2024年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)講義：直線的傾斜角、斜率與直線的方程

第八章平面解析幾何

考情探究

考題考占考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)

2023新課

直線與圓、

標(biāo)I,6；直線與圓相數(shù)學(xué)運(yùn)算

圓與圓的位運(yùn)算求解基礎(chǔ)性

2023新課切、相交直觀想象

置關(guān)系

標(biāo)H,15

2023新課橢圓的幾何橢圓的焦

運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算

標(biāo)I、II,5性質(zhì)點(diǎn)、離心率

2023新課雙曲線的幾求雙曲線的

運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算

標(biāo)I,16何性質(zhì)離心率

圓錐曲線中

2023新課運(yùn)算求解數(shù)學(xué)運(yùn)算

的軌跡方程求軌跡方程綜合性

標(biāo)I,22邏輯思維直觀想象

問(wèn)題

圓錐曲線中

2023新課證明點(diǎn)在定運(yùn)算求解數(shù)學(xué)運(yùn)算

的定點(diǎn)、定綜合性

標(biāo)H,21直線上邏輯思維直觀想象

值問(wèn)題

2022新高

考I?14；

求切線方

2022新高

直線與圓、程、求參數(shù)

考H,15；

圓與圓的位范圍、判定運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算

2021新高

置關(guān)系直線與圓的

考I,11;

位置關(guān)系

2021新高

考H,11

求直線的斜

2022新高直線與圓錐

率、方程，數(shù)學(xué)運(yùn)算

考H,10、曲線的位置運(yùn)算求解綜合性

求拋物線的數(shù)學(xué)抽象

16關(guān)系

準(zhǔn)線

圓錐曲線中

2021新高運(yùn)算求解直觀想象

的證明與探證明問(wèn)題綜合性

考H,20邏輯思維數(shù)學(xué)運(yùn)算

究性問(wèn)題

【命題規(guī)律與備考策略】

本章內(nèi)容命題形式多樣，在選擇題、填空題中主要考查圓錐曲線的定義、方

程和幾何性質(zhì)，解答題中主要考查直線、圓的方程及位置關(guān)系；直線與圓錐曲線

的位置關(guān)系，涉及弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值和取值范圍等問(wèn)題，常與函數(shù)、不

等式等知識(shí)綜合考查.對(duì)于雙曲線的有關(guān)性質(zhì)考查多集中在雙曲線的漸近線和離

心率上，關(guān)于拋物線的有關(guān)性質(zhì)考查多側(cè)重于拋物線定義在求解與距離相關(guān)的最

值問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化.

結(jié)合本章的命題特點(diǎn)，復(fù)習(xí)過(guò)程中需注意以下幾點(diǎn)：①求解直線與圓的問(wèn)題

時(shí)，要注意圓的性質(zhì)的應(yīng)用，常采用幾何法求解，同時(shí)要注意與其他知識(shí)的交匯

問(wèn)題；②求解圓錐曲線方程時(shí)，需關(guān)注待定系數(shù)法與定義法的應(yīng)用；③求解有關(guān)

弦中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，需關(guān)注點(diǎn)差法和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用；④求解定值、定點(diǎn)問(wèn)題

時(shí)，需注意求解思路與轉(zhuǎn)化方法.

第一講直線的傾斜角、斜率與直線的方程

和iR新理?雙星自測(cè)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角

1.定義：當(dāng)直線/與大軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，把X軸正向與

直線/向上方向之間所成的角a叫做直線I的傾斜角.當(dāng)直線I與x軸平行或

重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.

2.傾斜角的取值范圍為10。，180。）.

知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率

1.定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用

小寫(xiě)字母女表示，即k=tana,傾斜角是90。的直線斜率不存在.

2.過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)Pl（Xl,yi）,P2（X2,〉2）（其中X1WX2）的直線的斜率公式為左=_"二M.

3.直線的方向向量與斜率的關(guān)系

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)尸1(%1,V),尸2(九2,丁2)(無(wú)1力12)的直線，其方向向量為口^2=(%2—XI,

定

”一竺)一(&-因此，當(dāng)直線的斜率左存在時(shí)，直線的一個(gè)

義

方向向量為(1,Q

關(guān)

當(dāng)直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x,y)(xWO)時(shí)，直線的斜率左=1

系

知識(shí)點(diǎn)三直線方程的五種形式

名稱(chēng)方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)—yo=Z（%一%。）不含直線x=xo

斜截式不含垂直于X軸的直線

y~yix-xi

兩點(diǎn)式不含垂直于坐標(biāo)軸的直線

y2~yiX2-xi

不含垂直于X軸、平行于X軸和迄

截距式

ab原點(diǎn)的直線

Ax+By+C=O適用于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有

一般式

其中要求L+vwo直線

歸納拓展

1.直線的傾斜角a和斜率左之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

a0°0°<a<90°90°90°<a<180°

k0左＞0且a越大，女就越大不存在上＜0且a越大，女就越大

口訣：斜率變化分兩段，直角便是分界線；

小正大負(fù)皆遞增，分類(lèi)討論記心中.

2.特殊直線的方程

⑴過(guò)點(diǎn)Pi(xi,yi)垂直于x軸的直線方程為x=xi；

(2)過(guò)點(diǎn)Pi(xi,yi)垂直于y軸的直線方程為y=yu

(3)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為x=my.

3.謹(jǐn)記以下幾點(diǎn)

(1)“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，

而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).求與截距有關(guān)的直線方程時(shí)應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況

是否滿足題意.

(2)當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為y=kx+b-,當(dāng)不確定直線的

斜率是否存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為

(3)A,B,C二點(diǎn)共線臺(tái)左48=44<7(或左=或k：AC=/(BC).

(4)直線Ax+砂+。=052+4#0)的一個(gè)方向向量a=(-B,A).

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.(X)

(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.(X)

(3)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等.(V)

(4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,。)的直線都可以用方程匕表示.(X)

(5)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用'+l=1表示.(X)

(6)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)Pi(xi,yi),P2a2,")的直線都可以用方程(y—yi)(九2

-%1)=(%一%1)82一,1)表示.(V)

題組二走進(jìn)教材

3兀

2.(選擇性必修IP58T7)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2y+l),3(2,—3)的直線的傾斜角為彳,

則y=(B)

A.11B.—3

C.0D.2

..2_y+1-(—3)2y+4_

［斛析］由4_°=-5=,+2,

3兀

得y+2=tair［=_l,.*.y=-3.

3.(選擇性必修IP67T7)過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為

30—2y=0或x+y-5=0.

［解析］當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x-2j=0；

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為)+2=1,

23

則％+,=1,解得。=5.所以直線方程為x+y—5=0.

題組三走向高考

4.(2022.北京高考真題)若直線2x+y—1=0是圓(x—。)2+產(chǎn)=1的一條對(duì)稱(chēng)

軸，則a=(A)

A.；B.

C.1D.-1

[解析]由題意知圓心坐標(biāo)為(Q,0),又直線21+y—1=0是圓(%—〃)2+y2=

1的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以圓心在直線上，即2a+0—1=0,解得a=T.故選A.

5.(2021.山東高考真題)如右圖，直線/的方程是(D)

A.小x—y一小=0

B.y[3x—2y—小=0

C.y[3x-3y-l=0

D.x一事y—1=0

[解析]由圖可得直線的傾斜角為30。，所以斜率左=tan30。=手，又直線

/與x軸的交點(diǎn)為(1,0),所以直線的點(diǎn)斜式方程可得/：y一0=3(%一1)，即兀一

V3y-l=0.故選D.

彎點(diǎn)突破?巨曲探興

直線的傾斜角與斜率——自主練透

1.(2024.重慶重點(diǎn)中學(xué)月考)設(shè)直線I的方程x+ycose+2=0(6CR),則

直線的傾斜角a的取值范圍是(D)

「兀71

A.[0,7i]B.72

兀3兀

D.TT

j?j?j?

［解析］當(dāng)。=］+E(左@Z)時(shí)，直線/：x=—2,則其傾斜角為2；當(dāng)

121

E/GZ)時(shí)，直線/：y=--則其斜率左=tana=—8,

wx_/olxLU、

7171、(71371-1

—1］u［1,+8),又aG［0,31),.?.aGa，2ju［j,彳；綜上所述：直線的傾

7T311

斜角a的取值范圍為序利故選D.

2.(2024.山東普高大聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)P(0,—1)作直線/,若直線/與連接A(—2,1),

3(2小，1)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角范圍為(B)

兀兀71371

A.4^6B.6,T

「八兀］「3兀)71713兀

C.［。,臚］不可U兀

D.692T

［解析］設(shè)直線I的斜率為k,傾斜角為aowe〈7i,kpA=^_.--=-l,

"B=因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(o，—1)，且與線段A3總有公共點(diǎn),

所以女?(—8,-1］u［害，+J,因?yàn)?.。＜兀，所以聿wew來(lái)故選B.

3.已知曲線4%)=Inx的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則此切線的斜率為(C)

A.eB.—e

［解析］解法一：..7(x)=lnx,+8),，(x)=：設(shè)切點(diǎn)p(xo,inxo),

則切線的斜率左=/'(%0)='=莫'，.*.lnxo=Lxo=e,.\k=~=~.

%o%oxoe

解法二(數(shù)形結(jié)合法)：在同一坐標(biāo)系中作出曲線"x)=lnx及曲線＞(x)=lnx

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線，如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，切線的斜率為正，且小于1,故選

C.

4.若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在

1

-3

直線的斜率分別為--

-3?_

［解析］正方形。43c中，對(duì)角線所在直線的斜率為2,建立如圖直角

坐標(biāo)系,

設(shè)對(duì)角線03所在直線的傾斜角為e,則tan8=2,

由正方形性質(zhì)可知，直線0A的傾斜角為6—45。,

直線0c的傾斜角為8+45。,

八tantan45°2—11

故u如A=tan(e—45°)=]+tan如an45°=TTI=3'

,tan6+tan45°2+1

%c=tan(6+45°)=]Tan仇an45。=]—2=-3'

故答案為：；；-3

名師點(diǎn)撥:

1.求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率左=tana的取值范圍，但需

注意斜率不存在的情況；②利用正切函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓，數(shù)形結(jié)

合確定傾斜角a的取值范圍.

2.求直線斜率的方法:

(1)定義法：^=tana；

(2)公式法：k='_，(%i#12);

X2XI

(3)導(dǎo)數(shù)法：曲線y=/(x)在xo處切線的斜率左=/(xo).

3.注意傾斜角的取值范圍是［0,7i),若直線的斜率不存在，則直線的傾斜

角為全直線垂直于X軸.

【變式訓(xùn)練】

1.(2024.湖北華中師大附中月考)直線/過(guò)點(diǎn)A(2,l),3(乙3)的直線的傾斜

角a的范圍是q，幻，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(B)

A.(0,2］B.(0,4)

C.［2,4)D.(0,2)U(2,4)

［解析］當(dāng)直線的傾斜角為冷時(shí)，m=2；當(dāng)傾斜角停，U［j,第時(shí)，

2、2、2、

m手2,k=T,且k<-1或k>l.T<—1或7>1,解得0<m<2或2<m<4.

m—2m-2m一2

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(0,4).故選B.

2.(2024.河南創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)P(l,1)作直線/,若直線/與連接A(2,3),

3(3,—1)兩點(diǎn)的線段總有交點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍為(A)

11

,2-

LB,2-

AC.2

-

T1

2-D-8,

-—1]U+00

［解析］直線必的斜率為|zr|=2,直線的斜率為3)」=—1，直線/

的斜率的取值范圍為［—1,2］.故選A.

直線的方程——師生共研

（列1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（f,3）,且傾斜角為直線小x+y+l=O的傾斜角的一半

的直線的方程為、國(guó)—y+6=0.

［解析］由小x+y+l=O得此直線的斜率為一百，所以?xún)A斜角為120。，從

而所求直線的傾斜角為60。，故所求直線的斜率為小.又直線過(guò)點(diǎn)（一小，3）,所

以所求直線方程為y—3=，5（x+?。葱—y+6=0.

2.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（—5,0）,3（3,—3）,C（0,2）,則邊上中線

所在的直線方程為x+13y+5=0.

［解析］由題意可知的中點(diǎn)為《|,一習(xí)，

_°-H__i

??KAH3］3，

—5”

故所求直線的方程為y-0=-*（x+5）,

即x+13y+5=0.

3.與直線3x—4y—5=0關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線的方程為3x+4y+5=0.

［解析］直線3x—4y—5=0的斜率為點(diǎn)與y軸交點(diǎn)為（0，一土），故所求直

線的斜率為一點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（0,—1）,.?.所求直線方程為y=—%—點(diǎn)即3x+4y+5

=0.

4.（多選題）（2024.陜西部分學(xué)校聯(lián)考）直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（3,-2）,且在兩坐標(biāo)

軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線I的方程可能是（BCD）

A.3x+2y=0B.2無(wú)+3y=0

C.x—y—5=0D.%+y-l=0

［解析］解法一（檢驗(yàn)法）：驗(yàn)證易知B,C,D符合題意.

2

解法二（直接法）：當(dāng)直線/的截距為0時(shí)，直線/的方程為y=-即2x

+3y=0.

當(dāng)直線/的截距不為0時(shí)，設(shè)直線/的方程為?+方=1,

3-2r(

一+-j=1,Cl=l9〃=5,

則。b解得或

[b=l,[b=-5,

1|a|一—，

4=1,

若，則直線/的方程為x+y=l,即x+y—l=O,

[b=l,

a5,Y-\?

若，則直線/的方程為與+太=1,即x—廠5=0.故選BCD.

[b=~5,37'

[引申]本例4中若去掉“絕對(duì)值”，則應(yīng)選BD.

名師點(diǎn)撥：

1.求解直線方程的方法

(1)直接法一根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方

程.

(2)待定系數(shù)法——①設(shè)所求直線方程的某種形式；

②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；

③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；

④把參數(shù)的值代人所設(shè)直線方程.

2.謹(jǐn)防3個(gè)失誤

(1)選用點(diǎn)斜式和斜截式時(shí)，注意討論斜率是否存在.

(2)選用截距式時(shí)，注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否存在、是否為0.

(3)由一般式Ax+By+C=Q確定直線的斜率時(shí)，要注意討論B是否為0.求

直線方程時(shí)，如果沒(méi)有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+3y+C=0,

且A>Q.

【變式訓(xùn)練】

1.(2024.江西豐城中學(xué)月考)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),且在x軸上的截距是在y軸上

的截距的2倍的直線I的方程是2x—y=0和x+2y—5=0.

[解析]若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)直線方程為丁=右，將P(l,2)代入可得2x—

尸0,若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線方程為a十；1,將P(l,2)代入可得

4L4-乙

所以直線方程為|十91,即x+2y—5=0.

2

2.直線小x—y+4=0繞其與x軸的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)看所得直線的方程為_(kāi)dl

x—3y+4=0.

［解析］直線小x—y+4=0與x軸的交點(diǎn)為1—羋，0),斜率為小，傾斜

角6為小可知所求方程直線的傾斜角為率斜率左=坐［或由Qtan,一聿)求)，

故所求直線的方程為y=9Q+生判，即小x—3y+4=0.

3.(2024.湖北荊州中學(xué)期末)已知直線/的斜率為右且和坐標(biāo)軸圍成面積為

3的三角形，則直線I的方程為%—6y+6=0或%—6y—6=0.

1

+6

［解析］設(shè)直線方程為6X則3^=3,：.b=±l,故所求直線方程為

X—6y+6=0或x—6y—6=0.

直線方程的應(yīng)用—多維探究

1列已知直線I過(guò)點(diǎn)”(2,1)，且與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn)，

。為坐標(biāo)原點(diǎn).求：

(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線I的方程；

(2)當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上截距之和取得最小值時(shí)，直線/的方程；

(3)當(dāng)|肱4卜也出|取最小值時(shí)，直線I的方程；

(4)當(dāng)|M4F+|A〃|2取得最小值時(shí)，直線I的方程.

［解析］設(shè)直線的方程為?1(。>0,b>0),

21

則一a+工b=1.

?ini?ii

(1)/—當(dāng)且僅當(dāng)一=工=不，即。=4,6=2時(shí)，△AOB

'，ab\lab2ab2

面積S=^ab有最小值為4.此時(shí)，直線I的方程是\十尹1.即x+2y—4=0.

(2)a+Z?=(a+0)C+/=3+?+注3+2丫齊珠=3+2正故a+b的最小

值為3+2、②此時(shí),=*求得b=y［2+l,a=2+y［2.此時(shí)，直線I的方程為屋力

?.v1.即x+也廠2—表=0.

A/2+1

122

(3)解法一:設(shè)NR4O=仇則sin。=兩，cos。=兩，：.\MA\-\MB\=-g^

471

顯然當(dāng)8=1時(shí)，取得最小值4,此時(shí)k=—1,所求直線的方

程為y—1=—(x—2),即x+y—3=0.

解法二：\MA\\MB\=-MA-MB=-(a-2,—1>(—2,6—l)=2a+》一5=(2a

+0)(；+)]—5=當(dāng)+當(dāng)三4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，的最小值為

UJciu

4,此時(shí)直線/的方程為x+y—3=0.

(2k—}\

解法二：若設(shè)直線I的方程為y~\—k(x—T),則一%一,0/_B(0,1—2左)，

/.\MA|-\MB\=-yj4+4k2=2—1+(—%)三4,當(dāng)且僅當(dāng)一％=—/即k=

—1時(shí)，取等號(hào).故的最小值為%此時(shí)直線/的方程為x+y—3=0.

1?

(4)同(3)|MA|===,\MB\=一石,

v7v711sinu11cosu

14

=(sin2°+cos2⑨島+熹)

一cos20?4sin20^^

=5+雨+防而淮

(當(dāng)且僅當(dāng)cos20=2sin2。，即tan20=T時(shí)取等號(hào))

.?.|MA|2+|MB|2的最小值為9,

此時(shí)直線的斜率左=—彎，

、歷

故所求直線的方程為y—1=—普(x—2),

即也x+2y—2(^2+1)=0.

注：本題也可設(shè)直線方程為y—1=k(x—2)(左＜0)求解.

名師點(diǎn)撥：

求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題，考查函數(shù)思想，即利用直線方程中x,y

的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)求解.或利用直線過(guò)已

知點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線方程，借助基本不等式求解(注意取最值時(shí)等號(hào)成立

的條件).

【變式訓(xùn)練】

直線/過(guò)點(diǎn)M1，2),且分別與x,y軸正半軸交于A、3兩點(diǎn)，。為原點(diǎn).求

|。4|+2|。3|的最小值及此時(shí)直線I的方程.

［解析］設(shè)直線/：~+^=1＞且。＞0,b＞0.

17

?直線過(guò)點(diǎn)(1,2),.*.-+^=1,

(12、2b2a

/.|OA|+2|O5|=a+2Z?=(fl+2Zj)^-+^J=5+y+y^9,

當(dāng)且僅當(dāng)§=當(dāng)即a=b=3時(shí)取等號(hào)，

.?.此時(shí)直線/：x+y—3=0,

故|OA|+2|O8|的最小值為9,此時(shí)直線/的方程x+y—3=0.

名師諦宿?素養(yǎng)擢H

是點(diǎn)同奧

例1.(2022?浙江模擬改編)已知直線Z：質(zhì)一y+1+3左=0(MR).

⑴直線I過(guò)定點(diǎn)(一3,1).

(2)若直線/不過(guò)第一象限，則.的取值范圍為(一8,一1.

(3)若直線I交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,則SAAOB最小時(shí)直線I

的方程為x—3y+6=0?

［解析］⑴自-y+1+3左=0可化為y—1=女(％+3).

J直線/過(guò)定點(diǎn)(一3,1).

(2)令x=0得y=3k+1,即直線/在y軸上的截距為3Z+L

1

由題意知1c,「解得左W—牙

、3七十1W0°

故左的取值范圍是(一8,-1.

(3)設(shè)直線的方程為升1=1,則r+：=l(a<0,Z?>0),

L4-tzCi-U

|Y

，SMOB=一呼/。三6(當(dāng)且僅當(dāng)a=-6,b=2時(shí)取等號(hào)).，直線/的方程為百

+］=1,即x—3y+6=0.

2.(多選題X2024.江西豐城中學(xué)月考)已知點(diǎn)A(—2,-1),5(2,2),直線/：

2狽-2y+3〃-3=0上存在點(diǎn)尸滿足|網(wǎng)+|尸5|=5,則直線/的傾斜角可能為(BD)

兀

A.0B.a

〃兀c3兀

D—

Jr-24

［解析］*/\AB\=^/(-2-2)2+(-1-2)2=5,且|B4|+|P3|=5,

二直線/與線段A3恒有交點(diǎn)，

,直線/：y+|=tz(x+1^,

...直線/恒過(guò)定點(diǎn)《一|，一|),作出示意圖：

所以直線/的斜率的取值范圍為(一8,-1]U[1,+8),

故直線/的傾斜角的取值范圍為:，?)u仔，苧，故選BD.

名師點(diǎn)撥：確定方程含參數(shù)的直線所過(guò)定點(diǎn)的方法

1.將直線方程寫(xiě)成點(diǎn)斜式y(tǒng)—yo=/(/l)(x—xo),從而確定定點(diǎn)(xo,yo).

2.將直線方程整理成關(guān)于參數(shù)的方程，由方程中各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)為0確

定定點(diǎn).

3.給參數(shù)取兩個(gè)不同值，再解直線方程構(gòu)成的方程組，從而確定定點(diǎn)坐標(biāo).

解題時(shí)，若直線方程中含有參數(shù)，應(yīng)考慮直線是否過(guò)定點(diǎn).

【變式訓(xùn)練】

(2024.福建廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段測(cè)試、遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知直線Z：(m+

2)x+(m-l)y+m-l=0,若直線/與連接A(l,—2)、3(2,1)兩點(diǎn)的線段總有公

共點(diǎn)，則直線/的傾斜角范圍為(D)

「兀兀]「3兀)

A「『4jB.[w,叼

「兀3兀]「八7i"|(3n、

C.[a，yjD.[0,磯UR，可

[x+y+l=O,

[解析]直線(x+y+1)根+(2x—y—1)=0,由k_解得

y10,

x=0,

b=T，即直線/過(guò)定點(diǎn)P(0,-1),

設(shè)直線/的斜率為左，直線/的傾斜角為a,則OWaPi,

—1—(—2)—1—1

顯然直線抬的斜率為c1=—1，直線P3的斜率為不一廠=1,由于

直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,—1),且與線段總有公共點(diǎn)，則一左W1,即一iWtanaWl,

又/=：+2=_]+/—W—1,于是一IvtanaWl,因此OWaW年或斗＜。＜兀，所

1—m1—m44

以直線/的傾斜角的取值范圍是[o,〃]u存，兀).故選D.

提能訓(xùn)練練案［48］

A組基礎(chǔ)鞏固

一、單選題

1.(2024.山東學(xué)情質(zhì)檢)直線x+小y+1=0的傾斜角是(D)

A兀C兀

A-6B-3

CTD.

3o

［解析］由直線的方程得直線的斜率為左=—竽，設(shè)傾斜角為?,則tan?

、行Sic

2,又aG［0,兀)，所以a=w.故選D.

2.如圖中的直線/i,h,/3的斜率分別為41,ki,依，貝iJ(D)

A.左i〈女2(依B.k<k\<ki

C.左3<左2<左1D.ki<k3<k2

［解析］直線/1的傾斜角W為鈍角，故匕<0,直線/2與/3的傾斜角Ct2與Q3

均為銳角且Ct2>a3,所以0<左3<左2,因此左1〈依〈左2,故選D.

3.下列說(shuō)法正確的是(A)

A.直線x—y—2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

B?點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2,1)

C.過(guò)(xi,yi),(X2,券)兩點(diǎn)的直線方程為=；_；

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y—2=0

［解析］A中直線在坐標(biāo)軸上的截距分別為2,-2,所以圍成三角形的面

積是2,故正確；設(shè)點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(a,V),則

22丁

<,c解得。=1,6=1,故點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1,1),

b~2

故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)需要條件xWyi,X2#xi,故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，還有一條截

距都為0的直線y=x.

37T

4.(2024.山西孝義聯(lián)考)已知直線/：3mx+(l-2m)y-2023=0的傾斜角為彳,

則m=(C)

A.1B.11

C.1D.—!

冗

［解析］因?yàn)橹本€/的傾斜角為3胃，所以斜率2tan3于7i=—1,所以卷十

-1,解得機(jī)=點(diǎn).故選C.

5.(2024河南鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)已知直線/的方程為xsina+小廠1=0,

Q￡R,則直線/的傾斜角范圍是(B)

兀r兀］「5兀)

A.0,3口兀B.0,U不，7iI

兀5兀兀2兀

C.亨~6D.yT

［解析］設(shè)直線的傾斜角為仇ow*?,由Z：xsin(x~\~yf3y—1—0知k=一

sin一坐，坐；故^=tan一坐，坐］，所以當(dāng)左￡0,9］時(shí)，直線I

的傾斜角呢［o,,當(dāng)上一坐，o)時(shí)，直線/的傾斜角e?恃，J；故直線

/的傾斜角ee［o,a_|u崖，7rJ,故選B.

6.(2023?云南模擬)若等邊三角形一邊所在直線的斜率為3事,則該三角形

另兩條邊所在直線斜率為(C)

A—近近R_亞立

A?4'54,2

J2，5D.2，4

［解析］如圖，△ABC為正三角形，設(shè)A3的傾斜角為a,則tana=MB

3小，

兀

則上亞L,AAc=tan(a+§竽，故選C.

Bc=tan|a—§5

7.直線與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，若M(l,—2)恰為線段PQ的中

點(diǎn)，則直線PQ的方程為(B)

A.2x+y=0B.2x—y-4=0

C.x+2y+3=0D.x—2y—5=0

［解析］設(shè)P(xo,o),2(0,泗),

VM(1,—2)為線段PQ中點(diǎn),

??xo=2,yo=1-4,

???直線PQ的方程為5+士1,

即2x一廠4=0.

8.(2024?山西孝義聯(lián)考)如果AB>0且BC<0,那么直線Ax+By+C=Q不經(jīng)

過(guò)(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］由A3>0且3c<0,可得A,3同號(hào)，B,C異號(hào)，所以A,C也是

CC

異號(hào).令x=0,得'=一萬(wàn)>0;令y=0,得％=一1>0,所以直線Ax+5y+C=0

LJ/I

不經(jīng)過(guò)第三象限.故選C.

9.(2024.山東濟(jì)南中學(xué)月考)若直線y=ax+l與連接A(2,3),3(—3,2)的線

段總有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是(B)

A.T,|

D.(一8,—2］uI，+8)

［解析］由直線y=ax+l可得直線的斜率為a,且過(guò)定點(diǎn)P(0,1),又A(2,3),

3(—3,2),則由圖可得，要使直線與線段A5總有公共點(diǎn)，需滿足。三屆或aW而小

3—12—11故選

又kpA—c八一19kpB—g八一二，??〃21或—1.B.

2—U—3—U3

＞尸

二、多選題

10.(2024?江蘇蘇州常熟中學(xué)調(diào)研)直線/1：OX--y—b=0,h：bx-y-\-a=

0(a0W0,eb),下列圖象中正確的是(BC)

[解析]直線/l:))=ax—b,h\y=bx+a(ab^0,a^b),A選項(xiàng)，由圖可

[a<Q,[Q<(),2L),所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤-B選項(xiàng)，由圖可知：

知：Zi：\書(shū)

~b>01/?<(

a>0,[a>0,a＞0,

/i:<今</：1所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由圖可知：11：

[—/?<01Z?>0,2［。＞0,

Q>0,[a>0,a>0,a<0,

：所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)'由圖可知—，>o

~b>Q[Z?<0,U<0,

a<0,]。>0,

n〈b<o,I-2,<b<o,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC.

11.(2024?江蘇連云港中學(xué)月考)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,2),3(—2,3),

C(4,5),則下列說(shuō)法正確的是(BCD)

A.直線AC的斜率為:

B.直線A3的傾斜角為鈍角

C.3C邊上的中線所在的直線方程為x+y—5=0

D.邊A3所在的直線方程為尤+5y—13=0

5—23—2

［解析］對(duì)于A選項(xiàng)，ICAC=7^=3,A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，kAB—z—

4―3—2—3

所以，直線A3的傾斜角為鈍角，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，線段的中點(diǎn)為

2—4

。(1,4),則M°=豆1=-1,所以，3C邊上的中線所在的直線方程為y—4=—

(x—1),即x+y—5=0,C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，邊A3所在的直線方程為y—2=一

?龍一3),即x+5y—13=0,D對(duì).故選BCD.

12.(2024.河南洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟聯(lián)考)已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4),且與坐標(biāo)

軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線/的方程為(AC)

A.x~\~y~\~1=0B.4x+3y=0

C.x—y—J=0D.4x—3y—24=0

［解析］由題意知直線I的截距存在且不為零，所以可設(shè)直線I的方程為搟十

1v=1,又直線/過(guò)點(diǎn)P(3,-4).所以3々+—丁4=1，又/與坐標(biāo)軸圍成的三角形是

3—4

等腰直角三角形，所以間=|例.當(dāng)a=b時(shí)，=1,解得a=~l,即直線I

3—4

的方程為x+y+l=。；當(dāng)時(shí)，片工=1,解得『7,即直線/的方程

為龍一丁—7=0.綜上所述，直線/的方程為x+y+l=0或x—y—7=0.故選AC.

三、填空題

13.(2024?河南新未來(lái)質(zhì)檢)已知A(0,2),8(3,0),C(m,1一加)三點(diǎn)共線,則

m——3

Q—21—IYI—2

［解析］由題意可知左AB=AAC,即^一,解得加=—3.

14.(2023?江西新余一中開(kāi)學(xué)考)過(guò)點(diǎn)A(—5,2),且在y軸上的截距等于在x

軸上的截距的2倍的直線的一般方程是2x+5y=0或2x+y+8=0一

［解析］若直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為7=息.

2

則2=—5鼠.,.左=—5，所求直線方程為2無(wú)+5y=0；

若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為升或=1，

—52

則丁+五=1,：.a=-4,所求直線方程為2x+y+8=0.

15.如圖，在△ABC中，已知A(5,~2),8(7,3),且AC邊的中點(diǎn)"在y

軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則直線5c的方程為v—2y—1=0.

［解析］設(shè)M(0,a),N(b,0),C(m,ri),

：A(5,-2),3(7,3),

又“是AC的中點(diǎn),

5+m—0,m——5

N是BC的中點(diǎn),

.,.3+"=0,n=-3,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(一5,-3),

.3—(-3)1

貝1kBc=7jzr=5,

7—(—5),

：.BC的方程為j-3=1(x-7),

即x-2y-l=0.

B組能力提升

L(多選題)(2024河南漂河中學(xué)摸底)下列說(shuō)法正確的是(ABC)

A.點(diǎn)斜式y(tǒng)—丁1=左(%—%i)適用于不垂直于x軸的任何直線

B.斜截式y(tǒng)=kx+b適用于不垂直于x軸的任何直線

C.兩點(diǎn)式=1=二生適用于不垂直于X軸和y軸的任何直線

y2~y\X2~x\,

D.截距式搟+1=1適用于不過(guò)原點(diǎn)的任何直線

［解析］A,B,C均正確，D中，與坐標(biāo)軸平行的直線也不能用截距式表

示.故選ABC.

2.(2024.廣東深圳實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)已知點(diǎn)A(—2,-1),3(3,0),若點(diǎn)M(x,

y)在線段