2025高考數(shù)學二輪復習 空間幾何體 專項訓練【含答案】

專題四立體幾何

微專題25空間幾何體

［考情分析］空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考

的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.

思維導圖

幾何體的結(jié)構(gòu)特征一—空間幾何體的折展問題

空間幾何體的表面積公式-必備常見—空間幾何體的表面積、體積問題

題型

空間兒何體的體積公式一知識-一多面體與球

導數(shù)在求函數(shù)最值時的應用」空

間一空間幾何體表面積、體積的最值問題

幾

何

體

一般求比較規(guī)則的幾何體采用公式法］一—空間幾何體的表面積、體積公式記憶混淆

必備常見

對于不規(guī)則的幾何體采用割補法一一——忽略組合體銜接部分的表面積

解法誤區(qū)

求多面體體積時可采用等體積法一—幾何體折展時點的位置、邊的長度計算錯誤

典型例題

考點一表面積與體積

【典例11（1）（多選）（2023?新高考全國H）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。,42為底面直徑,

ZAPB=120°,E4=2,點C在底面圓周上，且二面角「一4。一。為45。，則（）

A.該圓錐的體積為兀

B.該圓錐的側(cè)面積為4小兀

C.AC=2小

D.△必C的面積為由

答案AC

解析依題意，ZAPB=120°,B4=2,

所以。尸=1,0A=0B=p

A項，圓錐的體積為品介（/）2乂1=%，故A正確；

B項，圓錐的側(cè)面積為兀X4§X2=2小兀，故B錯誤；

C項，取AC的中點。，連接。。，PD,如圖所示，

則AC_L。。，AC1PD,所以NP。。是二面角「一AC-0的平面角，

則/P￡>0=45。，所以。尸=。。=1,

故AD—CD—\）3—1—y/2,

則AC=2吸，故C正確；

D項，PD=y/"12=巾,

所以S△陰c=]X2，^X，^=2,故D錯誤.

（2）（2023?新高考全國I）在正四棱臺ABCO—AiSCQi中，AB=2,4出=1,AAi=p,則該

棱臺的體積為.

宏安7班

口木6

解析如圖，過4作4MLAC,垂足為

D,G

易知A1M為四棱臺ABC。一A1B1GA的高,

因為AB=2,AiBi=l,AAi=5

則AiOi=^AiCi=^Xy[2AiBi=-^,

AO=^AC=g義于AB=也,

故AM=1（AC-AiCi）=^-,

則AiM=y/AAq_AM2=N2s坐,

所以所求體積為V=gx（4+1+?1）又坐=乎.

跟蹤訓練1（1）（2023?廣州模擬）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸

截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）

A.1：2B.1：y[2C.1：y[3D.?。?

答案C

解析設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為廣，

因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長/=2廠，

則圓錐和圓柱的高h=y]4r2—>2=y[3r,

所以圓錐的側(cè)面積5i=nr/=2nr,

圓柱的側(cè)面積S2=2nrXh=2y[37ir,

所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為S1：S2=l：木.

⑵（多選）（2022?新高考全國II）如圖，四邊形ABC。為正方形，ED_L平面ABCD,FB//ED,

A3=Er>=2EB.記三棱錐E—AC。，F(xiàn)-ABC,下一ACE的體積分別為％,V2,匕，則（）

A.匕=2匕B.%=%

C.V3=V1+V2D.216=371

答案CD

解析如圖，連接83交AC于。，連接OE,OF.

設(shè)AB=ED=2FB=2,

則AB=BC=CD=AD=2,

FB=1.

因為ED_L平面ABCD,FB//ED,

所以平面ABCD,

所以Vi=VE-ACD=JSAACD-ED=WX^ADCDED^X1X2X2X2=T,

V2=VF-ABC=^SAABC-FB=^X^ABBCFB=^XyX2X2X1=弓.

因為ED_L平面ABCD,ACU平面A8CD,

所以EDLAC,

)LACLBD,

且EDCBD=D,ED,BDU平面所以AC_L平面BDEE

因為OE,OFU平面BDEF,

所以AC_LOE,ACLOF.

易知AC=BD=pAB=2小,

OB=OD=^BD=y[2,

0F^yj0B2+FB2=小,

OE^y]OD2+ED2=y[6,

EF=7BD2+(ED—FB￥

='(2限)2+Q_1)2=3,

所以EF2=OE2+OF2,所以O(shè)FLOE.

又OECAC=。，OE,ACU平面ACE,

所以。尸，平面ACE,

所以V3—VF-ACE—^S/\ACE-OF

=§*]><2^X,X5=2,

所以％W2L,Vi^V3,丫3=%+匕,2匕=3匕，

所以選項A,B不正確，選項C,D正確.

考點二空間幾何體的折展問題

【典例2】（1）“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨

炊漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km,山高為

40V15km,8是山坡SA上一點，且A2=40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)

山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，下坡路段長為（）

S

A.60kmB.12加km

C.72kmD.12vBkm

答案C

解析該圓錐的母線長為'（40\氏）2+4（）2=160（km）,

所以圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為2義/4。=1的扇形,

如圖為圓錐的側(cè)面展開圖，連接A'B,

由兩點之間線段最短，知觀光公路為圖中的A'B,A'B=yjSA'2+SB2=^/1602+1202=

200(km),

過點S作A'5的垂線，垂足為“，

記點尸為A'8上任意一點，連接PS,當上坡時，尸到山頂S的距離PS越來越小，當下坡

時，P到山頂S的距離PS越來越大，

則下坡路段為圖中的H8,

由RtZkSA'BsRtdHSB,

22

zBSB120

^HB-A，g-200-72(km).

(2)(2023?黃山模擬)如圖1,將一塊邊長為20的正方形紙片A8CD剪去四個全等的等腰△PEEi,

△PFFi，APGGi，△PHHi，再將剩下的部分沿虛線折成一個正四棱錐P—EFGH,使E與

Ei重合，尸與Q重合，G與Gi重合，”與M重合，點A,B,C,。重合于點。，如圖2.

則正四棱錐P—EFGH體積的最大值為()

圖1圖2

32Vl564vl5128^10256vl5

/A..3D.33.3

答案D

解析根據(jù)題意，PG是側(cè)棱，底面正方形EFGH的對角線的一半是GC,

設(shè)GC=x,0<x<10,則有尸62=(10—尤)2+1()2,OF=OG=x,

四棱錐的高〃KPC—OG?=N200—20X,

底面正方形EFGH的面積5=45△0?；=2^,

，四棱錐P-EFGH的體積

V—^x\]200—20x,

.I------------.200—Z2,

令f=q200—20x,則x=。0,0</2<200,

則7=3<20）1,V，=焉（20°—產(chǎn)）（20?！?戶），

當40<-<200時，V<0,V=|（2°；0,2/單調(diào)遞減;

當0<440時，V'>0,V=|（歿聲2f單調(diào)遞增，

.?.當產(chǎn)=40時，丫取最大值，

??.y|x曰）x通=乎.

跟蹤訓練2（1）（2023?廣東大灣區(qū)聯(lián)考汝口圖為三棱錐A-BCD的平面展開圖，其中AC=C。

=CB=2,AELBD,垂足為C,則該三棱錐的體積為.

宏安—4

口木3

解析由三棱錐A—BCD的平面展開圖可得其直觀圖，如圖所示.

其中AC_LC。，ACLCB,CD±CB,AC=CD=CB=2,

又BCCCD=C,BC,CDU平面BCD,所以AC_L平面BCD,

1114

所以VA-BCD^SABCD-AC^X^X2X2X2=^.

（2）如圖所示是一個底面半徑和高分別為1和4的圓柱形開口容器（下表面密封），尸是母線BC

的中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊緣再

爬到點P處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（）

B.、兀2+16

。、4兀2+36D.^/4K2+1

答案A

解析依題意可得圓柱的底面半徑r=l,高/i=4,

將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形ABC。，其中48=無，AD=4,

問題轉(zhuǎn)化為在CD上找一點0,使AQ+P。最短，

作尸關(guān)于C。的對稱點E,連接AE,4E與。。交于點。,

則得AQ+PQ的最小值就是

&上=、兀2+（4+2）2=、無2+36.

考點三多面體與球

【典例3】⑴（2022?新高考全國I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若

該球的體積為36%，且3W/W3小，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

「，c81]「2781]

A[18,yjB.[不,y

「2764]

C.彳，—D.[18,27]

答案C

解析方法一如圖，設(shè)該球的球心為。，半徑為R,正四棱錐的底面邊長為。，高為

4

依題意，得36兀=§兀7?3,

解得R=3.

P=層+

由題意及圖可得

R2=(/J—R)2+

尸/2

仁麗=不

解得，

74

*=2?—床,

io

所以正四棱錐的體積V=1?2/z

貨展藕=*d）（3W/W3?。?

所以V'=副一==/（4—§（3W/W3回

令『=0,得/=2加，

所以當3Wk2、同時，V'>0；

當2玳<±3小時,V<0,

所以函數(shù)丫=嘲2—5）（3W￡3?。┰冢?,2#）上單調(diào)遞增，在（2#,3?。萆蠁握{(diào)遞減,

27

又當1=3時，V=q-；

當/=2這時，V=早；

Q1

當/=3仍時，V=Y?

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是［引，y］.

方法二如圖，設(shè)該球的球心為。，半徑為R,正四棱錐的底面邊長為.，高為h,

4

依題意，得36兀=驢7已

解得R=3.

12+

由題意及圖可得

R2=(/l—殍+

又3WIW3小,

所以該正四棱錐的體積V=^a2h

（當且僅當《=2—即/=2訛時取等號），

所以正四棱錐的體積的最大值為6號4，排除A,B,D.

方法三如圖，設(shè)該球的半徑為R,球心為O,正四棱錐的底面邊長為小高為心正四棱錐

的側(cè)棱與高所成的角為0,

4

依題意，得36兀=1兀&,

解得R=3,所以正四棱錐的底面邊長a=p/sina高h=/cosd.

在△。尸C中，作OELLPC,垂足為區(qū)

則可得cos^H^坐］,

所以Z=6cos3,

所以正四棱錐的體積

丫="力=^（也/sin9）2./cos0

設(shè)sin<9="易得/￡5，

則y=sin0cos20=Z（l—^）=^—Z3,

貝ly'=1—3/.令<=0,得看乎,

1S

所以當為-時，y>o；

當坐〈卜當時，<<0，

所以函數(shù)尸LZ3在任，半）上單調(diào)遞增，在半）上單調(diào)遞減.

又當/=當時，尸?￥；當時，J=|；

M2亞Li2必,2764

所以比-WyW—T，所以彳WVW^.

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是［金，y.

（2）（2023?南昌模擬）如圖，在正四棱錐P—A8C?？蚣軆?nèi)放一個球。，球。與側(cè)棱抬，PB,

7T

PC,PQ均相切.若NAP8=?且。尸=2,則球。的表面積為.

D

p

答案8兀

7T

解析在正四棱錐P—48C。中，AAPB=y則△B4B是正三角形,

于是叱=44+"2=鞏2+小2,所以NAPC=$

因為球。與側(cè)棱加，PB,PC,尸。均相切，

則由對稱性知，平面B4C截正四棱錐得等腰直角三角形，

截球。得球。的大圓，且圓。與直角邊B4,PC都相切，如圖，

顯然OP平分NAPC,因此球。的半徑R=OPsin去=r,

所以球。的表面積為4疝?2=8兀

跟蹤訓練3（1）（2022.全國乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點

均在球。的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

答案C

解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點。組成的圓錐體積最大.

設(shè)圓錐的高為底面半徑為r,

則圓錐的體積/=3兀產(chǎn)〃=〃兀（1—8）〃，

則V=%(l—3/i2),

令V'3/Z2）=0,得。=坐，

所以v=*（i一?。?在（。，坐）上單調(diào)遞增，

在1）上單調(diào)遞減，

所以當〃=半時，四棱錐的體積最大.

（2）已知在三棱柱ABC—A/1G中，CCi±AC,AAXLBC,平面AJ5C_L平面A4/,AC=5,

若該三棱柱內(nèi)存在體積為4苧7r的內(nèi)切球，則三棱錐A-AiBC的體積為（）

24

A.qB.gC.2D.4

答案D

解析如圖所示，

因為CG_LAC,A4i±BCOCCi±BC,AC^BC=C,AC,BC<=平面ABC,

所以CC」平面ABC,

又因為平面AiBC_L平面AA\B,

平面AiBCn平面AAiB=AiB,

過點A作

則AE_L平面ABC,

則AE±BC,

又因為44」8C,AAiAA￡=A,AAi,A￡u平面ABB4,

所以BC,平面48314,

又ABU平面42814,

所以AB_LBC

設(shè)AB=c,AC—b,BC—a,

則b2=a2+c2,

47r

又因為三棱柱內(nèi)切球的體積為可,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,

貝停=泰店,

—h

解得R=1,又R=，即c+a~b=29

a12+c2—25,

則

。+c=7，

解得ac=12,因為棱柱的高等于內(nèi)切球直徑2,

所以^A-\BC—^A-ABC~3X2X12X2=4,

故三棱錐A-AiBC的體積為4.

［總結(jié)提升］

空間幾何體在高考題中主要考查表面積、體積問題，常見題型求解思路有兩種，一是對于規(guī)

則的幾何體直接使用公式法求解，二是將不規(guī)則的幾何體分解成基本的柱、錐、臺體，先求

這些柱、錐、臺體的表面積或體積，再通過求和或作差得不規(guī)則幾何體的表面積或體積.

提醒：組合體的表面積問題注意銜接部分的處理.旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的

應用.

熱點突破

1.（2023?深圳模擬）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60。，底面圓的半徑為8,則圓錐的側(cè)面

積為（）

A.384兀B.392兀C.398兀D.404兀

答案A

解析設(shè)圓錐的半徑為廣，母線長為/,則r=8,

兀

由題意知，2nr=1l,

解得/=48,

所以圓錐的側(cè)面積為兀"=8X48兀=384兀.

2.（2023?惠州模擬）如圖1,在高為h的直三棱柱容器ABC—A/1Ci中，AB=AC=2,ABLAC.

現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進一些水，水深為2,然后固定容器底面的一邊A2于地面上，再將容器傾斜,

當傾斜到某一位置時，水面恰好為（如圖2）,則容器的高〃為（）

圖1圖2

A.272B.3C.4D.6

答案B

角牛才2矢口A|B|C]二5s△Age/，

其中。表示三棱柱的高，

故^C-AA^B~^ABC-&B1G-K?-4]B[G

^△為耳。1八一§S△ABic[i=]S^ABIGh,

因此，無水部分體積與有水部分體積之比為1：2,所以圖1中高度之比為1：2,則h=3.

3.（2023?日照模擬）紅燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征

美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，

上、下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上、下兩個相同球冠剩下的部分.如

圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半徑為R，球冠的高為九則球冠的面積5=2兀7吸如圖1,已知該燈籠的高

為58cm,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈籠中間球面部分所需

布料的面積為（）

14cm

圖1圖2

A.1940兀cm2B.235071cm2

C.2400兀cm?D.2540兀cm2

答案C

解析由題意得，爛—用*2=72,所以R=25cm,

”,58-10

所以/?=25———=1(cm),

所以兩個球冠的面積為2s=2X2成〃=2X2X71X25X1=100兀（cn?）,

則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為ATIR2-25=4XnX252-1007t=24007c（cm2）.

4.（2023?婁底模擬）如圖，在三棱柱ABC—A18C1中，AA」底面ABC,AB=BC=CA=AAi，

點。是棱AAi上的點，AD^AAr，若截面BOG分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比

為（）

C.4：9D.5：7

答案D

解析不妨令A3=8C=CA=AAi=4,且上、下底面為等邊三角形，

又A4_L底面A5C,易知三棱柱ABC—A/1G為直三棱柱，所以側(cè)面為正方形，

2

所以三棱柱ABC—481G的體積V=AAVS^ABC=4X1X4X^=16V3,

而AO=1,CC,=4,故%邊形ACGD=%C（AO+CG）=10,

所以％—ACCQ=gx2/X10=呼，故VCi_AiBtBD=V-匕―ACCQ=喈，

所以匕-ACG。=）

5.（2023?佛山模擬）科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之

重器，極目一號（如圖1）是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.截至2022年

5月，“極目一號”皿型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050m,超

過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實

力.“極目一號”III型浮空艇長55m,高19m,若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一

個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（參考數(shù)據(jù)：

9.52-90,9.53弋857,315XI005弋316600,兀仁3.14）（）

ri

1r22Z22m

14m*',31.5m——H

圖1圖2

A.9064m3B.9004m3

C.8944m3D.8884m3

答案A

i(9

解析由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑R=tr=9.5(m),而圓臺另一個底面

1417147r

的半徑r—l(m),貝!]V半球一2義3義兀義9.53^(m3),

V圓柱=兀X9.52X14^1260兀(nP),

VM&=1'X（9.527t+A/9.527CXTI+71）X31.5^^（m3）,

所以V=V羋球+V酶260n+江警-9064（曲）.

6.（2023?西寧模擬）已知矩形ABC。的頂點都在球心為。的球面上，AB=3,BC=小，且四

棱錐。一ABCD的體積為4小，則球。的表面積為（）

A.76兀B.112TI

D224由兀

答案A

解析由題可知矩形A2C。所在截面圓的半徑r即為矩形ABCD的對角線長度的一半,

VAB=3,BC=木,

73z+畫

又矩形ABCD的面積S=ABBC=3y[3,

則0到平面ABCD的距離h滿足卜34/?=44，

解得/?=4,故球的半徑R=7戶+附=遮,故球的表面積為4TIR2=76兀

7.（多選）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺。。2，在軸截面A8C。

中，AB=AD=8C=2cm,且CD=2AB,則（）

A.該圓臺的高為1cm

B.該圓臺軸截面面積為外。cm2

C.該圓臺的體積為Z季cm3

D.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點，所經(jīng)過的最短路程為5cm

答案BCD

CD—AB_____

解析如圖1,作BE,CO交8于點E,易得CE=-2—=l（cm）,則8￡=轉(zhuǎn)=d§（cm）,

圖1

則圓臺的高為小cm,故A錯誤；

圓臺的軸截面面積為Bx（2+4）X，5=3，5（cm2）,故B正確；

圓臺的體積為3義＜§＞＜（兀+4兀+如Zi）=4^（cm3）,故C正確；

由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm,底面半徑為2cm,側(cè)面展開圖的圓心角夕=

2TIX2

-4-=兀，

TT

設(shè)P為的中點，連接CP,如圖2,可得NC0￡＞=2，0C=4cm,0P=3cm,

CBO

則CP=、42+32=5（cm）,從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到A。的中點，所經(jīng)過的最短路程為

5cm,故D正確.

8.（多選）（2023?新高考全國I）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器

（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

答案ABD

解析對于A,因為0.99m＜lm,即球體的直徑小于正方體的棱長,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于B,因為正方體的面對角線長為啦m,且啦＞1.4,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于C,因為正方體的體對角線長為3m,且木＜1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C錯誤；

對于D,

因為可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，

4,______G

n51

4MEC

過AG的中點O作OE_LAG,

設(shè)OEHAC=E,

可知AC=W，CCi=l,ACi=V3，OA=坐,

那么

tan/CACi=/i1Czg=/會icy，

2

解得°E=乎,且普＞=亮=4卷Re?,

即乎＞0.6,

所以以ACi為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m的圓柱,

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切,

設(shè)圓柱的底面圓心為01,與正方體下底面的切點為

可知OtM=0.6,

那么12?。。=泰=瑞，

%瑞

解得4。1=0.66，

根據(jù)對稱性可知圓柱的高為

小一2X0.6啦21.732—1.2X1.414=0.0352＞0,01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，所以D正確.

9.(2023?遼陽模擬)將3個6cmX6cm的正方形都沿其中的一對鄰邊的中點剪開，每個正方

形均分成兩個部分，如圖(1)所示，將這6個部分接入一個邊長為3gcm的正六邊形上，如

圖⑵所示.若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個七面體，則該七面體的體積為

________cm3.

圖⑴圖⑵

答案108

解析將平面圖形折疊并補形得到如圖所示的正方體,

該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對稱性知其體積

為正方體體積的一半，即gx63=108(cm3).

10.棱長為2的正方體ABC。-AiBiCid中，M,N分別為棱8S，的中點，則三棱錐4

一DiMN的體積為

答案1

解析如圖，由正方體棱長為2,

113

得SJMN=2X2—2XgX2Xl-

又易知DiAi為三棱錐Di—AiMN的高，且。14=2,

,\7—

??了三棱錐^一口腦v