2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間角

7.3空間角（精練）

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.（2023?黑龍江哈爾濱）如圖所示，在棱長為2的正方體力44cl，中，。是底面的中心，E,F分

別是CC；,4D的中點，那么異面直線OE與皿所成角的正弦值為（）

A.巫B.叵C.±D.2

5553

【答案】A

【解析】在正方體ABCD-44Q〃中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因為正方體棱長為2,o是底面的中心，E,尸分別是cq,AD的中點，

所以"（0,0,2）^（1,0,0）,0（1,1,0）^（0,2,1），可=（-1,0,2）,0/^=（-1,1,1），

,加=其|。q=6COS（赤歷I）=產(chǎn)?=r-3r-=塔，

I'I,Il'/|o耶744XV55

所以異面直線OE與，〃所成角的余弦值等于叵，

5

可得異面直線與-2所成角的正弦值為,1J正?I=叵.

故選：A.

2.（2022?內(nèi)蒙古烏蘭察布?校考三模）正方體"CD-44Go中，E,尸分別是/。的中點，則直線4%

與所所成角的余弦值是()

A.-B.逅C.皂D.在

2322

【答案】B

【解析】正方體"⑵-44G。中，E,尸分別是如的中點，

設(shè)正方體皿CD-44。。中棱長為2,

以。為原點，￡M,DC,a)|為xj,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,1)/(1,1,0)4(2,0,0),D\(0,0,2),

uuu__,

-

ADX=(-2,0,2)?EF=(1,1,1)

設(shè)直線44與所所成角為仇0e(0,；］,

則cose=1cos(3,EF)\=四呵=_廠4逅,

\ADX\-\EF\瓜?由3

回直線AD】與所所成角的余弦值是1.

3

故選：B.

3.(2023?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測)鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報時

的建筑.中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ?如圖，在某市

一建筑物樓頂有一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個大鐘對稱分布在四棱柱的四個側(cè)面(四棱柱看成正四棱

柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上)，在整點時刻(在0點至12點中取整數(shù)點，含0點，不含12點)，已知

在3點時和9點時，相鄰兩鐘面上的時針?biāo)诘膬蓷l直線相互垂直，則在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上

的時針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為()

D.受

4

【答案】B

【解析】如圖，在正四棱柱/8CQ-44。向中，旦尸分別為側(cè)面4S44和側(cè)面8CC4的中心，

G為的中點，￡N為2點鐘時針，/，'〃為8點鐘時針,

則BM?G=30°，DWG=30°，

設(shè)正四棱柱的底面邊長為m側(cè)棱長為人

以Z）為原點，以說，灰?，麗的方向分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則￡（。,],《），N（a,a,^+

EN=[0,-,—ayTM

265'°'一

1

所駟然阿卜尚瑞=12

所以在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上的時針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為

4

故選：B

4.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）直三棱柱血。-44。如圖所示，

"=4,6C=3,4C=5,￡＞為棱的中點，三棱柱的各頂點在同一球面上，且球的表面積為6E,則異面直

線4。和4。所成的角的余弦值為（）

A.也B.2c.迪D.史臣

55525

【答案】A

【解析】因為在直三棱柱"C-44cl中，所以球心到底面的距離〃=等，

又因為4?=4,8C=3,/C=5,所以4獷+8。2=/。2,所以AB/3C，所以底面外接圓半徑r=』，

2

又因為球的表面積為6br，所以R=畫，

以耳為原點，8G為X軸，為V軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

及（0,0,0）,4（0,4,0）,C（3,0,6）,。（0,2,6）,

.?.就=(3,0,6),而=(0,-2,61

二仰牛304耳=2而,=36,

設(shè)直線4。和4c所成的角為。，則

4d萬363a

cos6-|cos(/?!C,45〉卜

麻卜曲『3石X2而~5~

故選：A.

5.（2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱柱/武力-44GA中，底面/5Q9和側(cè)面居44均

為矩形，AB=2,8C=6，BB、=2后,4c=4.

(2)求4G與平面8441A所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)返

44

【解析】(1)證明：連接4。，四邊形/BQ)和四邊形均為矩形,

.-.ABLAA^ABLAD，

又44”4Z)u平面/4A。，AA^oAD^A,所以/B/平面444。，

40匚平面/4/]。，則初上3

由AB//DC，所以4。！。。

(2)設(shè)幺AD=e,"A.DLDC,

112

.1.4。=DC+3=DC+4/+AD-2A}A-ADCOSO^

二16=4+12+36-2x2#x6cos。，/.cos0=—'

2

v^e[O,n].:.G=—,

6

過C點作CM垂直交于點M,由(1)可知484平面BCC14,

B

-CMu平面BCC^，1CM，

?:CM工BBi，4B,BB[U平面ABB4,AB?BB】B,.?.CM_L平面居耳4，

設(shè)4G與平面區(qū)444所成的角為a,

TT1

又/BiBC=Z^AD=-,;.CM=6x—=3，

62

(?G〃平面4418",二q到平面448"的距離等于3,

連接4c,4GMq,在平行四邊形44cq中，(4C)2+(/G)2=2[(4N)2+(4C)[，

.?.16+(4Cj=2(40+12),AAQ=2伍,

CM3_3>/22

：.sina=--

AC.2夜44

與平面8444所成角的正弦值寫2

6.（2023春?新疆伊犁）如圖：已知直三棱柱"C-44G中，4G交4c于點。，AB=AC=AAi=2,

ABAC=9Q°.

⑴求證：4c

（2）求二面角0—8C—4的正切值.

【答案】⑴證明見解析

（2）72

【解析】（1）因為平面ABC,48,/Cu平面N5C,可得44148,4/1/C,

由題意可知：的。=90°，即力C_L48，

且4414c=4，A,A,ACu平面/。。4，

所以43工平面4。。14,且4Cu平面4CG4,所以4CL4B,

又因為血="=2,則4c4cl是正方形，可得4C_L4G，

且4qn48=4平面48C1,所以&CJ_平面48（；,

且BQu平面ABC,,所以4CJ_BC\.

（2）連接46,可知平面03。即為平面46C,則二面角0—8C—/即為二面角4-8C-4

取8c的中點。，連接4。,4。，

因為/8=/C，且。為8C的中點，則4D16C，

又因為44_L平面/5C,8Cu平面N3C，可得4/_L5C,

ADO^A=A,功，44匚平面44。，所以6C4平面44。，

且4Du平面//Q,則4〃_L8C，

所以二面角4-8C-4的平面角為

在RtA4。4中，AXA=2,AD=,可得面1441。4=，^=7^=血,

所以二面角0-8C-4的正切值為0.

7.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）四棱錐P-Z8CD中，PA平面ABCD，

四邊形48CD為菱形，NADC=60°，PA=AD=2,E為4。的中點，尸為尸。中點.

⑴求證：2/7/平面尸48；

⑵求二面角/一PD—C的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵叵

7

p.

如圖所示，取P8中點G,連接4G、GF，

由中位線的性質(zhì)易知：GE//BC且GF=、BC，

2

又因為底面/8Q）是菱形，E為力。的中點，所以G/〃/?,GF=AE，

即四邊形/GKfi■是平行四邊形，所以即〃4；，

而/Gu平面P/B，平面尸43，所以47/平面。48；

如圖所示，作Z/_LP。，垂足為/,作〃1?。交PC于J,連接47,

易知即二面角力一尸。一。

在菱形ZBCQ中，由于N4￡）C=60°，PA=AD=2,平面48C￡），

易得AC1AP,AD工4P,AC=AD=2,PC=PD=2垃=2AI，

222

*℃、由/?八PC+PD-CD3ID472〃x/14

任中，cos/CPD=---------------=一,:.JP=----,JI=----，

2PCPD433

20

在"JP中，A『=P42+pj2_2PAPJ-cos45°=—,

9

1420

+'>/A11AF+JI-J?2+5-3V28.V42

在△4〃中，cosZ-AIJ=-------------=-------f=^=---=>sinZAIJ=----,

“J，2AIJI2亞岳T，7

3

即二面角力—PQ—C的正弦值為史.

7

8.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模）如圖所示，在正四棱錐尸-J5CD中，底面/BCD的中心為。，尸。邊上的

垂線3E交線段尸。于點尸，PF=2F0.

a

⑴證明：芯0〃平面尸8C;

（2）求二面角力—尸5—C的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

（2）--

7

【解析】（1）證明：如圖，延長尸。至點使/?0=OM,連接

團底面45。。的中心為O,回P0/平面4BC。，團P01BD，

⑦B0=0D，NF0B=ZD()M,

⑦AFOBGADOM,

PFPF

⑦ZFB0=AMD0,⑦FB〃DM，⑦EF〃DM，=-^

FMED

而PF=2F()=FM,0PE=ED，0EO〃PB，

團PBu平面尸8G"。①平面尸3C,回￡?！ㄆ矫鍼8C；

（2）由（1）知E是尸。的中點，又BE_LPD，?BP=BD，

不妨設(shè)48=1，則PB=P/）=亞，PO=—'

2

回產(chǎn)一/BCD是正四棱錐，底面N8CD的中心為。，0OC,OD,。尸兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)C,OD,OP為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系,

（亞

，

。，-9。）,C惇2，。，。,

設(shè)平面PAB的一個法向量為。=（x,y,z1

亞

在

-+z-o

n-BP=22月

-

痣

四--

3

-+Z-O

n-AP=22

設(shè)平面尸5C的一個法向量為而二（a,ac）,

m-BP=^-b+^-c=0

則《22,令。=1,貝lj方=-[,

.V2__3

in,CP-.......aH------c—0

22

_nm1

“°5（〃'加）=麗=.，,

團二面角4一P8—C的余弦值為一.

7

9.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐P—皿。中，以1平面"C，PA=AB=HC=lPC=5

⑴求證：6C/平面為3

(2)求二面角力—PC—8的大小.

【答案】⑴證明見解析

⑵至

3

【解析】1)因為P4J_平面48C,BCu平面48C，

所以/"18C，同理尸/14B，

所以A"5為直角三角形，

又因為PB7PAi+9=揚BC=LPC3

所以。獷+8。2=P。2,貝IJAPBC為直角三角形，故6clp6，

又因為6C，P/，PAQPB=P,

所以6C1平面上4a

(2)由(1)6c人平面以8，又48u平面上43，則6。_1_4上

以A為原點，48為x軸，過A且與8C平行的直線為歹軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(O,O,O),P(O,O,1),C(U,O),W1,O,O),

所以萬=(0,0,1),尼=(1,1,0),前=(0,1,0),1=(U,T)，

m-AP=0Z|=0,

設(shè)平面P4C的法向量為前=(x“％z),則一，即4

m-AC=0.西+乂=0,

令%=1,則必=一1,所以加=￡—1,0),

〃-心.,3).,則n-BC-0即?%=0

設(shè)平面P8C的法向量為

x2+y2-z2^0'

令％=1,則Z2=l,所以＞=(1,0,1),

所以c°/s-M力f\叫mn:正口1T5,1

又因為二面角4-PC-8為銳二面角,

所以二面角/-尸。一8的大小為生.

3

10.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐力—BCO中，DA=DB=DC，BIS，ZADB=ZADC^60°，

￡為8。口中點.

（2）點尸滿足而=而，求二面角。-48-/的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

（2茁.

3

【解析】（1）連接，瓦。后，因為E為8c中點，DB=DC，所以?！闖_8C①，

因為D4=D8=DC，ZADB="DC=60°，所以A4CQ與△480均為等邊三角形,

：.AC=AB,從而4EJ.8C②，由①②，AE[\DE=E,4E,Z>Eu平面4。笈，

所以，8C/平面4OK，而4Ou平面4OK，所以8cl/%.

（2）不妨設(shè)DA=DB=DC=2,?:BD工CD，;.BC=2M,DE=AE=y/i.

:.AE2+DE1=4=AD2':.AELDE^又；AE上BCQECBC=E,

以點“為原點，砌，協(xié),以所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)n（V2,0,0）,4（0,0,五）,3（0,衣0）,7:（0,0,0）,

設(shè)平面QZ8與平面的一個法向量分別為4=(玉,乂,4),%=&,%,z?卜

二面角。-48—尸平面角為，，而初=僅，應(yīng)，-亞),

因為麗=忌=卜亞,0,6),所以川-亞,0,萬)，即有萬=卜也,0,0),

f—V2X1+>/2Z|-0

取玉=1,所以4=(i,i,i)；

[\[iy、-A/ZZ)=0

JA/^必-V2Z2=0

取必=1，所以叼=(0,1,1)，

[—A/2X2=0

所以，kosq==廠2=sin0—x/l——="—?

11可歸收3丫93

所以二面角￡)-48-b的正弦值為也.

3

1L(2023?四川?校聯(lián)考一模)如圖，在四棱錐尸-48CQ中，A"。是邊長為4的等邊三角形，平面PZO_L

平面Z8CQ，ADHBC，ZJC?=60%CD=4,刖=28

⑴證明：PCLAD-,

⑵求PB與平面PCD所成的角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)叵

35

【解析】([)證明：取AD中點。，連結(jié)尸。，CO,

因為A/MO是等邊三角形，所以尸。

又因為/D〃8C,ZACB=60°，所以皿C=60°，

因為4)=。。=4,所以A。。是等邊三角形，所以C0_L4Z),

又因為尸。門。。=。，且P0,C0u平面POC，所以/￡)_!_平面POC，

因為PCc=平面POC，所以PC_L4Q.

(2)解：由平面平面Z6CD，平面P4)c平面48a)=4。，

P0工AD且POu平面P4D，所以PO上平面ABCD，

以0為坐標(biāo)原點，以。4g,OP所在的直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

在“8C中由余弦定理：BC2+AC2-2BCACCOS60°=AB1，

因為48=2招,4C=4，可得8c2-48C+4=0，解得8c=2，

可得3（2,2/,0）,C（0,2V3,0）,Z）（-2,0,0）,尸僅,0,2冉）,

所以加=（2,2?-2研1=僅,2?—2百），麗=12,0,—2月）.

mPC-y-z=0

設(shè)平面PCD的一個法向量獲=（x,y,z），則

mPD=x+應(yīng)z-0

取z=l，可得工=一人,'=1，所以冽

——.\PB-nA

設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為，，則sin6=8s

網(wǎng)H

即直線P8與平面尸8所成的角的正弦值為嗜.

12.（2023?山西運城?山西省運城中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在三棱柱WC-44cl中，側(cè)面B5￡C為菱形,

（1）證明：平面4c4J_平面B4GC；

（2）求平面4cq4與平面44G夾角的余弦值?

【答案】⑴證明見解析；

【解析】（1）如圖，連接5（；,交4c于0,連接40.

因為側(cè)面BBKC為菱形，所以4C_LBC1,且O為5cl的中點.又/C=，q=亞，故/0_LqC.

又AB=BC=2,且NC叫=60。,所以。0=1,3。=百，所以AOVACjO2=1?又初=2,所以

AB2=BO2+AO^所以40工BO.

因為60,C4u平面64cle,B0nCBi=0,所以｛01平面BB^C

又AOu平面水耳，所以平面4c4J_平面BB^C.

（2）由（1）知，04,08,04兩兩互相垂直，因此以O(shè)為坐標(biāo)原點，08,。4,04所在直線分別為X軸，歹軸,

z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,則4（0,0,1）,6（省,0,0），C（0,-l,0）,C4—囪,0,0）.

故CC；=(—右」,0)，以=(0,1,1)，麗=(@1,0)

n-CC,=0即弁丁令…，則

設(shè)G=a,%zj為平面/co/的一個法向量，則有

n-CA=0

m-CA^O(y2+z2=0

設(shè)加=（*2，必/2）為平面48c的一個法向量，則有，,即，令馬=1，則橘=（1,一相,6）.

m-CB=0［岳2+%=。

因為平面44G〃平面相C,所以曲=（1,-G,月）也是平面46c的一個法向量.

所以卜os<"">4第一/=?

所以平面ZCG4與平面44a夾角的余弦值擠.

13.（2023,廣東梅州?統(tǒng)考三模）如圖所示，在幾何體尸力8c。中，平面尸48，點。在平面。43的投影

在線段尸8上(8C<PC),BP=6,AB=AP=2&DC=2,CQ〃平面上4萬

D

⑴證明：平面尸CDJ_平面P4Q.

（2）若二面角8-。。-尸的余弦值為-且，求線段40的長.

14

【答案】⑴證明見解析

(2)2

【解析】（1）由題知，平面5cp_1_平面產(chǎn)力8，過點C作尸8的垂線，垂足為"，連接力",

又因為平面BCPCI平面P/8=P8，所以CEJ■平面P4K

因為4。1_平面P4?，所以CE〃DA,則C,笈共面?

因為CD〃平面上48，CDu平面C￡X9，平面CZM^n平面尸48=加，

所以CD〃山,則四邊形4ECD為平行四邊形，所以4A=/X?=2.

因為BP=6,AB=AP=2y/3＞所以cos乙4尸￡=—,

2M2

因為0</"￡<四，所以N/P￡='

26

2A/3_2

ApAE

由正弦定理得——，即sinZ/iEpF

sinZAEPsinZAPE

2

所以sin4EP=更，因為0＜乙如＜匕所以乙4以＞=匕

223

JT

所以N1￡4P=2,即/"_L4P

2

因為力。1平面產(chǎn)48，/Eu平面產(chǎn)力8,所以力E_L40,

又因為4Dn4尸=43,在u平面，ZO，所以4K_L平面4OP

因為CD〃胡，所以CD1平面力OP

因為CDu平面PCD，所以平面尸CDJ_平面"/）.

（2）由（1）知，AE<AP，4。兩兩垂直，分別以4"，AP，4。所在的直線為x,y,Z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)力。=/（/>0）,如圖所示,

則。（0,0"）,C（2,0,/）,P（0,2疽0）,昭一百,0）,

所以關(guān)=（2,0,0），/力=（0,-2百/）,麗=13,百J）.

設(shè)平面6c。的法向量m=（x”％zj,

m-DC=02x.=0/_

所以《

一,即3+倔+%=?！?"得

m-BD=01

所以平面6CD的一個法向量碗=僅/,-右）

設(shè)平面PCD的法向量〃=（%,%/2卜

n-DC^O2X2=0I-

所以一，即]「，令力=，，得z[=2y/3,

n-PD=0—2。%+e=0

所以平面PCD的一個法向量三僅1,2同

L一\mn,2-6布

所以co乂肛〃）=麗=,即廣-13〃+36=0，解得1=2或，=3,

4+3>〃+12

2-6

當(dāng)1=3時，cos（見〃）=>0,不合題意,

4+3〉〃+12

所以線段4。的長為2.

14.（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐P-48CQ中，四邊形為梯形，AB^CD,ADJ.AB，

AB=AP=2DC=4,PB=2AD-A41,PD=2?“，N分別是P￡>,P8的中點.

D

⑴求證：直線MN團平面48CD；

⑵求平面"CN與平面Z8CQ夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)空

7

【解析】(1)連接3。，N分別是尸。，尸8的中點.

又；MNU平面ABCD，BDu平面4BCD

二直線的V回平面/8CD

⑵?：AB=AP=2DC=4,PB=2AD=472>PD=2瓜

AB2+AP2=PB2>AD2+AP2=PD1

：.ABLAP,ADLAP

：.48,4D,/尸兩兩之間互相垂直

以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

4(0,0,0),3(0,4,0),々20,2,0),42應(yīng),0,0),P(0,0,4)

又?:M,N分別是尸。，P2的中點.

夜,0,2),N(0,2,2)

/.CM=(-72,-2,2),CAT=(-272,0,2),AP=(0,0,4)

設(shè)平面MCN的法向量為〃=（x,y,z）

CMn=?？傻貌敷?2y+2z=0

CNn^O-2X/L+2Z=0

一立

解得2"令x=2可得法向量G=（2,也,2痣）

z=0X

；ABLAP,AD【AP，ADcAB=4

???4P/平面ABCD

：.AP為平面48cD得法向量

EA_4%_及_2y/7

cM優(yōu)〃"網(wǎng)丁總8干〒

令平面"CN與平面48cZ）夾角為。且為銳角

---cos0=|cos（4戶,“，=

平面MCN與平面4BCD夾角的余弦值為37.

7

15.（2023,廣東深圳,統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐p-4SCD中，底面/8c。為矩形，PZ1平面

ABCD,PA=AD=CAB,點M是尸。的中點.

⑴證明：AMLPC;

⑵設(shè)ZC的中點為O,點N在棱P。上（異于點P,C）,且ON=OA,求直線ZN與平面力CM所成角的正

弦值.

【答案】⑴證明見解析

（2）巫

10

【解析】（1）證明：因為尸4=/。，點M是P。的中點，所以

因為_L平面ABCD,PAu平面P4D，所以平面PAD_L平面ABCD，

因為四邊形43Q)為矩形，所以CD_LM，

因為平面P/Oc平面748。。=/。，CDu平面Z8CD，

所以CD1平面P4O，所以CO_L/A/，

因為PDcCD=D,P。。力(=平面廣。。，

所以/A/4平面PCD，

因為尸Cu平面PCD，所以/A/1PC

(2)解:由題意可得48,4),4>兩兩垂直，

設(shè)1B=1，如圖，以48,40,4戶所在直線分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

WU(0,0,0),B(l,O,O),C(1,72,0),￡)(0,^,0),P(0,0,72)，

因為點”是9的中點、，所以〃。,皇'牛

所以0,—Md=（i,板,0）,

<22>

-TTZ_\/2_0

設(shè)平面/CA/的法向量為3=（xj,z）,貝I-n=TJTz=,

AC-n=x+yf2y=0

令y=-l可得X=Q,Z=1，所以平面4cM的一個法向量?=（V2,-1,1）.

定二（i,及,一女），設(shè)N（/,為,Zw）,pM=;iPd=,,>/Li,-Vi^（o<;i<i）,

即卜.,為/.-&）=卜,亞4-瘋），所以N,,向，板

又，四,o],(W=6M=

222

2

所以++(^-^2)=1,

2

化簡得5儲-74+2=0，解得4=-或4=1（舍去）.

福2冗（22^23收）

所以4N=-,------,------，

555

設(shè)直線4V與平面4C"所成的角為6,則

3亞

n-AN

sin0=

(4~8~1?10'

12+1+lx4/——+-~+-

V252525

所以直線4N與平面/CM所成角的正弦值為姮.

10

能力提N升

1.（2023秋棚北?高二赤壁一中校聯(lián)考開學(xué)考試）二面角a—/-夕中,Awl，C"ABua，CDu05.ABU，

CDJJ,垂足分別為/、C,48=2，AC=\<CD=4,己知異面直線45與CD所成角為60°，則BQ=（）

A.^29B.713C,而或5D.歷或回

【答案】D

【解析】在力內(nèi)做4E_L/,且使4?=CD=4,連接因為CZ）_L/,

所以四邊形力以）。為平行四邊形，AC=DE=\，ACIIDE，

由481/，AE1I，AB[}AE=A，AB、平面48E，所以/上平面4BE，

因為DE/IAC，可得04/平面Z8￡，BKu平面4即，所以BE/DE，

因為異面直線4?與CD所成角為60°，DE//AC,

所以直線48與4?所成角為60°，

當(dāng)N84K=120。時，如下左圖，由余弦定理可得

腑=癡+疣-2"x4Ecos120°=4+16+8=28，

此時8。2=8爐+￡＞尸=29，即屈；

當(dāng)44￡=60°時，如下右圖，由余弦定理可得

BE2=AB?+4芯2—2/8xcos60-=4+16-8=12，

此時8。2=8"+￡）"2=[3，即80=而；

綜上所述，BD二則或BD=J^

故選：D.

2.（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）直角—5C中卷二2,BC=L。是斜邊ZC上的一動點，

沿BD將A/BC翻折到△4B。，使二面角力-加）一。為直二面角，當(dāng)線段4'。的長度最小時（）

—?1—?2—*

A.BD=-BA+-BC

33

B.BD=逗

3

C.直線QH與BC的夾角余弦值為正

5

D.四面體4ZCZ）的外接球的表面積為等

【答案】ABD

【解析】如圖所示：過點力作4，工8。，交于80延長線于點〃，

過點、CM_LBD交于BD于點、M，作NHIICMgNIIMH,使得CNDMB=N，

由二面角4-BO—C為直二面角，可知CM_L4'//，

JT

設(shè)46。二"則有Z/8O二"ZCBD=一一。，AB=A'B=2,BC=1,

2

在直角三角形HBH中，ArH=2sin0,BH=2cos。，

在直角三角形BCM中，

BM=cos（I_6）=sin0,CM二sin（：-6）=cos,

AC=7ArH2+MH2+CM2=A/4sin2+4cos2-4sincos+sin20+cos26

=，5-2sin2。>J5-2=應(yīng),當(dāng)且僅當(dāng)20=1=>6=:,

此時，#H=亞,BH=啦,BM=2,CM=旦,MH=旦，

222

在圖1中，0=-,所以30為/，8c的平分線，

4

于是有嚼=2=2,所以4/J=//）=2X血市=述，

liCDC33

DH=ylA'D2-A'H2=J—-2,

V93

由上可知：H4',H3,〃N兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

/（0,0,及）,網(wǎng)80,0）,。俘,1,0,D1,0,0,

k7\7

因為而二就+與二就+2萬=瓶+2儲與+前）=［時+2"，

33、f33

所以選項B正確；

7H,。同而=倍冬

所以直線DT與8c的夾角余弦值為亙，因此選項C不正確;

10

設(shè)四面體，BCQ的外接球的球心為。（X,y,z）,

顯然有0H=OB0B=OC.OC=0D,

所以有+j2+'一亞）2二《卜一血￥+y2+z2⑴，

272

X=------

3

由⑴⑵⑶，解得《亞

尸石

2及

z=------

3

822V42

四面體48CD的外接球的半徑為-+—+—=-----

93696

四面體48C/）的外接球的表面積為47r

因此選項D正確,

故選：ABD

3.（2023秋?廣東深圳?高三?？茧A段練習(xí)）（多選）如圖，正方體44。］〃的棱長為2,mRG分別為

BC,CG，BA的中點，則（）

A.點4與點G到平面4跖的距離相等

B.直線加，與平面所成角的正弦值為苴

3

C.二面角4A-C的余弦值為2

3

D.平面4即截正方體所得的截面面積為2

2

【答案】ACD

【解析】對于A，如圖I所示，取8G的中點N，連接4MGN,

則有GN//EF,GNE平面AEF,EFu平面AEF,:.GN//平面AEF

A.N//AE,AN?平面AEFAEu平面AEF■-4N//平面AEF,%Nu平面AfiN,GNu平面AtGN,

A}NC\GN=N,

所以平面4GN//平面4即.

又因為4Gu平面4GN，所以4G〃平面4跖，點4與點G到平面4跖的距離相等，故A正確；

圖1

對于B，如圖2所示，連接￡)作，又4OJ_平面所以〃1人。為直線⑷，'與平面C/)/)G所成角，由已

知得：AD=2,DF=yfi,AF=3,

An7

所以RtA/Q江中，sinZAFD=—^~,即B錯誤;

Al<3

圖2

對c,如圖3所示，因為GC1平面48CQ，作C//14E交4"延長線于H，

連接切，則尸H14H，故設(shè)二面角尸―4片一。的平面角為NFHC,

由詈=累得C"=述/H=#C2+C//2-

CAAh55

所以COS，F(xiàn)HC=4=M即C正確；

FH3

對于D,如圖4所示，連接〃延長。交于點S，

因為反尸分別為8c,qc的中點，所以跖〃物，

所以4AEA四點共面，所以截面即為等腰梯形的

D[F=AE=yf5,ADi=2^2,即=亞，梯形AEF”的高為卜=迪，

2

所以梯形絲叫的面積為:(廝+物9=興2痣+亞卜￥=]故D正確.

故選：ACD.

4.(2023秋?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習(xí))如圖，在三棱錐P-4SC中，側(cè)棱P/_L底面4BC，且

PA=AC,ACLBC,過棱PC的中點“，作跖，PB交所于點尸，連接

(1)證明：PB1平面4KF；

(2)若上1=2,三棱錐P-4廝的體積是求直線PC與平面4跖所成角的大小.

6

【答案】⑴證明見解析

(2)-

4

【解析】(])因為1_L平面/BC,8Cu平面48C，所以P/1BC，

又因為4c16C，而P4cze=4P44Cu平面P4C，

所以平面P4C，又44U平面P4C，所以6C14E

又因為"=4C,點芯是PC的中點，所以力￡1PC

而PCn8C=C,PC,8cu平面PBC，

所以4K_L平面PBC,P8u平面尸8C，所以4E工PB，

又PBIEF,AEr>EF=E,AE,EFu平面AEF,

所以P8_L平面4跖；

（2）解法一：設(shè)8。=4（丸>0）,由（1）得，AE=PE=CE=6,，

可知45=）4+外,PB=，8+萬，

由APFES/CB，得堂=坦，故加■=/￡=

PBBCTiTr

22

在RtAPFE中,PF=^PE-EF^-r±=,

V8+22

化簡得（2—20）2=0,解得2=2淄，故即=1.

由（1）知Pbl平面力即，故NP即即為所求角,

M1、5

在RtAPFE中,cosNPEF=—=-^=—

PEy[22

又0,工，故6=工；

【2」4

解法二：設(shè)BC=4（4>0）,由（1）得，AE=PE=CE=6,

可知力夕=，4+矛，/生=18+矛，

必=竺故EF=4

由APFES/CB,得

PBBC8+公

在RtZ\PM中，PF=dPE2-EF

所以匕,AEF=]*'aAEF3—x\/2

2

化簡得（2-20）2=0，解得;I=2應(yīng)

如圖，以A為原點，與/C垂直的方向，射線4C，射線ZP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因為PA=AC=2,BC=2垃，則4（0,0,0）,尸（0,0,2）,8（2行,2,0）,C（0,2,0）,

方二卜亞,2,-2）,元=（0,2,-2）,

由⑴知，M_L平面4防，所以方=卜板,2,-2）是平面4環(huán)的一個法向量,

設(shè)直線PC與平面4防所成角為少

R

5.（2022秋?山西運城?高三?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形48CD為正方形，4瓦8J'四

點共面，且A/班?和均為等腰直角三角形，NBAE=ZAFB=90"，平面43coi平面ZEM，AB