2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（學(xué)生版）

類型八二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題(專題訓(xùn)練)

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1.(2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=尤2+匕尤+4與％軸交于小一3,0),臺兩

點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及8,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得41CE=45。，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

2.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線>=-/+桁+。經(jīng)過4(-1,0),。(0,3)兩點(diǎn),

并交無軸于另一點(diǎn)8,點(diǎn)/是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)”是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH,DH,求用H+D”的最小值；

（3）若點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,P,。為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形？若存在，請直填寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

3.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線》=加+法-9與無軸交于點(diǎn)A（-3,0）,

B（6,0）,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,8C.點(diǎn)尸是x軸上任意一點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)。在拋物線上，若以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求

點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P（，"，0）從點(diǎn)A出發(fā)沿尤軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A,8不重合），自點(diǎn)尸

分別作尸石〃3C,交AC于點(diǎn)E,作PDL5C,垂足為點(diǎn)D當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，VPED面積最

大，并求出最大值.

4.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-x+4交x軸于點(diǎn)B,交丁軸于點(diǎn)C,對稱軸

3

為％=力的拋物線經(jīng)過B。兩點(diǎn)，交工軸負(fù)半軸于點(diǎn)A.2為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)月的橫坐

標(biāo)為，"，過點(diǎn)尸作X軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)A1,作X軸的垂線PN,垂足為N,直線

備用圖

（1）求拋物線的解析式；

3

（2）若。（MV],當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形？

⑶若機(jī)＜5,設(shè)直線交直線BC于點(diǎn)E,是否存在這樣的機(jī)值，使MV=2ME?若存在,

求出此時(shí)機(jī)的值；若不存在，請說明理由.

5.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖1,拋物線丫=狽2+法+3（。r0）與x軸交于A（-1,O）,

3（3,0）兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸在拋物線上，點(diǎn)。在x軸上，以2,C,P,0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)

P的坐標(biāo)；

(3汝口圖2,拋物線頂點(diǎn)為對稱軸與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)K(l,3)的直線(直線KO除外)

與拋物線交于G,4兩點(diǎn)，直線DG,分別交x軸于點(diǎn)N.試探究是否為

定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.

6.(2021?四川南充市?中考真題)如圖，已知拋物線y=ox?+6x+4(aH0)與x軸交于

對稱軸為x=3

點(diǎn)A(1,0)和B,與y軸交于點(diǎn)C,

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行

線交拋物線于點(diǎn)Q,連接0Q.當(dāng)線段PQ長度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由.

（3）如圖2,在（2）的條件下，D是0C的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E,且

ZDQE=2Z0DQ.在y軸上是否存在點(diǎn)F,使得8b為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.（2021?重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=0^+法-4（。W0）與

x軸交于點(diǎn)4（一1,0）,8（4,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)直線1為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線1對稱，點(diǎn)P為直線AD下方拋物線

上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PD,求△24。面積的最大值;

(3)在(2)的條件下，將拋物線丁=0^+云-4(。力0)沿射線AD平移4&個(gè)單位，得

到新的拋物線外,點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為%的對稱軸上任意一點(diǎn)，在％上確定一點(diǎn)

G,使得以點(diǎn)D,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo),

并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程.

8.(2022?四川眉山)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/-4x+c與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)

A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-5,0).

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1,若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距

離的最大值；(3)如圖2,若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在

點(diǎn)M使以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.(2021?重慶中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=尤2+6%+。經(jīng)過A(0,

-1),B(4,1).直線AB交x軸于點(diǎn)C,P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P

作PDLAB,垂足為D,PE〃x軸，交AB于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)4PDE的周長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和4PDE周長的最大值；

(3)把拋物線丁=必+治；+。平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為(2)中求得的點(diǎn)P.M是新拋

物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來.

10.(2021?廣東中考真題)已知二次函數(shù)＞=以2+法+。的圖象過點(diǎn)(-1,0),且對任意實(shí)數(shù)

x,都有4x-12Wor?+6x+cW2x?-8x+6.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若(1)中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是(1)中二

次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn).問在x軸上是否存在點(diǎn)N,使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.(2021?四川中考真題)如圖，拋物線y=+6x+c(aw0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y

軸交于C點(diǎn)，AC=Vio,OB=OC=3OA.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使四邊形PBAC的面積最大.求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

(3)在(2)的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q.使點(diǎn)P、B、M、Q

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在.請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12.(2021?湖南中考真題)將拋物線丁=依2(〃力0)向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單

位后，得到拋物線H：y=a(x-/7)2+k.拋物線”與x軸交于點(diǎn)A,B,與V軸交于點(diǎn)C.已

知A(-3,O),點(diǎn)尸是拋物線H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線H的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸在線段AC上方的拋物線“上運(yùn)動(dòng)(不與A,C重合)，過點(diǎn)尸作PD_LAB,

垂足為O,PD交AC于點(diǎn)E.作小_LAC,垂足為尸，求PEF的面積的最大值；

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線”的對稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線H上，是否存在點(diǎn)尸，使

得以點(diǎn)A,P,C,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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13.(2021?海南中考真題)已知拋物線，=加+1+0與x軸交于A8兩點(diǎn)，與y軸交于C

點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)、點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,若該拋物線的頂點(diǎn)為P,求依C的面積；

(3)如圖2,有兩動(dòng)點(diǎn)ZXE在△CO3的邊上運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長度，它們分

別從點(diǎn)C和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D沿折線C03按CfOf3方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E沿線段

2C按方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請解答下列問題：

①當(dāng)t為何值時(shí)，的面積等于3充3；

②在點(diǎn)ZXE運(yùn)動(dòng)過程中，該拋物線上存在點(diǎn)F,使得依次連接AD、DF、FE、E4得到的四

邊形皿石是平行四邊形，請亶談寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo).

14.(2020?齊齊哈爾)綜合與探究

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=%2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0),點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B

在y軸上，且OA=OB,直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C(2,6),如圖①.

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線AB的函數(shù)解析式為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為)，cosZABO=；

連接0C,若過點(diǎn)0的直線交線段AC于點(diǎn)P,將AAOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的

坐標(biāo)為;

(3)在y軸上找一點(diǎn)Q,使得4AMQ的周長最小.具體作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱

點(diǎn)A',連接MA'交y軸于點(diǎn)Q,連接AM、AQ,此時(shí)4AMQ的周長最小.請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、0、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存

在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+2(aWO)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于

A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(-&，0),直線BC的解析式為y=-yx+2.

(1)求拋物線的解析式;

(2)過點(diǎn)A作AD〃BC,交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,

EB,BD,DC.求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)將拋物線y=ax，bx+2(a=0)向左平移企個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y=ax°+bx+2(a

#0)的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).在(2)中，當(dāng)四邊形BECD的

面積最大時(shí)，是否存在以A,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)

N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

16.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c(c>0)的頂點(diǎn)為D,與y

軸的交點(diǎn)為C.過點(diǎn)C的直線CA與拋物線交于另一點(diǎn)A(點(diǎn)A在對稱軸左側(cè))，點(diǎn)B在AC

的延長線上，連結(jié)OA,OB,DA和DB.

(1)如圖1,當(dāng)AC〃x軸時(shí)，

①已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,1),求拋物線的解析式；

②若四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b2=4c.

(2)如圖2,若b=-2,^=|,是否存在這樣的點(diǎn)A,使四邊形AOBD是平行四邊形？若

存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

17.已知拋物線y=ax?+bx+c(aWO)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交

于點(diǎn)C(0,-3),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).

(1)求拋物線的解析式.

(2)在y軸上找一點(diǎn)E,使得AEAC為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q,使得以點(diǎn)P、Q、B、

D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

18.如圖，拋物線y=ax，bx+c(aWO)的圖象經(jīng)過A(1,0),B(3,0),C(0,6)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)拋物線的頂點(diǎn)M與對稱軸1上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，直線AN交拋物線于點(diǎn)D,直線BE

交AD于點(diǎn)E,若直線BE將4ABD的面積分為1：2兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為對稱軸上動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使A、D、P、Q

為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸、y軸于A,B兩點(diǎn)，經(jīng)過A,

B兩點(diǎn)的拋物線y=-x，bx+c與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C(1,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若P為線段AB上一點(diǎn)，ZAPO=ZACB,求AP的長；

(3)在(2)的條件下，設(shè)M是y軸上一點(diǎn)，試問：拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得以A,P,

M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.如圖，二次函數(shù)y—ax,+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,其對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,垂直于x軸的動(dòng)直線1分別交拋物

線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F,動(dòng)直線1在拋物線的對稱軸的右側(cè)(不含對稱軸)沿x軸正方

向移動(dòng)到B點(diǎn).

(1)求出二次函數(shù)y=ax2+bx+4和BC所在直線的表達(dá)式；

(2)在動(dòng)直線1移動(dòng)的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接CP,CD,在動(dòng)直線1移動(dòng)的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,C,F

為頂點(diǎn)的三角形與4DCE相似？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

21.如圖，已知拋物線y=ax?過點(diǎn)A(-3,

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知直線1過點(diǎn)A,M(|,0)且與拋物線交于另一點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,求證：MC2

=MA?MB；

(3)若點(diǎn)P,D分別是拋物線與直線1上的動(dòng)點(diǎn)，以0C為一邊且頂點(diǎn)為0,C,P,D的四邊

形是平行四邊形，求所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

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22.如圖，拋物線y=o?+—x+c3彳0)與工軸相交于點(diǎn)4—1,0)和點(diǎn)5,與y軸相交

4

于點(diǎn)C(0,3),作直線BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)。，使NDC