2025屆高考數(shù)學(xué)第一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的仿射變換、非對(duì)稱韋達(dá)、光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題

2025屆高考數(shù)學(xué)第一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)一圓錐曲線中的仿射變換、

非對(duì)稱韋達(dá)、光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................6

題型一：仿射變換問(wèn)題............................................................6

題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題..........................................................8

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì).........................................................10

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì).......................................................12

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì).......................................................14

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................16

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亡法牯自與.柒年

//\\

一、仿射變換問(wèn)題

仿射變換有如下性質(zhì)：

1、同素性：在經(jīng)過(guò)變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；

2、結(jié)合性：在經(jīng)過(guò)變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上;

3、其它不變關(guān)系.

我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì).

22X-X

橢圓亍+==可”"〉。)，經(jīng)過(guò)仿射變換，a,則橢圓變?yōu)榱藞Ax"+y2=",并且變換過(guò)程有

y'=-y

b

如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:

(1)點(diǎn)尸(X。,%)變?yōu)?/p>

(2)直線斜率左變?yōu)椤?色左，對(duì)應(yīng)直線的斜率比不變；

b

(3)圖形面積S變?yōu)榧?3s,對(duì)應(yīng)圖形面積比不變；

b

(4)點(diǎn)、線、面位置不變(平直線還是平直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相

切依然是相切等)；

(5)弦長(zhǎng)關(guān)系滿足口"=」葉與，因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比不變

\AB\\\+k2

總結(jié)可得下表:

變換前變換后

22

方程￡2+y2=a2

ab

橫坐標(biāo)Xxr

,a

縱坐標(biāo)yy=-y

b

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斜率

Axk，=絲土二巴k

Ax'Axb

面積S=—Ax-S'=-\xf=-S

22b

/，=Jl+k'2Ax，=[1+Ax=—1b2

弦長(zhǎng)/=Jl+左2Ax

不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比

二、非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題

在一元二次方程ax2+6x+c=0中，若A>0,設(shè)它的兩個(gè)根分別為再，馬，則有根與系數(shù)關(guān)系：

x1+x2=--,xlX2=-,借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來(lái)快速處理％-x,|,x；+考，工+工之類(lèi)的結(jié)構(gòu)，

aaxxx2

但在有些問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及再，%的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求生」占％+2占-％或

x22X1X2—X1+X2

2X|+/ZX2之類(lèi)的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)處理了.特別是在圓錐曲線問(wèn)題中，我們聯(lián)立

直線和圓錐曲線方程，消去x或y,也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種

形如再+2x?，加力+〃不%,土或3%%+2%一々之類(lèi)中西，x,的系數(shù)不對(duì)等的情況，這些式子是非對(duì)稱結(jié)

x22XXX2-XX+X2

構(gòu)，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”.

三、光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題

1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）.

【引理。若點(diǎn)）,8在直線￡的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線￡上到48兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)

尸是點(diǎn)/關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)H與點(diǎn)5連線A'B和直線L的交點(diǎn).

【引理2】若點(diǎn)/,8在直線Z的兩側(cè)，且點(diǎn)48到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)尸是直線￡上到點(diǎn)/,8距

離之差最大的點(diǎn)，即|尸4-尸川最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)/關(guān)于直線上的對(duì)稱點(diǎn)4與點(diǎn)3連線H8的延長(zhǎng)線

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和直線￡的交點(diǎn).

22

【引理3】設(shè)橢圓方程為會(huì)+方=l（a>b>0）,片，巴分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)。在橢圓外，則

DF]+DF2>2a.

2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.

【引理4】若點(diǎn)48在直線工的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線工上到43兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)

P是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)/'與點(diǎn)3連線A'B和直線L的交點(diǎn).

【引理5】若點(diǎn)48在直線Z的兩側(cè)，且點(diǎn)42到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)尸是直線工上到點(diǎn)43距

離之差最大的點(diǎn)，即歸/-尸4最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)/關(guān)于直線工的對(duì)稱點(diǎn)4與點(diǎn)8連線48的延長(zhǎng)線

和直線￡的交點(diǎn).

22

【引理6】設(shè)雙曲線方程為會(huì)-a=1（">0源>°），片，耳分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)。在雙曲線外

（左、右兩支中間部分，如圖），則。片-。此<2°.

3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)

從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）

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.反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過(guò)焦點(diǎn).

【結(jié)論1］已知：如圖，拋物線C:f=2抄（p>0）,尸為其焦點(diǎn)，）是過(guò)拋物線上一點(diǎn)

D（x（）,%）的切線，N,3是直線，上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)。），直線。C平行于了軸?求證：

=（入射角等于反射角）

【結(jié)論2］已知：如圖，拋物線C:y2=28（0>O）,尸是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從尸點(diǎn)發(fā)出射到拋

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㈤2

//\\

題型一：仿射變換問(wèn)題

--+/=1M值中

【典例1-1】如圖，作斜率為2的直線/與橢圓4交于尸，。兩點(diǎn)，且I在直線’的上方,

則△兒內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為.

工+匕=1——

9砌1-27P是橢圓43上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，PO=2OQ,過(guò)點(diǎn)。的直線交橢圓于4,B

兩點(diǎn)，并且3=@,貝必尸面積為.

【變式1-1］已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為42.

1

ULUUUULAJU4--------

⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸滿足：OP=OM+ON,其中"，N是橢圓上的點(diǎn)，直線與ON的斜率之積為2,問(wèn)：

是否存在兩個(gè)定點(diǎn)小尸2,使得盧與㈤尸功為定值？若存在，求小丹的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

⑵設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸滿足：歷=兩+2而，其中“，N是橢圓上的點(diǎn)，直線。河與°N的斜率之積為一5,問(wèn)：

是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到尸的距離與到直線》=2而的距離之比為定值？若存在，求尸的坐標(biāo)；若不存

在，說(shuō)明理由.

x2yZ（64）V3

【變式1-2】已知橢圓叼+也=1（。＞力＞°）經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔5'5J

其離心率為2,設(shè)A,B,M是橢圓C上

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?-->---kI7T

OM=cosaOA+sinaOB,ae0,—?

的三點(diǎn)，且滿足I2九其中°為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：△0/8的面積是一個(gè)常數(shù).

22

—7+^=l(a,>0)x'=-y'=—,

【變式1-3】對(duì)于橢圓。b2，令。，一方，那么在坐標(biāo)系、°夕中，橢圓經(jīng)伸縮變換得

到了單位圓x°+y'2=i,在這樣的伸縮變換中，有些幾何關(guān)系保持不變，例如點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系

1

以及點(diǎn)分線段的比等等；而有些幾何量則等比例變化，例如任何封閉圖形在變換后的面積變?yōu)樵鹊牡茫?/p>

由此我們可以借助圓的幾何性質(zhì)處理一些橢圓的問(wèn)題.

—―

(1)在原坐標(biāo)系中斜率為左的直線/,經(jīng)過(guò)a,，6的伸縮變換后斜率變?yōu)樽?，求人與公滿足的關(guān)系；

r.:—+y2=l(a>0)「r:—+/=2(a>0)

2-

⑵設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓。'上，過(guò)點(diǎn)P作橢圓口的切線，與橢圓交于點(diǎn)

Q,R，再過(guò)點(diǎn)0,R分別作橢圓心的切線交于點(diǎn)S,求點(diǎn)S的軌跡方程；

L⑹X?

A1=—+/=1

(3)點(diǎn)1在橢圓2-上，求橢圓上點(diǎn)8,C的坐標(biāo)，使得△N8C的面積取最大值，并求出該

最大值.

【變式1-4］在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若在曲線瓦的方程產(chǎn)(x/)=°中，以(彳為非零的正實(shí)數(shù))

代替(x,y)得到曲線外的方程尸(西My)=°,則稱曲線耳、當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)，，伸縮，，，變換稱為

“伸縮變換”，幾稱為伸縮比.

r￡_i1

⑴已知曲線片的方程為43，伸縮比2=2,求用關(guān)于原點(diǎn)，，伸縮變換，，后所得曲線外的方程；

2

E.：—+y=1口

⑵射線’的方程k也r《訓(xùn)，如果橢圓4經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓生，若射線/與橢圓

口萬(wàn)\AB|=—口

與、％分別交于兩點(diǎn)/、3,且3,求橢圓生的方程；

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（3）對(duì)拋物線回：/=2。/,作變換（x，y）f（4X，4N）,得拋物線超：無(wú)2=2%y；對(duì)當(dāng)作變換

（x,y）f（4x，4v）,得拋物線4：x?=2.y；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線右：》？=2。/作變換

（x,y）f（々X,4J）,得拋物線紇+|：x2=2Pzy，…若=1,人=2",求數(shù)列3｝的通項(xiàng)公式Pn.

題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題

B22

eE'————=］（〃>b>0）

【典例2-1］（2024?湖北宜昌?二模）已知同、4分別是離心率=2的橢圓,/b2的左右

頂點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且尸4■尸4=T.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若動(dòng)直線/過(guò)點(diǎn)（°廠4）,且與橢圓￡交于/、8兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)8關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線恒

過(guò)定點(diǎn).

—y=1

【典例2-2】已知A、3分別是橢圓2■的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，C、。在橢圓上，豆CDHAB,設(shè)直線

/C、8。的斜率分別為a、ki,證明：化隹為定值.

__|_2_=］,、

【變式2-1】已知橢圓g?2b2-的左右焦點(diǎn)分別為與（<0）,與（。，0）,“，N分別為左

t一正

右頂點(diǎn)，直線L、=）+1與橢圓0交于48兩點(diǎn)，當(dāng)3時(shí)，A是橢圓的上頂點(diǎn)，且△/月B的周長(zhǎng)

為6.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線”"IN交于點(diǎn)Q,證明：點(diǎn)。在定直線上.

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（3）設(shè)直線的斜率分別為此他，證明：也為定值.

xy

【變式2-2】（2024?河南新鄉(xiāng)三模）己知力（一后°）￡（技°）分別是橢圓+記,.＞八°）的左、

右焦點(diǎn)，尸是橢圓C上的一點(diǎn)，當(dāng)萬(wàn)匹時(shí)，|尸碼=2|尸7".

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）過(guò)點(diǎn)。（-4,0）的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)同，證明：直線

過(guò)定點(diǎn).

。?上+匕=1

【變式2-3】已知橢圓?2b2過(guò)點(diǎn)/（-2,-1）,且a=26.

（I）求橢圓C的方程：

I陽(yáng)

（II）過(guò)點(diǎn)BQ%0）的直線/交橢圓C于點(diǎn)跖N,直線MA,NA分別交直線x=-4于點(diǎn)尸,Q.求法。1的值.

C-二+匕=1

【變式2-4］（2024?湖北?一模）如圖，°為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓/b2（。＞6＞°）的焦距等于其長(zhǎng)半

軸長(zhǎng)，"，N為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，且1同￥|=26

（1）求橢圓°的方程;

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（2）過(guò)點(diǎn)尸（°』）作直線/交橢圓C于異于M，N的48兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)7.求證：點(diǎn)7的縱坐標(biāo)

為定值3.

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)

【典例3-11歐幾里德生活的時(shí)期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)

22

C：--+-^-7-=1（｛2>b>0）r-

橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過(guò)該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)有橢圓。b2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為216,從C的左焦

|PF|=—

點(diǎn)尸發(fā)出的一條光線，經(jīng)0內(nèi)壁上一點(diǎn)尸反射后恰好與x軸垂直，且2.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)出2/），若斜率不為0的直線/與C交于點(diǎn)均異于點(diǎn)N）,且A在以皿為直徑的圓上，

求A至〃距離的最大值.

【典例3-2】阿波羅尼斯在對(duì)圓錐曲線的研究過(guò)程中，還進(jìn)一步研究了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，例如橢圓的

光學(xué)性質(zhì)：（如圖1）從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)

生二版

上.在對(duì)該性質(zhì)證明的過(guò)程中（如圖2）,他還特別用到了“角平分線性質(zhì)定理"：PF]FQ,從而得到

ZFiPQ=ZF2PQ＞而性質(zhì)得證

圖1圖2

根據(jù)上述材料回答以下問(wèn)題

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⑴如圖3,已知橢圓“滔+訪=19>/?>°)的左右焦點(diǎn)分別為用巴，一束光線從尸1(一1，0)射出，經(jīng)橢圓上

尸點(diǎn)反射：P處法線(與橢圓C在尸處切線垂直的直線)與X軸交于M點(diǎn)，己知必用=2收，出M=也，

求橢圓C方程(直接寫(xiě)出結(jié)果)

圖3

(2)已知橢圓C,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2。，焦距為2c,若一條光線從左焦點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)橢圓上點(diǎn)若干次反射，第一次

回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為5c,求橢圓的離心率

(3)對(duì)于拋物線V=2庶0>°),猜想并證明其光線性質(zhì).

【變式3-1](2024?高三?安徽池州?期末)已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向

22

C:——H--T-=1(〃>/>>0)口

橢圓上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).若從橢圓a-b2的左焦點(diǎn)片發(fā)出的光線,

經(jīng)過(guò)兩次反射之后回到點(diǎn)片，光線經(jīng)過(guò)的路程為8,橢圓。的離心率為5.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，若橢圓C的右頂點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為8動(dòng)直線/交橢圓C于P、0兩點(diǎn)，且始終滿足°F,,

作WP0交P°于點(diǎn)求疝?礪的最大值.

【變式3-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓

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22

7:=+二=1（"6>0）?

上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).若從橢圓?匕的左焦點(diǎn)片發(fā)出的光線,

經(jīng)過(guò)兩次反射之后回到點(diǎn)片，光線經(jīng)過(guò)的路程為8,T的離心率為2.

（1）求橢圓7的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)°（程，0）,且過(guò)點(diǎn)。的直線/與橢圓T交于不同的兩點(diǎn)跖N,居是T的右焦點(diǎn)，且

"EM與NDF°N互補(bǔ)，求AMNG面積的最大值.

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

【典例4-1】雙曲線在物理學(xué)中有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光

學(xué)性質(zhì)等等.

⑴已知/、8是在直線/兩側(cè)且到直線/的距離不相等的兩點(diǎn)，尸為直線/上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)P的位置滿

足什么條件時(shí)，歸“卜網(wǎng)取最大值；

（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對(duì)

稱.證明：由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線

的另一個(gè)焦點(diǎn).

【典例4-2】（2024?遼寧丹東?一模）我們所學(xué)過(guò)的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的

光學(xué)性質(zhì)，且這些光學(xué)性質(zhì)都與它們的焦點(diǎn)有關(guān).如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，

經(jīng)反射后光線的反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖所示，其中2°是反射鏡面也是過(guò)點(diǎn)尸處的切

22

。?土-匕=1

線）.已知雙曲線?2b2的左右焦點(diǎn)分別為耳，片，從心處出發(fā)的光線照射到雙曲線右

支上的點(diǎn)尸處（點(diǎn)尸在第一象限），經(jīng)雙曲線反射后過(guò)點(diǎn)

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yi

⑴請(qǐng)根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，解決下列問(wèn)題：

當(dāng)。=1,b=C,且直線尸耳的傾斜角為120。時(shí)，求反射光線所在的直線方程；

(2)從耳處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)A處，且尸，6，/三點(diǎn)共線，經(jīng)雙曲線反射后過(guò)點(diǎn)3,

sinZ^5=i㈣

APLPM,Sm-延長(zhǎng)與尸，鳥(niǎo)/分別交兩條漸近線于S，、點(diǎn)N是S7的中點(diǎn)，求證：內(nèi)用為

定值.

(3)在(2)的條件下，延長(zhǎng)P。交y軸于點(diǎn)。，當(dāng)四邊形工小。的面積為8時(shí)，求C的方程.

【變式4-1](2024?安徽安慶?一模)如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)

22

E:---「=10>0)

雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線4b-'的左、右

焦點(diǎn)分別為片、從月發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A、B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和。，且

3

tmZCAB=——

4,ABLBD,

(1)求雙曲線E的方程；

⑵設(shè)4、4為雙曲線￡實(shí)軸的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)尸(4°)的直線/與雙曲線c交于"、N兩點(diǎn)，試探究直

線4"與直線4"的交點(diǎn)。是否在某條定直線上？若存在，請(qǐng)求出該定直線方程；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

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【變式4-2]鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開(kāi)的梅花綻放在中原大

地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡爾坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)

系中的雙曲線方程類(lèi)似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠(yuǎn)鏡

利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.

(1)已知A,B是在直線/兩側(cè)且到直線/距離不相等的兩點(diǎn)，尸為直線/上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)尸的位置滿足

什么條件時(shí)，IP"一尸引取最大值；

(2)若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線

對(duì)稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的

另一個(gè)焦點(diǎn).

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)

【典例5-1】拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向

射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知點(diǎn)尸為拋物線

2交

C:j?=2/(p>0)的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M點(diǎn)在拋物線上，且其縱坐標(biāo)為萬(wàn)，滿足阿盟=眼°]

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知平行于x軸的光線/從點(diǎn)P('%2)(加>°)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)過(guò)拋物線上另一點(diǎn)

B,最后沿2。方向射出，若射線2尸平分求實(shí)數(shù)加的值.

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【典例5-2】拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方

向射出，反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后反射光線或其反向延長(zhǎng)線必過(guò)拋物線的焦

點(diǎn).已知拋物線C：V=2x,。為坐標(biāo)原點(diǎn).一束平行于x軸的光線4從點(diǎn)尸（%2）（機(jī)＞2）射入，經(jīng)過(guò)。上

的點(diǎn),（再,弘）反射后，再經(jīng)c上另一點(diǎn)'（％，%）反射后，沿直線4射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（4〃，-〃）.

⑴求證：必力=-1；

⑵若PB平分乙4BQ,求點(diǎn)B到直線QP的距離.

【變式5-1】拋物線具有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的

方向射出.如圖，已知拋物線u'=2刀（。＞0）的焦點(diǎn)為尸，。為坐標(biāo)原點(diǎn).一條平行于V軸的光線從上方

射向拋物線C,經(jīng)拋物線上M,N兩點(diǎn)反射后，又沿平行于y軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距

（1）求拋物線0的方程；

（2）過(guò)N向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為P,證明：M,0,尸三點(diǎn)共線.

【變式5-2］（2024?高三?青海西寧?開(kāi)學(xué)考試）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)

該拋物線反射后與對(duì)稱軸平行.已知拋物線C：/=2"（p＞0）,如圖，點(diǎn)尸為c的焦點(diǎn)，過(guò)尸的光線經(jīng)

拋物線反射后分別過(guò)點(diǎn)MQ，2行-2）,N（3,-2加-2）.

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（1）求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)E（0,2）,若過(guò)點(diǎn)0（2,2）的直線與C交于R,7兩點(diǎn)，求AERT面積的最小值.

過(guò)弱試

I.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射,

W-4=1（0>0,6>0）

其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線及。匕/的左、右焦點(diǎn)分

4

cosABAC

別為兄，%,從月發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的/,3兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和。，且5,

德?麗=0,則￡的離心率為（）

D.^5

2.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸：反之,

平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線/=人的焦點(diǎn)為尸，一條

平行于x軸的光線從點(diǎn)“（2」）射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，則

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dBM的周長(zhǎng)為（

C8+-\/f3D8+V29

3.（2024?高三?江西?期末）阿波羅尼斯（約公元前262年?約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家,主要著

作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此

書(shū)集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)

二上1

發(fā)出，通過(guò)雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C：?2b2a>0

6>°的左、右焦點(diǎn)分別為片，%其離心率0=石，從月發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線C的右支上一點(diǎn)￡的反

射，反射光線為￡尸，若反射光線與入射光線垂直，貝。sin/￡￡E=（）

545_4275

A.6B.5C.5D.5

4.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線過(guò)橢圓的另一個(gè)

焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓

2SzMFFz

B,過(guò)點(diǎn)人作￡的切線/,點(diǎn)8關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為若3,則L曬

注：S表示面積

B.2D.2

5.（多選題）（2024?江蘇常州?二模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面

x2y2

HF,____...—?

反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，雙曲線,46的左、右焦點(diǎn)分別

為耳，耳，從巴發(fā)出的兩條光線經(jīng)過(guò)E的右支上的48兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D,其中g(shù)共

線，貝U（）

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A.若直線NB的斜率上存在，則上的取值范圍為I><

B.當(dāng)點(diǎn)0的坐標(biāo)為G而'廂）時(shí)，光線由與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路程為6

C.當(dāng)萬(wàn)?瓦=布2時(shí)，八?7笆的面積為12

__________.cosZF.F^A-

D.當(dāng)48.40=48'2■時(shí)，-10

---'----1.

6.過(guò)橢圓43的右焦點(diǎn)廠的直線與橢圓交于a2兩點(diǎn)，則V/08面積最大值為_(kāi).

T+2=1

7.已知橢圓,2，-左頂點(diǎn)為A,RQ為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，直線尸。交于E,直線°°交的于，

kk=_1__________________

直線OEOQ的斜率分別為左人且一一2,AD=ADF,AE=^EQ（4〃是非零實(shí)數(shù)），求外+/?=

8.橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)

%22

上.已知橢圓C：彳+爐一1（0<6<2）,片，瓦為其左、右焦點(diǎn).M是c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（o,6）,若

WM+W凰的最大值為6,動(dòng)直線/為此橢圓0的切線，右焦點(diǎn)入關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)

夕（孫對(duì)6—13±4“24|；則橢圓C的離心率為5；S的取值范圍為_(kāi)____.

9.如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其

中法線/'表示與橢圓C的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為

尸式-c,0）,耳（c,0）（c>0）,由不發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到不經(jīng)過(guò)的路程為8c.利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)

解決以下問(wèn)題：

橢圓C的離心率為—；點(diǎn)夕是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為/,6在/上的射

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影〃在圓V+「=8上，則橢圓。的方程為_(kāi).

10.如圖所示，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知道：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射（即經(jīng)橢圓在該

點(diǎn)處的切線反射）后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓C的方程為43,其左、右焦點(diǎn)

分別是片，工，直線/與橢圓C相切于點(diǎn)0Q'%）,過(guò)點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線/'與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)",

則陽(yáng)M：優(yōu)叫=

n.圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學(xué)性質(zhì).我們知道，拋物線的光學(xué)性質(zhì)是平行于拋物線對(duì)稱

軸的光線經(jīng)拋物線反射后匯聚于其焦點(diǎn)；雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線反

射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.卡式望遠(yuǎn)鏡就是應(yīng)用這些性質(zhì)設(shè)計(jì)的.下圖

為卡式望遠(yuǎn)鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開(kāi)孔的凹拋物面鏡C,副鏡是雙

曲線左支的旋轉(zhuǎn)面型凸雙曲面鏡。，主鏡對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)與副鏡對(duì)應(yīng)雙曲線的中心重合，當(dāng)平行光線投

射到主鏡上時(shí)，經(jīng)過(guò)主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點(diǎn)片處，但光線尚未匯聚時(shí)，又受到以用為焦點(diǎn)的凸雙

曲面鏡的反射，穿過(guò)主鏡中心的開(kāi)孔后匯聚于另一個(gè)焦點(diǎn)用處.以片乙的中點(diǎn)為原點(diǎn)，￡耳為x軸，建立平

面直角坐標(biāo)系.若忸心k4米，凹拋物面鏡的口徑N8為8儂-1）米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使

副鏡的反射光線全部通過(guò)凹拋物面鏡C的中央孔洞，則孔洞直徑最小為米.

12?點(diǎn)48是橢圓瓦1+5」的左右頂點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)0，°）且斜率不為0的直線與橢圓E交于河，N兩點(diǎn),

求證：直線與直線8N的交點(diǎn)在一條定直線上.

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13.如圖，橢圓。有兩頂點(diǎn)“(T，°),8(1，°),過(guò)其焦點(diǎn)尸(0,1)的直線/與橢圓。交于C,。兩點(diǎn)，并與x

軸交于點(diǎn)尸，且直線/的斜率大于1,直線NC與直線交于點(diǎn)0.

⑴求橢圓。的方程；

(2)求證：為定值.

14.如圖，己知4及C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的右頂點(diǎn)，8c過(guò)橢圓中心。,且

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)C關(guān)于'軸對(duì)稱的點(diǎn)。作橢圓的切線?！?則N8與?！暧惺裁次恢藐P(guān)系？證明你的結(jié)論.

15.如圖，已知橢圓￡：記+彳」，直線4：了=辰+%(機(jī)＞°)與圓。2：=1相切且與橢圓

G交于4,3兩點(diǎn).

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4

(1)若線段45中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,求加的值；

(2)過(guò)原點(diǎn)。作4的平行線4交橢圓于c,。兩點(diǎn)，設(shè).8卜⑷求彳的最小值.

x'=x

16.(2024?安徽合肥?一模)已知曲線C：/+產(chǎn)=2,從曲線。上的任意點(diǎn)尸GA作壓縮變換Ha得

到點(diǎn)尸(2).

⑴求點(diǎn)尸G/)所在的曲線E的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)b(T'°)的直線/交曲線￡于4,3兩點(diǎn)，試判斷以N3為直徑的圓與直線x=-2的位置關(guān)系，并

寫(xiě)出分析過(guò)程.

17.設(shè)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：^+y一1經(jīng)過(guò)升縮變換1了=拒了后變?yōu)榍€C',尸是曲線0上的點(diǎn).

(1)求曲線0的方程.

(2)設(shè)點(diǎn)0在直線x=-3上，.證明：過(guò)點(diǎn)尸且垂直于0°的直線/過(guò)C的左焦點(diǎn)尸.

18.生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)

另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)耳射出的光線經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射到右焦

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V3

點(diǎn)耳，這束光線的總長(zhǎng)度為4,且橢圓的離心率為2,左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為/、B.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段8P的長(zhǎng)度忸刊的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶不過(guò)點(diǎn)/的直線/交橢圓。于N兩點(diǎn)，記直線/,“"MN的斜率分別為左，勺兒，若k(k、+kj=l,

證明：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

19.如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的

/y2

另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓C：/十定一1(”＞人＞°)的左、右焦點(diǎn)分別為片，網(wǎng),左、右頂點(diǎn)分別為A,B,一

光線從點(diǎn)尸式一1，°)射出經(jīng)橢圓C上尸點(diǎn)反射，法線(與橢圓°在尸處的切線垂直的直線)與x軸交于點(diǎn)°,

已知闕口，陽(yáng)。一5.求橢圓C的方程.

20.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯(公元前375年——325年)，大約100年后，阿波羅尼斯

更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一

個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線廠表示與橢圓的切

線垂直且過(guò)