2024學(xué)年綿陽(yáng)市某中學(xué)高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷

一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分）

1.（5分）拋物線>=4尤2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,專）D.（2，0）

―>

2.（5分）已知點(diǎn)A（2,1,-1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為3,則|力以等于（）

A.3V2B.2V6C.2D.2V5

3.（5分）我市某所高中每天至少用一個(gè)小時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級(jí)的人數(shù)

比為3：4：3,要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人

數(shù)為（）

A.52B.48C.36D.24

2

4.（5分）若直線/過點(diǎn)（-3,-2）,且與雙曲線v--必=1過第一和第三象限的漸近線互相垂直，則

4

直線I的方程為（）

A.2x+y-8=0B.2x+y+8=0C.lx-y+8=0D.2x-y-6=0

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好安排一位志

愿者，則甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為（）

2311

A.-B.-C.-D.-

3443

6.（5分）已知直線/：fcc+y+2-4=0過定點(diǎn)點(diǎn)尸（x,y）在直線2x-y+1=0上，則|MP|的最小值是

（）

A.5B.V5C.—D.—

55

7.（5分）已知MO2,0）,圓C：x2-4x+y2=0,動(dòng)圓P經(jīng)過M點(diǎn)且與圓C相切，則動(dòng)圓圓心尸的

軌跡方程是（）

A.x2一加=1（x2l）B.—-/=1（x>V3）C.x2-^=lD.--/=1

3333」

8.（5分）己知打，尸2是橢圓C：，+箕=l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)，8是C的下頂點(diǎn)，直線硒與C

的另一個(gè)交點(diǎn)為4且滿足點(diǎn)，端,則C的離心率為（）

A.立B.迪C.工D.如

5522

二、多選題：（本題共3小題，每題6分，共18分）

1

（多選）9.（6分）一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有1⑷這9個(gè)數(shù)字（每張卡片

上標(biāo)1個(gè)數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件A,“從中任意抽取

1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過6”記為事件B,“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”

記為事件C.則下列說法正確的是（）

A.事件A與事件C是互斥事件B.事件8與事件C是對(duì)立事件

C.事件A與事件B相互獨(dú)立D.P（AUB）=P（A）+P（B）

（多選）10.（6分）已知拋物線丁=2℃（p>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為4,直線/過點(diǎn)尸且與拋物線

交于A（4,yi）,B丫2）兩點(diǎn)，若Af（m,2）是線段A8的中點(diǎn)，貝!J（）

A.p=4B.拋物線的方程為丁=16了C.直線/的方程為y=2x-4D.|AB|=10

（多選）11.（6分）如圖，已知斜三棱柱ABC-A向G中，ZBXC=\/癡匕=學(xué)/.CAAr=pAB

=AC=1,A4i=2,點(diǎn)。是SC與8G的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AO=+AC+AA^B.\AO\=^-

C.AO1BCD.平面ABC_L平面BiBCG

三、填空題：（本題共3小題，每題5分，共15分）

12.（5分）兩平行直線/i：ax+3y+l—0,h：x+（a-2）y+a=0的距離為.

13.（5分）已知1,xi，xi,X3,X4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2,則xi，小孫尤4這4個(gè)數(shù)的方差

為.

14.（5分）已知圓O：^+/=9,橢圓C：9+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為F2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為

橢圓C上一點(diǎn)，直線OP與圓。交于點(diǎn)M,N,若|PF1|?|PB|=4,貝|J|PM?FN=.

四、解答題：（第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分）

15.（13分）已知圓M與y軸相切，其圓心在無(wú)軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2a.

（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)P（0,3）的直線/與圓M相切，求直線/的方程.

16.（15分）在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，國(guó)球運(yùn)動(dòng)再

2

掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽(五局三勝制)，其中每局中甲獲勝的概率為|,乙獲

勝的概率為3每局比賽都是相互獨(dú)立的.

(1)求比賽只需打三局的概率；(2)已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.

17.(15分)高二某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按

如下方式分成五組，第一組[13,14),第二組[14,15)…第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得

到的頻率分布直方圖.

(1)若成績(jī)大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù).

(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01).

(3)設(shè)機(jī)，〃表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī),已知m,?G[13,14)U[17,18],求事件“依-川

>2”的概率.

18.(17分)如圖所示，直角梯形ABC。中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四邊形即CE為

矩形，CF=V3,平面EZC平面A8CD

(1)求證：〃平面4BE；

(2)求平面ABE與平面EFB夾角的余弦值；

⑶在線段。F上是否存在點(diǎn)尸，使得直線成與平面.所成角的余弦值為竽若存在，求出線段

3尸的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(17分)已知雙曲線C：/一，=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)為B、F2,虛軸長(zhǎng)為4a,離心率為近,

過C的左焦點(diǎn)/1作直線/交C的左支于A、B兩點(diǎn)、.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若4a=4&,求的大?。?/p>

3

(3)若M(-2,0),試問：是否存在直線/,使得點(diǎn)M在以A5為直徑的圓上？請(qǐng)說明理由.

4

2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

題）

12345678

答案CDCBABCA

一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分）

1.（5分）拋物線＞=4/的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,勺D.舄，0）

【分析】把拋物線y=4f的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定開口方向和〃值，即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：拋物線y=4%2的標(biāo)準(zhǔn)方程為p=也開口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,。），

16

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用；把拋物線y=4f的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，

是解題的關(guān)鍵.

2.（5分）已知點(diǎn)A（2,1,-1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為8,則|八|等于（）

A.3V2B.2V6C.2D.2逐

【分析】根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)可得點(diǎn)3的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得|我|.

【解答】解：由題意，點(diǎn)A（2,1,-1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B（-2,1,1）,

由兩點(diǎn)間的距離公式可得以2|=7（-2-2）2+（1-I）2+（-1-I）2=2V5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及空間中兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）我市某所高中每天至少用一個(gè)小時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級(jí)的人數(shù)

比為3：4：3,要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人

數(shù)為（）

A.52B.48C.36D.24

【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計(jì)算即得.

【解答】解：用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為:

5

3

x120=36.

3+4+3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）若直線/過點(diǎn)（-3,-2）,且與雙曲線？-y2=i過第一和第三象限的漸近線互相垂直，則

4

直線I的方程為（）

A.2x+y-8=0B.2x+y+8=0C.2x-y+8=0D.2x-y-6=0

【分析】由雙曲線方程寫出其漸近線方程，根據(jù)兩直線垂直求出直線/的斜率，由點(diǎn)斜式即得/的方程.

2

【解答】解：直線/過點(diǎn)（-3,-2）,且與雙曲線？v-必=1過第一和第三象限的漸近線互相垂直，

4

如圖，由?-y2=1可知雙曲線在第一和第三象限的漸近線方程為：y=lx>

直線I與之垂直，則直線/的斜率為-2,

又直線/過點(diǎn)（-3,-2）,故直線/的方程為y+2=-2（x+3）,即2x+y+8=0.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線方程的求法，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好安排一位志

愿者，則甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為（）

2311

A.-B.-C.-D.-

3443

【分析】基本事件總數(shù)n=“=6,甲恰好不安排到3號(hào)教室包含的基本事件個(gè)數(shù)m=廢心=4,由此

能求出甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率.

【解答】解：安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，

每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，

基本事件總數(shù)n=朋=6,

甲恰好不安排到3號(hào)教室包含的基本事件個(gè)數(shù)m=6超=4,

則甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為p="=：=|.

n63

6

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.(5分)已知直線/：丘+y+2-％=0過定點(diǎn)”，點(diǎn)尸(X,y)在直線2x-y+1=0上，則|“尸|的最小值是

()

A.5B.V5C.手D.y

【分析】先求定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離最小值即可.

【解答】解：由fcc+y+2-Z=0得y+2=)t(1-x),所以直線/過定點(diǎn)-2),

依題意可知也用的最小值就是點(diǎn)M到直線2x-j+l=0的距離，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得|MP|而兀==V5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

7.(5分)已知M(-2,0),圓C：/-4x+y2=0,動(dòng)圓P經(jīng)過M點(diǎn)且與圓C相切，則動(dòng)圓圓心尸的

軌跡方程是()

22

A.X2—y=1(尤Nl)B.y-y2=l(x>V3)

C.r―日=1D.式—V=1

【分析】由題意，得到圓C的圓心和半徑，設(shè)出動(dòng)圓P的半徑，分別討論動(dòng)圓尸與圓C相內(nèi)切和外切

兩種情況，結(jié)合雙曲線的定義以及a,b,C之間的關(guān)系，列出等式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：易知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+9=4,

所以圓C是以C(2,0)為圓心，2為半徑的圓，

不妨設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,

若動(dòng)圓尸與圓C相內(nèi)切，

此時(shí)圓C在動(dòng)圓P內(nèi)，

可得|PM=r，\PC\=r-2

所以|PM-|PC|=2<|MC|=4,

則動(dòng)點(diǎn)尸是以M,C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

此時(shí)a=l,c—2,

所以6=Vc2—a2=V3,

7

則動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程為好―1=1(x'l),

若動(dòng)圓尸與圓C相外切，

可得|PM=r，\PC\=r+2

所以|PC|-|PM=2<|MC|=4,

則動(dòng)點(diǎn)尸是以M,C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

此時(shí)a=l,c—2,

所以6=Vc2—a2=V3,

則動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程為好―1=1(xW-1),

2

綜上，動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程為X2-5=1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

22

8.(5分)已知尸1，后是橢圓C：京+翥=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，B是C的下頂點(diǎn)，直線3P2與C

—>—>

的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且滿足F1416B,則C的離心率為()

A.—B.—C.-D.—

5522

【分析】利用橢圓的定義及勾股定理用。表示出IAEI，\AF2\,在RtZWBB中求出COSA,再在△ARB

中，通過余弦定理得到|&尸2/與片的關(guān)系，即可求出離心率.

【解答】解:如圖，\BFi\=\BF2\=a,令一凡|=m,貝！J|AB|=2」-m,

即(〃什。)2=(2a-m)-+O1,得巾=當(dāng)，

則|AQ|=.,|A8|=a+|a=|a,

4a

在RtAAFiB中，有cosA=需=嘉=占

\AB\—5

在△ABB中，由余弦定理得：|&尸2|2=|40|2+|/尸2|2-2|/0|?|4尸21cos4

8

.?%=(?+等_2x￡xgx.沁

解得￡=v.

a5

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查焦點(diǎn)三角形的解法，是中檔題.

二、多選題：(本題共3小題，每題6分，共18分)

(多選)9.(6分)一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有這9個(gè)數(shù)字(每張卡片

上標(biāo)1個(gè)數(shù))，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件4“從中任意抽取

1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過6”記為事件B,“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”

記為事件C.則下列說法正確的是()

A.事件A與事件C是互斥事件B.事件B與事件C是對(duì)立事件

C.事件A與事件B相互獨(dú)立D.P(AUB)=P(A)+P(B)

【分析】利用互斥事件的定義判斷A；利用對(duì)立事件的定義判斷8；利用相互獨(dú)立事件的定義判斷C；

利用古典概型、列舉法判斷D

【解答】解：一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有1國(guó)這9個(gè)數(shù)字(每張卡片上標(biāo)

1個(gè)數(shù))，

“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件4”從中任意抽取1張卡片，卡片

上的數(shù)字不超過6”記為事件8,

“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件C.

樣本空間為Q={1,2,3,4,5,6,7,8,9),

A=[2,5,8},B={1,2,3,4,5,6},C={7,8,9).

?；ACC={8},事件A與事件C不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；

VBUC={1,2,3,4,5,6,8,9},Bnc=0,

事件B與事件C為對(duì)立事件，故B正確；

???PQ4B)=:,P(2)=|=1,P⑻=合|,

：.P(AB)=P(A)P(B),即事件A與事件8相互獨(dú)立，故C正確；

?.,PQ4UB)=I，

：.P(AUB)"(A)+P(B),故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

9

【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

（多選）10.（6分）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為4,直線/過點(diǎn)尸且與拋物線

交于A（xi，%），B（X2,>2）兩點(diǎn)，若M（m,2）是線段48的中點(diǎn)，貝U（）

A.p=4

B.拋物線的方程為丁=16苫

C.直線/的方程為y=2x-4

D.|AB|=10

【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得p=4,則可判斷A正確，8錯(cuò)誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算公式幾何中

點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線/的斜率，從而求得/的方程，可判斷C正確；yi+y2=2（4+尤2）-8=4,

所以X1+X2—6從而|AB|=|AF|+|8F|=XI+X2+4=10判斷D正確.

【解答】解：根據(jù)題意及拋物線的幾何性質(zhì)可得p=4,故A正確；

故拋物線的方程為y2=8x,焦點(diǎn)尸（2,0）,故2錯(cuò)誤；

又比=8x「yl=8X2,且2）是AB的中點(diǎn)，

.".yi+y2=4,yl—泥=8xt—8x2，

...上及=^=2,.?.直線/的方程為y=2x-4.故C正確；

％2yi+yz

，?，yi+y2=2（X1+X2）-8=4，，XI+X2=6,

/.\AB\=\AF\+\BF\=XI+X2+4=10,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，點(diǎn)差法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

（多選）11.（6分）如圖，已知斜三棱柱ABC-ASG中，ABAC=\^BAA1=y,/.CAA1=pAB

=AC=1,AAi=2,點(diǎn)。是BiC與BQ的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AO=久48+AC+A4i)B.\AO\=^

C.AO.LBCD.平面平面SBCCi

10

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，逐步把A用基向量表示出來(lái)即可判斷A；對(duì)于8,C,D,則可以

選擇48=a,AC=b,人①=c為平面的一組基，分別用a,b,c表示出相關(guān)向量，再運(yùn)用向量數(shù)量積

~?―?

的運(yùn)算律求向量模長(zhǎng)和驗(yàn)證向量垂直，即可判斷2,C；對(duì)于。項(xiàng)，計(jì)算推得再由

AE±BC即可證得AE_L平面BiBCCi,最后由線面垂直得面面垂直即可.

【解答】解：對(duì)于4因4。=4B+B。=48+；(4。-48+441)=；(48+2。+441),故A正確；

T->TT-->->T->

對(duì)于8，不妨設(shè)4B=a,AC=b,AA1=c,貝U{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

—>—>—>—>--?—>—>—>

則依題意：1可=1以=1，1。1=2，a-b=0,b-c=1,a-c=-1,

,—T1T—T

由A可得，AO=—(ci+b+c),

貝UM。/=i(a2+廬+/+2a?b+2b?c+2a?c)=三，即|/。|=—,故5正確；

422

，一—一T—,,1t—t1

對(duì)于C,因BC=b-a,故4。,BC=—(cz+b+c),(b-a)=—(-1+1+1+1)=1WO,

故c錯(cuò)誤；

對(duì)于。，如圖取BC的中點(diǎn)E,連接AE,

,T1—T1TT

貝!ME=^AB+AC)=j(a+&),

因?yàn)锳B=AC,E為BC的中點(diǎn)，所以AEL3C,

又AE?BBi=：(a?c+b?c)=；(-1+1)=0,故有

因?yàn)锽CCBB尸B,BC,班iu平面BiBCG，

所以AE_L平面BiBCCi，又AEu平面ABC,

故平面A3C_L平面BiBCG，即。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.

三、填空題：(本題共3小題，每題5分，共15分)

11

12.（5分）兩平行直線/i：tw+3y+l=0,，2：x+（a-2）y+a=O的距禺為—j—

【分析】利用平行線求解a,結(jié)合距離公式求解即可.

【解答】解：由/1〃6時(shí)，求出。=3,由此能求出直線/i與/2之間距離.

解析:當(dāng)時(shí),有｛黑一（3；二

解得〃=3,/.Zi：3x+3y+l=0,；2：x+y+3=0,即3x+3y+9=0,

???直線Z1與/2之間距離為d=韶=手.

故答案為：竽.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線間距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意距離公式的合理運(yùn)用.

13.（5分）己知1,XI,x2,X3,X4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2,則為，物尤3,尤4這4個(gè)數(shù)的方差

為；?

---4---

【分析】根據(jù)1,%1，X2，%3，%4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)求出制，X2，%3，%4這4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，再利用公式

計(jì)算出好+好+蟾+就=54和X1，%2，X3，%4這4個(gè)數(shù)的方差.

【解答】解：因?yàn)?,xi，X2,X3,X4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2,

所以g+%2+久3+%4+1）=3,即X1+X2+X3+X4~14,

所以X1，%2，%3，%4這4個(gè)數(shù)的平均數(shù)為元=；X（/+久2+%3+%4）=]

42

所以應(yīng)當(dāng)警史蘭一32=2,即就+媛+以+媛=54,

所以XI，x2，13，%4這4個(gè)數(shù)的方差為1（好+好+港+%外一元2=：X54—（今2=*

故答案為：

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)，方差的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）己知圓。：/+丁=9,橢圓C：9+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為F2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為

橢圓C上一點(diǎn)，直線OP與圓O交于點(diǎn)M,N,若FR|?|PBI=4,貝6.

【分析】利用|PQ|+|PB|=2a求出|0P|,然后將1PM?|尸可轉(zhuǎn)化為|0M2Top產(chǎn)求解即可.

【解答】解：根據(jù)已知圓。：f+V=9,橢圓C：9+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,

作圖如下，

12

222

令點(diǎn)P(X0,yo),因?yàn)閨「&|+\PF2\=2a=>\PF1\+\PF2\+2\PF1\\PF2\=4a,

并且根據(jù)題意知|P尸1|,|尸尸2|=4,所以(%O+c)2+羽+(%o-c)2+羽+8=4a2,

因此就+yl=2/-c2-4

=10-3-4

=3,

所以|PM|?\PN\=(|OM|-\OP\X\ON\+|OP|)=\OM\2-|OP|2=9一(/+詔)=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓錐曲線綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

四、解答題：(第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分)

15.(13分)已知圓M與y軸相切，其圓心在無(wú)軸的負(fù)半軸上，且圓〃被直線尤-y=0截得的弦長(zhǎng)為2a.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)P(0,3)的直線/與圓M相切，求直線/的方程.

【分析】(1)根據(jù)弦長(zhǎng)及圓的幾何性質(zhì)求出圓心半徑得解；

(2)分類討論直線的斜率是否存在，根據(jù)點(diǎn)到直線距離等于半徑得解.

【解答】解：⑴因?yàn)閳A心在x軸的負(fù)半軸上，所以設(shè)圓環(huán)(x-a)2+y2=r(a<0)

又圓M'與y軸相切，所以⑷=r,即r=-a.

圓心0)到直線尤-y=0的距離為"

所以(粵)2+"1)2=。2,解得。=-2,則r=2.

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+/=4.

(2)由(1)知，圓心為M(-2,0),r=2,

因?yàn)?2+32>4,所以點(diǎn)尸在圓M外，過圓M外一點(diǎn)作圓〃的切線，其切線有2條.

①當(dāng)/的斜率上不存在時(shí)，直線/的方程為x=0,

圓心M(-2,0)到直線x=0的距離為2,

所以直線x=0與圓M相切.

13

②當(dāng)/的斜率上存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=fcv+3,即Ax-y+3=0,

則圓心M到/的距離d=早尋=2,解得k=j

Vl+k212

止匕時(shí)/的方程為5x-12y+36=0.

綜上，/的方程為5x-12y+36=0或x=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

16.(15分)在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，國(guó)球運(yùn)動(dòng)再

掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽(五局三勝制)，其中每局中甲獲勝的概率為|,乙獲

勝的概率為右每局比賽都是相互獨(dú)立的.

(1)求比賽只需打三局的概率；

(2)已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.

【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可解；

(2)根據(jù)相互獨(dú)立和時(shí)間事件乘法公式可解.

【解答】解：(1)設(shè)事件A="甲前三局都獲勝”，事件8="乙前三局都獲勝”，

Eiic/c、1111c/4、2228

P(A)=-x-x-=-,

比賽只需打三局的概率為：P=P(4UB)=P(A)+P(B)=^=|,

(2)甲需要打三局的概率為：Pi=|,

甲需要打五局的概率為：P3=|x|x|=^,

甲需要打四局的概率為：P2=|x|=|,

則甲最終獲勝的概率為：P=|+|+5=||,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.(15分)高二某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按

如下方式分成五組，第一組[13,14),第二組[14,15)…第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得

到的頻率分布直方圖.

(1)若成績(jī)大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù).

(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01).

(3)設(shè)相，〃表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)，己知根，?6[13,14)U[17,18],求事件“依-川

>2”的概率.

14

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖能求出成績(jī)?cè)冢?4,16）內(nèi)的人數(shù)，由此得到該班在這次百米測(cè)試中

成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù).

（2）由頻率分布直方圖能求出眾數(shù)落在第二組［15,16）內(nèi)，由此能求出眾數(shù)；數(shù)據(jù)落在第一、二組的

頻率是0.22V0.5,數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率是0.6>0.5,所以中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中

位數(shù)是無(wú)，貝U0.22+（%-15）X0.38=0.5,由此能求出中位數(shù).

（3）成績(jī)?cè)冢?3,14）的人數(shù)有2人，成績(jī)?cè)冢?7,18）的人數(shù)有3人，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖知成績(jī)?cè)冢?4,16）內(nèi)的人數(shù)為：

50X018+50X038=28人.

...該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)為28人.

（2）由頻率分布直方圖知眾數(shù)落在第三組［15,16）內(nèi)，

眾數(shù)是誓=15.5.

數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率=1X0.04+1X0.18=0.22<0.5,

數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率=1X0.04+1X0.18+lX0.38=0.6>0.5,

中位數(shù)一定落在第三組中，

假設(shè)中位數(shù)是無(wú)，則0.22+（x-15）X0.38=0.5,

解得x=詈=15.74,

.??中位數(shù)是15.74.

（3）成績(jī)?cè)冢?3,14）的人數(shù)有50X0.04=2人，

成績(jī)?cè)冢?7,18）的人數(shù)有；50X0.06=3人，

設(shè)m,n表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)

'：m,nG［13,14）U［17,18］,

事件川>2”的概率

C￡C￡_3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的求法，考查概率的計(jì)算，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分

布直方圖的合理運(yùn)用.

15

18.(17分)如圖所示，直角梯形ABC。中，AD//BC,AD±AB,AB=3C=2AD=2,四邊形EDCF為

矩形，CF=V3,平面即Cf\L平面ABCD

(1)求證：〃平面A3E；

(2)求平面ABE與平面EFB夾角的余弦值；

(3)在線段上是否存在點(diǎn)P,使得直線8尸與平面ABE所成角的余弦值為孚，若存在，求出線段

3尸的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)取。為原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面

TT—TTT_

ABE的法向量n與向量DF,根據(jù)DF"=0證明DF_Ln；從而證明〃平面ABE；

(2)求平面的法向量拓，再計(jì)算平面A3E與平面所成銳二面角的余弦值;

TT——

(3)設(shè)DP=a。尸，Ae[0,1],求向量BP與平面ABE的法向量n所成角的余弦值，列出方程解方程得入

—>

的值，從而求出|BP|的值.

【解答】解：(1)證明：取。為原點(diǎn)，ZM所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示;

2,0)￡(0,0,V3),F(-1,2,V3),

BE=(-1,-2,舊)，AB=(0,2,0),

設(shè)平面48E的法向量為蔡=(x,y,z),

(—X—2y+V3z=0

(2y=0

16

不妨設(shè)九=(V3,0,1),

—>__

又DF=(-1,2,V3),

TTLr—

；?DF?n=—V3+0+V3=0,

TT

：.DF±n；

又平面ABE,

：.DF//^ABE；

—>—>

(2)?:BE=(-1,-2,V3),(-2,0,V3),

設(shè)平面B跖的法向量為蔡=(a,b,c),

.(—a—2b+A/3C=0

I-2a+V3c=0

令c=4,則〃=2E，b=V3,

.*.m=(2V3,V3,4),

.._.mn.105731

??COSuni-~=9

\m\x\n\2xV3131

平面ABE與平面EFB夾角的余弦值是筆^；

—>—>

(3)設(shè)DP=ADF=入(-1,2,V3)=(-A,2入，V3A),Ae[0,1]；

—?

：.P(-入，2入，V3X),BP=(-人-1,2入-2,V3A),

又平面A8E的法向量為蔡=(V3,0,1),

???直線BP與平面ABE所成角的余弦值為半，

設(shè)與平面ABE所成角為。，