專題5.4 復(fù)數(shù)（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第五章平面向量和復(fù)數(shù)專題5.4復(fù)數(shù)1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．考點(diǎn)一復(fù)數(shù)概念考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義知識梳理1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：一般地，當(dāng)a與b都是實(shí)數(shù)時，稱a＋bi為復(fù)數(shù)．其中i稱為虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0當(dāng)a＝0時為純虛數(shù).))(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的長度稱為復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模(或絕對值)，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對應(yīng)),\s\do5())復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對應(yīng)),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).第一部分核心典例題型一復(fù)數(shù)概念1．已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】B【詳解】由復(fù)數(shù)，得的實(shí)部是0，故選：B．2．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．5 B． C．3 D．【答案】A【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，，解得：，故選：A.3．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得.故選：C.4．復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3【答案】B【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，且，所以，解得，故選：B．5．若（，i是虛數(shù)單位），則（

）A．5 B． C． D．1【答案】D【詳解】因且，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得b=2，a=3，所以a-b=3-2=1.故選：D題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算6．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，則，所以，則.故選：A7．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】由，得.故選：D.8．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.9．已知a，，，若，則的虛部是（

）A．2 B．-2 C．-2i D．2i【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以的虛部?.故選：A.10．已知，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】由題意可得，所以，則.故選：D題型三復(fù)數(shù)的幾何意義11．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故選D.12．設(shè)，其中為虛數(shù)單位，，是實(shí)數(shù)，則A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】，，是實(shí)數(shù),故選D.13．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)是一個正方形的3個頂點(diǎn)，則這個正方形的第4個頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對應(yīng)點(diǎn)，因?yàn)椋芍?，即，設(shè)正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)是，則其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則結(jié)合對應(yīng)點(diǎn)的位置特征知：，可得，解得，故這個正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故選：B.14．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.15．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，，，∴．故選:D．第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故復(fù)數(shù)的虛部是.故選：C3．若，則（

）A．6 B． C． D．7【答案】B【詳解】，故.故選：B4．已知是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】，所以，解得．故選：B．5．以下滿足的虛數(shù)z是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于選項(xiàng)A：若，則，可得，所以，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：若，則，可得，所以，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：若，則，可得，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D：若，則，可得，所以，故D錯誤；故選：C.6．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的實(shí)部為1B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．D．的共軛復(fù)數(shù)為1【答案】C【詳解】由歐拉公式知，所以的實(shí)部為，共軛復(fù)數(shù)為故A，D錯誤；由歐拉公式知，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為由三角函數(shù)知，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故錯誤；，故C正確.故選:C.7．若復(fù)數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】A【詳解】，故選：A8．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，則三角形的面積為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【詳解】設(shè)，，則，所以，，，，所以，即，所以，又，，在中，過作，垂足為，則為中點(diǎn)，即，所以，所以.故選：D.

二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．的虛部為 D．z是方程的根【答案】ACD【詳解】因?yàn)?，所以，A正確；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，B錯誤；，虛部為，C正確；由得，即，所以z是方程的根，D正確.故選：ACD．10．已知均為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則 B．若，則是實(shí)數(shù)C． D．若，則是實(shí)數(shù)【答案】BD【詳解】若，，，而，選項(xiàng)A錯誤；令，則，為實(shí)數(shù)，選項(xiàng)B正確；設(shè)，，則，，，選項(xiàng)C錯誤；若，可令，則，則，選項(xiàng)D正確.故選：BD.三、填空題11．為虛數(shù)單位，則．【答案】1【詳解】，故答案為：1.12．復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【詳解】因?yàn)椋瑒t，可得，則，所以復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.四、解答題13．如圖，已知復(fù)平面上的，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別對應(yīng)復(fù)數(shù)，，是，的交點(diǎn)．求點(diǎn)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)．

【詳解】由于，分別對應(yīng)復(fù)數(shù)，，在中，有，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，即點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，又，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，即點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是．14．已知復(fù)數(shù)z滿足，求．【答案】【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，，由，得，即，解得：，則，所以.15．（1）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，且，求z；（2）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．【詳解】（1）設(shè)，則，依題意，，解得，所以.（2）依題意，，由為純虛數(shù)，得，解得，所以.16．已知復(fù)數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，且滿足，且為純虛數(shù).(1)若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求復(fù)數(shù)z；(2)求