江西省萍鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.某中學(xué)有初中生600名，高中生200名，為保障學(xué)生的身心健康，學(xué)校舉辦“校園安全知識”了競賽.現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取初中生名，高中生名，經(jīng)統(tǒng)計：名學(xué)生的平均成餑為74分，其中名初中生的平均成績?yōu)?2分，名高中生的平均成績?yōu)榉?，則（）A.74 B.76 C.78 D.803.已知向量，，若與垂直，則（）A. B. C. D.24.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)湟魚的游速可以表示為函數(shù)（單位：m／s），表示湟魚的耗氧量的單位數(shù).某條湟魚想把游速提高2m/s，則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的（）A.2倍 B.4倍 C.9倍 D.81倍5.已知，，則（）A. B. C. D.6.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，設(shè)，則在內(nèi)的極大值點(diǎn)為（）A. B. C. D.7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，斜率不為0的直線l過點(diǎn)，過F作l的垂線，垂足為P，Q是C上的一個動點(diǎn)，則的最小值為（）A B.6 C. D.78.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將翻折至的位置得到四棱錐，且.若F為棱PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面PCE的距離為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，（）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量分別為，（其中為原點(diǎn)），則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為3C.若，則D.若，則10.已知曲線，則（）A.不是封閉圖形B.有4條對稱軸C與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)D.與直線有4個交點(diǎn)11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若有2個零點(diǎn)，則B.當(dāng)時，是增函數(shù)C.當(dāng)時，恒成立D.當(dāng)時，若是的零點(diǎn)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知直線的斜率為，則的最大值為______.13.現(xiàn)有兩個抽獎箱M，N，其中M中裝有3個紅球和2個白球，N中裝有4個紅球和3個白球.每次抽獎時，先從兩個箱子中隨機(jī)選取一個，然后再從選中的箱子中隨機(jī)抽取一個球，則抽到紅球的概率為______.14.設(shè)函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求C；（2）若，求的面積的最大值.16.已知函數(shù)，其中.（1）若的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求a的值；（2）討論的單調(diào)性.17.如圖，四棱錐中，，.（1）求證：平面ABCD⊥平面PBD；（2）若，，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.18.如圖所示，由橢圓（）和拋物線（）組合成曲線，若與存在共同焦點(diǎn)，由圖形特點(diǎn)，它們的形狀像收回四條腿的七星瓢蟲，這里稱曲線為“七星瓢蟲曲線”.特別地，若橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距成等差數(shù)列，則稱其為“等差橢圓”.（1）求“等差橢圓”的離心率；（2）在“七星瓢蟲曲線”中，若是“等差橢圓”，且.（?。┣笈c和都相切的直線的方程；（ⅱ）直線（），且l與相交所得弦的中點(diǎn)為M，與相交所得弦的中點(diǎn)為N，證明：直線OM，ON（O為原點(diǎn)）的斜率之積為定值.19.已知數(shù)列，滿足，其中.（1）若，，求；（2）若，，求數(shù)列的前n項和；（3）若，證明：.

高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解集合，再根據(jù)交集的定義求出集合與集合的交集.【詳解】因為，，所以.故選：B2.某中學(xué)有初中生600名，高中生200名，為保障學(xué)生的身心健康，學(xué)校舉辦“校園安全知識”了競賽.現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取初中生名，高中生名，經(jīng)統(tǒng)計：名學(xué)生的平均成餑為74分，其中名初中生的平均成績?yōu)?2分，名高中生的平均成績?yōu)榉?，則（）A.74 B.76 C.78 D.80【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)求出與的關(guān)系，再利用平均數(shù)的計算公式列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求解的值.【詳解】由題意，得可得，解得.故選：D.3.已知向量，，若與垂直，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由與垂直求出，再求出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)的模長公式可得答案.【詳解】由已知，得；由與垂直，得，即，可得.因為，所以.故選：A.4.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)湟魚的游速可以表示為函數(shù)（單位：m／s），表示湟魚的耗氧量的單位數(shù).某條湟魚想把游速提高2m/s，則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的（）A.2倍 B.4倍 C.9倍 D.81倍【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給等式，利用對數(shù)的運(yùn)算法則來求解原來和現(xiàn)在耗氧量單位數(shù)的關(guān)系.【詳解】設(shè)原來和現(xiàn)在的耗氧量的單位數(shù)分別為，，則，所以，所以，所以耗氧量的單位數(shù)是原來的81倍.故選：D.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出的值，再結(jié)合的取值范圍判斷與的正負(fù)及大小關(guān)系，進(jìn)而求出的值.【詳解】因為，所以，又，所以，則，.故選：D.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，設(shè)，則在內(nèi)的極大值點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平移規(guī)律求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)即可.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，所以，則.令，得，或.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以在內(nèi)的極大值點(diǎn)為.故選：A.7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，斜率不為0的直線l過點(diǎn)，過F作l的垂線，垂足為P，Q是C上的一個動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.6 C. D.7【答案】C【解析】【分析】分析點(diǎn)的軌跡，作出圖形，結(jié)合拋物線定義可得.【詳解】，因為，垂足為，所以點(diǎn)的軌跡是以FA為直徑的圓（不包括F，A兩點(diǎn)），半徑，圓心為，又因為在拋場線上，其準(zhǔn)線為直線，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)四點(diǎn)共錢且在點(diǎn)下方時取等號，.故選：C.8.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將翻折至的位置得到四棱錐，且.若F為棱PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面PCE的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知條件推導(dǎo)面面垂直關(guān)系，再建立空間直角坐標(biāo)系確定各點(diǎn)坐標(biāo)，最后通過向量垂直的條件求解平面法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式計算即可.【詳解】在四邊形中，連接，由題意可知是邊長為1的等邊三角形，則，，，則，可知，即，且，由，，，則，可知.由，，平面，可得平面，又因為平面，所以平面平面取中點(diǎn)O，中點(diǎn)H，連，，則，，可得，因為為等邊三角形，則，平面平面，平面，所以平面.以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得，由點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，知點(diǎn)F到平面的距離是點(diǎn)B到平面的距離的.平面的一個法向量，，點(diǎn)B到平面的距離，所以點(diǎn)F到平面的距離為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，（）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，（其中為原點(diǎn)），則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為3C.若，則D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)矩形的對角線相等和復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可判斷A；設(shè)，則，再根據(jù)的范圍可判斷B；根據(jù)可得，再舉反例可判斷C；兩個復(fù)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們同為實數(shù)時才能比較大小可判斷D.【詳解】對于A，若，則復(fù)平面內(nèi)以有向線段和為鄰邊的平行四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等和復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可知，選項A正確；對于B，若，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓，設(shè)，則，因為，可得，故B正確；對于C，，取，顯然，但，故C錯誤；對于D，兩個復(fù)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們同為實數(shù)時才能比較大小，故D錯誤.故選：AB.10.已知曲線，則（）A.不是封閉圖形B.有4條對稱軸C.與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)D.與直線有4個交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)曲線化簡得出單位圓及雙曲線判斷A，根據(jù)圖象特征得出對稱軸判斷B，根據(jù)曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)判斷C，結(jié)合雙曲線特征判斷交點(diǎn)個數(shù)判斷D.【詳解】對于A，因為，所以或，所以E是由單位圓M和實軸長為2，焦點(diǎn)為的等軸雙曲線構(gòu)成，故A正確；對于B，由A項分析知，E只關(guān)于軸，軸對稱，所以E只有兩條對稱軸，故B錯誤；對于C，由A項分析可知，曲線E與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，故C正確；對于D，因為C的一條漸近線方程為且，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，直線與雙曲線有2個交點(diǎn)，又直線與圓M有2個交點(diǎn)，故直線與有4個交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若有2個零點(diǎn)，則B.當(dāng)時，是增函數(shù)C.當(dāng)時，恒成立D.當(dāng)時，若是的零點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】方程的根的問題，通過變形轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題；對于函數(shù)的單調(diào)性問題，通過求一階導(dǎo)數(shù)，再對求導(dǎo)研究單調(diào)性，進(jìn)而確定的單調(diào)性.【詳解】顯然，由，得，所以直線與函數(shù)的圖象有2個交點(diǎn)，又，所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在處取得極小值.又時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，在同一直角坐標(biāo)系中作出的圖象以及直線，由圖可見，當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與的圖象有兩個公共點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時，，對求導(dǎo)得.再對求導(dǎo)得.令，即，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以在處取得最小值，，即恒成立，所以是增函數(shù)，選項B正確.當(dāng)時，，，所以不恒成立，選項C錯誤.當(dāng)時，，，.因為是增函數(shù)，且，所以由零點(diǎn)存在定理可知，的零點(diǎn)滿足，選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知直線的斜率為，則的最大值為______.【答案】##025【解析】【分析】先求出直線的斜率，化簡可得，再利用基本不等式即可求得的最大值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以k的最大值為.故答案為：.13.現(xiàn)有兩個抽獎箱M，N，其中M中裝有3個紅球和2個白球，N中裝有4個紅球和3個白球.每次抽獎時，先從兩個箱子中隨機(jī)選取一個，然后再從選中的箱子中隨機(jī)抽取一個球，則抽到紅球的概率為______.【答案】【解析】【分析】先分別求從抽獎箱M中抽到紅球以及從抽獎箱N中抽到紅球的概率，再利用全概率公式進(jìn)一步求得摸到紅球的概率.【詳解】設(shè)事件C＝“抽到紅球”，事件A＝“選到抽獎箱M”，事件為“選到抽獎箱N”，，則，，根據(jù)全概率公式，得.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，求出，然后參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】由題意，，當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以，等號僅當(dāng)時成立，所以.所以對，即，即.令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求C；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，求出角；再根據(jù)余弦定理和基本不等式求出ab的最大值，進(jìn)而求出三角形面積的最大值.【小問1詳解】由及正弦定理，得，因為，所以.又（若，則，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，從而），所以，即.【小問2詳解】由余弦定理，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，即的面積的最大值為.16.已知函數(shù)，其中.（1）若的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求a的值；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程求出切線方程，再代入經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案；（2）求導(dǎo)，分、、、討論，可得答案.【小問1詳解】，因為，，所以的圖象在處的切線方程為，將代入得，解得；【小問2詳解】，當(dāng)時，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，在四棱錐中，，.（1）求證：平面ABCD⊥平面PBD；（2）若，，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線段垂直平分線的判定定理證明，再通過全等三角形證明，最后依據(jù)線面垂直判定定理和面面垂直判定定理證明面面垂直；（2）先根據(jù)勾股定理逆定理確定直角三角形，求出相關(guān)線段長度，建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)向量垂直的性質(zhì)求出平面的法向量，最后借助向量夾角余弦公式計算即可.【小問1詳解】證明：因為，，所以A，C均在BD垂直平分線上，所以，，因為，，，所以，所以，所以，即.又因為，，平面，平面PBD，所以平面，又因為平面ABCD，所以平面平面PBD.【小問2詳解】解：由（1）可知，因為，，，所以，則，所以，，由（1）可知，又因為，所以，所以.又因為，所以O(shè)B，OC，OP兩兩垂直.以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，.設(shè)平面PAB的法向量為，則，令，得，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，得，因為，所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為.18.如圖所示，由橢圓（）和拋物線（）組合成曲線，若與存在共同焦點(diǎn)，由圖形特點(diǎn)，它們的形狀像收回四條腿的七星瓢蟲，這里稱曲線為“七星瓢蟲曲線”.特別地，若橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距成等差數(shù)列，則稱其為“等差橢圓”.（1）求“等差橢圓”的離心率；（2）在“七星瓢蟲曲線”中，若是“等差橢圓”，且.（?。┣笈c和都相切的直線的方程；（ⅱ）直線（），且l與相交所得弦的中點(diǎn)為M