時，開口向上，s“有最小值；

當(dāng)d<0時，開口向下，s,有最大值；

【題型目錄】

題型一：等差數(shù)列通項求和公式運用

題型二：等差中項及性質(zhì)問題

題型三：等差數(shù)列前九項和的性質(zhì)

題型四：等差數(shù)列前〃項和的最值

題型五：等差數(shù)列通項公共項及奇偶項和問題

題型六：等差數(shù)列新文化試題

題型七：對于含絕對值的數(shù)列求和問題

【典型例題】

題型一：等差數(shù)列通項求和公式運用

【例1】(2022?江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)(文))在數(shù)列｛q｝中，4=1,a?+1-3=a?,若a.=2020,則

?=()

A.671B.672C.673D.674

【答案】D

【分析】分析得到數(shù)列｛%｝是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項即得解.

【詳解】；4=1，%+1-3=°",

aa

n+l-n=3

.??數(shù)列｛風(fēng)｝是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，

cin=q+(〃-l)d=1+3(〃-1)=2020,解得n=674.

故選：D.

【例2】(2022?全國?高三專題練習(xí))數(shù)列｛助｝滿足24=q_|+綜+](〃22),且生=-6,%=6,S"是數(shù)列｛%｝

的前〃項和，則()

A.S4<53B.邑=邑C.S4>S3D.邑=$1

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式得到數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，進而求出公差和通項公式，求出'，邑,邑，得到答案.

【詳解】數(shù)列的｝滿足2a“=%+%(〃22),則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為小

因為〃2=—6,〃6=6,

所以4d=4-。2=6+6=12,即d=3.

所以=-6+3(〃-2)=3〃-12,

所以S]=q=_9,S3=—9—6—3=—18,

S4=-9-6-3+0=-18,

所以S4Vsi,S4=S3.

故選:B

【例3】（2022.全國.高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，A4',BB',CC',DD是桁，相鄰桁的水平

距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中瓦,他是舉，

。2,O￡,C耳，網(wǎng)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為噂=05會=%瞿=&,普=勺.已知配向次3

UU｝/JC]CzJ]n/ij

成公差為0」的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725,則%=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】設(shè)0n=￡>G=cq=3A=i,則CG=尢,3耳=&，M=%,

依題意，有&一。.2=尢,勺一。.1=&，且°儂，

UD[+/JC]+Cnf+n/1]

所以0.5+3&_0.3=0.725,故匕=09,

4

故選：D

【例4】（2022.北京石景山?高二期末）等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.，前w項積為I，已知g=Tl，4=-7,

則（）

A.S“有最小值，7,有最小值B.S“有最大值，4有最大值

C.S“有最小值，（有最大值D.S,有最大值，，有最小值

【答案】C

【詳解】依題意3d=_7="|=一13，"=2=%=2〃-15,由。"〈0解得”工],〃6z，所以等差數(shù)列｛%｝

的前幾項和8〃滿足：S7最小，無最大值.%=—13,%=—11,%=—9,g=—7,%=—5,4=—3,%=—1,〃8=L…

4=-13,n=143,n=—1287,7；=9009'=—45045,（=135135,7；=—135135,…

當(dāng)”28時：7；,<0,且為遞減數(shù)列，故4有最大值135135,沒有最小值.

故選：C

【例5】(2022.全國?高二課時練習(xí))已知數(shù)列｛q｝,但｝均為等差數(shù)列，若3=3,小仇=7,生仇=13,則0也=

()

A.19B.21C.23D.27

【答案】B

【分析】設(shè)4+6也=c〃+d,得出。也=ac〃2+sc+ad)〃+6d,令c“=a”b”,可得=%包-c.構(gòu)成一

個等差數(shù)列，求得公差，即可求得C,的值.

【詳解】由題意，T^an=an+b,bn=cn+d,

貝"a"b"=(o"+/?)(c"+d)=acn2+(be+ad)n+bd,

令cn=a?b?，可得%=?-c“=2acn+(ac+ad+be)構(gòu)成一個等差數(shù)列，

所以由己給出的4偽=3a2b2=7,a3b3=13,

4=。2—q=7—3=4,d2=c3~c2=13—7=6,所以義=Q一6=Q—13=8

解得：C4=21,即她=21

故選：B

【例6】(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若的+醺=2,跖=14，則陽=()

A.18B.16C.14D.12

【答案】C

【分析】設(shè)｛%｝的公差為d,依題意得到方程組，解得生、d,從而得解.

5x4

q+3d+5〃]H------d=2

【詳解】解：設(shè)｛%｝的公差為d,依題意可得7x62,

7qH———d—14

[6a,+13J=2[a.=-4

即門c，解得:c，所以/=-4+9x2=14；

[6+3d=2[d=2

故選：C.

【例7】(2021.福建省華安縣第一中學(xué)高三期中)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前"項和為S“，若鼠_=-2,Sm=0,

S“+i=3,貝!］比等于()

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【詳解】???｛%｝是等差數(shù)列，鼠=制"；4）=0=-4=—[=-2,又限=5吁—，

???公差1=冊+1一。加=1，3=〃加+1=%+加=-2+根=>加=5,故選：D.

【題型專練】

1.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列｛。"｝中，％=2,%=4%總為數(shù)歹!]｛%｝的前，項

和，則40=（）

A.115B.110C.-110D.-115

【答案】D

【解析】設(shè)數(shù)列｛““｝的公差為d,則由%=4%得2+64=4（2+24）,解得』=一3,

%=10卬+妁pl=10x2+告x（-3）=一115.

故選：D.

2.（2022全國高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列｛4｝中，％+%=8,且片=心?%

（1）求數(shù)列｛見｝的首項、公差；

（2）設(shè)'+2），若粼+么1M=鬣+3,求正整數(shù)機的值.

【答案】（1）數(shù)列｛?！保氖醉検?,公差為0或首項是1,公差為3；（2）6.

【分析】（1）根據(jù)條件，列出兩個關(guān)于首項和公差的方程，然后解方程即可；

（2）由（1）求出數(shù)列｛%｝的通項,然后再求出或，再根據(jù)久+久+]=超+3求出加.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為“，前w項和為S“，由已知可得：

j2〃]+2d=8J6=4Jq=l

j（q+3d）2=@+4）（卬+8〃尸H=0或jd=3'

即數(shù)列｛。,｝的首項是4,公差為0或首項是1,公差為3.

（2）由（1）可矢口q=4或=1+3（〃-1）=3〃-2

當(dāng)。"=4時，'J"?*%,又粼+〃用=%3,而1+1=2>1不滿足題意；

lo

(3n-2—l)(3n—2+2)n(n-l)

當(dāng)Q“二3〃一2時，bn=，又又+6M+1=，M+3.

182

m(m-1)+(m+2)(m+3)

所以------1------=---------

222

整理得裙-5帆-6=0,因為m為正整數(shù)，所以m=6.

3.（2022?山西呂梁.高二期末）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層的中心是一

塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊.已知每層圈數(shù)相同，共

有9圈，則下層比上層多塊石板.

【答案】1458

【詳解】設(shè)第〃圈的石板為％,由條件可知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且上層的第一圈為4=9,且d=9,所

,.n（n-l）99

以S=TICL,H-------d=-n9H—〃，

〃1222

上層的石板數(shù)為Sg=405,下層的石板數(shù)為s21-幾=1863.

所以下層比上層多1863-405=1458塊石板.

故答案為：1458

4.（2022?全國?高二課時練習(xí)）（多選）已知圓。的半徑為5,OP=4,過點尸的〃條弦的長度組成一個等差

數(shù)列，最短弦長為％,最長弦長為%,且公差de1,」，則〃的取值可能是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】AB

4

【分析】由過圓內(nèi)一點的最長弦和最短弦的求法可求得4,%，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得"=三+1,根

a

據(jù)d的范圍可求得所有n可能的取值.

【詳解】過點尸的最長弦為圓。的直徑，則/=1。；過點P的最短弦是與最長弦垂直的弦，則4=6：

:A0=6+（n-l）d,解得：/7=-+1；

d

,.-.-^+le[5,7）,即〃e[5,7）,又“eN*,

I?！筧

的取值可能為5或6.

故選：AB.

5.（2022.全國?高二課時練習(xí)）己知等差數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，若雇=101,a5+a6=W,則數(shù)列｛%｝的

公差1的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式可得％%。=10,由此可求得4=1,4=10,利用等差數(shù)列

的通項公式即可求得答案.

【詳解】由。；+a；o=lOl,得（q+%o）~-2%%o=（%+。6y-2%%（）=121-201al0=101,

所以“Mo=10.

又%+Qi。=%+〃6=11，4<%。,

所以4=1,?10=10,所以~=黑二^=1

故答案為：1

題型二：等差中項及性質(zhì)問題

【例1】（2022?全國二課時練習(xí)）已知加和2〃的等差中項是4,2帆和〃的等差中項是5,則加和〃的等

差中項是（）

A.8B.6C.4.5D.3

【答案】D

【分析】利用等差中項的定義即求.

【詳角軍】***m+2n=8,2m+n=10,

/.3m+3〃=18,

m+n=6,

加和〃的等差中項是生產(chǎn)=3.

2

故選：D.

【例2】（2022?遼寧?高三開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列｛?！保那啊椇蜑镾“，若/+%+4+%+%。=20,貝|幾=（）

A.150B.120C.75D.60

【答案】D

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式計算即可得解.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知%+%+。8+%+Go=5%=2。，

所以“8=4,

故選：D

【例3】（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））數(shù)列｛即｝滿足2a用=。,+?！?2,且％,喙是函數(shù)/⑴=爐-8x+3

的兩個零點，則出必的值為（）

A.4B.-4C.4040D.-4040

【答案】A

【分析】由題設(shè)可得。4+%04。=8,根據(jù)已知條件易知｛aw｝是等差數(shù)列，應(yīng)用等差中項的性質(zhì)求。2022.

【詳解】由。4，。4040是/'（x）=*-8x+3的兩個零點，即。4，。4040是N—8x+3=o的兩個根，

%+。4040=8,又2a?+1=an+an+2,即數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,

??氏+。4040=2出022=8,故“2022=4.

故選：A.

【例4】（2022?全國?高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，S4=22,S〃=330,S…=176,

求項數(shù)〃的值.

【答案】15

【分析】利用q—3+為一2+2-1+%=S”-5“_4=154、S4=%+。2+。3+。4=22,兩式作和，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)

和性質(zhì)可求得力,代入等差數(shù)列求和公式可構(gòu)造方程求得〃的值.

【詳解】?/Sn=330,S…=176,an_3+an_2+an_x+an=Sn-Sn_4=154,

又邑=%+%+/+%=22,

q+%+%+々4+q_3+%—2+%一1+q=4（%+%）=176,解得：%+%=44,

/.S=———=22n=330,解得：n=15.

2

【例5】（2022.河南焦作.一模（文））設(shè)｛%｝和色｝都是等差數(shù)列，前〃項和分別為S〃和（，若4+%+%3=6,

々+4+4+41=12,則-zr=（）

A26B2c*口13

3332211

【答案】A

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+%+%=3%=6,所以。7=2；因為4+4+%+/=2%+2%=12,

13(q+%3)_13x2%11(4+/)11x24”

所以4=3.由等差數(shù)列的前〃項和公式可得品==26,T=--------------------------------------------J3?

22n22

?L26

所以=三.

故選：A

【例6】（2022?四川省成都市新都一中高一期中（理））已知數(shù)列｛%｝滿足2%M=%+a“+2（〃eN*）,且

%+4+%3=2兀，則cos（%+%）=（）

A.--B.--C.1D.2

2222

【答案】B

萬

【分析】根據(jù)題意和等差中項的性質(zhì)可知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，進而可得2%=%+%=半4，結(jié)合誘導(dǎo)公式

計算即可.

［詳解］由題意知,2r”+i=an+an+2,

由等差數(shù)列的等差中項，得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

27r

又見+氏+&=2"，所以°8=7，

47r

則Q7+%=2a8=3，

所以C0S（%+%）=cos］=-COSy=—.

故選:B

【題型專練】

1.（2022?陜西?渭南市三賢中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知一個等差數(shù)列｛g｝的前四項和為21,末四項和為

67,前〃項和為77,則項數(shù)"的值為.

【答案】7

【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件可求出q+4的值，再利用等差數(shù)列的求和公式列方程可求出

項數(shù)”的值.

【詳解】因為等差數(shù)列｛4｝的前四項和為21,末四項和為67,

所以4+〃2+。3+〃4+an-3+an-2++%=21+67,

所以4（6+%）=88,所以=22,

因為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為77,

所以〃(％；%)=警=77,解得〃=7,

22

故答案為：7

2.(2022.全國?高三專題練習(xí))下列選項中，為“數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列”的一個充分不必要條件的是()

A.2an=an+1+all_i(n>2)B.a；,=an+1-an_1｛n>2)

C.數(shù)列｛%｝的通項公式為a.=2〃-3D.an+2-an=an+1-an_x(n>2)

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的中項性質(zhì)以及通項公式，結(jié)合充分必要條件的概念逐項分析即可.

【詳解】對于A：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列=2%=%+%(〃22),

A選項為“數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列”的一個充要條件，故A錯誤；

對于B：易知B選項為“數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列”的一個既不充分也不必要條件，故B錯誤；

對于C：Van=2M-3,；.a,#]=2(n+l)—3=2“一1,an+1-an=1,

???數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，反之若｛4｝為等差數(shù)列，則an+i-an=d,

此時d不一定為2,所以必要性不成立，

；.C選項為“數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列”的一個充分不必要條件，故C正確；

對于D：若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則?！?2-%+1=%-，

an+2-an=an+1-%成立,

反之當(dāng)q=1,a2=2,a3=4,q=5時，滿足?！?2-?！?

但｛4｝不是等差數(shù)列，

???D選項為“數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列”的一個必要不充分條件，故D錯誤.

故選：C.

3.(2022?全國?高二單元測試)在等差數(shù)列｛?！埃校褐?+%+4=18,an_4+an_2+an=108,Sn=420,

則〃=.

【答案】20

【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)，化簡整理解得等差數(shù)列其中兩項，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得方程，

解得答案.

18

【詳解】：在等差數(shù)列｛%｝中，a1+a3+?5=>.■-3a3=18,a3=6,

同理由%一4+4-2+4=1°8,則3?！癬2=1°8,即氏_2=36,

由5/m+氏)/3+*)=3=420,解得〃=20.

222

故答案為：20.

4.（2022?浙江寧波?高一期末）設(shè)等差數(shù)列㈤｝的前”項和%且3T廣3+2023（%-1）=1,

（出MO-1）2儂+2023（0^0-1）=-!,則下列結(jié)論正確的是（）

=

A.‘2022=-2022,%>“2020B.^2022-2022，a?<“2020

C.$2022=2022,%>。2020D.^2022=2022,%<%020

【答案】c

【詳解】令函數(shù)/。）=/°23+2023了，xeR,/（-x）=（-元）2°"+2023（-x）=-/（>）,則/⑺是R上的單調(diào)遞

增的奇函數(shù)，由（%-1）2儂+2023（g-1）=1得/（/T）=1，由302tl必+2023（%020T）=-1得/Qozo-lh-1,

于是得了（%T）=/（l-a2020），且%-1>。2020-1，即。3+。2020=2,且%>。2020，

所以等差數(shù)列｛4｝前2022項S2022=4+產(chǎn)X2022=經(jīng)受迎x2022=2022，且%>%期.

故選：C

5.（2022?四川省高縣中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S,，若4期，“必滿足

OA^^OB+^OC,其中A為A03c邊BC上任意一點，貝US2020=（）

A.2020B.1020C.1010D.2

【答案】C

【詳解】由題設(shè)知：ami+al020=al+a2020=l,而S?。”=四吆產(chǎn)域=1010.

故選：C

6.（2022?河南?駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)研究室高二期末（理））已知等差數(shù)列｛4｝中，出、&是2Y—16X-1=0的

兩根，則（田+。7）—。5=（）

A.248B.60C.12D.4

【答案】B

【分析】利用韋達定理結(jié)合等差中項的性質(zhì)可求得應(yīng)的值，再結(jié)合等差中項的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】對于方程21-16天-1=0,A=（-16）2+8>0,

由韋達定理可得。2+。8=；=8，故2%=%+%=%+%=8,則%=4,

所以，（q+a7y—4=（24）—%=8?—4=60.

故選：B.

題型三：等差數(shù)列前幾項和的性質(zhì)

【例1】（2022?廣東?金山中學(xué)高三階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S,,若S3=6,S$=21,則5=（）.

A.27B.45C.18D.36

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前”項和的性質(zhì)可得色，Sef,既-量成等差數(shù)列，從而可列方程可求出結(jié)果.

S3,

【詳解】由已知s6：-s3,S9-S6,即6,15,Sg-21成等差數(shù)列，

所以2x15=6+（59-21）,所以Sg=45,

故選:B.

ee

【例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)汨知Sn是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若%=-2018,2皿-二口=6,

''20192013

則邑020等于（）

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.

【詳解】是等差數(shù)列｛加的前“項和，.?.數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列.

；?數(shù)歹U{2}的公差d=》=l,首項為-2018,

n6

?,?冬絲=-2018+2019x1=1,

2020

**?S2020=2020.

故選：C.

【例3】（2022?全國?高二多選題）下列結(jié)論中正確的有（）

A.若｛%｝為等差數(shù)列，它的前〃項和為則數(shù)列也是等差數(shù)列

B.若｛〃“｝為等差數(shù)列，它的前“項和為工，則數(shù)列S“，S2n,%,，?一也是等差數(shù)列

C.若等差數(shù)列｛4“｝的項數(shù)為它的偶數(shù)項和為a,奇數(shù)項和為S奇，則仔=卓

D.若等差數(shù)列｛%｝的項數(shù)為2，，+1（，，＞1）,它的偶數(shù)項和為與，奇數(shù)項和為S奇，則新=一

U偶

【答案】AD

【分析】利用等差數(shù)列定義判斷，利用等差數(shù)列片段和性質(zhì)判斷，利用奇偶項和的性質(zhì)判斷.

【詳解】對于A,2=%+必等=4〃+1-4],數(shù)列是等差數(shù)列，故正確；

n22I2J[nJ

對于B,S-S2n-Sn,邑"-$2"是等差數(shù)列，故錯誤；

對于C，S」+；"）■=一=5奇=（一針＞“一見,

所以3=區(qū)，故錯誤；

?偶an+l

對手DQ_（a2+a2n）'n_o_（。1+%〃+J（"+l）_

XT十D,3偶一-一〃〃〃+1，3奇一_+

所以不=個，故正確；

?偶n

故選：AD.

S572I2

【例4】（2023.全國?高三專題練習(xí)）兩個等差數(shù)歹（J｛4｝和抄/的前〃項和分另U為S〃、Tn,且寸=則

、107「7-149n149

\.-----B.—C.-----D.-----

2424123

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前〃項和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.

【詳解】兩個等差數(shù)列｛%｝和伊“｝的前〃項和分別為4、Tn,且*=2詈，

I^^2]x21°………

a2+a20_(^+a2l_2_S21_5x21+2_107

2+>4+多瓦+瓦1,21弓21+324

2

故選：A

【例5】(2021?江蘇?高二單元測試)已知兩個等差數(shù)列｛q｝和也｝的前〃項和分別為S〃和Tm且》也可

1

nn+3

則使得;為整數(shù)的正整數(shù)W的個數(shù)為()

b.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前，項和公式，將仙，表示出即可作答.

s4(q+%〃一)(2〃-1)

【詳解】依題意，2=^----------------*又上穌

b

5(4+%1).(2〃-1)nTnn+3

丁口彳口%=S2〃_1二2(2-1)+70=25+17)=2132

十7^何么一靠〃.1—(2〃-1)+3-n+1~n+r

因此，要乎為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)二是正整數(shù)，而“cN*，則”+1是32的大于1的約數(shù),

bnn+1

又32的非1的正約數(shù)有2,4,8,16,32五個，則〃的值有1,3,7,15,31五個，

所以使得f為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為5.

bn

故選：B

【題型專練】

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛??｝的前n項和為S.，若Si。=10,邑。=60,則S40等于()

A.110B.150

C.210D.280

【答案】D

【分析】根據(jù)在等差數(shù)列中，SI0,S2o-Sio,S30-S20,8。一8。成等差數(shù)列即可得解.

【詳解】因為等差數(shù)列｛〃"｝的前“項和為S”，

所以S/o,S2o-Sio>S30—S20,S40—S30也成等差數(shù)列.

故($30-S20)+S/0=2(S20~S1O),

所以邑0=150,

又因為($20—S/0)+($40—Sso)—2(S3O~S20),

所以50=280.

故選：D.

2.(2022重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí))在等差數(shù)列｛q｝中，S,為其前〃項和.若$2023=2023,且

號以一鳥2.=2001,則%等于（

)

202120

A.-2021B.-2020C.-2019D.-2018

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列的首項,

即可得到的.

【詳解】因為S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，令6“=,則｛々J也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為力,

n

^2021^20

由%21—%=2001,得d'=1,

202120

f

又62023=得么==^=b2023-2022c?=1-2022=-2021.

故選:A.

3.（2022?山西?忻州一中高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項和分別是"Z，且，=會|，則

a3+%

~bT=------

【答案】|

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知%+%=2%，

%+為:2%-%：2（22+2）「2

'b6b6Tu77-53-

故答案為：—

4.（2022?遼寧?沈陽市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）若等差數(shù)列｛%｝和他,｝的前〃項的和分別是S“和北，且

an,Sr

:n力，則力（）

A,二12

cD.

21-1123

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項的和的公式即可轉(zhuǎn)化成系二十「進而求解.

【詳解】因為⑷和同是等差數(shù)列，故A祭篇成吟

故選:C

5.（2021?全國?高二單元測試）已知數(shù)列｛%｝,也｝均為等差數(shù)列，其前〃項和分別為S,,T?,且率=乜言,

4〃十J

若乎2%對任意的〃?N*恒成立，則實數(shù)4的最大值為（）

b.

A.—B.0C.-2D.2

2

【答案】c

【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，?=等=：'：：2。=2=~4?-2,然后結(jié)合單調(diào)性可求答取

得最大值，從而可求.

【詳解】因為數(shù)列包｝,低｝均為等差數(shù)列,

葭=12-2n

且

川+3

Tu

所以%=2%_%+a2〃—1_§2九一112-2(21)7—2〃9

單調(diào)遞減,

bn2bn+b2n_xT2n_x2n-l+3n+1

當(dāng)〃=i時，?取得最大值為g,

b.2

所以含,

b?I2J

若戶”對任意的〃eN*恒成立,

所以彳＜—2,

故實數(shù)2的最大值為-2.

故選：C

6.（2022.全國?高二課時練習(xí)）（多選）已知兩個等差數(shù)列｛%｝和也｝的前”項和分別為S",Tn,且

（"+l）S"=（7〃+23）7；,則使得去為整數(shù)的正整數(shù)〃可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】AC

【分析】首先利用等差數(shù)列前〃項和公式，求出?！芭c$27之間的關(guān)系，進而可求出?=2,然后根據(jù)已

b“7kl

知求解即可.

S7〃+23

【詳解】由題意，可得；"=-1，

???｛%｝和低｝均為等差數(shù)列，

(2〃-l)(q+*)

=(2/7-1)<7?,

2

同理，q,T=（2〃T）6.,

.凡一邑,-1）+23二718

,?b.%2/7-1+1

若去為整數(shù)，則只需力=1,2,4,8.

*

故選：AC.

【點睛】若等差數(shù)列｛為｝和｛a｝的前"項和分別為S）,，T?,則f=

題型四：等差數(shù)列前”項和的最值

【例1】（2022?四川省武勝烈面中學(xué)校高二開學(xué)考試（文））記S”為等差數(shù)列｛4｝的前"項和，且4=22,

S產(chǎn)小，則S“取最大值時”的值為（）

A.12B.12或11C.11或10D.10

【答案】B

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由4=22,57=小可解出4值為一2,從而可知數(shù)列｛%｝前11項為

正；第12項為0；從第13項起，各項為負(fù)，所以S“取得最大值時n的值可確定.

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，由邑=幾，得74+21d=16q+1204,即q+lld=。，

又4=22,所以d=—2,所以=22—2（”—1）=24—2〃，令?！?0,可得”=12,

所以數(shù)列｛%｝滿足：當(dāng)"411時，??>0；當(dāng)〃=12時，??=0；當(dāng)"213時，a?<0,

所以S“取得最大值時，”的取值為11或12.

【例2】（2022?四川樂山?高一期末）已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，公差為d,S”為其前〃項和，若滿足

S15=0,S16<0,給出下列說法：

①d<0；②4=。；③$9>S6；④當(dāng)且僅當(dāng)"=7時，s”取得最大值.

其中正確說法的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由題可得4=0,%<。，然后結(jié)合條件及求和公式逐項分析即得.

【詳解】由與=>（"；.）=]5/,有％=。，故②正確；

又與=16（卬+原）<0,貝04+%6<0,從而出+佝<。，即為<0,所以d<0，故①正確；

因為小HM/。，所以（5“）3=￡=58,故④錯誤;

因為Sg-$6=%+。8+“9=30tt=0,所以S9=$6,故③錯誤;

所以正確說法的個數(shù)為2.

故選：B.

【例3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S,,已知岳。=0,%=25,則"+"的最小

值為_______

【答案】-4

I=-3

再由求和公式得S,=gW-10”),從而得〃+[n

【分析】由條件得到,2，可求解.

a=—

[3

,n(n-l}dflOa+45d=0

【詳解】,%=0,幾=25得〈1,

由句=叫+'2[15q+105d=25

q=-3

解得：＜72，

a=—

3

n(n-l]21/\,,01/2-7\if7)49

貝母=—3〃+.-=j(^7-10n).故〃+S“=§(獷一7w)=§U一丁

由于“eN*,故當(dāng)"=3或4時，（"+S"）mta=T.

故答案為：—4

【例4】（2022.內(nèi)蒙古?赤峰二中高一階段練習(xí)（理））設(shè)S,為等差數(shù)列｛?！埃那皐項和，若Su〉'？＞，。，

則滿足S”＞。的最大的正整數(shù)n的值為.

【答案】22

【分析】由已知，可通過%＞幾＞，。得到，生＜。，%＞。，%+%＞。，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可以得到

燈旦＜0,4要＞0,4受＞0,然后帶入等差數(shù)列｛%｝的前〃項和即可得到%＞0,52＞0,S23＜0,

從而作出判斷.

【詳解】由已知，"為等差數(shù)列｛%｝的前九項和，Slt＞Sl2,所以生〈0,

而^2=^^，所以^^＜0,所以523=23（"；%3）＜0,

Su＞H。，所以勺＞0,而。“=色要，所以幺受＞0,所％=2*%）＞。,

Sl2>St0,所以勺+%>0,而%+陽=4+的,所以幺言〉0,所以邑2=22（4；-2）〉0,

%>0,S22>0,S23<0,所以滿足S“>。的最大的正整數(shù)w的值為22.

故答案為：22.

【例51（2022.山東?德州市教育科學(xué)研究院高二期中）在等差數(shù)列｛4｝中，前〃項和為S”，若與>0,與<。，

則在工，工■,...,上中最大的是（）

S.Ss幾

A.—B.—sC.—9D.—

%。8。9

【答案】B

【分析】由55>。，&<0,知%>。,。9<。/<0,得S"最大值是$8,從而判斷結(jié)果.

【詳解】：等差數(shù)列前n項和s“=m+6,

2

由Si5>0,S16<0,得q+%5=2〃8>°，％+%6="8+〃9<0，

%>°，〃9<°，〃<°，

故｛?！埃秊檫f減數(shù)列，當(dāng)”<8時，%>0；當(dāng)〃>8時，??<0,所以S“最大值是醺，

則當(dāng)“W8時，網(wǎng)>。且單調(diào)遞增，當(dāng)8<〃W15時，2<。，.?.邑最大.

。，ang

故選:B.

【題型專練】

1.（2022.河北.石家莊二中高二期末多選題）等差數(shù)列｛為｝中，S6<S7,S7>Ss,則下列命題中為真命題的是

（）

A.公差d<0B.S9<S6

C.%是各項中最大的項D.S7是S,中最大的值

【答案】ABD

【分析】由56<邑,57>$8得：％>o，a<。，進而再等差數(shù)列的性質(zhì)逐個判斷即可

【詳解】由&<57,57>58得：a7>0,as<0,

所以“=4-%<0,且各項中最大的項為由,故A正確，C錯誤；

S9-S6=a9+as+a7=3ag<0,所以SgVSf,故B正確；

因為%>0,4<0,等差數(shù)列｛%｝遞減，所以S:最大，故D正確；

故選：ABD

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）等差數(shù)列｛外｝的首項為正數(shù)，其前〃項和為S”.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題

的有（）

A.若S"有最大值，則數(shù)列｛%｝的公差小于0

B.若4+&=0，則使E,>。的最大的”為18

C.若%>0,a9+a10<0,則｛Sa｝中S9最大

D.若%>。，偈+4（）<。，則數(shù)列｛,』｝中的最小項是第9項

【答案】B

【分析】由s.有最大值可判斷A；由繪+63=%+%。=。，可得。