彈性力學(xué) 課件 馬宏偉 第1-6章 緒論-平面問題的極坐標(biāo)解答

彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12力學(xué)課程回顧00ReviewofMechanicsCourse鋼絲繩檢測小麥倒伏問題汽車傳動(dòng)系統(tǒng)吊車桁架結(jié)構(gòu)蘇州博覽中心網(wǎng)架＋門式剛架瓦楞紙板泡沫金屬金屬橡膠通過特殊的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)改善材料特性行業(yè)力學(xué)建筑力學(xué)橋梁力學(xué)巖土力學(xué)施工力學(xué)機(jī)械設(shè)計(jì)水力學(xué)等斷裂力學(xué)復(fù)合材料力學(xué)塑性力學(xué)粘彈性力學(xué)牛頓、非牛頓流體振動(dòng)力學(xué)波動(dòng)力學(xué)彈性靜力學(xué)彈性動(dòng)力學(xué)流體力學(xué)固體力學(xué)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（入門課程：彈性力學(xué)）力學(xué)專業(yè)課程材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)工程意識(shí)理論力學(xué)力學(xué)原理高數(shù)、幾何、微分方程等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)按照平衡條件發(fā)展按照研究對象發(fā)展計(jì)算力學(xué)實(shí)驗(yàn)力學(xué)理性力學(xué)圖1力學(xué)課程體系結(jié)構(gòu)圖橫截面緒論Introduction彈性力學(xué)的研究內(nèi)容01從材料力學(xué)到彈性力學(xué)02彈性力學(xué)的基本假設(shè)03彈性力學(xué)的研究內(nèi)容01Thecontentandbasicassumptionsofelasticity研究內(nèi)容彈性：材料在外力或其它作用（如邊界約束、溫度改變）下發(fā)生變形，而撤去外力或其它作用時(shí)，物體恢復(fù)原狀的特性。彈性力學(xué)的任務(wù)：與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣，是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和變形（位移），以確定它們是否滿足工程所需要的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性條件，并尋求或改進(jìn)它們的計(jì)算方法。材料力學(xué)桿件梁軸結(jié)構(gòu)力學(xué)桿系桁架剛架等彈性力學(xué)板殼其它幾何體擋土墻堤壩地基等彈性力學(xué)的研究對象從材料力學(xué)到彈性力學(xué)02Frommaterialmechanicstoelasticmechanics桿件是大自然廣泛存在的結(jié)構(gòu)之一，也是被人才最早應(yīng)用的結(jié)構(gòu)在人類早期的工具中有許多屬于細(xì)長結(jié)構(gòu)，如棍棒、骨針，以及石刀、石斧、石矛的把等，因此與細(xì)長構(gòu)件相關(guān)的力學(xué)問題也最先被提出來加以研究。工程上仍存在許多非細(xì)長結(jié)構(gòu)，它們?nèi)绾芜M(jìn)行力學(xué)分析？利用微元體解決結(jié)構(gòu)任意形狀的問題應(yīng)力01材料力學(xué)從討論桿件基本變形入手，首先采用截面法求出構(gòu)件截面上的內(nèi)力，然后通過觀察變形得到內(nèi)力在截面上的分布規(guī)律，進(jìn)而求出應(yīng)力。彈性力學(xué)采用了柯西定義：首先構(gòu)造一個(gè)四面體微元，設(shè)P點(diǎn)是的彈性體內(nèi)部一點(diǎn)，以P點(diǎn)為基準(zhǔn)，沿x，y，z三個(gè)方向分別延伸三個(gè)微量△x，△y，△z，設(shè)頂點(diǎn)分別為A、B、C，連接ABC組成的任意微面（稱為柯西斜面），在柯西斜面上定義應(yīng)力?；靖拍顟?yīng)變02基本概念材料力學(xué)首先給出桿件發(fā)生均勻變形時(shí)應(yīng)變的概念，如直桿軸向拉壓，其軸向線應(yīng)變被定義為桿件軸線方向單位長度的改變量切應(yīng)變

定義為構(gòu)件上兩正交線段夾角的改變量，若直角改變了

，則切應(yīng)變被定義為彈性力學(xué)中強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)處的應(yīng)變，選擇任意點(diǎn)P，以P點(diǎn)為基準(zhǔn)，在x,y,z方向上分別取微段△x=PA,△y=PB,△z=PC，如圖1.5所示，該點(diǎn)處的變形可由該點(diǎn)處三個(gè)方向的線應(yīng)變

，

，，以及三個(gè)切應(yīng)變

，

，，共6個(gè)應(yīng)變分量表示變形和位移03基本概念材料力學(xué)里講到構(gòu)件變形時(shí)，都選擇了構(gòu)件的幾何特征量，例如拉伸作用下桿件軸線方向的伸長或縮短，扭轉(zhuǎn)作用下截面之間發(fā)生的相對轉(zhuǎn)動(dòng)，以及梁彎曲時(shí)截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角、中性層表示撓曲線等。在彈性力學(xué)中，變形分析不再是討論幾何特征量，而是直接討論彈性體上每一點(diǎn)的位移，分別用u，v，w來表示，共三個(gè)位移分量。確定了構(gòu)件上每一點(diǎn)的位移，自然可以確定構(gòu)件上幾何特征量的變形。含義：作用于物體上的外力通常有表面力和體積力兩種，前者簡稱為面力，后者簡稱為體力。（材料力學(xué)中外力，有分布力和集中力之分。）外力04基本概念面力（Surfaceforce）：分布在物體表面上的力，例如風(fēng)壓力、液體壓力、兩固體間的接觸力等等。物體在其表面上各點(diǎn)所受的面力一般是不同的。面力集度表示為：體力（Bodyforce）：分布在物體體積內(nèi)的力。例如重力和慣性力。物體內(nèi)務(wù)點(diǎn)受體力的情況一般也是不相同的。為了表明該物體在某一點(diǎn)P所受體力的大小與方向，我們同樣采用體力集度按極限的概念來定義，即作用在物體內(nèi)菜一點(diǎn)P處的體力的集度為：內(nèi)力05含義：物體受外力作用以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力，即物體本身不同部分之間相互作用的力?；靖拍盍骟w微元體正坐標(biāo)面負(fù)坐標(biāo)面基本概念應(yīng)力符號的含義應(yīng)力方向規(guī)定與切應(yīng)力互等注意：在彈性力學(xué)中，正應(yīng)力的規(guī)定與材料力學(xué)同，但剪應(yīng)力則不完全相同。切應(yīng)力互等同理第一個(gè)下標(biāo)i

代表應(yīng)力所在面的外法線方位與坐標(biāo)方向i的方位一致;第二個(gè)下標(biāo)j代表應(yīng)力的方向與坐標(biāo)軸j的方位一致。剪應(yīng)力的下標(biāo)做同樣的理解。i(i,j=1,2,3)j確定應(yīng)力的方向確定應(yīng)力所在微面彈性力學(xué)的基本假設(shè)03Basicassumptionsofelasticity連續(xù)性假設(shè)01假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙，這樣的材料，也稱之為連續(xù)介質(zhì)。這樣，物體內(nèi)所有點(diǎn)（數(shù)學(xué)意義上的點(diǎn)）都有物質(zhì)，所有點(diǎn)的力學(xué)量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等都有實(shí)際意義，在整個(gè)物體上都可以用數(shù)學(xué)上的連續(xù)函數(shù)來描述。完全彈性假設(shè)02假定物體在引起變形的外界因素被消去以后，能瞬時(shí)、完全恢復(fù)原狀，而沒有任何剩余變形，并且完全服從胡克定律，即應(yīng)變與引起該應(yīng)變的應(yīng)力成比例，反映這種比例關(guān)系的常數(shù)，即所謂彈性常數(shù)，并不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小和符號而變。均勻性假設(shè)03假定整個(gè)物體是由同一材料組成，這樣，整個(gè)物體的所有各部分都具有了相同的彈性性質(zhì)，其彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)變化，可使得問題分析得到極大的簡化。工程上，若物體由兩種或兩種以上材料組成，如果每一種材料的顆粒都遠(yuǎn)小于物體，而且在物體內(nèi)均勻分布，這個(gè)物體就可以使用均勻性假設(shè)。各向同性假設(shè)04假定物體內(nèi)任意點(diǎn)的彈性性質(zhì)在各個(gè)方向上都相同，彈性常數(shù)不隨方向而變。這一假設(shè)也建立在一定的尺度上，例如鋼材，在微觀上它的晶體具有各向異性特征，但由于晶體很小，而且隨機(jī)排列，在宏觀上鋼材就表現(xiàn)出近似的各向同性特征。小變形假設(shè)05即假定物體在受到外力或其它外部作用發(fā)生變形時(shí)，變形量與其本身的幾何尺寸相比屬于高階小量，可以不考慮因變形引起的尺寸變化。這樣，就可以用變形前的幾何尺寸來代替變形后的尺寸，使得在進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)使問題大為簡化?；炯僭O(shè)的意義

在上述五個(gè)基本假設(shè)中，連續(xù)性假設(shè)和均勻性假設(shè)目的是為了解決數(shù)學(xué)連續(xù)性與實(shí)際材料不連續(xù)或不一致（微觀或宏觀上）之間的矛盾，完全彈性、各向同性、小變形假設(shè)則限定了彈性力學(xué)研究的范圍，從而能夠得到較為簡單的彈性理論方程體系。相反，任何一個(gè)基本假設(shè)被放松之后，都會(huì)形成另外一門專門力學(xué)。謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12彈性力學(xué)的基本方程Thebasicequationsofelasticmechanics彈性力學(xué)的方程思想01平衡方程02一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)03最大、最小應(yīng)力04幾何方程05一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)06物理方程07彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)08彈性力學(xué)的方程思想01Theequationideaofelasticmechanics彈性力學(xué)的方程思想z彈性力學(xué)問題求解需要滿足平衡方程、幾何方程、物理方程，用到的求解方法有三類：應(yīng)力法，位移法，混合法。已知雞和兔同在一個(gè)籠子里，頭有35個(gè)，腳有94只。問籠中有多少只雞，多少只兔？設(shè)籠中有x只雞，兔子y只。彈性力學(xué)理論體系也具有設(shè)未知量、列方程、求解方程的基本框架。彈性力學(xué)的未知量：平衡方程02EquilibriumequationxyzOPABC在P點(diǎn)附近取一微元體，如圖所示，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y,z），且應(yīng)力狀態(tài)可由微面PBC，PAC，PAB的應(yīng)力分量確定，即若彈性體內(nèi)應(yīng)力分量為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù),則相鄰點(diǎn)的應(yīng)力分量可通過泰勒級數(shù)展開求出。P'依據(jù)泰勒級數(shù)展開規(guī)則，若已知微面PBC、PAC、PAB上的應(yīng)力分量，則微面P'A、P'B、P'C上的應(yīng)力分量可寫成PABCP'過微元體繞過體積中心且平行于z軸的直線為矩軸，列出對矩軸的平衡方程，有化簡后，同理PABCP'慮沿三個(gè)坐標(biāo)方向的平衡，以x方向的平衡為例兩邊同時(shí)除以dxdydz，可得考慮沿坐標(biāo)方向的平衡，以x方向?yàn)槔?，另外由三個(gè)方向軸的力矩平衡：可得到：得到微元體的平衡微分方程為：zPABC——剪應(yīng)力互等定理P'一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)03Stressstateatonepoint

任意斜截面上的應(yīng)力NxyzOPABCpypzpx設(shè)已知物體在P點(diǎn)的應(yīng)力，在O-xyz坐標(biāo)系下，可表示為：對P點(diǎn)取如圖所示的四面體（微元體），斜截面ABC的外法線方向?yàn)镹，其方向余弦分別為：設(shè)平面ABC的面積為，平面PBC、PAC、PAB的面積分別為：設(shè)四面體PABC的體積用代表。有

任意斜截面上的應(yīng)力同理，考察y，z方向平衡可得設(shè)斜面上的應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)方向的投影分別為由x方向平衡，得：NxyzOPABCpypzpx

任意斜截面上的應(yīng)力斜截面上的剪應(yīng)力

N：斜截面的正應(yīng)力

N：用矩陣表示

：因?yàn)樾泵嫔先珣?yīng)力p

可表示為NxyzOPABCpypzpx主應(yīng)力與應(yīng)力主向定義：當(dāng)P點(diǎn)的某一斜面上的剪應(yīng)力為零時(shí)，則該斜面上正應(yīng)力稱為P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力。該斜面稱為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面（主平面）。主平面法線方向稱為P點(diǎn)一個(gè)應(yīng)力主向，或稱主方向。分析：在主應(yīng)力面上，有則該面上全應(yīng)力：將p

=

向三個(gè)坐標(biāo)軸投影，有（a）（b）l,m,n要有非零解，要求系數(shù)矩陣行列式為0求出求解上述方程，可以得到三個(gè)根。三個(gè)根中，值最大的為，值最小的為，中間的為，它們就是P點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，由此三個(gè)主應(yīng)力描述的應(yīng)力狀態(tài)為例:在材料力學(xué)中學(xué)過的純剪應(yīng)力狀態(tài)，其應(yīng)力矩陣可表示為依據(jù)式（a）解得將和純剪狀態(tài)應(yīng)力矩陣代入式(b），得聯(lián)立，得說明，位于方向?yàn)榛蛘叩奈⒚嫔?，該平面為第一主?yīng)力平面。同理，可求出第二主應(yīng)力平面、第三主應(yīng)力平面。應(yīng)力不變量任意方向的應(yīng)力分量與主應(yīng)力方向都應(yīng)滿足：展開，得這說明均不隨坐標(biāo)發(fā)生變化，又因?yàn)樗鼈兪怯蓱?yīng)力表示的量，因此它們分別被稱為第一應(yīng)力不變量、第二應(yīng)力不變量、第三應(yīng)力不變量。

最大、最小應(yīng)力04Maximumandminimumstresses最大、最小正應(yīng)力設(shè)

1、

2、

3已知，如圖取坐標(biāo)系，則有

按主應(yīng)力狀態(tài)，任取一斜截面，其法線N的方向余弦為：l、m、n。由斜截面應(yīng)力計(jì)算公式得：由式：

1

2

3主應(yīng)力單元體xyzxyzO

1

2

3N

N最大、最小正應(yīng)力xyzO

1

2

3N

N

將

N視為變量m、n的二元函數(shù)，對m、n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，有表明：

N的一個(gè)極值為

1。同理，再分別消去m和n，可求得：

N的另二個(gè)極值為

2、

3。比較極值

1、

2、

3中最大者，即為最大應(yīng)力；最小者即為最小應(yīng)力。通常取最大應(yīng)力——

1；通常取最小應(yīng)力——

3。即：可求得：將其代回：可求得：最大、最小切應(yīng)力xyzO

1

2

3N

N如圖選取坐標(biāo)系，斜面上的應(yīng)力在三坐標(biāo)方向的分量為：代入式利用消去l,得最大、最小切應(yīng)力xyzO

1

2

3N

N分別對m和n求導(dǎo)確定極值可得兩類解解第一類解，得，解第二類解得正應(yīng)力、切應(yīng)力取極值的六種情況顯然，最大最小剪應(yīng)力：

3

1

2zxy最大最小剪應(yīng)力平面000(

N)20±100n00±10m000±1lσNσ1σ2σ3幾何方程05Geometricequations平衡方程物體變形分為兩類:一類是線段的伸長和縮短,另一類是線段之間夾角的改變,這兩類變形在力學(xué)上分別對應(yīng)于正應(yīng)變(也稱線應(yīng)變)和切應(yīng)變(也稱角應(yīng)變、剪應(yīng)變)。描述物體變形的線應(yīng)變和切應(yīng)變就與各點(diǎn)的位移之間存在一定的關(guān)系,利用位移寫出應(yīng)變分量的方程被稱為幾何方程。B點(diǎn)的位移：P點(diǎn)的位移：A點(diǎn)的位移：B點(diǎn)的位移：xyzdxdydzPABC俯視圖PBAdxdyxyεx與位移之間的關(guān)系A(chǔ)點(diǎn)在x方向的位移用泰勒級數(shù)展開表示為只保留一階項(xiàng),忽略高階項(xiàng),A點(diǎn)在x方向的位移近似為利用線應(yīng)變的定義，得同理，可得俯視圖PBAdxdyxyγxy與位移之間的關(guān)系根據(jù)角應(yīng)變的定義，有ABPP'A''B''B'A'βα當(dāng)物體處于小變形狀態(tài)下，有因此綜上所述,微段PA和PB在變形過程中的應(yīng)變分量為同理,用同樣的方法求微段PB和PC在變形過程中的應(yīng)變分量：微段PA和PC在變形過程中的應(yīng)變分量為整理得到幾何方程：一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)06Strainstateatonepoint平面內(nèi)任意方向的線應(yīng)變利用泰勒級數(shù)展開,寫出A點(diǎn)位移分量在Р點(diǎn)的展開式,并略去二階以上的高階無窮小有P'A'在x方向的投影:P'A'在y方向的投影:任意方向微段由PA變?yōu)镻'A'

，記P'A'變形后的線應(yīng)變?yōu)棣臢，則有P'A'在x方向的投影:P'A'在y方向的投影:依據(jù)線段投影和線段長度之間的關(guān)系,有等式兩邊同時(shí)除以dr2,得

表示微段PA與x軸正方向夾角的余弦,記為l

表示微段PA與y軸正方向夾角的余弦,記為m

表示線應(yīng)變

x

表示線應(yīng)變

y平面內(nèi)任意方向的線應(yīng)變將上式展開，并略去二階以上的項(xiàng)，有考慮到，上式可寫為平面內(nèi)任意方向的線應(yīng)變改寫為在應(yīng)變測試技術(shù)中，通常采用應(yīng)變花測試結(jié)構(gòu)表面一點(diǎn)處的應(yīng)變。一般情況下應(yīng)變花由三個(gè)不同方向上的應(yīng)變片組成，設(shè)三個(gè)方向分別為N1，N2，N3方向，方向余弦分別為(l1,m1)，(l2,m2)，(l3,m3)，則可寫出三個(gè)式子為任意方向的切應(yīng)變假設(shè)變形后PA和PB分別對應(yīng)于P'A'和P'B',則任意夾角的角應(yīng)變?chǔ)?/p>

就可以定義為設(shè)PA方向?yàn)?l1,m1),PB方向?yàn)?l2,m?)，則它們夾角可以用向量內(nèi)積表示為同理設(shè)變形后P'A'和P'B'的方向?yàn)?/p>

(l'1,m'1),PB方向?yàn)?l'2,m'?)，θ2表示為求變形后長度假設(shè)變形前PA長度為dr1，根據(jù)線應(yīng)變原理，求解得到l'1,m'1長度分子與分母同乘（1-

N1）同理得到l'2,m'2長度任意角度的改變?chǔ)脼榭臻g情況推廣設(shè)任意斜方向線段長dr,變形后各坐標(biāo)方向投影a=（l，m，n）a=（l，m）向量表示空間情況平面情況方向余弦x方向:y方向:x方向:y方向:z方向:可看作是空間情況dz=0的特殊情況可看作是空間情況n=0的特殊情況空間線應(yīng)變的求法設(shè)任意方向的線應(yīng)變?yōu)棣臢,設(shè)微段原長為dr,則變形后的長度為dr'=(1+εN)dr,有下列關(guān)系:展開上式,并略去高階無窮小,得令可以寫成與求解主應(yīng)力類似的形式:因此,一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)也可以寫成應(yīng)變矩陣的形式:空間切應(yīng)變的求法考慮空間任意一組微段PA和PB,設(shè)其變形前分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）變形后P'A'方向矢量為變形后P'B'方向矢量為任意方向切應(yīng)變?yōu)橹鲬?yīng)變與應(yīng)變不變量主應(yīng)變表示微元體在變形過程中只有邊長的伸長或縮短,而無畸變，一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)表示為應(yīng)變矩陣,有設(shè)矢量{l,m,n}為一個(gè)主應(yīng)變方向,對應(yīng)的主應(yīng)變?yōu)棣?則該線應(yīng)變在坐標(biāo)方向上的應(yīng)變分量為lε、mε

、nε,類似于求主應(yīng)力,有主應(yīng)變與應(yīng)變不變量若存在這樣的主應(yīng)變方向,則l、m、n不全為0,有展開上式，得若x、y、z

恰好為主應(yīng)變方向，三個(gè)主應(yīng)變?yōu)椋?/p>

1、

2、

3，此時(shí)：

yz

=

zx

=

xy=0，于是有主應(yīng)變與應(yīng)變不變量上述θ1,θ2,和θ3,分別被稱為第一應(yīng)變不變量、第二應(yīng)變不變量和第三應(yīng)變不變量。因?yàn)橹鲬?yīng)變：

1、

2、

3不隨坐標(biāo)系的變化而變化，有物理方程07Physicalequations物理方程表征了材料在發(fā)生變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變之間所滿足的關(guān)系,因此,也被稱為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,因其又反映材料的本質(zhì)特性,也被稱為本構(gòu)關(guān)系。一般情況下，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系，可表示為：以σx

,為例來考慮,當(dāng)函數(shù)為光滑連續(xù)函數(shù)時(shí),利用多元函數(shù)泰勒級數(shù)展開,并略去二階以上小量，可得其中，(f1)0表示彈性體的初應(yīng)力,不考慮初應(yīng)力時(shí),有(f1)0=0。令因此,

σx可近似寫成一次函數(shù)其余各式均可采用類似地方法,寫成一次函數(shù)的形式：［C］為物理方程的系數(shù)矩陣，共36個(gè)常數(shù)。寫成矩陣形式標(biāo)記應(yīng)力、應(yīng)變分量的排列順序：所以：考慮應(yīng)變能?；仡櫍寒?dāng)壓縮一個(gè)線性彈簧時(shí)，外力做功等于彈性勢能的增加量，有將這一定義應(yīng)用到線彈性的微元體上，微元體儲(chǔ)存的應(yīng)變能可表示為所以,極端各向異性材料物理方程包含21個(gè)獨(dú)立的常數(shù)。（1）一般情況（a）利用應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系把式(b)代入到式(a)中，得即有（b）同理，應(yīng)變能密度也可寫為

，將代入，同樣可得考慮材料具有一個(gè)彈性對稱面，如設(shè)xOy為對稱面，則在兩個(gè)坐標(biāo)系中求解力學(xué)量,并不會(huì)因?yàn)閦坐標(biāo)系的正負(fù)不同而不同。zyxOzyxO仍考慮應(yīng)變能密度

，將式(c)展開（2）具有一個(gè)彈性對稱面的情形由幾何方程zyxOzyxO可見,材料具有一個(gè)對稱面物理方程包含13個(gè)獨(dú)立的常數(shù)。由于在兩個(gè)坐標(biāo)系下正負(fù)號相反，因此，含有項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該為0，因此,系數(shù)矩陣化簡為若物體內(nèi)的任一點(diǎn)存在三個(gè)彈性對稱平面，在每一個(gè)對稱平兩側(cè)對稱方向上各自具有相同的彈性性質(zhì)，這種物體稱為正交各向異性材料。簡稱正交異性材料?？梢姡赫桓飨虍愋圆牧系膹椥猿?shù)為9個(gè)。（3）具有三個(gè)對稱面的情形（正交各向異性）czyxOzyxO（a）zyxO（b）zyxO（c）（d）坐標(biāo)系(a)與(b)關(guān)于xOz平面對稱,坐標(biāo)系(a)與(c)關(guān)于zOy平面對稱,坐標(biāo)系(a)與(d)關(guān)于xOy平面對稱。因此,系數(shù)矩陣化簡為這類材料有：設(shè)在正交各向異性材料的三個(gè)正交彈性對稱面中,有一個(gè)彈性對稱平面內(nèi),材料具有各向同性性質(zhì),這類材料被稱為橫觀各向同性材料,此平面稱為各向同性面?？梢姡簷M觀各向同性材料的彈性常數(shù)為5個(gè)。（4）橫觀各向同性材料因此,系數(shù)矩陣化簡為

這類材料有：可見：各向同性材料的彈性常數(shù)只有2個(gè)。（5）各向同性材料因此,系數(shù)矩陣化簡為這類材料有：各向同性材料表示材料任意方向的彈性性質(zhì)都相同,各方向彈性模量相同,這類材料被稱為各向同性材料。拉梅常數(shù)法國力學(xué)家拉梅(GabrielLamé,1795-1870)曾給出過物理方程的一種形式將系數(shù)矩陣代入方程，得對比兩個(gè)方程，可得被稱為拉梅常數(shù)。E和μ分別為彈性模量和泊松比。拉梅(GabrielLamé,1795-1870)廣義虎克定律若將三個(gè)坐標(biāo)軸方向設(shè)為三個(gè)主應(yīng)力方向表明：三個(gè)主應(yīng)力方向與三個(gè)主應(yīng)變方向重合。這時(shí)有

1

2

3xyz將上式的三個(gè)線應(yīng)變的方程相加得根據(jù)前面的記號，有于是前式可表示為：在三向拉伸時(shí)體積膨脹,有單向拉伸時(shí)，設(shè)x方向受單向拉伸，則有∵單向拉伸時(shí)有橫向收縮，有綜合上述結(jié)果，得：——體積應(yīng)變——第一應(yīng)力不變量，稱為體積應(yīng)力負(fù)泊松比材料特殊性質(zhì)及應(yīng)用負(fù)泊松比材料在受拉時(shí)橫向會(huì)膨脹，受壓時(shí)會(huì)收縮具體的應(yīng)用有新型扣件（fasteners），這種材料還可以用于夾心板中（Sandwichpanel），當(dāng)板彎曲時(shí)，負(fù)泊松比材料會(huì)向上凸，這使鑲?cè)肫渌牧细鼮槿菀?，這種材料在汽車和飛機(jī)中都有應(yīng)用。負(fù)泊松比材料在受彎曲時(shí)內(nèi)部形成中空低氣壓帶可以提高材料的背部支撐力，使其對沖擊有更好的緩沖作用可以用于一些保護(hù)用品中，如防彈背心，護(hù)膝，緩沖墊等。負(fù)泊松比材料由于其具有球型腔的內(nèi)部結(jié)構(gòu)在受張力時(shí)球型腔會(huì)脹大，這種效應(yīng)會(huì)使應(yīng)力集中降低，從而提高有微裂紋材料的強(qiáng)度另外，由于凹孔泡沫自身的特殊結(jié)構(gòu)，對聲音有很強(qiáng)的吸收能力彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)08Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations數(shù)量、向量、張量數(shù)量：也稱為標(biāo)量，指只有大小，沒有方向的量，如溫度、質(zhì)量、密度等；向量：也稱為矢量，指既有大小，也有方向的量，如力、速度、加速度等；張量：指一群滿足一定變換規(guī)則的量的組合；如應(yīng)力張量、應(yīng)變張量等。數(shù)量和向量也是特殊的張量，分別為零階張量和一階張量。應(yīng)力張量為二階張量。如：應(yīng)力張量可表示為縮寫為(i=1，2，3)(j=1，2，3)張量的變換規(guī)則

SPx1Ox2x3A假設(shè)

是一已知矢量，另有任意數(shù)組

（不確定是否為矢量），先求其不變量的一次形式定義為：P'坐標(biāo)系

和

是兩個(gè)坐標(biāo)系，有兩個(gè)矢量A和S,顯然A與S的點(diǎn)乘（內(nèi)積）不會(huì)因坐標(biāo)系的不同而不同，這成為張量的一個(gè)不變量。張量就具有在坐標(biāo)系發(fā)生變換時(shí)，不變量保持不變的特性。當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變化時(shí)，上述不變量的一次式保持不變，就稱數(shù)組

為矢量，矢量也被稱為一階張量。張量的變換規(guī)則假設(shè)和是兩個(gè)已知矢量,另有任意數(shù)組,

不變量的雙一次形式定義為當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變化時(shí),上述不變量的雙一次式保持不變,就稱數(shù)組為二階張量。應(yīng)力張量就是一個(gè)二階張量。張量的變換規(guī)則假設(shè)、

、

是三個(gè)已知矢量,另有任意數(shù)組

,

不變量的雙三一次形式定義為當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變化時(shí)，上述不變量的三一次式保持不變,就稱數(shù)組為三階張量。仿照上述方式，可以構(gòu)造出四一次形式、五一次形式等等，同樣的方法，可以用它們定義出四階張量、五階張量等更高階的張量。（1）張量概念的要點(diǎn)：存在一個(gè)與坐標(biāo)變換無關(guān)的不變量F，如：二階張量張量是一群具有下標(biāo)量的集合。一階張量：（即：矢量）0階張量：（即：標(biāo)量）如：溫度T、能量U等分量數(shù)：1（2）張量的階數(shù)與分量數(shù)：張量的階數(shù)=表示張量所用的下標(biāo)數(shù)在三維空間中，其分量數(shù)：3在二維空間中，其分量數(shù)：2二階張量：在三維空間中，其分量數(shù)：9在二維空間中，其分量數(shù)：4三階張量：在三維空間中，其分量數(shù)：27在二維空間中，其分量數(shù)：8n階張量:在三維空間中，其分量數(shù)：在二維空間中，其分量數(shù)：張量的基本運(yùn)算（1）張量的和若兩個(gè)二階張量[aij]與[bij],其和張量為[cij]，則有同理，可定義n階張量的和運(yùn)算。說明：（1）張量的和運(yùn)算必須在兩個(gè)同階張量間進(jìn)行。（2）張量的和運(yùn)算為兩張量對應(yīng)分量的和運(yùn)算。這一點(diǎn)與矩陣運(yùn)算相似。張量的基本運(yùn)算（2）張量的求導(dǎo)運(yùn)算在彈性力學(xué)中，常遇到一些量（如：位移分量ui、應(yīng)力分量

ij、應(yīng)變分量

ij等）對于坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)的下標(biāo)記法如下：上述中的每一組量的集合都是張量。如：——9個(gè)量的集合，為二階張量?！?7個(gè)量的集合，為三階張量。——81個(gè)量的集合，為四階張量。很顯然,張量形式比分量形式具有更加簡潔的書寫格式。求和約定凡在同一項(xiàng)內(nèi)，有一個(gè)指標(biāo)出現(xiàn)兩次時(shí)，則該指標(biāo)從1~3求和（對二維空間，則從1~2求和）?！狤instein求和約定作求和的下標(biāo)——稱為啞指標(biāo)；不作求和的下標(biāo)——稱為自由指標(biāo)。在彈性力學(xué)中,用到求和約定的式子有很多,例如上面的式子中,j是啞標(biāo),表示求和,展開為三項(xiàng)之和,這里

i是單獨(dú)的,被稱為自由標(biāo),求和約定不影響自由標(biāo)?？梢娗蠛椭笞杂蓸?biāo)保留,啞標(biāo)消失。平衡方程的張量形式平衡方程：上式式子展開，得再將1、2、3軸變換為x、y、z軸幾何方程的張量形式幾何方程：上式式子展開，得再將1、2、3軸變換為x、y、z軸從這能看出物理方程的張量形式物理方程：先對j展開，得再對i展開，第一式展開為由于,只寫出后面兩項(xiàng),展開第二式為由于,只寫出最后一項(xiàng),展開第三式為整理后,廣義胡克定律為物理方程的張量形式謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12邊界條件BoundaryCondition邊界條件的分類與本質(zhì)01應(yīng)力邊界條件02位移邊界條件03無限大特殊邊界04簡單彈性力學(xué)問題求解05邊界條件的分類與本質(zhì)01Classificationandnatureofboundaryconditions邊界條件設(shè)有一被固定約束的彈性體,其邊界上一部分受面力

作用,另有一部分為自由狀態(tài)。邊界上的微元體,將有一個(gè)微面成為邊界的一部分,不再有相鄰的微元體，此時(shí)微元體將受邊界上的外力限制；若邊界微元體正好處于約束區(qū)域，其變形和位移又必將受到約束的限制，這些邊界上的力和變形的限制統(tǒng)稱為邊界條件。邊界條件是平衡方程在邊界上的表現(xiàn)邊界條件的分類如果邊界上作用的面力已知如果邊界上位移已知應(yīng)力邊界條件位移邊界條件既存在面力，又有位移約束混合邊界條件應(yīng)力邊界條件02Stressboundarycondition邊界條件：定義：應(yīng)力邊界條件本質(zhì)上反應(yīng)了彈性體在邊界上的平衡條件。將圖示微元體斜面視為邊界面，其上受面力

，

，

。

解：方向余弦為將方向余弦和面力分量代入，得位移邊界條件03Displacementboundarycondition

彈性體放置在無摩擦的剛性面上，邊界條件為如圖示，彈性體放置在無摩擦的剛性面上，邊界條件為如果彈性體在下表面被完全約束，邊界條件為如果彈性體上方有另一個(gè)剛性平面將彈性體壓下?，則邊界條件為材料力學(xué)典型位移約束固定鉸支座約束滑動(dòng)鉸支座約束固定端約束實(shí)際約束的簡化橋梁：焊接：無限大體的特殊邊界04Specialboundaryoftheinfinitegeneral彈性力學(xué)中，經(jīng)常提到的無限大體、半無限大體，這些概念該如何理解？本質(zhì)上，可以將無限大體和半無限大體視為一種特殊的邊界模型，這種模型不需要考慮邊界條件（或邊界條件很少）。對于特殊的彈性力學(xué)問題，可以使用“無限大體”或者“半無限大體”模型，簡化彈性力學(xué)問題。“基本方程+邊界條件”是彈性力學(xué)的基本體系，但有時(shí)復(fù)雜的邊界條件會(huì)給分析問題帶來極大的困難，甚至得不到解析解。解：如圖建立坐標(biāo)系，由于所研究的物體在xoy平面內(nèi)受均布載荷，因此將將其視為一維問題，應(yīng)力只沿z軸方向變化，而不隨x,y變化，也就是對x,y求導(dǎo)等于0。因此，平衡方程簡化為例：如圖半無限大體，不考慮體力，設(shè)在其表面受均布載荷q作用，試求無限大體的應(yīng)力解。代入邊界條件，得在山體中開挖一個(gè)山洞，若山洞的直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于山體，就能將山體視為“無限大體”；在大地上蓋了一座高樓，研究高樓對大地引起的應(yīng)力分布，可以將大地視為“半無限大體”。這類問題只在局部引起應(yīng)力分布而遠(yuǎn)在遠(yuǎn)端應(yīng)力為0或某一常數(shù)，應(yīng)力邊界條件為

也可以考慮在遠(yuǎn)端不引起物體變形，位移邊界條件為

其中，Ci(i=1,2,…,6)等于常數(shù)或者0。簡單彈性力學(xué)問題求解05Simpleelasticmechanicsproblemsolving空間問題的基本方程平衡方程幾何方程物理方程彈性力學(xué)基本方程簡化

平衡方程幾何方程物理方程彈性力學(xué)問題求解例1設(shè)有高有h的立柱，密度為ρ，則體力fx=-ρg，下端為固定端，上端受均布載荷q作用，利用前面分析得到的應(yīng)力、位移結(jié)果求立柱的應(yīng)力和位移。邊界條件：代入應(yīng)力邊界條件：代入位移邊界條件：將C2代入，得將C1代入，得謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12平面問題的基本理論TheBasicTheoryofPlaneProblems平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題01平面問題的基本方程02平面問題的邊界條件03圣維南原理與等效邊界條件04平面問題的求解——位移法05平面問題的求解——應(yīng)力法06艾力應(yīng)力函數(shù)

逆解法與半逆解法07疊加原理與唯一性定理08平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題01Planestressproblemandplanestrainproblem一、平面應(yīng)力問題(planestress)含義：物體在一個(gè)坐標(biāo)方向(例如z方向)上的幾何尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)坐標(biāo)方向的幾何尺寸，圖示的薄板，板厚就遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板面x、y方向的尺寸。幾何形狀特征01一、平面應(yīng)力問題(planestress)含義：根據(jù)問題的特征，經(jīng)過分析判斷可預(yù)先未知數(shù)中一部分為零或接近于零，或與其他分量雖相比，小到可以忽略不計(jì)的程度。簡化分析03含義：在薄板的兩個(gè)側(cè)表面上無表面荷載，作用于薄板邊緣的表面力平行于板面，且沿厚度方向不發(fā)生變化，或雖沿厚度方向變化但對稱于乎板畫的中間平面，即合力與中平面重合。同時(shí)，體力亦平行于板面，且沿厚度方向不變。02承受荷裁特征應(yīng)力分析由剪應(yīng)力互等定理，得故平面應(yīng)力問題的非零應(yīng)力分量為薄板，應(yīng)力不沿厚度方向變化一、平面應(yīng)力問題(planestress)工程中的平面應(yīng)力問題在實(shí)際工程中，可以簡化為平面應(yīng)力問題的例子很多。例如，高層建筑中的剪力墻、深梁、平面吊鉤，以及平面鏈環(huán)、被圓孔或圓槽削弱的薄板等等，都可簡化為平面應(yīng)力問題。一、平面應(yīng)力問題(planestress)二、平面應(yīng)變問題(planestrain)含義：柱體的體積力和側(cè)表面所承受的表面力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨坐標(biāo)z變化，柱體的位移約束條件和力的支承條件沿z方向也是相同的。承受荷裁特征02含義：與平面應(yīng)力問題相底物體沿一個(gè)處標(biāo)軸（例如z軸）方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)坐標(biāo)軸（x軸和y軸）方向的尺寸，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一等截面柱體。01幾何形狀特征簡化分析03含義：等截面柱體，例如擋土墻、隧道、重力壩和圓管等，如果受到垂直于z軸且不沿長度變化的荷載作用，就可以假定所有橫截面都處于相同的情況。應(yīng)變分析二、平面應(yīng)變問題(planestrain)長柱結(jié)構(gòu)，只受平行于橫截面且不沿長度方向變化的載荷，此時(shí)有平面BOC上的點(diǎn)只沿平面位移，得故平面應(yīng)變問題的非零應(yīng)力分量為工程中的平面應(yīng)變問題堤壩筒體滾軸涵洞二、平面應(yīng)變問題(planestrain)胡克定律三、平面問題的應(yīng)力、應(yīng)變分量平面應(yīng)力平面應(yīng)變應(yīng)變分量（據(jù)胡克定律）應(yīng)力分量（據(jù)胡克定律）平面問題的基本方程02Thebasicequationforplaneproblem平面應(yīng)力問題的基本方程平衡方程考慮平面應(yīng)力問題廣義胡克定律考慮平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題的基本方程幾何方程由廣義胡克定律可知表示為同時(shí)

可由

表示因此，平面應(yīng)力問題需要求解的應(yīng)變分量只有幾何方程可簡化為平面應(yīng)變問題的基本方程幾何方程由前面分析可知平面應(yīng)變問題，有因此，幾何方程可簡化為且力學(xué)量不隨坐標(biāo)z發(fā)生變化，有廣義胡克定律考慮廣義胡克定律簡化為平面應(yīng)變問題的基本方程平衡方程因此，平衡方程可簡化為平面應(yīng)變問題仍只有3個(gè)未知量由前面分析可知平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題物理方程對比平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題另外，對于平面應(yīng)變的情形，只要將平面應(yīng)力時(shí)的物理方程中的彈性常數(shù)作如下變化，則可得到平面應(yīng)變時(shí)的物理方程：平面問題的邊界條件03Boundaryconditionsforplaneproblem含義：彈性力學(xué)平面問題的基本方程也由微分方程給出，求解時(shí)同樣需要給出邊界條件確定積分常數(shù)。類似于空間問題，平面問題的邊界條件也可以分為應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件三類。對于平面問題，包括平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，其所有的未知量都可以在同一個(gè)平面內(nèi)表示。如圖a所示。考察邊界上的任意一點(diǎn)，不妨設(shè)為P點(diǎn)，構(gòu)造微元體PBC，如圖b。斜面BC的方向由外法線方向n分別與x軸、y軸正向夾角的余弦確定，稱之為方向余弦，并定義：應(yīng)力邊界條件（a）（b）將斜面BC上的面力分解為

和

，規(guī)定面力分量的方向與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正，相反時(shí)為負(fù)。設(shè)BC的面積為ds，建立平衡方程應(yīng)力邊界條件整理得例題1圖中所示為一變截面懸臂梁，斜邊界上受垂直于邊界的均布載荷q，水平邊界為自由邊界，試寫出該懸臂梁的邊界條件（暫不考慮固定端邊界條件）第一步，如圖所示，建立坐標(biāo)系。解:第二步，分析邊界。（1）水平邊界邊界位置：用方程寫出水平邊界為y=0；方向余弦：其外法線方向與x軸垂直，邊界面力：水平邊界為自由邊界，例題1第二步，分析邊界。（2）斜邊界邊界位置：用方程寫出斜邊界為

方向余弦：邊界面力：第三步，寫邊界條件。（1）在水平邊界上，即y=0，（2）在斜邊界上，即練習(xí)題有些彈性力學(xué)問題的邊界較為復(fù)雜，如圖所示，試寫出該問題應(yīng)力邊界條件。位移邊界條件在物體的達(dá)界上全部給定位移，用Su表示，如圖示，這時(shí)，位移邊界條件為：位移的邊界值，是待求的在邊界上是坐標(biāo)x，y

的函數(shù)，是已知的例題圖中所示為一變截面懸臂梁，斜邊界上受垂直于邊界的均布載荷q，水平邊界為自由邊界，試寫出該懸臂梁固定端的位移邊界條件。第一步，如圖所示，建立坐標(biāo)系。解:第二步，分析固定端邊界。該邊界的特點(diǎn)是邊界上各點(diǎn)既不能發(fā)生線位移，也不能發(fā)生角位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）。邊界位置：固定端邊界；線位移約束：不能上下、左右移動(dòng)：邊界面力：不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)：例題邊界面力：不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)：表示固定端上任意點(diǎn)處豎直微段的偏轉(zhuǎn)角表示固定端上任意點(diǎn)處水平微段的偏轉(zhuǎn)角第三步，寫出位移約束條件。在x=0處：圣維南原理與等效邊界條件04Saint-Venant'sprincipleandequivalentboundaryconditions應(yīng)用背景從數(shù)學(xué)上難以完全滿足邊界條件。應(yīng)用條件替換力系與原力系“靜力等效”；在彈性力學(xué)問題的小邊界上使用。如果改變物體的某一局部(小部分)邊界面上作用的表面力的分布方式，但保持靜力上的等效(即主向量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同)，則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力改變甚小，可以忽略不計(jì)。這一敘述稱為圣維南原理。原理靜力等效寫邊界條件01考慮圖中所示的懸臂梁，在自由端受集中力Fx、Fy以及外力偶矩M作用，試?yán)檬ゾS南原理寫出該邊界上的靜力等效邊界條件。解:在離開自由端很近的地方假設(shè)用截面A-A將其截開。取截出的微段，畫受力圖如圖所示。寫出微段的平衡方程，有01考慮建立坐標(biāo)不通過梁截面形心的情況，新、舊坐標(biāo)系滿足關(guān)系式寫出微段的平衡方程，有這說明新坐標(biāo)系下外力的簡化結(jié)果也需要對新坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行簡化。靜力等效寫邊界條件平面問題的求解——位移法05Solutionofplaneproblems-Displacementmethod胡克定律幾何方程或平衡方程平面問題的基本方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題位移為基本變量的平衡方程代入幾何方程胡克定理平衡方程位移為基本變量的平衡方程思考：用位移表示的平面應(yīng)力問題有幾個(gè)基本方程？如何轉(zhuǎn)換為平面應(yīng)變問題？位移邊界條件仍然表示為：應(yīng)力邊界條件平面問題的求解——應(yīng)力法06Solutionofplaneproblems-Stressmethod相容方程兩邊對y求兩次導(dǎo)數(shù)兩邊對x求兩次導(dǎo)數(shù)將兩者疊加兩邊對x和y各求一次導(dǎo)數(shù)對比兩者等號右側(cè)，完全相同(4-16)考慮物理方程式(4-16)可寫為———用應(yīng)力表示的相容方程。再利用平衡方程消去切應(yīng)力兩邊對x求導(dǎo)兩邊對y求導(dǎo)變形協(xié)調(diào)方程代入(4-18)變形協(xié)調(diào)方程平衡方程平面問題的力法和位移法方程總結(jié)位移法求解的基本方程應(yīng)力法求解的基本方程位移法求解的基本方程艾力應(yīng)力函數(shù)法

07Ailistressfunctionmethod19世紀(jì)大量鑄鐵材料應(yīng)用于橋梁工程，為了確定橋梁結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，亟需有一種求解橋梁內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變的方法。這一情況受到了英國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家的艾力（GeorgeBiddellAiry，1801-1892）的關(guān)注，他意識(shí)到求解梁內(nèi)部所有點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變的重要性，并立志要發(fā)展一套全新的求解理論。艾力應(yīng)力函數(shù)GeorgeBiddellAiry1801-1892懸臂梁模型19世紀(jì)大量鑄鐵材料應(yīng)用于橋梁工程，為了確定橋梁結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，亟需有一種求解橋梁內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變的方法。這一情況受到了英國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家的艾力（GeorgeBiddellAiry，1801-1892）的關(guān)注，他意識(shí)到求解梁內(nèi)部所有點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變的重要性，并立志要發(fā)展一套全新的求解理論。常體力相容方程簡化力法求解二維問題的基本方程，包含2個(gè)平衡方程和1個(gè)變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）：當(dāng)體力為常數(shù)時(shí)，上述第三式相容方程右側(cè)為0，即可得到常體力下的相容方程：非齊次常微分方程求解：對應(yīng)齊次方程的通解+一組特解齊次方程通解推導(dǎo)：根據(jù)全微分，上式成立，必存在勢函數(shù)A，滿足下式根據(jù)全微分，上式成立，必存在勢函數(shù)B，滿足下式再次根據(jù)全微分，上式成立，必存在勢函數(shù)，滿足下式代回應(yīng)力分量，用表示(4-20)平衡方程：可驗(yàn)證下面解都是平衡方程的特解：特解一：特解二：特解三：選擇任意特解，寫出方程的解為：將其帶入相容方程（4-19），得：或：逆解法與半逆解法應(yīng)力勢函數(shù)通常情況下不能直接求出，一般有兩類方法確定應(yīng)力勢函數(shù)，分別為逆解法和半逆解法。01逆解法含義：逆解法，也可以稱之為經(jīng)驗(yàn)法，即先設(shè)出某種類型的滿足相容方程的函數(shù)，然后求解應(yīng)力分量，再依據(jù)應(yīng)力分量求出面力分布，這樣就可以知道哪類彈性力學(xué)問題應(yīng)該選擇什么樣的應(yīng)力函數(shù)。02半逆解法含義：半逆解法就是針對特定的問題，根據(jù)邊界條件，可以確定出全部或部分應(yīng)力分量為某種形式，從而推出應(yīng)力函數(shù)，然后檢驗(yàn)其是否滿足相容方程，以及原來所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個(gè)應(yīng)力函數(shù)求出的其余分量是否滿足邊界條件。疊加原理與唯一性定理08Theprincipleofsuperpositionandtheuniquenesstheorem疊加原理和唯一性定理是彈性力學(xué)求解的兩個(gè)基本原理，前者使復(fù)雜問題簡化為幾個(gè)簡單問題的疊加，后者則保證了使用逆解法或半逆解法求解的正確性。疊加原理理論發(fā)展恩斯特·海因里?！ろf伯(ErnstHeinrichWeber,1795—1878)出版了《基于實(shí)驗(yàn)的波的理論》(Wellenlehre,aufExperimentegegrundet)一書，在這本書中提出了彈性板振動(dòng)的疊加原理?？死?ErnstFlorensFriedrichChladni,1753—1827)發(fā)表了《聲音理論中的發(fā)現(xiàn)》發(fā)明了一種用沙子展示彈性板的固有模態(tài)方法(1787年）。1742年，丹尼爾·伯努利(1700—1782,DanielBernoulli),在研究兩端夾緊的彈性振動(dòng)帶問題時(shí),聲稱他可以同時(shí)聽到兩個(gè)不同振動(dòng)模態(tài)的聲音。1749年，達(dá)朗貝爾(Jean-BaptisteleRondd'Alembert,1717—1783)推導(dǎo)了弦振動(dòng)的微分方程。1822年傅里葉(JosephFourier,1768—1830)發(fā)表《熱的分析理論》(TheAnalyticTheoryofheat)完善了傅里葉級數(shù)。疊加原理含義：對于同一個(gè)彈性體，分別受到兩組（或多組）不同的體力、面力和已知位移的作用，當(dāng)彈性體在這些載荷和已知位移同時(shí)作用下，其應(yīng)力、應(yīng)變和位移解為每組載荷和已知位移分別作用所得的兩組（或多組）解之和。唯一性定理當(dāng)使用逆解法求解時(shí)，自然會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)疑問，即，這樣求得的解是不是唯一的解？會(huì)不會(huì)還有其他解答?另外，是否可能找出兩組不同的解，它們對應(yīng)著同一個(gè)邊界情況。若有這種可能，用逆解法求解的解就不一定是問題的真正的解。但可證明：在沒有初應(yīng)力的情況下，對應(yīng)著一定的邊界條件，彈性力學(xué)問題的解是唯一的。這就是解的唯一性定理。根據(jù)這一定理，不論是用正解法(直接積分法)或從用逆解法，只要所求得的解滿足彈性力學(xué)的全部要求，它就是唯一的解。唯一性定理證明設(shè)有一彈性體受面力

和體力

作用，

對于第一組解對于第二組解唯一性定理證明將上述兩組解的方程相減，得若將

視為一組新的解，它所對應(yīng)的是無體力、無面力、邊界無位移狀態(tài)，此時(shí)有這說明了原來所設(shè)定的兩組不同的解完全相同。謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12平面問題的直角坐標(biāo)解答TheCartesianCoordinateSolutiontoPlaneProblems彈性力學(xué)多項(xiàng)式解答01純彎曲梁的彈性力學(xué)解02簡支梁受均布荷載03楔形體受重力和液體壓力04彈性力學(xué)級數(shù)式解答05課程回顧00CourseReview應(yīng)力函數(shù)求解彈性力學(xué)問題協(xié)調(diào)方程邊界條件應(yīng)力函數(shù)不計(jì)體力可寫為：彈性力學(xué)平面問題應(yīng)力解法的數(shù)學(xué)模型一是如何構(gòu)造可以作為應(yīng)力一般解的雙調(diào)和函數(shù)，即尋求雙調(diào)和函數(shù)Φ的一般解；在給定邊界條件的情況下用直接積分去求解彈性力學(xué)的基本方程，確定物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，一般地講是很困難的，只有對一些簡單的問題才適用。所以，往往對具體問題采用逆解法或半逆解法求解，而解的唯一性定理為彈性力學(xué)問題的逆解法提供了一個(gè)理論根據(jù)。二是對具體問題(即給定邊界條件下的問題)求解。在V內(nèi)

問題歸結(jié)為：（3-1）逆解法（這種解法有兩種含義）彈性力學(xué)平面問題應(yīng)力解法的數(shù)學(xué)模型

另一種含義是：通過材料力學(xué)或某種分析得到某問題的可能解答，然后檢查它是否滿足全部方程和邊界條件。半逆解法

若不滿足，或出現(xiàn)矛盾，則需修改原來所設(shè)的函數(shù)，重新檢查，一直到滿足為止。半逆解法系由圣維南提出，所以又稱圣維南解法，或湊合解法。彈性力學(xué)多項(xiàng)式解答01Polynomialsolution①一次多項(xiàng)式

z無應(yīng)力狀態(tài)滿足雙調(diào)和方程z

經(jīng)過驗(yàn)證，下列函數(shù)

都是滿足雙調(diào)和方程

或因而，它們都是可能的應(yīng)力函數(shù)。在體力不計(jì)的情況下，我們考慮上述可能的應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)力分量。2aoxy2aoxybb2coxy2c②取二次多項(xiàng)式滿足雙調(diào)和方程

②取二次多項(xiàng)式因此，對于矩形板，當(dāng)受到圖（d）所示的面力作用時(shí)，可用多項(xiàng)式Ф=ax2+bxy+cy2作為應(yīng)力函數(shù)來求解。2aoxy2abb2c2c從而得到：

x=2c

，

y=2a，

xy=-b這一解答。③再取三次多項(xiàng)式

滿足雙調(diào)和方程

③取三次多項(xiàng)式

當(dāng)使用逆解法求解時(shí)，自然會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)疑問：這樣求得的解是不是唯一的解？會(huì)不會(huì)還有其他解答？解的唯一性定理：在沒有初應(yīng)力的情況下，對應(yīng)著一定的邊界條件，彈性力學(xué)問題的解是唯一的。這就是解的唯一性定理。另外，是否可能找出兩組不同的解，它們對應(yīng)著同一個(gè)邊界情況。若有這種可能，用逆解法求解的解就不一定是問題的真正的解。根據(jù)這一定理，不論是用正解法（直接積分法）或從用逆解法，只要所求得的解滿足彈性力學(xué)的全部要求，它就是唯一的解。21函數(shù)形式能否作為應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量邊界上的面力Ф=a+bx+cy能

x=y=xy=0Ф

=ax2能

x=xy=0

y=2aФ

=ay2能

y=xy=0

x=2ah/2h/2yxo

序號3

564Ф

=axy能

x=y=0

xy

=-aФ

=ax3能

x=xy=0

y=6axФ

=ax2y能

x=0,xy=-2ax

y=2ay

函數(shù)形式能否作為應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量邊界上的面力序號7Ф

=axy2能

x=2ax,

xy=-2ay,

y=0

記憶、理解對多項(xiàng)式表述的應(yīng)力函數(shù)及其對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)。函數(shù)形式能否作為應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量邊界上的面力序號純彎曲梁的彈性力學(xué)解答02ElasticMechanicsSolutionforPureBendingBeam矩形梁純彎曲-求出位移分量如圖所示，矩形截面的直梁，厚度遠(yuǎn)小于深度和長度，在兩端受有相反的力偶而彎曲，體力可以不計(jì)，求該梁的應(yīng)力分量及位移分量。

上一節(jié)結(jié)論：

胡克定律幾何條件

左邊y的函數(shù)，右邊x的函數(shù)

位移分量討論：從u

的表達(dá)式看，不論約束情況如何，鉛直線段的轉(zhuǎn)角都是：

、u0、v0必須由約束條件求得?？梢姡谕粰M截面，x為常量，則鉛垂直線的轉(zhuǎn)角相同。平截面假設(shè)成立。位移邊界條件：以簡支梁來研究位移邊界條件：

以梁中線(y=0)作為撓曲線帶入位移表達(dá)式：得：懸臂梁情況下位移分量

位移邊界條件：帶入位移表達(dá)式：求解，得：選擇中性層，即y=0，撓度方程為：簡支梁受均布荷載03Simplysupportedbeamssubjectedtouniformlydistributedloads問題的提出設(shè)一矩形截面的簡支梁跨度為2l，在梁的上邊界受有均勻分布的荷載q作用，如圖。試分析梁內(nèi)應(yīng)力分量，并與材料力學(xué)結(jié)果相比較(自重不計(jì))。

材料力學(xué)解答：

彈性力學(xué)求解

考察該函數(shù)滿足雙調(diào)和性

，所以，有將其視為x的一元二次方程，若對于所有的x都成立，有積分求應(yīng)力函數(shù)所以：應(yīng)力分量

思考如何確定剩余的常數(shù)？邊界條件

上邊界：下邊界：帶入應(yīng)力分量，得：求解簡化應(yīng)力分量剩余邊界條件(圣維南原理)

驗(yàn)證第三式成立求解前兩式，得

簡支梁應(yīng)力分布圖

為簡便起見，設(shè)b=1。材料力學(xué)中有虛線左邊的項(xiàng)與材料力學(xué)的解答相同右邊的項(xiàng)是彈性力學(xué)所給出的修正項(xiàng)。對于通常的淺梁，修正項(xiàng)很小，可以忽略不計(jì)。以梁的中間截面為例，梁頂與梁底的彎曲應(yīng)力為當(dāng)h/2l=0.25時(shí)，第二項(xiàng)為第一項(xiàng)的1.7％；當(dāng)h/2l=0.50時(shí)，第二項(xiàng)為第一項(xiàng)的6.7％。當(dāng)h/2l=0.10時(shí)，第二項(xiàng)為第一項(xiàng)的0.3％；

h/2l楔形體受重力和液體壓力04Wedgebodyissubjectedtogravityandliquidpressure例題

量綱分析確定應(yīng)力函數(shù)分析：試考慮對應(yīng)力分量有影響的量。應(yīng)力表達(dá)式的可能形式：Agx、Bgy、C

′gx、D

′gy應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為什么形式？量綱

力學(xué)量量綱力學(xué)量應(yīng)力分量外力坐標(biāo)幾何力學(xué)量國際單位量綱體力面力（平面問題）例題

考慮體力，應(yīng)力分量為：體力分量：fx=0，fy＝

g。通解＋特解，特解如p72特解三。確定應(yīng)力函數(shù)中的待定常數(shù)1寫出邊界條件：左邊界x=0，

應(yīng)力分量簡化為:斜邊界將應(yīng)力分量帶入邊界條件，得：求解方程組，得：解答與分析將系數(shù)代入式，得萊維(Lèvy)解答。各應(yīng)力分量沿水平方向的變化如圖示。可見，

x沿水平方向沒有變化，該結(jié)果由材料力學(xué)公式是得不到的。

針對于工程問題，需要指出的幾點(diǎn)工程大壩在平面問題簡化時(shí)的幾何要求。1地基和題設(shè)不同，此解不滿足工程問題。2壩頂不會(huì)是尖點(diǎn)，工程中還會(huì)有載荷，不滿足。3級數(shù)式解答05Seriessolution如果梁或板所受的面力比較復(fù)雜，或者甚至是不連續(xù)的，就不可能用多項(xiàng)式求解解答。在這種情況下，可以試用三角級數(shù)求解。設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：帶入相容方程，有：上式滿足，必有：求解該方程，得：所以：再考慮：利用相容方程：三角級數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)為：寫出應(yīng)力分量，有利用邊界條件，確定出待定常數(shù)，即可求出問題的解。MATLAB-GUI界面應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量誤差、應(yīng)力分析與ANSYS結(jié)果對比謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12第六章

平面問題的極坐標(biāo)解答Chapter6Polarsolutionstoplanarproblems極坐標(biāo)中的彈性力學(xué)方程0102極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程03孔口應(yīng)力集中問題楔形體彈性力學(xué)解答及推廣04極坐標(biāo)中的彈性力學(xué)方程01Elasticityequationsinpolarcoordinates平衡條件應(yīng)用假定:（1）連續(xù)性，（2）小變形。

平衡條件

其中可取：

所以：平衡條件

略去三階微量，保留到二階微量，得：

平衡條件當(dāng)考慮到二階微量時(shí)，得：

含義：通過形心C的力矩為0。進(jìn)一步驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理。極坐標(biāo)下的平衡方程：

01幾何方程

所以切應(yīng)變?yōu)?/p>

幾何方程

02

所以切應(yīng)變?yōu)?/p>

幾何方程

03

（2）極坐標(biāo)中的物理方程（3）邊界條件

平面應(yīng)力問題：對于平面應(yīng)變問題，只須作如下變換，（1）幾何方程為形式比較簡單極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程02Stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates以下建立直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的變換關(guān)系，用于：（a）物理量的轉(zhuǎn)換；（b）從直角坐標(biāo)系中的方程導(dǎo)出極坐標(biāo)系中的方程?；颍?/p>

（1）坐標(biāo)變量的變換：（2）函數(shù)的變換：（3）導(dǎo)數(shù)的變換：極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與協(xié)調(diào)方程極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與協(xié)調(diào)方程

（3）導(dǎo)數(shù)的變換：因此，把x軸和y軸分別轉(zhuǎn)到

和

的方向，有xyO時(shí)二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從上式導(dǎo)出。例如：展開即得：

若微元體處于6.

展開即得：應(yīng)力分量

若微元體處于展開即得：6.拉普拉斯算子的變換：(用于驗(yàn)證雙調(diào)和性)應(yīng)力函數(shù)

極坐標(biāo)中的相容方程的展開式6.拉普拉斯算子的變換：(用于驗(yàn)證雙調(diào)和性)

孔口應(yīng)力集中問題03Stressconcentrationattheorifice問題的提出在結(jié)構(gòu)中開孔以符合某種工程需求是工程上常見的現(xiàn)象，例如機(jī)械結(jié)構(gòu)中連接件、以及隧洞開挖、水利工程中的泄洪口等，而確定孔邊應(yīng)力分布，進(jìn)而對開孔構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度校核，包括剛度校核、穩(wěn)定性判定是確保各類開孔工程安全的基礎(chǔ)。此類問題通常簡化為圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）和圓筒（平面應(yīng)變問題）。如圖所示，設(shè)有圓環(huán)受內(nèi)外均布壓力，內(nèi)半徑為a，外半徑為b。試求應(yīng)力分量、位移分量。分析：由于幾何形狀、載荷均軸對稱，故屬于軸對稱應(yīng)力問題。含義：軸對稱即繞軸對稱，凡通過此軸的任何面均為對稱面。

問題：試求軸對稱平面問題的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量。軸對稱應(yīng)力問題

相容方程簡化為：①求應(yīng)力函數(shù)相容方程：其中，因此，相容方程寫為：

分部積分積分③應(yīng)變通解②應(yīng)力通解

（c）

（d）（a）（b）④求對應(yīng)的位移將應(yīng)變代入幾何方程，對應(yīng)第一、二式分別積分

代入得(a)，(b)兩式的表達(dá)式為：

④求對應(yīng)的位移

分開變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F：

④求對應(yīng)的位移由兩個(gè)常微分方程，

其中，A、B、C、H、I、K都是任意常數(shù)，第2式第一項(xiàng)

，為滿足位移單值條件，有B=0。①應(yīng)力分量簡化為，②考慮內(nèi)、外邊界條件，有內(nèi)壁：外壁：③求解邊界條件，得④帶入?yún)?shù)，得拉梅-克拉貝隆解圓環(huán)/圓通受內(nèi)壓、外壓時(shí)的應(yīng)力解圓環(huán)/圓通受內(nèi)壓、外壓時(shí)的應(yīng)力解上述解答的應(yīng)用：(1)只有內(nèi)壓力，此時(shí)(2)只有內(nèi)壓力且，成為具有圓孔的無限大薄板(彈性體)。(3)只有外壓力單值條件的說明：(1)多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性條件）。(2)在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都應(yīng)為單值。所