2024年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分練：以平行四邊形為背景的證明與計算（含解析）

專題21以平行四邊形為背景的證明與計算

考點(diǎn)分析

【例1】(2024?重慶中考真題)在口ABC。中，BE平分/ABC交AD于效E.

(1)如圖1,若N￡>=30°，AB=&，求的面積;

(2)如圖2,過點(diǎn)力作交加的延長線于點(diǎn)凡分別交典寬于點(diǎn)G,H,且AB=AF.求證:

ED-AG=FC.

3

【答案】(1)-；(2)證明見解析.

2

【解析】

(1)解：作3O_LA。于。，如圖1所示：

,/四邊形46切是平行四邊形,

AAD//BC,AB//CD,AB=CD,ZABC=ZD=30°.

AZAEB=ZCBE,ZBAO=ZD=30°，

BQ=^AB=^-，

?；BE平分/ABC,

：.ZABE=ZCBE,

ZABE=ZAEB,

AE=AB=?，

AABE的面積=LAEX50=LXCX直=9；

2222

(2)證明：作A。_LBE交卯的延長線于R垂足為0,連接版PE,如圖2所示:

?,AB=AE，AQ1BE,

：.ZABE=ZAEB,BQ=EQ,

：.PB=PE，

ZPBE=ZPEB，

ZABP=ZAEP，

VAB//CD,AFYCD,

.'.AF±AB,

???NBAF=90°?

*.?AQ±BE,

：.ZABG=ZFAP,

ZABG=NFAP

在A4BG和AMP中，=A/

ZBAG=ZAFP=90°

AABG三AAFP(ASA),

AG=FP,

VAB//CD,AD//BC,

???NABP+ZBPC=180°，ZBCP=ZD,

：ZAEP+NPEr)=180°，

/.ZBPC=/PED,

ZBCP=ND

在ABPC和APED中，＜NBPC=APED,

PB=PE

：.MPC豈APED(AAS),

PC=ED,

ED-AG=PC-AG=PC-FP=FC.

圖2

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、

線段垂直平分線的性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?山東初二期末）在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），連結(jié)BE.

圖①圖②圖③

（感知）如圖①，過點(diǎn)A作AFLBE交BC于點(diǎn)F.易證AABFg4BCE.（不須要證明）

（探究）如圖②，取BE的中點(diǎn)M,過點(diǎn)M作FGLBE交BC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)G.

（1）求證：BE=FG.

（2）連結(jié)CM,若CM=1,則FG的長為.

（應(yīng)用）如圖③，取BE的中點(diǎn)M,連結(jié)CM.過點(diǎn)C作CGLBE交AD于點(diǎn)G,連結(jié)EG、MG.若CM=3,則四

邊形GMCE的面積為.

【答案】（1）證明見解析；（2）2,9.

【解析】

感知：：四邊形ABCD是正方形，

.\AB=BC,ZBCE=ZABC=90°,

.*.ZABE+ZCBE=90

VAF±BE,

.\ZABE+ZBAF=90°,

ZBAF=ZCBE,

在4ABF和ABCE中,

NBAF=ZCBE

<AB=BC

ZABC=ZBCE=9Q°

.".△ABF^ABCE(ASA)；

探究：(1)如圖②，

圖②

過點(diǎn)G作GPXBC于P,

四邊形ABCD是正方形，

.\AB=BC,ZA=ZABC=90°,

四邊形ABPG是矩形，

.\PG=AB,；.PG=BC,

同感知的方法得，ZPGF=ZCBE,

在△PGF和4CBE中，

ZPQF=ZCBE

<PQ=BC,

ZPFG=ZECB=90°

.".△PGF^ACBE(ASA),

.\BE=FG；

(2)由(1)知,FG=BE,

連接CM,

VZBCE=90",點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，

；.BE=2CM=2,

：.PG=2,

故答案為：2.

應(yīng)用：同探究(2)得，BE=2ME=2CM=6,

.\ME=3,

同探究(1)得,CG=BE=6,

VBEXCG,

11

??S四邊彩CBQIF—CGXME=-X6X3=9,

22

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定

和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，嫻熟駕馭相關(guān)的性質(zhì)與定理、推斷出CG=BE是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)集訓(xùn)

1.(2024?四川初三期末)在矩形ABCD中，AB=12,P是邊AB上一點(diǎn)，把a(bǔ)PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的

對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BELCG,垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：4AEB也ADEC；

(2)如圖2,①求證:BP=BF；

②當(dāng)AD=25,且AEVDE時，求cosNPCB的值；

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②也；③108.

10

【解析】

(1)在矩形ABCD中，NA=ND=90°,AB=DC,

；E是AD中點(diǎn)，

/.AE=DE,

AB=DC

在AABE和ADCE中，＜NA=/D=90°,

AE=DE

.'.△ABE^ADCE(SAS)；

(2)①在矩形ABCD,ZABC=90°,

,/ABPC沿PC折疊得到△GPC,

ZPGC=ZPBC=90°,ZBPC=ZGPC,

VBE±CG,

???BE〃PG,

???NGPF=NPFB,

JNBPF;NBFP,

ABP=BF；

②當(dāng)AD=25時，

VZBEC=90°,

AZAEB+ZCED=90°,

VZAEB+ZABE=90°,

???ZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,

/.△ABE^ADEC,

,AB_DE

??=,

AECD

設(shè)AE=x,

DE=25-x,

.1225-x

??------9

X12

/.x=9或x=16,

VAE<DE,

.\AE=9,DE=16,

ACE=20,BE=15,

由折疊得，BP二PG,

???BP=BF=PG,

VBE//PG,

.,.△ECF^AGCP,

.EF_CE

??一,

PGCG

設(shè)BP=BF=PG=y,

15-y_20

y-25

在RSPBC中，PC=25碗,cosZPCB=—=

3PC10

③如圖，連接FG,

?.,BF〃PG,BF=PG=BP,

aBPGF是菱形，

??,BP〃GF,

NGFE=NABE,

AAGEF^AEAB,

.EF_AB

,?而一瓦，

：.BE?EF=AB?GF=12X9=108.

【點(diǎn)睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，折

疊的性質(zhì)，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

2.(2024?甘肅中考真題)如圖，在正方形ABCQ中，點(diǎn)石是的中點(diǎn)，連接。石，過點(diǎn)A作AGLED

交DE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G.

(1)證明：AADG^ADCE；

(2)連接6/，證明：AB=FB.

AD

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

證明：（1）?.?四邊形A3CD是正方形,

ZADG=ZC=90°,AD=DC^

又；AG±DE,

ZDAG+ZADF=90°=ZCDE+ZADF，

ZDAG^ZCDE,

^ADG^ADCECASA）

（2）如圖所示，延長。石交AB的延長線于",

?.?E是3C的中點(diǎn),

:.BE=CE,

又-,?NC=ZHBE=90°,ZDEC=ZHEB，

ADCE咨AHBE(ASA),

:.BH=DC=AB,

即6是AH的中點(diǎn)，

又：ZAFH=90°，

Rt/\AFH中，BF=-AH=AB.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要留意三角形

間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)協(xié)助線構(gòu)造三角形.

3.(2024?黑龍江初三)如圖，矩形中，AB=6,BC=4,過對角線劭中點(diǎn)。的直線分別交四，5邊于

點(diǎn)E,F.

(1)求證：四邊形應(yīng)如是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形應(yīng)如是菱形時，求跖的長.

4^/13

【答案】(1)證明見解析；(2)

3

【解析】

(1)證明：??,四邊形ABCD是矩形，0是BD的中點(diǎn),

.,.ZA=90°,AD=BC=4,AB〃DC,0B=0D,

Z0BE=Z0DF,

在ABOE和ADOF中，

ZOBE=ZODF

OB=OD

ZBOE=ZDOF

.,.△BOE^ADOF(ASA),

.；EO=FO,

四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BDXEF,

設(shè)BE=x,則DE=x,AE=6-x,

在RtZ\ADE中，DE2=AD2+AE2,

.1.X2=42+(6-X)2,

13

解得：x=—,

3

,?,BD=VAD2+AB2=2岳,

VBD±EF,

E0=-OB2=，

，EF=2E0=t叵.

3

點(diǎn)睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，嫻熟駕馭矩形的

性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵

4.（2024?四川中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，ADHBC,延長3c到E使CE=BC,連接AE

交CD于懸F,點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn).求證：

（1）AADF^AECF.

（2）四邊形ABC。是平行四邊形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

證明：（1）VAD//BC,

/.ZDAF=ZE,

:點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)，

DF=CF,

ZDAF=ZE

在AADF與AECF中，＜NAFD=NEFC,

DF=CF

AADF^AECF(AAS)；

(2)：AAD產(chǎn)gAECF,

AD=EC,

,：CE=BC,

AD=BC,

,：AD/IBC,

，四邊形ABCD是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形判定定理，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭全等三角形的判定和性

質(zhì)、平行四邊形判定定理.

5.(2024?山東初二期末)已知，如圖，在口ABCD中，延長DA到點(diǎn)E,延長BC到點(diǎn)F,使得AE=CF,連

接EF,分別交AB,CD于點(diǎn)M,N,連接DM,BN.

(1)求證：△AEMg^CFN；

(2)求證：四邊形BMDN是平行四邊形.

【答案】證明見解析

【解析】

證明：(1):四邊形ABCD是平行四邊形，/.AB/7DC,AD/7BC.

.-.ZE=ZF,ZDAB=ZBCD.

NEAM=NFCN.

又：AE=CF

/.△AEM^ACFN(ASA).

(2),由(1)AAEM^ACFN

/.AM=CN.

又,:四邊形ABCD是平行四邊形

.\AB￡CD

；.BM￡DN.

/.四邊形BMDN是平行四邊形.

6.(2024?黑龍江中考真題).已知：在矩形A3CZ)中，8。是對角線，4石，皮)于點(diǎn)E,CFLBD于

點(diǎn)F；

(1)如圖1,求證：AE=CF；

(2)如圖2,當(dāng)NAD3=30°時，連接CE,在不添加任何協(xié)助線的狀況下，請干脆寫出圖2中四個

三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形A3C。面積的：.

8

【答案】(1)詳見解析；(2)AA5石的面積=2^8尸的面積=Zk3CE的面積=AA。歹的面積=矩形

ABCD面積的」.

8

【解析】

(1)證明：?..四邊形A3CD是矩形，

:.AB=CD,AB//CD,AD//BC,

：.ZABE=ZCDF,

：于點(diǎn)E，中，3。于點(diǎn)/，

ZAEB=NCFD=90。,

ZABE=ZCDF

在AABE和&CDF中，＜NAEB=ZCFD,

AB=CD

：.AABE^ACDF(AAS),

：.AE=CF-

(2)解：AA3石的面積=4。。尸的面積=ABCE的面積=AADF的面積=矩形ABC。面積的L

8

理由如下：

AD//BC,

ZCBD=ZADB=3Q°,

VZABC=90°,

/.ZABE=6Q°，

?/AE±BD,

：.ZBAE=30°,

：.BE^-AB,AE^-AD,

22

/\ARE的面積=—BExAE——x—ABx—AD——ABxAD——矩形ABCD的面積,

222288

VAABE^ACDF,

二△CDF的面積=:矩形A3CD的面積；

作5c于G,如圖所示：

NCBD=30°,

：.EG=-BE=-x-AB=-AB,

2224

二ABCE的面積=工3C義EG=工3C義工AB=工3C*A3=:矩形ABC。的面積，

22488

同理：的面積=1矩形A3CD的面積.

8

本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半,

敏捷應(yīng)用矩形的性質(zhì)證全等，嫻熟駕馭直角三角形30。角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?浙江中考真題）如圖，矩形EFG”的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABC。的邊A。，BC±,頂點(diǎn)

F、H在菱形A3CD的對角線瓦）上.

D

：R鄭,

VBG=DE,

.\AE=BG,AE〃BG,

???四邊形ABGE是平行四邊形，

二?AB=EG,

VEG=FH=2,

.,.AB=2,

???菱形ABCD的周長=8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別作圖是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?山西試驗(yàn)中學(xué)初三月考）如圖1,在矩形ABCD中，P為CD邊上一點(diǎn)（DPVCP）,ZAPB=90°.將

△ADP沿AP翻折得到AAD'P,P＞的延長線交邊AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BN〃MP交DC于點(diǎn)N.

0上______________y___c4…4-----*__C

AMBAMB

圖1圖2

（1）求證：AD2=DP?PC；

（2）請推斷四邊形PMBN的形態(tài)，并說明理由；

叩

（3）如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點(diǎn)E,F.若空=L求,」的值.

AD2/IE

、EF4

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形PMBN是菱形，理由見解析；（3）-----二一

AE9

【解析】

解：（1）過點(diǎn)P作PGLAB于點(diǎn)G,

DPNC

AGMB

圖1

???易知四邊形DPGA,四邊形PCBG是矩形，

???AD=PG,DP=AG,GB=PC

NAPB=90

ZAPG+ZGPB=ZGPB+ZPBG=90°,

ZAPG=ZPBG,

???AAPG^APBG,

?PGGB

**AGPG?

.?.PG2=AG-GB,

即AD2=DP*PC；

(2)VDP/7AB,

ZDPA=ZPAM,

由題意可知：NDPA=NAPM,

??.ZPAM=ZAPM,

,/ZAPB-ZPAM=ZAPB-ZAPM,

即NABP=NMPB

.二AM'PM,PM=MB,

.\PM=MB,

又易證四邊形PMBN是平行四邊形,

???四邊形PMBN是菱形；

可設(shè)DP=k,AD=2k,

由(1)可知：AG=DP=k,PG=AD=2k,

VPG=AG*GB,

.'.4k2=k-GB,

AGB=PC=4k,

AB=AG+GB=5k,

???CP〃AB,

AAPCF^ABAF,

?CFPC_4

**AF-AB-5?

,AF5

??,

AC9

又易證：△PCEs^MAE,AM=-AB=-fc,

22

CE_PC_4k_8

?'-AE~AM~5~5

K

2

.AE5

AC13'

5520

EF=AF-AE=-AC-———AC,

913117

2°AC

?EJi"=4

AAC9'

13

【點(diǎn)睛】

本題考查相像三角形的綜合問題，涉及相像三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線

的性質(zhì)等學(xué)問，綜合程度較高，須要學(xué)生敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問.

9.(2024?撫順市雷鋒中學(xué)初三月考)在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E,作EFLAB交BD于點(diǎn)F,取

FD的中點(diǎn)G,連接EG、CG,如圖(1),易證EG=CG且EGLCG

E圖⑶

(1)將4BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖(2),則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請干脆

寫出你的猜想.

(2)將4BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)180。，如圖(3),則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.請寫

出你的猜想，并加以證明.

【答案】(1)EG=CG;EG_LCG(2)EG=CG；EG±CG,證明見解析.

【解析】

解：(1)EG=CG,EG±CG.

(2)EG=CG,EG±CG.

證明：延長FE交DC延長線于M,連MG.

??ZAEM=90°,ZEBC=90°,ZBCM=90°,

...四邊形BEMC是矩形.

.,.BE=CM,ZEMC=90°,

由圖（3）可知,

?.?BD平分NABC,ZABC=90°,

/.ZEBF=45°,

又?.?EF_LAB,

???△BEF為等腰直角三角形

.\BE=EF,ZF=45°.

AEF=CM.

VZEMC=900,FG=DG,

1

???MG二一FD二FG.

2

\'BC=EM,BC=CD,

.'EM=CD.

VEF=CM,

???FM=DM,

又,.?FG=DG,

ZCMG=-ZEMC=45°,

2

NF=NGMC.

FG=MG

???在4GFE與AGMC中(=ZGMC,

EF=CM

AAGFE^AGMC(SAS).

1?EG=CG,NFGE=NMGC.

VZFMC=90°,MF=MD,FG=DG,

.'.MG±FD,

.??NFGE+NEG歸90。,

AZMGC+ZEGM=90°,

即NEGC=90°,

?\EG_LCG.

【點(diǎn)睛】

此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的推斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點(diǎn)，因此難度較大.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

10.（2024?廣東初三期中）（1）如圖1,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF

=BE,求證：CE=CF；

（2）如圖2,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，假如NGCE=45°,請你利用（1）的結(jié)

論證明：GE=BE+GD；

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的閱歷和學(xué)問，完成下題：

如圖3,在直角梯形ABCD中，AD〃BC（BOAD）,ZB=90°,AB=BC,E是AB上一點(diǎn)，且NDCE=45°,

BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面

【答案】（1）、（2）證明見解析（3）108

【解析】

（1）如圖1,在正方形//力中,

,:BC=CD,NB=NCDF,BE=DF,

:*XCBE零△CDF,

：.CE=CF；

（2）如圖2,延長/〃至凡蟆DF=BE,連接5

由(1)知△儂零/物，

/BCE=NDCF.

：./BCE+NECD=/DCF+/ECD

即/瓦F三乙9徵=90。,

又,：/GC&4T,:./GCF二NGCS,

'：CE=CF,NGCE=/GCF,GC=GC,

：.叢ECG四△FCG,

：.GE=GF,

：.GE=DF+GD=BE+GD-,

(3)過C作CFLAD的延長線于點(diǎn)F.則四邊形ABCF是正方形.

止仍-止12-4=8,

設(shè)止x,則/氏12-x,

依據(jù)（2）可得：DE=BE+D六4+x,

在直角△力龐中，四+力慶班S則8,（12-x）2=（4+x）2,

解得：尸6.

則DE=4+6=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是留意每個題目之間的

關(guān)系，正確作出協(xié)助線.

11.（2024?湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB=4,BC=6.若不變更矩

形ABCD的形態(tài)和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點(diǎn)D始終在y軸的正

半軸上隨之上下移動.

(1)當(dāng)N0AD=30°時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

21

⑵設(shè)AD的中點(diǎn)為M,連接OM、MC,當(dāng)四邊形OMCD的面積為一時，求0A的長；

2

(3)當(dāng)點(diǎn)A移動到某一位置時，點(diǎn)C到點(diǎn)0的距離有最大值，請干脆寫出最大值，并求此時cos/OAD的值.

【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3+28)；(2)OA=30；(3)0C的最大值為8,cos/OAD=(.

【解析】

⑴如圖1,過點(diǎn)C作CELy軸于點(diǎn)E,

:矩形ABCD中，CD±AD,

ZCDE+ZAD0=90°,

XVZ0AD+ZAD0=90°，

.,.ZCDE=Z0AD=30°,

,在RtZkCED中，CE=；CD=2,DE=y/cD2-CE2=273.

在Rtz^OAD中，Z0AD=30°，

1

，OD=—AD=3,

2

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3+273);

⑵為AD的中點(diǎn),

=

??DM3jSADCM~6,

21

又S四邊形OMCD=，

2

._9

??SAODM=—,

2

??SAOAD=9?

設(shè)OA=x、OD=y,則/+丫2=36,—xy=9,

2

x2+y2=2xy,即x=y,

將x=y代入x2+y2=