人教A版高一下冊數(shù)學必修第二冊-第七章-復數(shù)【教學設計】

人教A版高一下冊數(shù)學必修第二冊-第七章-復數(shù)-教學設計復數(shù)是一類重要的運算對象，有廣泛的應用．本章通過方程求解，幫助學生理解引入復數(shù)的必要性，了解復數(shù)系的擴充過程；掌握復數(shù)的表示、運算及其幾何意義，體會數(shù)系擴充過程中理性思維的作用．本章特別注重復數(shù)表示和運算的幾何意義，強調(diào)形與數(shù)的融合．學生通過本章學習，可以提升數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)．一、本章學習目標1．復數(shù)的概念(1)通過方程的解，認識復數(shù)．(2)理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義．2．復數(shù)的運算掌握復數(shù)代數(shù)表示式的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義．3*．復數(shù)的三角表示通過復數(shù)的幾何意義，了解復數(shù)的三角表示，了解復數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關系，了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義．二、本章知識結構框圖三、內(nèi)容安排復數(shù)的引入是數(shù)系的又一次擴充，也是中學階段數(shù)系的最后一次擴充，在保持實數(shù)系的運算律的前提下，沒有比復數(shù)系更大的數(shù)系了．本章充分考慮學生已有的數(shù)系擴充經(jīng)驗，類比從有理數(shù)系擴充到實數(shù)系的過程，強調(diào)擴充后的數(shù)系與實數(shù)系中的運算協(xié)調(diào)一致，且保持運算律不變；類比實數(shù)的表示和運算，研究復數(shù)的表示和運算，強調(diào)復數(shù)的表示和運算的幾何意義．“7.1復數(shù)的概念”從解方程的角度引發(fā)數(shù)系擴充的必要性，并引入虛數(shù)單位i；進而類比由有理數(shù)集擴充到實數(shù)集的過程，從可以像實數(shù)一樣進行加法、乘法運算并保持運算律的角度，將實數(shù)集擴充成復數(shù)集．復數(shù)本質(zhì)上是一對有序?qū)崝?shù)，因此復數(shù)集C與復平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應的，與復平面內(nèi)以原點為起點的向量組成的集合也是一一對應的，這就是復數(shù)的兩種幾何意義．本節(jié)內(nèi)容是整章的基礎知識，具有奠基性作用，側重提升學生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)．“7.2復數(shù)的四則運算”討論復數(shù)集中的四則運算問題，即研究復數(shù)的加、減、乘、除運算，其中加法、乘法運算是核心，減法、除法運算分別是它們的逆運算．除此之外，還討論了復數(shù)加法、減法運算的幾何意義．本節(jié)側重提升學生的數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．“7.3*復數(shù)的三角表示”從復數(shù)的向量表示出發(fā)，結合三角函數(shù)知識，得到復數(shù)的另一種重要表示形式——三角表示，進而研究復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義．復數(shù)乘、除運算的三角表示形式簡潔，在很多情況下可以簡化復數(shù)的乘、除運算；其幾何意義就是平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮，因此利用它們可以方便地解決很多平面向量和平面幾何問題．本節(jié)側重提升學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．數(shù)系通常包括兩個要素，一是組成數(shù)系的數(shù)，二是數(shù)系中的運算及運算律；另外，數(shù)系的擴充過程也很關鍵．因此，本章的重點是：數(shù)系的擴充過程，復數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，復數(shù)的加、減、乘、除四則運算，復數(shù)加、減運算的幾何意義．需要特別指出的是，復數(shù)的三角表示將復數(shù)、平面向量和三角函數(shù)三者緊密相連，這種形式在復數(shù)體系中乃至整個數(shù)學中具有極為重要的地位，但鑒于《標準（2017年版）》將其定位為選學內(nèi)容，不作為考試要求，因此不將它作為本章的教學重點．但我們建議一旦選學復數(shù)的三角表示，也應將復數(shù)的三角表示式，復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義列為本章的教學重點．由于學生既不太了解數(shù)系擴充的“規(guī)則”，也不適應復數(shù)代數(shù)形式是兩項和，因而復數(shù)的引入是本章的一個難點．借助已學的數(shù)系擴充的經(jīng)驗，特別是從有理數(shù)系擴充到實數(shù)系的經(jīng)驗，梳理其擴充過程中體現(xiàn)的“規(guī)則”，在這些“規(guī)則”的引導下進行從實數(shù)系到復數(shù)系的擴充是突破這個難點的關鍵．復數(shù)的三角表示式與復數(shù)的向量表示、三角函數(shù)有很強的關聯(lián)性，其形式也比較復雜，因此復數(shù)的三角表示也是本章的一個難點．充分注意復數(shù)本質(zhì)上是一對有序?qū)崝?shù)，進而從復數(shù)的向量表示出發(fā)，并突出復數(shù)與向量、三角函數(shù)以及幾何之間的聯(lián)系，是突破這個難點的關鍵．四、課時安排本章教學時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：7.1復數(shù)的概念約2課時7.2復數(shù)的四則運算約2課時7.3*復數(shù)的三角表示約2課時小結約2課時五、本章編寫思考1．注意在“規(guī)則”的引導下擴充數(shù)系擴充數(shù)系不能盲目進行，必須有一定之規(guī)．在義務教育階段，學生經(jīng)歷了將數(shù)系從自然數(shù)系逐步擴充到實數(shù)系的系列過程，但當時考慮到學生在義務教育階段的認知基礎和認知能力，并未強調(diào)數(shù)系擴充中的一些“規(guī)則”，因而他們對數(shù)系擴充“規(guī)則”的認識比較膚淺，甚至不甚了解．因此，本章特別注意引導學生梳理已學的從自然數(shù)系逐步擴充到實數(shù)系的過程與方法，尤其是注重梳理從有理數(shù)系擴充到實數(shù)系時體現(xiàn)的“規(guī)則”，即：數(shù)集擴充后，在實數(shù)集中規(guī)定的加法運算、乘法運算，與原來在有理數(shù)集中規(guī)定的加法運算、乘法運算協(xié)調(diào)一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律；進而類比從有理數(shù)系擴充到實數(shù)系的過程和方法，從使得方程有解的想法出發(fā)，利用這些“規(guī)則”，對實數(shù)系進行進一步擴充，引入復數(shù)及其四則運算，將實數(shù)系擴充到復數(shù)系．通過這個過程體現(xiàn)數(shù)系擴充過程中理性思維的作用，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．2．結合解方程，初步體現(xiàn)復數(shù)的來龍去脈復數(shù)的引入與解方程密切相關，復數(shù)本身也應用于解方程中，所以教科書努力較為完整地體現(xiàn)這兩個方面．首先，教科書以解方程為切入點，重點討論實系數(shù)一元二次方程，并將其化歸為方程，進而擴大實數(shù)集、引入復數(shù)，使得方程有解，體現(xiàn)數(shù)系擴充的必要性．進而，在研究復數(shù)的四則運算、完成復數(shù)系擴充后，限于已有的復數(shù)基礎，教科書采用“混而不錯”的方式，默認一元二次方程及其一般形式的根不能超過兩個這個直觀事實，從特殊到一般，在復數(shù)范圍內(nèi)“解”實系數(shù)一元二次方程，給出求根公式：當時，；當時，；從而“徹底地”解決了實系數(shù)一元二次方程的求解問題．進一步地，教科書通過一個閱讀材料，介紹一般的復系數(shù)一元多項式方程的解．給出代數(shù)基本定理，這實際上就是點出復數(shù)系是代數(shù)閉域，從解方程的角度進一步凸顯出復數(shù)系的重要價值．總之，教科書通過“完整地”介紹解方程的過程，讓學生從一個側面對復數(shù)的來龍去脈有個初步了解，有助于他們加深對引入復數(shù)的必要性和重要性的理解，也提升了他們學習復數(shù)的興趣．3．突出復數(shù)的表示和運算的幾何意義，體現(xiàn)形與數(shù)的融合突出復數(shù)的表示和運算的幾何意義，即從幾何的角度認識、理解復數(shù)及其運算，是貫穿本章的一條主線．在引入復數(shù)的代數(shù)形式時，教科書從復數(shù)本質(zhì)上是一對有序?qū)崝?shù)對出發(fā)，基于有序?qū)崝?shù)對可以看成是平面直角坐標系中點的坐標，得到復數(shù)集C與復平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應的；基于有序?qū)崝?shù)對也可以看成是平面直角坐標系中向量的坐標，得到復數(shù)集C與復平面內(nèi)以原點為起點的向量組成的集合也是一一對應的．在引入復數(shù)的三角形式時，教科書從復數(shù)的向量表示出發(fā)，特別注意形與數(shù)的融合．具體地，重點引導學生思考如下問題：如圖7－1，復數(shù)與向量一一對應，復數(shù)由向量的坐標唯一確定．我們知道向量也可以由它的大小和方向唯一確定，那么能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數(shù)呢？如何表示？進而從幾何的角度得出“向量的大小可以用模來刻畫”“借助以軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ)為終邊的角來刻畫的方向”，再利用三角函數(shù)知識，用向量的模和角來表示復數(shù)，得到復數(shù)的三角形式．從復數(shù)的運算看，復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義，就是相應平面向量的加、減運算；復數(shù)乘、除運算的三角形式的幾何意義，就是平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮，具體地：由引導學生得到，兩個復數(shù)，相乘時，可以像圖7－2那樣，先分別畫出與，對應的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角(如果，就要把向量繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄?，表示的復?shù)就是積．復數(shù)的代數(shù)表示、三角表示及其運算都具有明顯的幾何意義，注重在本章的所有關鍵點上強化數(shù)形結合，有助于學生深刻地認識、理解復數(shù)的表示與運算，提升他們的直觀想象素養(yǎng)．4．加強復數(shù)與相關知識的聯(lián)系“聯(lián)系性”是本章的一條思想方法主線，本章把加強復數(shù)與實數(shù)、多項式、平面向量、三角函數(shù)之間的聯(lián)系貫穿始終．本章注意復數(shù)與實數(shù)的聯(lián)系，復數(shù)及其代數(shù)形式的加法、減法、乘法運算與多項式及其加法、減法、乘法運算的聯(lián)系，注意復數(shù)及其代數(shù)形式的加、減運算與平面向量及其加、減運算的聯(lián)系，并特別強調(diào)復數(shù)的三角形式及其乘、除運算與平面向量、三角函數(shù)的聯(lián)系．例如，教科書在給出復數(shù)的加法法則后，指出其與多項式加法、向量加法的聯(lián)系：“兩個復數(shù)相加，類似于兩個多項式相加”“復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行”．在給出復數(shù)的乘法法則后，指出其與多項式乘法的聯(lián)系：“可以看出，兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把i2換成，并且把實部與虛部分別合并即可”．本章中，復數(shù)與相關領域知識之間的聯(lián)系可以用以下框圖直觀表示：六、本章教學建議1．適當介紹歷史史實，讓學生感受理性精神在數(shù)學史上，發(fā)現(xiàn)復數(shù)問題始于古希臘丟番圖時代人們求解一元二次方程，但人們一直不承認復數(shù)，到1545年，意大利數(shù)學家卡爾丹在他出版的《重要的藝術》中，求解某些一元三次方程時再也無法回避虛數(shù)問題，這才迫使人們認真對待復數(shù)，直到18世紀末韋塞爾給出復數(shù)的幾何表示，人們才開始逐漸接受復數(shù)．教學中可以參考這些數(shù)學史實，并根據(jù)學生的認知基礎，采用適當?shù)姆绞?，介紹實系數(shù)一元三次方程的求根公式，以及用求根公式和因式分解兩種方法，求解一些特殊的實系數(shù)一元三次方程，以引起學生的認知沖突，引入復數(shù)．例如，求解，可以利用一元三次方程的求根公式得到它的三個根或；也可以利用因式分解法，將原方程化為，從而得到方程的三個根，，，于是，從而應該是有意義的．但是，在初中階段學生已經(jīng)知道負數(shù)不能開平方，這樣就引起了學生的認知沖突，為“自然地”引入復數(shù)作好了鋪墊．通過這樣的教學過程，讓學生了解歷史上引入復數(shù)的漫長而曲折的過程，感受這個過程中數(shù)學家的豐富、深邃的想象力和創(chuàng)造力，以及不屈不撓、精益求精的精神，進而更加深刻地體會引入復數(shù)的必要性以及數(shù)學中理性精神的光輝．2．加強運算訓練，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)“運算”是貫穿本章的一條主線．復數(shù)屬于代數(shù)領域，與中學階段的其他代數(shù)內(nèi)容一樣，它肩負著培養(yǎng)學生的運算能力的重任．本章中的運算主要包括復數(shù)代數(shù)表示式的四則運算、復數(shù)三角形式與代數(shù)形式的互化以及復數(shù)三角形式的乘除運算等，教學時應加強這些運算的訓練，不斷提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．3．數(shù)系擴充時應注意適度體現(xiàn)“規(guī)則”在將實數(shù)系擴充到復數(shù)系的過程中，教師應了解擴充數(shù)系的“規(guī)則”既具有一般性，同時又有一定的局限性．一方面，在從自然數(shù)系逐步擴充到復數(shù)系的過程中，每次擴充數(shù)系時，新數(shù)系中的加法、乘法運算與原數(shù)系中的相應運算相容，并保持運算律，它們是這些擴充數(shù)系過程中的共性規(guī)律——擴充數(shù)系的“規(guī)則”．另一方面，上述擴充數(shù)系的“規(guī)則”有著一定的局限性．一是，新數(shù)系中的加法、乘法運算各自都具有不同于原數(shù)系中相應運算的一些特征，并且每次擴充時的特征也不盡相同．例如，把整數(shù)系擴充到有理數(shù)系時，有理數(shù)系中兩個分數(shù)（將整數(shù)看成是分母為1的分數(shù)）的加法運算是：同分母分數(shù)相加，分母不變，把分子相加；異分母分數(shù)相加，先通分，化為同分母的分數(shù)，再相加；而整數(shù)系中兩個整數(shù)相加就是“累積計數(shù)”．可見，有理數(shù)系和整數(shù)系中的加法運算特征不盡相同．而把有理數(shù)系擴充到實數(shù)系時，實數(shù)系中兩個不全是有理數(shù)的加法運算就是“合并同類項”，也就是說，實數(shù)系和有理數(shù)系中的加法運算特征也不盡相同．并且，上述兩次數(shù)系擴充中加法“新增的”的特征也不相同．二是，按照從自然數(shù)系逐步擴充到復數(shù)系的“規(guī)則”，就無法繼續(xù)擴充復數(shù)系了，要繼續(xù)擴充復數(shù)系，必須對“規(guī)則”進行適當限制．例如，將復數(shù)系擴充為四元數(shù)域=1\*GB3①時，就要放棄實數(shù)系中乘法運算的交換律．因此，擴充數(shù)系的“規(guī)則”具有一定的局限性．教學中，既要考慮數(shù)系擴充“規(guī)則”在中學階段的普適性，充分重視在“規(guī)則”的引導下將實數(shù)系擴充到復數(shù)系；同時又要注意其局限性，把握好體現(xiàn)“規(guī)則”的度，切不可盲目地一般化．應避免將中學階段擴充數(shù)系的“規(guī)則”拔高為“