2025高考數(shù)學二輪復(fù)習：三角函數(shù)（2大考向）專項訓練（含解析）

2025高考數(shù)學考二輪專題復(fù)習-第四講-三角函數(shù)（2大考向）-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

2022?新高考□卷，

6

高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)2023?新高考□卷，

方面是掌握三角函數(shù)的定義、15

同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公2024?新高考□卷，

式。重點是三角恒等變換和三7

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)2022?新高考口卷，

性、奇偶性、對稱性、最值9

等。三角恒等變換位于三角函2023?新高考□卷，

數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上，高16

考會側(cè)重綜合推理能力和運算2024?新高考□卷，

能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變9

換的工具性作用，以及會有一2023?新高考□卷，

些它們在數(shù)學中的應(yīng)用。這需8

要同學熟練運用公式，進一步2024?新高考□卷，

提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處4

理問題的自覺性，體會一般與2022?新高考□卷，

三角恒等變換

特殊的思想、換元的思想、方6

程的思想等數(shù)學思想在三角恒2023?新高考□卷，

等變換中的作用。7

2024?新高考□卷，

13

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷、口卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變

換。其中口卷、口卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一

般?？诰碓诳疾槿呛瘮?shù)的圖像與性質(zhì)時，結(jié)合了具體函數(shù)圖像的畫法，.口卷則是考查

了零點、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：同角三角函數(shù)

的基本關(guān)系式、誘導公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進

行化簡、求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計2025年高考還是主要考查三角恒等變換中

的倍角公式、和差公式、輔助角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點問題。

三：試題精講

一、單選題

1.(2024新高考口卷-4)已知cos(e+")=機,tanetan￡=2,貝lJcos(a-0=()

A.-3mB.—一C.-D.3m

33

2.(2024新高考口卷-7)當xi[0,2汨時，曲線y=sinx與y=2sin13x-小的交點個數(shù)

為()

A.3B.4C.6D.8

二、多選題

jr

3.(2024新高考口卷-9)對于函數(shù)/Q)=sin2x和gQ)=sin(2x-7),下列說法正確的有

4

()

A./⑺與g(x)有相同的零點B./(x)與g(x)有相同的最大值

C.Ax)與g(尤)有相同的最小正周期D.AM與g(x)的圖像有相同的對稱軸

三、填空題

4.(2024新高考□卷T3)已知a為第一象限角，"為第三象限角，tana+tan￡=4,

tanatan/?=V2+1,則sin(a+.

高考真題練

一、單選題

1.（2022新高考口卷-6）記函數(shù)/（幻=518+3+/0>0）的最小正周期為7.若

g<T5且y=/（x）的圖象關(guān)于點怎,2）中心對稱，則/圖=（）

3

A.1B.-C.-D.3

22

2.(2023新高考口卷-8)已知sin(tz-6)=1,cosasinQ=L則cos(2a+2￡)=().

36

A?:B.：c-4D-4

3.(2022新高考□卷—6)若sin(a+p)+cos(a+/)=20cos(a+?卜in/7,則()

A.tan(a-0=lB.tan(a+0=l

C.tan(a-萬)=-1D.tan(cr+/7)=-l

4.（2023新高考□卷-7）已知a為銳角，cosa=±5,貝心也三=（）.

42

A3-A/5口-1+6C3—^5口—1+A/5

i\.(D?

8844

二、多選題

5.（2022新高考□卷-9）已知函數(shù)/'（%）=$32》+0）（0<9<無）的圖像關(guān)于點仔,0）中心

對稱，貝U（）

A.在區(qū)間［0,石J單調(diào)遞減

B.7⑴在區(qū)間1*，詈］有兩個極值點

7兀

C.直線尤=9是曲線>=/（元）的對稱軸

0

D.直線>=1-彳是曲線y=/（x）的切線

2

三、填空題

6.(2023新高考□卷T5)已知函數(shù)，(x)=cos0x-13>O)在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個

零點，則。的取值范圍是.

7.(2023新高考□卷T6)已知函數(shù)/(x)=sin(ox+e),如圖4,3是直線y=g與曲線

y=/(x)的兩個交點，若|AB|=￡,則"兀)=.

知識點總結(jié)

一、三角函數(shù)基本概念

1、弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號表示，

讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=lrad,l°=^^rad,IradJ8。.

1807i

(3)扇形的弧長公式：/=防廠，扇形的面積公式：S=|zr=||?|.r2.

2、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點P(x,y)時，貝!Jsina=y,cosa=x,

y

tana=一(%w0)?

x

(2)推廣：三角函數(shù)坐標法定義中，若取點PP(x,y)是角a終邊上異于頂點的任一

點，設(shè)點尸到原點。的距離為r,則sina=2,cosa=—,tancr=—(x^O)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表:

第四

第一象第二象限第三象

三角函數(shù)定義域象限

限符號符號限符號

符號

sinaR++——

cosaR+———+

71

tana{a\ak7r+kE.Z]+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=\.

(2)商數(shù)關(guān)系：S*n<7=tana(a^—+k7v);

cosa2

三、三角函數(shù)誘導公式

公式—*二三四五六

7171

角2k/r+a*GZ)7i+a-an-a----a---FCL

22

正弦sina-sine—sinasinercosacosa

余弦cosa-cosacosa一cosasina-sina

正切tanatana—tana一tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一

寫作"?生±o；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷”?工±々所處的象限，并判斷題

22

設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負；（3）當"為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當〃為偶

數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

四、兩角和與差的正余弦與正切

□sin(cr±4)=sincrcosP±cos6Zsin/3；

□cos(a±/?)=cosacos/?不sinasin4；

「/,c、tana±tan6

□tan(6Z±/)=-------------—;

1+tancrtan(3

五、二倍角公式

□sin2a=2sin?cosa;

□cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a；

「82tana

Utan2a=------------；

1-tana

六、降次(塞)公式

.1?入.21-cosla21+cos2a

sinacoscif=—sin2cif;sina=--------------;cosa=---------------

222

知識點四：半角公式

1-COS(71+COS6Z

sin-=±;cos^=±.

2-2--2-

asma1-cos67

tan-=------------=-------------

21+cosasina

七、輔助角公式

Qsinc+bcosa=Ji2+〃sin(a+0)(其中

.bab

sin(p=/,cos(p=/,tancp=

疑+廿心+/q

八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左eZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象駕

“二與T\2Lx

2\l\；2

71

定義域RR

值域[-1,1][-b1]R

周期性2萬2萬71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

,,TC,71

遞增區(qū)間[2k7r——，2k兀+—][-7T+2k元,2左萬](k■兀~9KTCH

22

遞減區(qū)間[2^+-,2^+—][2k7r，n+2k/]無

22

71仔,。）

對稱中心(kn,0)(kn+—,0)

.n

對稱軸方程X-K7l~\■一X=k7l無

2

注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是工；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱

2

中心的距離是二；

2

正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離工；

4

九、y=AsinO%+0）與y=Acos（vux+^）（A>0,w>0）的圖像與性質(zhì)

（1）最小正周期：T=—.

W

（2）定義域與值域：y=Asin（w%+^）,y=Acos（wx+。）的定義域為火，值域為［-/,

4

（3）最值

假設(shè)A>0,w>0.

口對于y=Asin（vtzx+°）,

當w%+。=—+2k7i（keZ）時，函數(shù)取得最大值A(chǔ);

<2

當wx+（/）=+2k汽也GZ）時，函數(shù)取得最小值-A;

、2

口對于y=Acos（wx+。）,

［當松+。=2左%（左wZ）時，函數(shù)取得最大值A(chǔ);

［當wx+。=Ikn+兀（kGZ）時，函數(shù)取得最小值-A;

（4）對稱軸與對稱中心.

假設(shè)A>0,w>0.

口對于y=Asin（vta+。）,

兀

當w/+（/）=kji+—（keZ）,BPsin（wx0+0）

<=±1時，y=sin（wx+。）的對稱軸為x=x0

當w/+。=k7i（kGZ）,即sin（wx0+。）=0

時，y=sin（wx+°）的對稱中心為（%o,O）.

口對于y=Acos（vux+。），

當wXo+。=k兀（keZ）,即cos（vvxo+。）=±1

時，y=cos（wx+。）的對稱軸為x=x0

v7C

當叫+^=^+—（fceZ）,BPcos（wx0+0）

=0時,y=cos（wx+。）的對稱中心為（如。）.

正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢?正、余弦的對稱中心是相

應(yīng)函數(shù)與冗軸交點的位置.

（5）單調(diào)性.

假設(shè)A>0,w>0.

口對于y=Asin(vta+。)，

jr冗.

vta+G[-----F2左肛——卜2kyr](kGZ)=>增區(qū)間；

<

WX+G[―+2k7T,—+2k7l](kGZ)=>減區(qū)間.

、22

口對于y=Acos(vtzx+。),

Jwx+。￡[-71+2kji,2kG(k￡Z)=>增區(qū)間；

[wx+?！闧2左心2左乃+?](%￡2)=>減區(qū)間.

(6)平移與伸縮

由函數(shù)y=sinx的圖像變換為函數(shù)y=2sin(2x+?+3的圖像的步驟；

方法一：(x^x+j^2x+1).先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧

音記憶：我們“想欺負”(相一期一幅)三角函數(shù)圖像，使之變形.

?A.E2,向左平移三個單位兀一所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?

y=sin郝J圖像-----=----->V=sin(x+§)的圖像-----縱坐標不變---。

y=sin(2x+g)的圖像所有點的箴富望來的？倍>y=2sin(2x+g)的圖像

向上平松個單位>y=2sin(2x+5+3

方法二：(尤-x+2x+10-先周期變換，后相位變換，再振幅變換.

所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模∩舷蜃笃揭啤陚€單位

*&

y=sm.尚圖像-----縱坐標不變-------jy=sin2珀勺圖像---------->

y=sin2(x+&)=sin(2x+生)的圖像?所有點嗥辭磬的'

62

y=2sin(2x+()的圖像向上平移珞單位>>=2sin(2x+()+3

注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮(先相位后周期，即“想欺負”)，但先伸縮

后平移(先周期后相位)在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，

切記每一個變換總是對變量x而言的，即圖像變換要看“變量尤”發(fā)生多大變化，而不是

“角VVX+?！弊兓嗌?

【三角函數(shù)常用結(jié)論】

1、利用sda+cos2a=1可以實現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用包4=tana可以實

cosa

現(xiàn)角。的弦切互化.

2、“sina+cosa，sinacosa，sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinorcosa=1+sin2a

(sina-cosaf=sin2a+cos2a-2sinacosa=1-sin2a

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

3、兩角和與差正切公式變形

tana±tan4=tan(a±/)(l=ptanatan4)；

八,tana+tan￡tana-tan￡,

tanof-tanp=1-------------------=--------------------1.

tan(cr+/3)tan(a-p)

4、降塞公式與升塞公式

.21—cosla21+cos2a.1.

sina=------------；cosa=-------------；sinacosa=—sm2a；

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；l+sin2a=(sin。+cos。)？；1-sin2a=(sina-cos。)？

5、其他常用變式

,_2sincrcos<72tancz_cos26Z-sin2a1-tan2aasina1-cosa

sinla=----------—=--------3—;cos2a=-----------—=--------3—;tan—=------------=一；-------

sin6Z+cos6/1+tanasina+cos。1+tana21+cosasma

6、拆分角問題：口。=2弓；a={a+/3)-/3；Ua=13~{/3-a)□

a=~[(。+萬)+(。一/?)];

IrrTCTC

U；□—+6r=--(--cr).

注意：特殊的角也看成己知角，如&=生-(2-&).

44

7、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=sinX的對稱軸為X=上左+言(左wZ),對稱中心為(丘.0)(kwZ)；

(2)函數(shù)y=cos光的對稱軸為X=ATZ■(左EZ),對稱中心為(左萬+爭0)(左cZ)；

(3)函數(shù)y=tanx函數(shù)無對稱軸，對稱中心為(亨,0)(左eZ)；

（4）求函數(shù)y=Asin(vta+/)+)(vvwO)的對稱軸的方法；令.+。=5+左"(左cZ),得

71,.

---FK.JT-d)

x=-................(keZ)；對稱中心的求取方法；令wx+gk兀*eZ),得大=旦―,即

ww

對稱中心為(紅二4b).

W

（5）求函數(shù)y=Acos（w%+，）+b（vvwO）的對稱軸的方法；令WJV+0=左%（左cZ）得

--\-k7i-（l）-+k7i-（l）

x=2------------,即對稱中心為（2------------力）（k￡Z）

WW

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?江蘇南通?三模）已知cos（：—q=3cos（e+；）,則sin26=（）

2.（2022山東濟南?三模）若sina-cos。=夜，貝（jtana=（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.（2024?重慶?三模）已知。￡[0,]}且2sin2a=4cos（2—3cos%,則cos2a=（）

A2B-1

.9C-?。■當

4.（2024?浙江?三模）若sin（a-Q）+cos（a-夕）=2任in[a-：卜in/?,則（）

A.tan(cr-y0)=-lB.tan(a-/?)=l

C.tan(a+A)=-lD.tan(a+/7)=l

3COS(7

5.(2024?河北保定?二模)已知tana=二上％,則cos2a=()

smer+11

7

6.（2024?湖北荊州?三模）已知sin8+cos6=為，貝Usin?！猚os。的值為（）

177177

A.—B.—C.土—D.土—

13131313

7.（2024?山東青島?三模）為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把y=0cos2x的

圖象上所有的點（）

A.向右平行移動S個單位長度B.向左平行移動?個單位長度

OO

C.向右平行移動Y個單位長度D.向左平行移動y個單位長度

44

8.（2024?天津濱海新?三模）已知函數(shù)〃x）=sin（2x-1，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說

法：

（1）函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點H，。]中心對稱

（2）函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于直線x=對稱

O

（3）函數(shù)/⑺在區(qū)間（-兀㈤內(nèi)有4個零點

7T

（4）函數(shù)在區(qū)間-,。上單調(diào)遞增

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2024?河北石家莊?三模）已知角。,乃滿足tana=；,2sin/=cos（a+msin。，貝！Jtan/?=

()

1￡

Bc.D.2

3-17

10.（2024?重慶?三模）已知函數(shù)/（%）=Asin3x+e）［A>O,G>O,-5<0<Tj的部分圖

像如圖所示，若貝iJ/［2e+,）=（）

11.(2024?安徽合肥?三模)已知2sina=l+2限ostz,則sin2a-[=()

1737

A.B.C.D.

8848

12.（2024?江西九江三模）若2sina+；=cosa-三貝Utan]a..)

A.-4-5/3B.-4+6C.4-73D.4+君

TT

13.（2024?江蘇宿遷?三模）已知函數(shù)/O）=cosx+cos（x-§）+l,則下列結(jié)論正確的是

)

A.［子中是〃x）的一個單調(diào)增區(qū)間

B.卜孑。）是〃x）的一個對稱中心

C./（x）在［-g,0］上值域為「蕓］

5

D.將/（%）的圖象向右平移7?r個單位，再向下平移一個單位后所得圖象的函數(shù)解

0

析式為y=6cos%

14.（2024?黑龍江三模）已知函數(shù)/（x）=cos［s-在區(qū)間［0,2可內(nèi)恰有3條

對稱軸，則⑷的取值范圍是（）

715595132竺］

A.B.C.D.

8，-8-8588'8J

15.（2024?河北?三模）已知函數(shù)"x）=sins-COSGX（G>0,X￡R）在區(qū)間6年）內(nèi)沒有

零點，則〃%）周期的最小值是（）

1271

A.12KB.2兀C.D.4兀

二、多選題

16.（2024?山東威海?二模）已知函數(shù)〃"=5也［會+二，則（）

A.在（0,1）上單調(diào)遞減

B.將y=/（x）圖象上的所有點向左平移g個單位長度后得到的曲線關(guān)于了軸對稱

C.〃x）在（-1,2）上有兩個零點

20241

D.E/(0=7

1=0乙

17.（2024?云南昆明三模）已知函數(shù)〃x）=sin"+￡|（o>0）的最小正周期大于晟，若曲

線y=/（x）關(guān)于點［8］中心對稱，則下列說法正確的是（）

A.=B.+是偶函數(shù)

c.X*是函數(shù)〃尤）的一個極值點D.“X）在回單調(diào)遞增

18.（2024?湖南長沙三模）已知函數(shù)/（村=瓜1“8+三：。>0,則下列說法正確的是

（）

A.“X）的最大值為2

B.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于直線x=（此Z）對稱

CDyO）

C.不等式/（尤）>|的解集為］二，嗔左eZ）

D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是

19.（2024?湖南衡陽三模）已知函數(shù)/（x）=Atan（0x+e）（0>O』d<?的部分圖象如圖

所示，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（無）的最小正周期為

B.sin0=

C.函數(shù)了⑴在方兀上單調(diào)遞增

方程/（*）=加［2》+：）04工4兀）的解為事,7兀

D.T

20.（2024?河南?三模）已知函數(shù)/（x）=cos2&r-百sin20x+l（o>O）的最小正周期為冗，

則下列說法正確的有（）

A.的圖象可由，=2cos4x的圖象平移得到

B.〃x）在上單調(diào)遞增

36

C./（尤）圖象的一個對稱中心為心,0）

D.圖象的一條對稱軸為直線丁=與

21.（2024?廣西欽州三模）已知函數(shù)〃x）=sin（x+l）,則下列命題正確的是（）

A.〃x）的最小正周期為2兀

B.〃x）的圖象關(guān)于直線4-1對稱

C.若=則〃2%）=2

D.將的圖象往右平移1個單位長度后可以得到函數(shù)V=sinx的圖象

22.（2024?河北秦皇島三模）已知函數(shù)〃x）=2向料"，則（）

A.是偶函數(shù)；B.是周期為兀的周期函數(shù)；

C.〃尤）在兀年上單調(diào)遞增；D.〃尤）的最小值為寒

23.（2024?安徽蕪湖?三模）已知g（x）=2sin[°x+^|Jc°s[0x+^|J（0>O）,下面結(jié)論正

確的是（）

A.。=1時，g（x）在上單調(diào)遞增

B.若g&）=l,g（X2）=T，且|%「引的最小值為兀,則0=1

C.若g（x）在[0,2可上恰有7個零點，則。的取值范圍是—

L""）

D.存在。e（1,3）,使得g（x）的圖象向右平移親個單位長度后得到的圖象關(guān)于了軸

對稱

三、填空題

24.（2024,全國?二模）已知tana=----------,則8s2。=______.

7—sin。

25.（2024?安徽合肥?三模）已知Oe[o,5）tan[o+：j=-gtane,貝han2d=,

26.（2023嘿龍江佳木斯三模）已知sin[e+￡|=：,。'/兀]，貝hosd=.

27.（2024?黑龍江?三模）已知cos（a-￡）=；,sinasi/=；,貝

cos（2a+2/?）=.

jrjr

28.（2024?江西宜春三模）已知且tan20-tan（0+—）=4,貝（J

44

cos20

1-sin20

29.（2024?北京?三模）已知函數(shù)/0）=$皿（麗;+9）（0>0,0<0<兀），若/（盼是偶函數(shù)，

則。=;若圓面/+產(chǎn)42恰好覆蓋了⑺圖象的最高點或最低點共3個，則

?的取值范圍是.

30.（2024?河北衡水三模）已知x=\是函數(shù)/（x）=sin（3nx+0的一條對稱

軸，/⑴在區(qū)間（TJ）?>0）內(nèi)恰好存在3個對稱中心，則t的取值范圍為.

31.（2024?安徽合肥?三模）已知函數(shù)〃尤）=瓜皿公《：055：+<20$%匹+3（0>0）在區(qū)間

[0,句上只有一個零點和兩個最大值點，則。的取值范圍是.

32.（2024?江西九江三模）已知函數(shù)〃x）=sin（0x_：,0>O）在區(qū)間（0㈤上有且僅有

三個零點，則。的取值范圍是.

TT3

33.(2024?湖北荊州?三模)設(shè)tana=/ntan〃，cos(<7-y0)=-,若滿足

條件的。與夕存在且唯一，貝1」租=,tan^tan/7=

參考答案與詳細解析

:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)2022?新高考口卷，

方面是掌握三角函數(shù)的定義、6

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公2023?新高考口卷,

式。重點是三角恒等變換和三15

角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)2024?新高考口卷，

性、奇偶性、對稱性、最值7

等。三角恒等變換位于三角函2022?新高考口卷，

數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上，高9

考會側(cè)重綜合推理能力和運算2023?新高考口卷,

能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變16

換的工具性作用，以及會有一2024?新高考口卷，

些它們在數(shù)學中的應(yīng)用。這需9

要同學熟練運用公式，進一步2023?新高考口卷，

提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處8

理問題的自覺性，體會一般與2024?新高考口卷，

特殊的思想、換元的思想、方4

程的思想等數(shù)學思想在三角恒2022?新高考口卷，

三角恒等變換

等變換中的作用。6

2023?新高考口卷，

7

2024?新高考口卷，

13

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷、口卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變

換。其中口卷、口卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一

般?？诰碓诳疾槿呛瘮?shù)的圖像與性質(zhì)時，結(jié)合了具體函數(shù)圖像的畫法，口卷則是考查

了零點、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：同角三角函數(shù)

的基本關(guān)系式、誘導公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進

行化簡、求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計2025年高考還是主要考查三角恒等變換中

的倍角公式、和差公式、輔助角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點問題。

三：試題精講

一、單選題

1.(2024新高考口卷4)已知cos(a+/?)=見tanatan/=2,貝！jcos(a-/7)=()

A.-3mB.——C.-D.3m

33

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosacos尸,sinesin分的關(guān)系，結(jié)合tanatan/的值可求

前者，故可求cos(a-6)的值.

【詳解】因為cos(a+/?)=m,所以coscrcos4一sinasin/7=機,

而tanatan4=2,所以sinasinp=2cosacosp,

故cosacos￡—2cosacos尸=加即cosacosf3=—m,

從而sinasin/7=-2m,故cos(a-0=-3m,

故選：A.

2.(2024新高考口卷-7)當xi[0,2%]時,曲線y=sinx與y=2sin13x-1^的交點個數(shù)

為()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】畫出兩函數(shù)在［0,2可上的圖象，根據(jù)圖象即可求解

【詳解】因為函數(shù)，=sin尤的的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)y=2sin,用的最小正周期為T=g,

所以在工目0,2兀］上函數(shù)y=2sin,q］有三個周期的圖象，

在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示:

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.

故選：C

二、多選題

JT

3.(2024新高考口卷-9)對于函數(shù)/(x)=sin2尤和g(無)=sin(2x-：),下列說法正確的有

()

A./⑺與g(x)有相同的零點B./(戈)與g(x)有相同的最大值

C./⑺與g(無)有相同的最小正周期D.八無)與g(x)的圖像有相同的對稱軸

【答案】BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.

【詳解】A選項，令f(x)=sin2x=0,解得x=與,％eZ,即為/(x)零點，

令g(元)=sin(2x-?)=0,解得尤="+g?eZ,即為g(元)零點，

42o

顯然/(x),g(x)零點不同，A選項錯誤；

B選項，顯然/(尤)max=g(X)max=1，B選項正確；

C選項，根據(jù)周期公式，/(x),g(元)的周期均為m27r=兀，C選項正確；

D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)/⑺的對稱軸滿足=E+=g+

g(x)的對稱軸滿足=E+="左eZ,

422o

顯然/(x)，g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.

故選：BC

三、填空題

4.（2024新高考口卷T3）已知a為第一象限角，"為第三象限角，tana+tan￡=4,

tanatan,=應(yīng)+1,則sin（a+/?）=.

【答案】-逑

3

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得頡但+分）=-2血，再縮小a+4的范

圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答

案.

【詳解】法一：由題意得由（"⑶=匚益即=中旬=一2也，

因為2hi,IkTi+^^,Pe+K,2mn+,k,meZ,

貝［|a+△￡（（2m+2左）兀+兀,（2m+2左）兀+2兀）,k,msZ,

又因為tan(a+6)=-2忘＜0,

貝［夕G((K

|a+f2m+2k)7i+^,2m+2^)7i+2j,k,msZ,貝！|sin(a+6)v0,

則：*：(；=-2&，聯(lián)立sin2(?+,0)+cos2(?+;9)=1,解得sin(a+4)=-孚.

法二：因為a為第一象限角，口為第三象限角，則cosa>0,cos分<0,

cosa1ncos尸-1

Vsin2cr+cos2aVl+tan2a'Jsin?￡+cos2f3^/1+tan2j3

貝［|sin(cr+/?)=sinacosp+cosasm(3=cosacos/7(tana+tanp)

-4-4__4272

=4coscrcos/?=

^1+tan2a+tan2/?^/(tana+tany0)2+(tanatan)3-1)2+2

故答案為：-芋.

高考真題練

一、單選題

1.（2022新高考口卷-6）記函數(shù)/（x）=sin,x+2+〃。＞0）的最小正周期為7.若

且y=/（x）的圖象關(guān)于點（2］中心對稱，貝打［口=（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足90T＜TT〈萬，得D9IT〈D三1T〈萬，解得2＜。＜3,

33co

又因為函數(shù)圖象關(guān)于點］與，2］對稱，所以］。+?="，左eZ,且6=2,

所以0=-，+苫匕左eZ,所以0=：,y（x）=sinjjx+g］+2,