2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：不等式與復(fù)數(shù)（講義）（原卷版）

專題02不等式和復(fù)數(shù)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................1

07軍nt口旦囪.田姓己I白吉q

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................7

05核心精講?題型突破............................................................9

題型一：利用基本不等式比較大小9

題型二：利用基本不等式求最值10

題型三：復(fù)數(shù)的基本考點(diǎn)11

題型四：復(fù)數(shù)的高級(jí)考點(diǎn)12

0

/“考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航Q

有關(guān)不等式和復(fù)數(shù)的北京高考試題，考查重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)和基本不等式及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考試

形式分別以一道選擇題為主，分值5分.近年來(lái)試題關(guān)于《不等式》以不等式的性質(zhì)為主，多與函數(shù)及其他

有關(guān)最值等內(nèi)容交匯，屬于中檔性題目，而關(guān)于《復(fù)數(shù)》以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主，偶爾與其他知識(shí)交匯、

難度較小，屬于基礎(chǔ)性題目，在解決這些問題時(shí)，要注意不等式性質(zhì)及復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)基礎(chǔ)性題目較多

而不等式綜合性題目居多.不等式主要考查考生的邏輯思維能力。提升考生的邏輯推理素養(yǎng)

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)測(cè)2025年高考，①

不等式的性質(zhì)和基本不等

式這部分內(nèi)容主要以選擇

基本不等式的應(yīng)

不等式2024北京第9題，5分題或填空題的形式出現(xiàn)，這

用；不等式的性質(zhì)

類題目主要考查邏輯思維

能力和運(yùn)算求解能力。

②以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

為主，偶爾與其他知識(shí)交

匯、難度較小，考查代數(shù)運(yùn)

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；2024年北京第2題，5分

復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運(yùn)算；2023年北京第2題，5分算的同時(shí)，主要涉及考查的

共甄復(fù)數(shù)的概念2022年北京第2題，5分概念有:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式'

復(fù)數(shù)

及計(jì)算；復(fù)數(shù)模長(zhǎng)2021年北京第2題，5分共舸復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)

的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的幾2020年北京第2題，5分

數(shù)的幾何意義等，考查學(xué)生

何意義2019年北京理科第1題，5分

的邏輯推理'數(shù)學(xué)運(yùn)算等

學(xué)科核心素養(yǎng)

〃用識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

牛ni口捺理?右法怙,

1、利用不等式的性質(zhì)比較大小

遨道

(鼠路]核心技均，應(yīng)用不等式的性質(zhì)時(shí)，注意保序和反序

如：①不等式兩邊同時(shí)乘以非負(fù)需要保序②不等式兩邊同時(shí)非負(fù)方需要保序

③不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)需要反序④同號(hào)取倒反序

④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性

通路2：可以代值驗(yàn)證選?有時(shí)需要代多組數(shù)據(jù),相對(duì)麻煩，本人不推薦

2、基本不等式常用模型

技巧總結(jié)

(形式一，mx+—>2Jmn(m>0,?>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立.

xVm

(形式二)mx-\——^—=m{x-d)-\——-——\-ma>2y1mn+ma(m>Q,n>0)，當(dāng)且僅當(dāng)％一。=時(shí)等號(hào)

x-ax-aVm

成立.

———=—1—<^=—(。>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=J-時(shí)等號(hào)成立.

形式三

ax辦+人+§2]ac+bVa

x

Anzfnn、/、mx(n-mx)1,mx+n-mx2//八八八止口e止n

I形式四-mx)=--------------<—(---------------)X=——(m>0,n>0,0<x<一),當(dāng)且僅當(dāng)x=——

mm24mm2m

時(shí)等號(hào)成立.

3、雙加配湊模型

運(yùn)總畫

履查)形如：已知。+?=1,求的最值

------a+mb+n

第一步：將條件配湊成分母的形式

(tz+m)+(/?+n)=1+m+n

第二步：相乘利用基本不等式

n----------1(a+m)+(/?+〃)](1——--]

1+m+n\a+mb+n)

4、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

訪壽

（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：

①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始

范圍.

注意：形如y=x+4（a〉0）的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的

x

單調(diào)性求解.

5、幾個(gè)重要的不等式

函道

（1）a2>O（tzeR）,4a>0（a>O）,|tz|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果則巴心之而（當(dāng)且僅當(dāng)=6，，時(shí)取

2

特例：a>0,?+->2;-+->2（a/同號(hào)）.

aba

（3）其他變形:

①Y+廿之（"+"）（溝通兩和a+b與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

②abW生地-（溝通兩積ab與兩平方和a2+b1的不等關(guān)系式）

2

③（溝通兩積ab與兩和a+b的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：石即

ab

調(diào)和平均值<幾何平均值<算數(shù)平均值<平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

6、不等式易錯(cuò)分析

礪，百

基本不等式

如果。>0方>0,那么向當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.其中，i叫作4,6的算術(shù)平均數(shù)，4ab

22

叫作a,b的幾何平均數(shù).即正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,beR,則當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)；

基本不等式2：若a,bcR+,則"+”4^(或a+b22mj),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

2

注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定

值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.(2)連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

7、復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)考點(diǎn)

技巧總結(jié)

(1)復(fù)數(shù)的概念：

形如a+初(a/eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中。力分別是它的實(shí)部和虛部.若6=0,則。+方為實(shí)數(shù)；若bwO,

則a+方為虛數(shù)；若a=0且Z?wO,則a+方為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,deR).

(3)共輾復(fù)數(shù)：。+初與c+di共輾oa=c/=-d(a,dc,deR).

(4)復(fù)數(shù)的模：

向量反的模叫做復(fù)數(shù)z=a+歷①/eR)的模，記作忖或|a+歷|,即|zH。+歷1=Z?方.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對(duì)應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi-<------*復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,beR).

一一對(duì)應(yīng)___?

(2)復(fù)數(shù)z=Q+Z?，(〃,Z?￡火)^------?平面向量。Z.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)4=a+次；z2=c+di(a,b,c,deR),則

(1)加法：4+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

(2)減法：Z]—z2=(〃+初)—(c+成)=(a—c)+(>—；

(3)乘法：4?z2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

8、復(fù)數(shù)的高級(jí)考點(diǎn)

1.分式快速化簡(jiǎn)

4_a+bi_{a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.八、

中+E瓶z+4”°)(分母相同'分子豎的加叉的減)

Z2c+di(c+di)(c—di)

2.分式的模長(zhǎng)快速求解:

c+dic+di7c2W

z=nz=nz=

a+bia+bi

倒4

宜顛金血迎

1.【2024年北京第9題】已知(不/)，(9，%)是函數(shù)y=2,的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝！J()

A.log%+%<%+尤2B.logX+%；%+尤2

222222

M+%

c.log<x+xD.log2">xt+x2

2212

2.【2024年北京第2題]已知：=一1一i,貝歸=().

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.l+i

3.【2023年北京第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,遮)，則z的共輾復(fù)數(shù)訝=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

4.[2022年北京第2題】若復(fù)數(shù)z滿足i?z=3—4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

5.【2021年北京第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2,貝收=()

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

6.【2020年北京第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),則＞z=().

A.1+2iB.—2+iC.1—2iD.-2—i

7.【2019年北京理科第1題】已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z-2=

A.V3B.V5C.3D.5

8.【2018年北京理科第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)七的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.【2017年北京理科第2題】若復(fù)數(shù)(l-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是

A.(-co,1)B.(f，-1)

C.(1,+oo)D.(-1,+oo)

10.[2015年北京理科第1題】復(fù)數(shù)i(2-i)=

A.l+2iB.l-2iC.-1+2iD.-1-2i

11.【2016年北京理科第9題】設(shè)aCR,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+。在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則。=

題型一：利用基本不等式比較大小

【典例1-1】已知函數(shù)/（x）=2、，若且占〈尤2，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.fg<f(x2)B.[七斗小學(xué)出

C./(%1%2)=/(%1)+/(%,)D./(%1+%2)=/(%1)/(%,)

【典例1-2】若a/eR,S.a>b,則()

22

A.—z--<—2—-B.ab>ab

ci+1b+1

一1°—a+b7

C.cf>ab>bD.a>------>b

2

1、應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)

一正數(shù)指式子中的a,b均為正數(shù)

二定值只有ab為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值

三相等即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值

2、利用基本不等式比較大小

在利用基本不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項(xiàng)、配湊或變形.在拆

項(xiàng)、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為

“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能

【變式1-1］已知a",ceR,則下列命題為假命題的是（）

A.若a>b,貝lja+c>>+cB.^a>b>0,貝1Ja04>戶,

.bb+c

C.若a>A,則D,若a>0>0,c>0,則n一,——

aa+c

【變式1-2］已知a>6>0,下列不等式中正確的是（）

cc

A.—>-B.ab<b2

ab

11

C.a-bT-----22D.---<----

a-ba-1b-\

【變式1-3]已知avbvO,則()

A.--->0B.sin?—sinZ7>0

ab

C.問第<0D.ln(-a)+ln(-Z?)>0

【變式1-4】若次;>0,且av〃，則下列不等式一定成立的是（）

11

A.a2<b2B.—<—

ab

baa+bf-r

C.-+->2D.------>7ab

ab2

命題預(yù)測(cè)n

1.下列命題中，真命題的是（)

A.若a<b,貝|—>—B.若a>b,貝九片〉"〉"

ab

C.若0<〃<b<c,貝Ulog,〃<log,bD.若a+2Z?=2,貝12。+4A24

2.設(shè)0<av〃，則下列不等式中正確的是

a+ba+b7

A.a<b<y/ab<B.<------<b

22

a+ba+b,

C.a<y[ab<b<D.yI~ab<a<------<b

22

題型二：利用基本不等式求最值

1o

【典例2?1】已知函數(shù)/⑺過定點(diǎn)〃，點(diǎn)M在直線e+〃y=l上且九”0,則一+―的最小值為（）

mn

A.3+20B.4+2后C.3+72D.4+72

【典例2-2］已知％>0,y>。，且,+2y=l,則2%+—的最小值為（）

%y

A.4B.6C.8D.10

國(guó)O巧

利用基本不等式求代數(shù)式的最值

（1）利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)

式的最大值或最小值

（2）若是求和式的最小值，通?；ɑ蚶茫┓e為定值；若是求積的最大值，通?；ɑ蚶茫┖蜑槎ㄖ?，解

答技巧都是恰當(dāng)變形、合理拆分項(xiàng)或配湊因式

【變式2-1】已知而為正數(shù)，則學(xué)+2（）

ba

A.有最小值，為2B.有最小值，為2應(yīng)

C.有最小值，為4D.不一定有最小值

144

【變式2?2】在函數(shù)①y=工+—（％。0）,@y=x+——--3（x>l）,@y=-x------2（x<0）,④

xx-1X

>=岳M+-/；7（尤eR）中，以2為最小值的函數(shù)的序號(hào)為（）

yjx~+2

A.①②B.②③C.②④D.③④

【變式2-3］已知G是VABC的重心，過點(diǎn)G作一條直線與邊AB,AC分別交于點(diǎn)E,F（點(diǎn)E,尸與所

在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)麗=x衣，AC=yAF,則'的最小值是（）

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

【變式2-4］使“函數(shù)"x）=Jf+a+l+iJ的最小值為2”為假命題的”的一個(gè)值可以是（）

yjx+a+1

A.-2B.-1C.0D.1

【變式2-5］當(dāng)x>2時(shí)，4了+」彳2。恒成立，則。的最大值為（）

x-2

A.6B.10C.12D.13

命題預(yù)測(cè)

1.已知（不，%）,（乙,%）是函數(shù)y=lnx的圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝!J（）

A.—月三B.C.門八丁D.D+/<％+考

2

Q

2.已知〃x）=2x+——-（4<x<6）,的值域?yàn)開______

x-3

14

3.已知%>0,y>0,且個(gè)=1,則一+一的最小值為.

題型三：復(fù)數(shù)的基本考點(diǎn)

【典例3-1】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2-3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（2,3）B.（—2,3）C.（—2,—3）D.（2,-3）

【典例3-2］設(shè)復(fù)數(shù)z=3-i,則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

1

A.（1,3）B.（-1,3）

C.(-1,-3)D.(-3,-1)

①?gòu)?fù)數(shù)的概念：形如。+歷（凡6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a,6分別是它的實(shí)部和虛部，j叫虛數(shù)單位，滿足廣=T

（1）當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，。+行為實(shí)數(shù)

（2）當(dāng)厚0時(shí)，a+bi為虛數(shù)

（3）當(dāng)。=0且厚0時(shí)，。+歷為純虛數(shù).其中，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共聊復(fù)數(shù)

②兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi,c+di（a,b,c,deR）相等,（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）

［b=a

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)。+初的模，其計(jì)算公式|z|=|a+次|=，2+從

【變式3-1］復(fù)數(shù)z滿足三=（1+0），在復(fù)平面內(nèi)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a可能是（）

1—1

A.1B.2C.-1D.-2

【變式3-2］已知復(fù)數(shù)z滿足目=2（i是虛數(shù)單位），則|z+3］的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[3,5]D.[1,5]

【變式3-3]已知復(fù)數(shù)z=l-2i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.-2B.2C.-2iD.2i

【變式3-4]已知三=i-l,則|z|=()

1

A.0B.1C.y/2D.2

【變式3-5］在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（2+i）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

命題碩測(cè)J

1.己知復(fù)數(shù)z=i(2-i),則|z|=()

A.1B.72C.73D.y/5

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是卜1,君），貝，.z=（）

A.73+iB.-y/3-iC.73-iD.一石+i

3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+l|=|z-i[,則|z+i]的最小值為__.

題型四：復(fù)數(shù)的高級(jí)考點(diǎn)

【典例4?1】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足二=i,則z?N=（）

1+z

A.正B.—C.-D.2

422

【典例4-2]若復(fù)數(shù)z滿足i=上工（i為虛數(shù)單位），貝|z的虛部是（）

Z

A.iB.1C.-iD.-1