2025北師大版高二數學上學期期末教學質量模擬檢測（三）（含解析）

2024-2025學年上學期北師大版高二年級期末教學質量模擬檢測

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.在空間直角坐標系。xyz中，已知點？（1,3,5）,點0（—1,3,—5）,則（）

A.點P和點。關于x軸對稱B.點P和點。關于y軸對稱

C.點尸和點。關于z軸對稱D.點P和點。關于原點中心對稱

2.數學活動小組由12名同學組成，現將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究

一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數為（）

「3「3「3r3

A.C^C：34B二12二46A4cj2yL643D.C?C^43

42

3.在空間直角坐標系中，點（4,-1,2）關于x軸對稱的點的坐標是（）

A.(-4,-l,2)B.(TL-2)

C-(4,1,-2)D-(4,-1,-2)

4.已知點尸(a,l),Q(—2,—3),若|PQ|=5,則。=()

A.1B.-5C.1或—5D._i或5

5.拋物線＞2=4%的焦點到其準線的距離為（)

1

A.-B.1C.2D.4

2

6.已知向量Q=(1,2,-73),=(1,1,73),則。0=（）

A.-1B.0C.1D.2

7.已知《，工分別是雙曲線C:?—￡=1S〉O）的左、右焦點，M是雙曲線C右支上的一個動

點，且|叫「的最小值是8?,則雙曲線C的漸近線方程為（）

1-J2x/3（―

A.y=-~xB.y=±《-xC.y=~~^~xD.y=±j2%

22

8.設瓦，居分別是雙曲線二-當=1（?！?]〉0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P,

ab

使（O尸+明）書尸=0,0為坐標原點，且回|+|叫=（4+2我口，則該雙曲線的離心率為（）.

A.V3+1B.①C,V6+V2D.^±^

22

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項

中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知兩條平行直線加，n,直線相：3x+4y+2=0,直線“：6x+8y+a=0,直線/n,〃

之間的距離為1,則。的值可以是（）

A.-8B.-6C.12D.14

10.已知R是拋物線C：y2=4x的焦點,46是拋物線C上的兩點，。為坐標原點，貝!]（）

A.若A的縱坐標為2,則|AF|=3

B.若直線AB過點F,則|AB|的最小值為4

C.若。4.08=7，則直線A3恒過定點（2,0）

D.若38垂直。的準線于點人且忸陰=2|（9同，則四邊形QFB?的周長為3+拓

11.已知棱長為3的正四面體A—BCD，AE=AAD,BF="BC,EM=^EF,2,//e[0,l],

則下列選項正確的是（）

A?當〃=1?時，EFBC=O

B.當〃<!■時，⑼<2^

C.當周=逐時，2+〃的最大值為g

D.當⑷=有時，則1AM『的最大值為14：立

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某公司員工小明上班選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為工，工」,而他自駕,坐公交

333

車，騎共享單車遲到的概率分別為L,，工,結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是

456

13.已知4—2,-M),6(2,3,3),則線段A3的中點坐標為.

14?點A(2,l)到直線l:x-2y-3=0的距離是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知雙曲線］_/=1(6〉0)的離心率為手，求該雙曲線的漸近線方程.

16.求焦點坐標為(0,-4)、(0,4%且過點(0,-6)的橢圓方程.

17.求經過點4(3,-1),并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程是.

18.設圓C與兩圓G(x+2)2+y2=1,02：(%-2)2+寸=1中的一個內切，另一個外切.

(1)求圓心C的軌跡E的方程；

⑵已知直線x—y+m=0(機＞0)與軌跡E交于不同的兩點A,8,且線段A5的中點在圓

必+丁2=1()上，求實數相的值.

19.已知直線/:去—y+2左=0與圓C：(x—l)2+(y—2)2=4交于4B兩點.

⑴若圓心C到直線/的距離為正，求左的值.

2

⑵是否存在過點的直線/垂直平分弦AB?若存在，求出直線/'與直線/的交點坐標；若

不存在，請說明理由.

參考答案

1.答案：B

解析：由題得點尸與點。的橫坐標與豎坐標互為相反數，縱坐標相同，

所以點尸和點。關于y軸對稱，

故選：B.

2.答案：A

解析：將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題

只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，

故不同的分配方案為：亡2禺或34,

故選:A.

3.答案：C

解析：在空間直角坐標系中，點(4,-1,2)關于無軸對稱的點的坐標為(4,1,-2).

故選：C

4.答案：C

解析：因為點P(a,l),2(-2,-3)，所以?PQ|=J(a+2)2+(1+3)2=5，

所以|a+2|=3,則a=l或-5-

故選:C.

5.答案：C

解析：因為拋物線的焦點到準線的距離為P，

所以由拋物線＞2=4x可得p=2,

則焦點到其準線的距離為2.

故選：C

6.答案：B

解析：Va-Z?=lxl+2xl+(-V3)xV3=0,

故選:B

7.答案：B

解析：方法一：不妨設耳(―c,0)，Q(c,0)，/(%,%)，且x°N2,則

2c248c

\MF^-\MF^[=（xQ+c）+-[（^o-）+]=^o'所以8c=8指，解得°=指，

b=y[2,故雙曲線C的漸近線方程為'=±4》.故選B.

方法二：因為

M小M小（眼娟—|M閭）.（胸|+"|）

=4（|MF；|+|MF,|）=4（4+2|MF；|）＞4[4+2（c-2）]=8c,所以8c=8#,解得c=娓，則

b=s/2,故雙曲線C的漸近線方程為'=±3》.故選B.

8.答案：A

解析：由（O尸+（?&）?&?=0,

得（OP+O8）（OP—08）=0,

即|0門2-|0葉=0,

所以|0n=|0可=。，

所以APFB中,邊與耳上的中線等于閨閭的一半，

則「耳，「工.

即|期「+P閶2=#2,

又巧|=閻叫,

解得歸大上百c,|Pg|=C

又|PK|—|PE|=gc—c=2a.

所以e=6+l.

故選：A

9.答案：BD

解析：根據題意得直線機可化為6x+8y+4=0,二加，〃之間的距離[=±±=1,

A/62+82

|a-4|=10,.,.。=14或-6.故選8口.

10.答案：BC

解析：由題意得，p=2,F(1,O),準線方程/：%=—1.

A.由A的縱坐標為2得，A(l,2),故|AE|=2,選項A錯誤.

B.如圖，設直線AB方程為：x=my+1,,

,鼠=切+1”日0

由12信，y-4加y-4=0，

y=4%

二%+%=4根,%+々=根（%+%）+2=4根2+2,

2

???|AB|=^+x2+/?=4m+4>4>當加=0時，|ABln=4,選項B正確.

C.如圖，設直線A3方程為：x=my+t,鞏%，%），

,\x=my+t,

由｛2倚，V-4my-41=0，

y=4x

2222

..yiy2--4t,XtX2----r,

2

OA-OB=xix2+yiy2=t-4t=-4^解得［=2，

二直線AB方程為：x="y+2,恒過定點(2,0),選項C正確.

o1

B

D.如圖，設點3在第四象限.

由題意得，|叫=1,則網=2|OC|=2.

由準線方程為l=—1得，/=1，故3(1,—2)，BX-1,-2),

???IBF|=2,|0^|=7(-1)2+(-2)2=75,

，四邊形0FB6'的周長為5+?，選項D錯誤.

故選：BC.

11.答案：ACD

解析：由正四面體A—5CD，可知=/RAD,NCAD=60°,

選AB,AC,AD為空間內的基底向量，

當〃=5，EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+-(AC-AB)

=-AAD+-AB+-AC,

22

BC=AC-AB^所以EFBC=(-AAD+^AB+^AC)(AC-AB)

1121.21

=-AADAC+-ABAC+-AC+AADAB——AB——ACAB

2222

=-2x3x3x—+—x3x3x—+—x32+2x3x3x--—x32-—x3x3x—0-故A正確;

22222222

因為EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+^AC-AB)

=-AAD+(1-〃)AB+,

當;I=〃=0,EF=AB=3>?故B錯誤；

2

.2°

EF=[-2A￡>+d-ju)AB+//AC]2

,2.2-2..

=22AD+(1-M2AB+/LTAC-22(1-//)AZ)-AB+2//(l-//)AB-AC-2/72AD-AC

=93+9(1-+9儲-92(1-ju)+9ju(l-/z)-9//A=9A2+9//2—9(X+〃)+9

=9(2+//)2-9(2+//)+9-182//>9(2+//)2-9(2+//)+9-18x>

X|EF|=75,所以529(2+〃)2—9(/U〃)+9—18X('；〃)2，

整理得9(2+〃)2_9(2+〃)+4—18'出土立40,當且僅當4=〃時取等號，

4

化簡得9(/l+〃)2—18(力+〃)+8<0，解得;+故C正確；

AM=AE+EM=AE+-EF=2AD+-(-2AD+(1-//)AB+//AC)

1

=-[AAD+(1-〃)AB+〃AC],

所以=；[4AD+(1_〃)AB+〃ACf

=；[9/2+9(1—〃)2+9/?+92(l-//)+9//(l-//)+9//2]

=1[922+9/?+91-9//+9]，

由9力+9〃2+9=9(4+〃)+5，所以卜河『=；[18X+5]，

因為彳2+〃2_.+〃)=_:,所以Q_g)2+(〃_g)2=1,|=_L,

所以Q—所以4—所以彳三義+工，

21823V23V22

所以=-[182+5]<-[18(^+-)+5]=14+3A^>故D正確.

11443024

故選：ACD.

12.答案：竺

37

解析：設小明遲到為事件A,小明自駕為事件仇

則P(A)=L><L+LXL+J_XL=^,P(AB)=LXL=L.

V7343536180'73412

1

則在小明遲到的條件下，他自駕去上班的概率為P(B|A)=,符=留=A

180

故答案為：11.

37

13.答案:(0,1,2)

解析：因為A=(—2,—1,1)，8=(2,3,3)，所以線段AB的中點坐標為(0,L2)，

故答案為：(0,1,2).

14.答案：些

5

解析：點A(2,l)到直線/:龍—2y—3=0的距離為d=

故答案為:還

5

15.答案：y=±二

2

解析：根據題意,雙曲線E—《=1付＞0)的離心率為亞，

4〃''2

所以￡=立,所以c=6,

a2

2

由0?=4+〃，得〃=1，所以雙曲線方程為三-寸=1，

因此該雙曲線的漸近線為y=士二.

2

故答案為：y-+—■

2

22

16.答案：二+匕=1

2036

解析：因為橢圓的焦點坐標為(0,-4),(0,4),所以c=4,

又橢圓過點(0,—6),所以。=6，廿=/一。2=36—16=20,

22

所以橢圓方程為工+匕=1.

2036

22

17.答案：----=1

88

解析：設雙曲線的方程為/—/將點a?！?）代入得：9—1=2，故雙曲線的標準方程

22

為:土-^=1；

88

22

故填:-------=1

88

18.答案：⑴f-匕=1

3

⑵士2

解析：⑴圓G：（x+2y+y2=i的圓心為G（_2,0）,半徑為1,

圓G：（x—2）2+丁=1的圓心為&（2,0）,半徑為1,

設圓C的半徑為r,

若圓c與圓G內切，與圓。2外切

則■=-1,陷|=廠+1，

可得|CGHCGI=2；

若圓c與圓G內切，與圓G外切

則陷|=廠-1陽|=廠+1,

可得

綜上所述：歸G|—|CG||=2，

可知：圓心C的軌跡E是以G、G為焦點的雙曲線，且a=l,c=2,

可得Z?2=02—儲=3

所以圓心C的軌跡E的方程好一二=1.

3

X2_￡=1

⑵聯(lián)立方程3

X—y+m=0

消去y得2/—2s—3=0,

則△=4m2-8（-m2-3）=12（m2+2）＞0

可知直線與雙曲線相交，

設4（石,乂）,3（孫％）

線段A3的中點為M（%,%）,

且在圓/+y2=10上

解得m=±2,

所以實數加的值為±2.

7

19.答案：（1）左=1或左=，；

17

（2）不存在，理由見解析

解析：（1）由圓C：（x—iy+（y-2）2=4可知，圓心C（l,2），半徑廠=2

圓心C到直線I的距離d=匕2+2左|=叵,

V17F2

化簡得17左2_