2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的極值、最值 專項訓(xùn)練【含答案】

第4講函數(shù)的極值、最值

［考情分析］利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是重點考查內(nèi)容，多以選擇題、填空題壓軸考

查，或以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上，屬綜合性問題.

考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【核心提煉】

判斷函數(shù)的極值點，主要有兩點

(1)導(dǎo)函數(shù)/(X)的變號零點，即為函數(shù)/(X)的極值點.

(2)利用函數(shù)用)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值點.

例1(2023?海南統(tǒng)考)已知函數(shù)/(x)=x+a(2一力+2(aGR).

⑴若函數(shù)於)在x=0處的切線與直線x+y-l=0平行，求實數(shù)a的值;

(2)若函數(shù)人x)的極大值不小于3a,求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)因為兀r)=x+a(2—廿)+2,

則，(x)=l—aex,

在直線方程x+y—l=0中,

令x=0,可得y=l,

'f(0)=1—a=-1,

由題意可得解得a=2.

N0)=a+27M,

(2)因為函數(shù)兀r)=x+a(2—F+2的定義域為R,f(x)=l-

當(dāng)aWO時，對任意的xdR,/。)>0,即函數(shù)於)在區(qū)上是增函數(shù)，此時函數(shù)外)無極值;

當(dāng)0>0時，由，(x)=0,可得x=—lna,

當(dāng)x<-lna時，f(x)>0,

此時函數(shù)人x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>—Ina時，f(x)<0,

此時函數(shù)人x)單調(diào)遞減，

故函數(shù)外)的極大值為

八一Ina)=4+2—InQ=2Q—lna+123。,

整理可得a+lnq—1<0,

令g(Q)=q+lna—1,其中q>0,貝"g'(?)=1+->0,故函數(shù)g(q)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

a

=

且g(l)0,由〃+lnq—1W0可得g(〃)Wg(l),解得0〈QW1.

因此，實數(shù)。的取值范圍是(0,1].

易錯提醒(1)不能忽略函數(shù)的定義域.

(2/(xo)=O是可導(dǎo)函數(shù)")在芯=祝處取得極值的必要不充分條件，即/(x)的變號零點才

是Hx)的極值點，所以判斷的極值點時，除了找，(x)=0的實數(shù)根xo外，還需判斷於)

在祀左側(cè)和右側(cè)的單調(diào)性.

(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小.

跟蹤演練1(1)(2021?全國乙卷)設(shè)aWO,若x=a為函數(shù)/(x)=a(x—a)2(x—6)的極大值點，則

()

A.a<bB.a>b

C.ab<a2D.ab>a2

答案D

解析當(dāng)a>0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)/(x)的大致圖象，如圖所示，觀察可知6>a.

a\/bx

當(dāng)。<0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)作)的大致圖象，如圖所示，觀察可知a>b.

綜上，可知必有°6>層成立.

(2)(2023?樂山模擬)已知函數(shù)/)=。H一/有兩個極值點，則。的取值范圍是()

答案B

解析，(x)=ad—2x,段)有2個極值點等價于，(x)有2個變號零點,

令，(x)—aex—2x—0,

有k晟,令g(x尸總

則g'(力=也二^

當(dāng)x>l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)X<1時，g1(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=l

時，g(x)取得極大值也是最大值g(l)=2,

當(dāng)x趨于一8時，g(x)趨于一8,當(dāng)X趨于+8時，g(x)趨于0,函數(shù)大致圖象如圖所示,

所以。的取值范圍是“9.

考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

［核心提煉：！

1.求函數(shù)兀。在［a,6］上的最大值和最小值的步躲

(1)求函數(shù)在(a,6)內(nèi)的極值.

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值負(fù)a),fib｝.

(3)將函數(shù)｛x)的各極值與人a),人6)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

2.若函數(shù)含有參數(shù)或區(qū)間含有參數(shù)，則需對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函

數(shù)的最值.

例2(1)(2022?全國甲卷)當(dāng)x=l時，函數(shù)負(fù)x)=alnx+2取得最大值一2,則/(2)等于()

A.-1B.--C.-D.1

22

答案B

解析因為函數(shù)於)的定義域為(0,+°°),

卜）=—2,

所以依題意可知

r（1）=0,

而，（x）=--

X

b=-2,

所以

a—b=0,

79

所以/(x)=---H—,

Xxz

因此函數(shù)次X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

當(dāng)X=1時取最大值，滿足題意.

所以r(2)=—1+；=一；

(2)(2023?撫州模擬)已知函數(shù)八x)=e"—2x,g(x)=-x,且｛xi)=g(x2),則由一&的最小值為

A.1B.eC.l-ln2D.2~ln2

答案A

解析由兀n)=g(M，得e*—2xi=—血,

化簡整理得X1~X2=e*—Xl,

因為g(x)的值域，fix),g(x)的定義域均為R,

所以XI的取值范圍也是R,

令〃(x)=e>—x(xCR),h'(工)=^—1,

令1=0,解得x=0.

當(dāng)xe(—8,o)時，h'(x)<0,即〃(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xd(0,+8)時，h'(x)>0,即〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(X)min=/!(O)=1,故(Xl—X2)min=l.

易錯提醒(1)求函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值就是最值，要通過比較大小才能下結(jié)論.

(2)求函數(shù)無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值，還需研究單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性

和極值情況，畫出函數(shù)圖象，借助圖象得到函數(shù)的最值.

跟蹤演練2(1)(2023?葫蘆島模擬)函數(shù)負(fù)x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］上的最大值為

()

A.--B.2

2

C.--D.-+2

22

答案D

0磯

解析f(x)=(x+l)cosx,當(dāng)XG12_J時，

f(x)>0,人x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xel?引時，f(x)<0,")單調(diào)遞減；

當(dāng)XGQ'21時，f(x)>0,外)單調(diào)遞增，

/日=1+2,八2兀)=2,

??如諄=/曰=0+2.

(2)(2023?無錫模擬)已知函數(shù)人x)=a(lnx—l)—x(aGR)在區(qū)間(e,+8)上有最值，則實數(shù)0

的取值范圍是()

A.(e,+°°)B.b+°0］

C.(—8,e]D.(—8,—e)

答案A

解析f(x)=--\=-,其中x>e,

XX

當(dāng)時，，(x)vo,故於)在(e,+8)上單調(diào)遞減，此時段)在(。，+8)內(nèi)無最值；

當(dāng)a>e時，若x￡(e,a),則，(x)>0,

若+°°),則，(x)〈0,

故加)在(e,a)上單調(diào)遞增，在(Q,+8)上單調(diào)遞減，故小)在處取最大值.綜上所述,

實數(shù)〃的取值范圍是(e,+8).

考點三極值、最值的簡單應(yīng)用

例3已知函數(shù)作)=/zx3+*u2+cx+d的極值點為I和2,且加)在(1,2)上單調(diào)遞增，則2a3

—b2—12c的最大值為.

答案13

解析因為fix)=~ax3~\~~bx2~\~cx~\~d,

所以，(x)=q%2+bx+c,

由題知函數(shù)/(%)的極值點為1和2,

且在(1,2)上單調(diào)遞增,

Q+6+C=0,b=-3a,

所以?4q+2b+c=0,解得《c=2a,

a<0,a<0,

所以2。3一反一12。=2。3—9。2—24。，

令9(q)=2q3—9層一24Q,a<09

則”(a)=6a2—18a—24=6(a—4)(tz+1),

因為a<09

所以當(dāng)?！?—8,—1)時，9,(Q)>0；

當(dāng)Q￡(—1,0)時，cp'(Q)〈0.

所以9(〃)在(一8,—1)上單調(diào)遞增，

在(一1,0)上單調(diào)遞減，

所以9(〃)max=9(—1)=13.

易錯提醒方程、不等式恒成立，有解問題都可用分離參數(shù)法.分離參數(shù)時，等式或不等式

兩邊符號變化以及除數(shù)不能等于0,易忽視.

跟蹤演練3(多選)(2023?福州模擬)已知函數(shù)/)=詈工，以下結(jié)論正確的是()

xz+1

A./(x)是偶函數(shù)

B.x=0是兀0的極值點

C.加)的最小值為一-4

7t2+l

D.危)的最大值為1

答案ABD

解析人一勸=笆上=然=加)，為偶函數(shù)，A正確；

(―x)2+1x2+l

.,(x2+l)sinx+2xcosx

,j(X)="'

：.f(0)=0,又式x)為偶函數(shù),故x=0為於)的極值點，B正確；

?jM—~--=一1,且f(兀)=1-------;W0,

7l2+17U2+1(7T2+I)2

???'=兀不是/(x)的極值點，故火兀)不是火X)的最小值，C錯誤；

又一IWcosxWl,x2+l^l,則當(dāng)cosx=l,x2+l=l,即x=0時，小)最大值為1,D正確.

專題強化練

一、單項選擇題

1.下列函數(shù)中，不存在極值的是()

A.y=x+~B.y=xox

x

C.y=x\nxD.y——3x3—3x2—x

答案D

解析顯然A,B,C中的函數(shù)存在極值.

對于D,函數(shù)＞=—3R—3N—%,

則V,=—9%2—6x—1=—(3x+l)2＜0,所以函數(shù)＞=—3%3—312—%在R上是減函數(shù)，沒有極

值點.

2.(2023?西寧模擬)函數(shù)/)=：、在［2,+8)上的最小值為()

e3e3

A.1B.e2C.1D.2e

64

答案A

解析依題意，(x)=—^-(x2-2x-3)=^—(x-3)(x+l),故函數(shù)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞

(x2—3)2(%2—3)2

減，在區(qū)間（3,+8）上單調(diào)遞增，故函數(shù)在X=3處取得極小值也是最小值，且最小值為次3）

-32-3-6,

3.（2023?哈爾濱模擬）若函數(shù)於）=辦3+3/+6在x=2處取得極值1,則。一6等于（）

A.—4B.—3C.—2D.2

答案D

解析由題意，xGR,

在人工）=0^3+3/+6中，f（x）=3ox2+6x,

在x=2處取得極值1,

.l/（2）=23a+3X22+Z）=l,

⑵=3X22a+6X2=0,

Cl~~1,

解得?經(jīng)檢驗滿足題意，

b=-3,

?.a-b=-1—（-3）=2.

4.（2023?太原模擬）已知函數(shù)｛x）的定義域為。，其導(dǎo)函數(shù)為77（%）,函數(shù)y=sinx;/'（x）（xez>）

的圖象如圖所示，則於）（）

A.有極小值人2）,極大值人兀）

B.有極大值人2）,極小值人0）

C.有極大值人2）,無極小值

D.有極小值人2）,無極大值

答案D

解析當(dāng)xd（0,兀）時，sinx>0,

當(dāng)xd（一兀,0）U（71,2兀）時，sinx<0,

則由圖象可得當(dāng)xG（—兀，2）時，，（x）W0,

當(dāng)xd（2,2兀）時，/（x）N0,

故函數(shù)八%）在（一兀，2）上單調(diào)遞減，

在（2,2兀）上單調(diào)遞增，

則由圖象可得函數(shù)｛x）在定義域。上先減后增，有極小值大2）,無極大值.

5.（2023?全國乙卷）函數(shù)/）=x3+°x+2存在3個零點，則。的取值范圍是（）

A.（-8,-2）B.（-8,-3）

C.(-4,-1)D.(-3,0)

答案B

解析")=/+ax+2,

則，a)=3N+a,

若於)存在3個零點，

則40要存在極大值和極小值，則a<0,

f'W>o,

故人x)的極大值為f

極小值為f

解得a<—3.

6.(2023?武漢模擬)已知函數(shù)人x)=d-工一6,VxER,都有/(x)的最小值為0,則的最小

a

值為()

答案A

解析f(x)=ex-

a

若a〈0,則f(x)>0,

此時段)為R上的增函數(shù),

?,?加)無最小值，故a>0,

令/(%)=0,得x=lnl=—Ino,

a

???當(dāng)x￡(—8,—Ina)時，，(x)<0,

當(dāng)x￡(—Ino,+8)時，，(x)>0,

?7/(x)在(—8,—Ina)上單調(diào)遞減,

在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增，

?'?/(x)min=y(—In4Z)=e-lna+^—6

a

lilna,

=--1--------b=0A,

aa

.j1?In67

??b=--1---,

aa

a1b=a-\-a\na,

令g(Q)=a+alnQ(a>0),

g'(Q)=l+l+lna=2+lna,

f

當(dāng)〃e(0,2)時，g(a)<0,

當(dāng)。￡(廣2,+8)時，g'(a)>0,

；?g(a)在(0,e.2)上單調(diào)遞減,

在(廣2,+8)上單調(diào)遞增，

g(Q)min=g(e-2)=e—2+e-2.(—2)

-1

=-e'2=--

e2

二、多項選擇題

7.(2023?新高考全國H)若函數(shù)Hx)=Hnx+a+W(aW0)既有極大值也有極小值，貝1]()

Xxz

A.bc>0B.ab>0

C.b2+8ac>0D.ac<0

答案BCD

解析函數(shù)外)=。1!1%+2+5的定義域為(0,+°°),

XX2-

劇〃(。b2c_ax2—bx—2c

人(%)一7—\，

XX￡爐X5

因為函數(shù)人工)既有極大值也有極小值，

則函數(shù)(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，而QWO,

因此方程ax2—bx—2c=0有兩個不相等的正實數(shù)根xi,X2,

A=b2+Sac>0,

Xl+%2-=->o,

于是<a

XlX2~~-->0,

a

即有房+8〃。>0,ab>0,ac<0,

顯然〃2bc<0,即bc〈O,故A錯誤，B,C,D正確.

8.（2023?泰安模擬）已知函數(shù)外）=山（。級+1）+狽（4￡11）,下列說法錯誤的是（）

A.若4=1,則函數(shù)y=/（x）圖象在％=0處的切線方程為2x~y+ln2=0

B.若q=-1,則函數(shù)y=/（x）是奇函數(shù)

C.若q=—2,則函數(shù)y=#x）存在最小值

D.若函數(shù)/）存在極值，則實數(shù)a的取值范圍是（一2,0）

答案BC

解析對于A,當(dāng)。=1時，，（%）=+1,

e"+1

則/（0）=2,?=ln2,

所以切線方程為2x—》+山2=0,所以A正確；

對于B,函數(shù)的定義域是R,

若a=~l,則於）=111.笈+1）一%,

所以八一%）=山（。-2"+l）+x=ln[e2^J+x

=ln（e2x+l）—Ine^+x

所以》=/a）是偶函數(shù)，所以B錯誤；

對于C,當(dāng)a=~2時，X%）=ln（e2x+l）-2x,

則/（》）=專上一2=一-<0,所以4）在R上為減函數(shù)，無最小值，所以C錯誤;

e"+1e"+1

對于D,，（x）==J+a=2+a—若函數(shù)人乃存在極值，

e"+1e2x+1

則，㈤有零點，令，。）=0,

即（2+°）一—1=0,所以。+2=—7.

e2v+1e*+1

7

因為e2>>0,所以0〈二——<2,即0<0+2<2,

e2r+l

解得一2<a<0,所以D正確.

三、填空題

9.（2023?北京朝陽區(qū)模擬）已知函數(shù)人工）=伊一3戶，則外）的極小值點為.

答案X=1

解析")的定義域為R,

f(x)=2xex-b(x2—3)^

—(x2+2x—3)eT^(x+3)(x—1)巴

所以在(一8,—3)上/(x)>0,?c)單調(diào)遞增，

在(一3,1)上/(x)<0,兀0單調(diào)遞減，

在(1,+8)上/(幻>0,人用單調(diào)遞增，

所以外)的極小值點是x=l.

10.(2023?涼山模擬)已知函數(shù);(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)=(x—l)(x2—3x+a),若1不是函數(shù)｛x)的

極值點，則實數(shù)。的值為.

答案2

解析由題意可知，(x)=g(x)—(x—l)(x2—3x+a),若1不是函數(shù)兀。的極值點，

令h(x)—x2—3x+a,〃(1)=0,

即1—3+。=0=>°=2,

當(dāng)°=2時，f(X)=(X-1)(X2-3X+2)

=(x—l)2(x—2),

故當(dāng)x>2時，f(x)>0；當(dāng)x<2時，f(x)W0,

因此x=2是｛x)的極值點，1不是極值點，

故a=2滿足題意.

II.(2023?廣東省名校聯(lián)盟聯(lián)考)用總長11m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若所制容器

底面一邊的長比另一邊的長多1m,則最大容積為—14；此時容器的高為________m.

答案V:

164

解析由題意，設(shè)容器底面的長、寬分別為x,x+1,

則x>0,容器的高為1-4(X+X+1)=Z_2X.

44

記容器的體積為r(x),

fZ-2x]

則r(x)=x(x+l)l4J

―2/3+Gil

44

17

V'(x)=-6x2一+1

=一；(2x—l)(12x+7),

當(dāng)V(x)=0時，解得x=5

17

...當(dāng)V(x)<0,即/時，

28

函數(shù)■(》)單調(diào)遞減，

當(dāng)/(x)>0,即0<x］時，函數(shù)％(x)單調(diào)遞增，

r(X)max=U=2,此時高為3.

164

12.(2023?江門模擬)已知於)=|lnx|,xi,&是方程八x)=a(aCR)的兩根，且不<刈，則號的

X1X2

最大值是.

答案1

e

解析由題意xi,X2是方程|lnx|=q的兩根，

且X1<X2,

則Q>0,1nxi=—a,ln%2=a,

BPxi=e~a,X2=ea,

所以汽=―--=-(a>0),

xixiea'Qa'Qaea

令g(x)=￡(x>0),g'(x)=一，

當(dāng)0<x<l時,gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=l時，g(x)取最大值1,

e

所以號的最大值是1

x\xie

四、解答題

13.(2023?西安模擬)已知函數(shù)負(fù)x)=壬+lnx,其中。為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).

a

(1)當(dāng)Q=-1時，求人X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若加)在區(qū)間(0,e］上的最大值為2,求。的值.

解(1)函數(shù)4)的定義域為(0,+8),

當(dāng)a=—\時，兀r)=lnx—x,

令，(x)>0得，0<x<l;令/(%)<0得，%>1,

???函數(shù)")的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),

單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).

(2/任)=3=*.

axax

①當(dāng)a>0